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重难点培优01 集合、常用逻辑用语中的参数及新定义问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................2
题型一 集合与元素的关系（★★）............................................................................................................2
题型二 集合的包含关系（★★★）............................................................................................................7
题型三 集合的交并补运算及容斥原理（★★★★）..............................................................................10
题型四 集合的新定义（★★★★★）......................................................................................................13
题型五 常用逻辑用语中的参数问题（★★★★）..................................................................................21
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................24
检测Ⅰ组 重难知识巩固 ..........................................................................................................................24
检测Ⅱ组 创新能力提升 ..........................................................................................................................34
一、集合常用结论
1、若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真子
集有
个．
2、空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
3、
．
4、
,
．
5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn 图表示两集合的交、
并、补。如果用card 表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A 的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
二、集合中的新定义问题
1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知
识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学
中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的
集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
4、集合新定义问题处理步骤
①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”
哦；然后找出要素分别是什么
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素
④解：结合数学知识进行解答
三、从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q 以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B 可得，p 是q 的充分条件，
（1）若A
B，则p 是q 的充分不必要条件；
（2）若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
（3）若A
B，则p 是q 的必要不充分条件；
（4）若A＝B，则p 是q 的充要条件；
（5）若A⊈B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要
不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
题型一 集合与元素的关系
【技巧通法·提分快招】
与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧
（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.
（2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.
（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.
（4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.
1．（24-25 高三上·北京通州·期中）设集合
，则（ ）
A．对任意实数a，
B．对任意实数a，
C．当且仅当
时，
D．当且仅当
时，
【答案】C
【分析】利用
的取值，反例判断是否成立即可．
【详解】对A，若
，则
，
将
代入不全部满足，此时可知
，故A 错误；
对B，当
时，则
，
将
代入全部满足，此时可知
，故B 错误；
对C，若
，
，解之可得
，所以C 正确；
对D，当
，则
，将
代入不全满足，
所以
，故D 错误.
故选：C
2．（2025·广东揭阳·二模）已知集合
，则A 中元素的个数为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】C
【分析】首先求出x 的值，然后代入
分别求出y 的值即可.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，可得
，所以x 可能取值为
当
时：代入
得
，又
，
所以
，此时得到元素
；
当
时：代入
得
，
，
，
此时得到元素
；
当
时：代入
得
，
.
，
，
此时得到元素
；
当
时：代入
得
，
，
，
此时得到元素
；
当
时：代入
得
，所以
，
此时得到元素
；
满足条件的元素分别为：
，
，
，
，
共11 个，
故选：C
3．（24-25 高三下·河北保定·模拟预测）已知集合
，
，记非空集合S 中元素的个数为
，已知
，记实数a 的所有
可能取值构成集合是T，则
（ ）
A．5
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】先得出
，再分类讨论
或
，因
，若
，则
；若
，则问题转
化为讨论方程
的根个数，分两种情况，
，但根异于
，或
，但一根为
即可
求出.
【详解】对于
，有
，所以
；
因为
，则
或
，
而
是方程
的根，
当
时，故
，而
不是方程
的根，
故
是方程
的唯一根，则
，
经检验，当
时满足
；
当
时，则方程
有三个不同根，
则当
满足
，即
，
当
，则
满足；当
，则
满足；
当
满足
，即
，
必有
为方程
的根，即
，得
，
当
时，则
满足；
当
，则
满足；
则
，故
.
故选：A.
4．（2025·河南新乡·三模）（多选题）已知非空数集M 具有如下性质：①若
，则
；②若
，则
.下列说法中正确的有（ ）.
A．
.
B．
.
C．若
，则
.
D．若
，则
.
【答案】BC
【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.
【详解】对于
，若
，令
，则
，令
，则
，令
，不存在
，即
，矛盾，所以
，故
错误，
对于
，由于集合
非空，取任意元素
，根据性质①，得
，再根据性质②，得
，进而
，故
正确，
对于
，因为
，所以
，因为
，所以
，故
正确，
对于
，若
，则
，故
错误，
故选：
.
5．（2024·辽宁丹东·一模）若
为完全平方数，则正整数x 的取值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】由题意设
，进一步得
，分析得到
与
必然都是偶数，从而考虑80 的分解方式得数组
的可能情况即可进一步求解.
【详解】由题意设
，则
，
注意到
是偶数，所以
与
的奇偶性相同，
（否则若
和
中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与
是偶数矛盾），
注意到
是偶数，所以
与
必然都是偶数，
考虑80 的分解方式，
满足题意的数组
只可能是
三种情况，
所以x 的取值可能是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：关键是得出得到
与
必然都是偶数，从而即可顺利得解.
6．（24-25 高三上·上海·期中）如图，线段
相交于
，且
长度构成集合
，则
的取值个数为 ．
【答案】4
【分析】由直角三角形性质可得
或
，后由勾股定理结合集合互异性可得答案.
【详解】如图，因为
，且
长度构成集合
，
因为直角三角形
中，斜边
一定大于直角边
和
，
所以
或
，
当
时，可分为
，此时由勾股定理可得
，解得
；
，此时由勾股定理可得
，解得
；
，此时由勾股定理可得
，解得
；
由集合的互异性，可知3 需舍去；
当
，可分为：
，解得
；
，解得
；
，解得
；
综上，
的值可能为
.
故答案为：4
题型二 集合的包含关系
【技巧通法·提分快招】
根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做
到不漏解.
①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互
异性.
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点
值能否取到
1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合
若
，则a
的取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过
和
两类情况讨论即可.
【详解】由题得
，因为
，所以
.
当
时，
，满足
；
当
时，
，因为
，所以
或
，解得
1 或
，
综上
的取值构成的集合为
.
故选：D.
2．（24-25 高三上·江苏·模拟预测）已知集合
，若集合
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式化简
,即可根据
，对集合
讨论求解.
【详解】由
，则
,
故若
，则
，不等式无解，此时
,符合题意，
当
时，
，
结合
，则
，解得
，
综上可得
，
故选：A
3．（24-25 高三上·河北承德·模拟预测）已知集合
，
．若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
得到
，当
时满足，求出
的取值范围，当
时，列出不等式
组求出
的取值范围，结合两种情况求出
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，
因为
，且满足
，
，
所以当
时满足
，
此时
，解得
，
当
时，则有
，
解得
,综上，
，
即实数
的取值范围为
．
故选：A．
4．（24-25 高三上·上海·期中）设
，
令
，若存在实数
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题知
的值域为
，可得
的值域为
的真子集即可求
的取值范围.
【详解】易知函数
，
的值域为
，
若函数
的值域为
，存在实数
，则
的值域不为
，
即使函数
，
的值域为
的真子集即可；
利用二次函数性质可知当
或
时，函数值为0，如图，
所以根据图象可知
，即
的取值范围为
.
故答案为：
.
5．（24-25 高三上·安徽·期中）已知集合
，集合
，
若
，则
的最小值为 ，
的最大值为 ．
【答案】
【分析】令
，将
用
表示，由
求出的取值范围即可得解.
【详解】令
，由
，得
，
则
，显然
，则
，而
，当且仅当
时取等号，
因此
，
而
，因此
，解得
，
即
，当且仅当
时取等号，由
，得
，
所以
的最小值为2，
的最大值为
.
故答案为：2；
【点睛】关键点点睛：令
，将给定等式用
表示，再结合基本不等式建立不等关系是求解
的关系.
题型三 集合的交并补运算及容斥原理
【技巧通法·提分快招】
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
1．（2025·新疆喀什·二模）已知集合
，
，
且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求解集合
，再得到
，然后根据
，即可求解实数
的取值范围.
【详解】因为
，所以
或
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：
.
2．（24-25 高三下·陕西西安·模拟预测）已知全集
，集合
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对A，由题可得
是
的真子集，可判断；对B，根据集合
和集合
的意义判断；对C，由
可判断；对D，由集合
表示非负偶数的集合，集合
表示能被4 整除的非负整数，结合补集和并集
运算判断.
【详解】对于A，因为
，当
是偶数，令
，
，此时
，
当
是奇数，令
，
，此时
，
所以
，所以
，故A 错误；
对于B，因为集合
表示非负偶数的集合，集合
表示能被4 整除的非负整数，
表示自然数中除去被4 整除的数，所以
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
不含偶数，
不含被4 整除的数，所以
不含被4 整除的数，故D 错误.
故选：C.
3．已知全集
，集合
，
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意作出Venn 图，再由集合的运算逐一判断即可.
【详解】全集
，集合
，
满足
，绘制Venn 图，如下：
对于A：
，A 错误；对于B：
，B 错误；
对于C：
，C 正确；对于D：
； D 错误；
故选：C.
4．（24-25 高三上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体
育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25 名同学选择球类项目A，20 名同
学选择径赛项目B，18 名同学选择其他健身项目C；其中有6 名同学同时选择A 和
名同学同时选择A
和C，3 名同学同时选择B 和
.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个
班同学人数是（ ）
A．51
B．50
C．49
D．48
【答案】B
【分析】根据题意，结合venn 图，列式运算得解.
【详解】
由题意，
，
，
，
，
，
，
因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，
所以这个班同学人数是
.
故选：B.
5．（24-25 高三上·上海徐汇·开学考试）2024 届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50
名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15 人这三支队伍都支持，
18 人不支持德国，20 人不支持西班牙，16 人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为
【答案】16
【分析】不妨设支持德国与西班牙的有
人，支持德国与英格兰的有
人，支持西班牙与英格兰的有
人，
只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为
，
，，结合
图列式计算即得.
【详解】不妨设支持德国与西班牙的有
人，支持德国与英格兰的有
人，支持西班牙与英格兰的有
人，
只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为
，
，，如图，
则
，由18 人不支持德国，得
，
由20 人不支持西班牙，16 人不支持英格兰，得
，
，
则
，因此
，
所以同时支持两支队伍的同学的人数为16 人.
故答案为：16
6．已知满足
（
且
）的有序集合组（A，B）的个数
为32，则
．
【答案】3
【分析】由题意作出韦恩图，根据集合的运算，结合计数原理解题即可.
【详解】由题意作出韦恩图如图，因为
，
所以全集
中不属于交集的元素有
个，
剩余的元素属于集合
或
，但不能同时属于两者，
每个剩余元素有两种选择，因此总分配方式为
，
所以
，解得
．
故答案为：3
题型四 集合的新定义
【技巧通法·提分快招】
解决以集合为背景的新定义问题的关键点
（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要
求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相
关性质求解.
1．（24-25 高三上·北京海淀·开学考试）设集合
． 对于集合
的子集
A，若任取A 中两个不同元素
，有
，且
中有且只有一个为
，则称A 是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素
B．一个“好子集”中最多有
个元素
C．一个“好子集”中最多有
个元素
D．一个“好子集”中最多有个元素
【答案】A
【分析】不妨设
，则
三者为1 或0，分类讨论，确定，一个“好子集”中最多
有个元素.
【详解】
中有且只有一个为
，不妨设
，
则
三者为1 或0，
若
三者均为0，则此时A 中只有1 个元素，即
，
不合要求，舍去，
若
三者中有1 个0，则
，有3 个元素，满足要求，
若
三者中有2 个0，或没有0，则此时不满足
，
综上，一个“好子集”中最多有个元素.
故选：A
2．（24-25 高三上·上海·期中）已知集合
，若对于任意实数对
，存在
，使
成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①
；
②
；
③
④
；
其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义
可判断③④,即可得答案.
【详解】对于①，
，
为偶函数，定义域为
，
对于任意实数对
，
则存在
，满足
，集合M 是“垂直对点集”；
对于②，
，取实数对
,
假设存在
，使
成立，则
，与
矛盾，
即
不是“垂直对点集”；
对于③，
,作出函数
的图象如图，
图象过点
，向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线
，
在
的图象上任取一点
，连接OA，作
，
则OB 总与函数图象相交，设交函数图象于
，
即对于任意实数对
，总存在
，使得
成立，故集合M 是“垂直对点
集”；
对于④
，作出函数
的图象如图，
图象向左向右无线延伸，
在
的图象上任取一点
，连接OA，作
，
则OB 总与函数图象相交，设交函数图象于
，
即对于任意实数对
，总存在
，使得
成立，故集合M 是“垂直对点
集”；
故集合M 是“垂直对点集”的有3 个，
故选：D
3．（24-25 高三上·北京·模拟预测）设集合
是实数集
的子集，如果
满足：对任意
，都存在
，使得
，称
为集合
的聚点，则在下列集合中，以0 为聚点的集合有（ ）
①
②
③
④
A．①②
B．①③
C．②③
D．①③④
【答案】B
【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案.
【详解】对于①
，对任意
，都存在
，
使得
，故0 是集合
的聚点；
对于②
，取
，此时对于任意
，
都有
，即
不可能成立，故0 不是集合
的聚点；
对于③
，对任意
，都存在
，即
，
使得
，故0 是集合
的聚点；
对于④
，
，即
随n 的增大而增大，
故
的最小值为
，故当
时，不存在x，使得
，
故0 不是集合
的聚点；
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义.
4．（23-24 高三下·江西南昌·模拟预测）在整数集
中，被除所得余数为
的所有整数组成一个“类”，
记为
，即
，则下面选项正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．整数
属于同一“类”的充分不必要条件是“
”
【答案】C
【分析】求
被除的余数，判断A，求
被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断
C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D.
【详解】对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，每个整数除以后的余数只有
，没有其他余数，
所以
，又
，
故
，C 正确；
对于D，若
，
则
，
若
，则
，
不妨设
，
则
，
所以
，
，
所以
除以后余数相同，
所以
属于同一“类”
所以整数
属于同一“类”的充要条件是“
”，D 错误；
故选：C.
5．（24-25 高三上·江西南昌·期中）已知有穷数列
的各项均为正整数，记集合
的元素个数为
.
(1)若数列
为
，试写出集合
，并求
的值；
(2)若
是递增数列且
，求证：
是等比数列；
【答案】(1)
，
.
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由
的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由
的定义以及等比数列的定义，代入计算，即可证明.
【详解】（1）因为
，
所以集合
，所以
.
（2）证明：因为是递增数列，且
，
因为是递增数列，所以
，
所以
且互不相等，所以
，
又因为
，
所以
且互不相等，所以
所以
，
所以
，
所以
，所以为等比数列.
6．（2025·山东临沂·二模）对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
【答案】(1)
(2)4
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据定义直接写出结果即可；
（2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；
（3）对任意元素
，可证
或
，故可证题设中的不等式.
【详解】（1）因为
中的元素是要么只属于
，要么只属于
，
所以
；
（2）设
，则
，因为
，
故符合条件的
的个数为
.
（3）对任意元素
，因为
恰属于集合
之一，不妨设
且
．
若
，则
；若
，则
．
故
，从而
．
因此
，结论成立．
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合
，
，
、
是
的非空子集.记集合
除以
的余数
.若正整数
满足：存在非空集合
、
，使得
两两的交集
为空集，且
，则称
为“好的”.
(1)设
，
，当
时，求
，并直接判断
是否为“好的”；
(2)证明：
是“好的”，
是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【答案】(1)
，
是“好的”
(2)证明见解析
(3)除、
、
外的正整数
【分析】（1）根据题中定义可求出集合
，并由此作出判断；
（2）当
时，取集合
，
；当
时，取集合
，
，结合
题中定义验证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数
是“好的”，则
也是“好的”，再证：
为奇数是“好的”，
不是
“好的”，同理易知
，
不是“好的”，由此可得出结论.
【详解】（1）当
时，由题中定义可得
，且
，故
是“好
的”.
（2）
时，取
，
，则
的值为
、
、、，除以8 的余数为4，7，5，0.
所以
，此时
，合乎题意；
时，取
，
，
的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16 的余数为4，7，12，15，5，
8，13，0.
所以
，则
，满足条件.
故
是“好的”，
是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数
是“好的”，则
也是“好的”.（*）
事实上，若正整数
是“好的”，
设
，
，
，此时集合
、
满足
时条件.
时，考虑
，
，
则
也满足条件，（*）得证.
②再证：
为奇数是“好的”.（**）
事实上，取
，
，则
满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4 外的正整数均为“好的”.
③再证：
不是“好的”.
对集合
，记
为
中元素个数，由条件，
.
若
，则
，矛盾.
若
或
，则
，则
，矛盾.
于是
不是“好的”.
同理易知
，2 不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4 外的正整数.
8．（2025·湖北武汉·二模）已知集合
，集合B 满足
．
(1)判断
，
，
，
中的哪些元素属于B；
(2)证明：若
，
，则
；
(3)证明：若
，则
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于
即可；
（2）先证明若
，
，则
，即可得到
，从而得证；
（3）依题意可得
，从而求出
，再说明
即可.
【详解】（1）因为
，所以
；
因为
，所以
；
因为
没有倒数，所以
；
因为
，所以
；
综上可得
，
.
（2）先证明：若
，
，则
；
设
，
，
为整数，
所以
，
由于
，
都是整数，所以
，
当
，
时，
，
，所以
，所以
；
（3）因为
，
所以
，
所以
，
都是整数，
所以
为整数，
所以
，
假如
，则
，则
应为的倍数，
设
为整数，若
，则
不是的倍数；
若
，则
不是的倍数；
若
，则
不是的倍数；
所以
，即
.
题型五 常用逻辑用语中的参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数
的不等式（组）求解.
（2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能
够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解.
2、根据命题的真假求参数的值（范围）的思路
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类
问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式
（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围.
1．（2025·北京·二模）设平面向量
与
不共线，
，则“
与
共线”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据共线定理可得
，由
与
不共线，得
且
，即可结合充要
条件的定义求解.
【详解】若
与
共线，则存在实数
，使得
，即
，
由于平面向量
与
不共线，所以
且
，故
，
因此“
与
共线”是“
”的充要条件，
故选：C
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意得到
是
的真子集，比较区间端点，即可求解.
【详解】
，
，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
是
的真子集,
可得
，等号不同时成立，结合
，解得
，
所以
的取值范围为
，
故选：B
3．（23-24 高三下·河北沧州·模拟预测）若
，
函数
为奇函数，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将
值代入函数
，根据奇函数的定义式
是否成立来判断充分性；由奇函数的
定义式
来构造方程求参数
的值，从而判断必要性.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
所以此时
是奇函数，
所以p 是q 的充分条件.
若
是奇函数，则
，
即
，所以
，即
所以p 是q 的不必要条件.
综上得：p 是q 的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“
，都有
”为真命题，则
的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题目条件可得出：命题：“
，都有
”为真命题；再构造函数
，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果.
【详解】因为命题：“
，都有
”为真命题，
所以命题：“
，都有
”为真命题.
令
，
.
则
.
因为
，
所以
，
所以函数
为增函数.
又因为
，
所以
.
故选：B.
5．（24-25 高三下·江苏盐城·模拟预测）已知命题
为假命题，则a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】写出
为真命题，求出
为偶函数且
为函数的一个
周期，求出
，
，得到答案.
【详解】由题意得
为真命题，
令
，则
定义域为R，
，
故
为R 上的偶函数，
又
，
所以
为
的一个周期，
当
时，
，
因为
，所以
，所以
，
故
在R 上的值域为
，
所以a 的取值范围为
.
故选：C
6．（24-25 高三上·浙江杭州·期中）已知
，若命题“
或
”为真命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】从
作为题目切入点，分段讨论x 的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，
最后综合即可得答案.
【详解】
解得
，此时无论
取何值，均符合题意；
当
时，
，只需
，
解得
或
；
当
时，
，由题中条件，只需
对于
恒成立，
当
时，
不符合题意；
当
时，
图象为开口向上的抛物线，
不能满足
对
恒成立，不符合题意；
当
时，
的2 个根为
，
需
，结合
，可得
，
综合上述可知
的取值范围是
，
故选：B.
【点睛】将
作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论
的范围分类讨论求解；
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简集合A，B，再由集合的并集、补集运算求解.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
故选：C
2．已知集合
，且
，若命题
“
”是真命题，
则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若命题p 为真，则集合B 中所有的元素都在集合A 中，即
.又
，所以
解
得
，故
.
3．已知集合
有且仅有1 个真子集，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由集合的真子集个数,判断出集合
中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解
即可.
【详解】由集合
有且仅有1 个真子集，可得集合
中有且只有一个元素，
所以方程
有2 个相等的实数解，
即
，解得
，
所以实数
的取值集合为
，
故选：B.
4．（24-25 高三下·北京海淀·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将
分别变形，然后根据数值的奇偶判断出
的关系.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
表示所有奇数，
表示部分奇数，
所以
.
故选：
.
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集
，若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．3
C．-1 或-3
D．1 或3
【答案】D
【分析】求出A 中方程的解确定A，再由A 的补集与B 的交集为空集，确定A 与B 的包含关系进行分类讨
论，即可确定m 的值.
【详解】因为方程
的判别式
，
所以
，
根据题意得到集合
，
，
即
，
，
因为
，所以
，
所以
或
，
若
，则
，解得
，
若
，则
，解得
，
所以
或
.
故选：D.
6．（24-25 高三上·湖北·模拟预测）向50 名学生调查对
两事件的态度，有如下结果：赞成
的人数是
全体的五分之三，其余的不赞成；赞成
的比赞成
的多3 人，其余的不赞成；另外，对
都不赞成的
学生数比对
都赞成的学生数的三分之一多1 人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成
的不赞成
的有9 人
B．赞成
的不赞成
的有11 人
C．对
都赞成的有21 人
D．对
都不赞成的有8 人
【答案】B
【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可.
【详解】赞成A 的人数为
，赞成B 的人数为
.记50 名学生组成的集合为U，赞成事件
A 的学生全体为集合A，赞成事件B 的学生全体为集合B.如图所示，
设对事件A，B 都赞成的学生人数为x，
则对A，B 都不赞成的学生人数为
.赞成A 而不赞成B 的人数为
，
赞成B 而不赞成
的人数为
.依题意
，解得
.
所以赞成A 的不赞成B 的有9 人，赞成B 的不赞成A 的有12 人，对A，B 都赞成的有21 人，对A，B 都
不赞成的有8 人.
故选：B
7．（24-25 高三上·吉林长春·期中）已知集合
，集合
，集
合
，则以下元素属于集合
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合的运算求得
，各选项逐个验证即可.
【详解】由题意，
，
又
，则
，
对于A，元素
不符合
，所以
不属于
，故A 错误；
对于B，元素
不符合
，所以
不属于
，故B 错误；
对于C，元素
符合条件，所以
属于
，故C 正确；
对于D，元素
不符合
，所以
不属于
，故D 错误.
故选：C.
8．“存在
，使得
”是“
为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可.
【详解】必要性：若
为等差数列，设其公差为
，则
，
故存在
，使得
，故满足必要性；
充分性：若存在
，使得
，
则
，两式相减可得
，
所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列
不一定是等差数列，
如
时，数列
，故不满足充分性.
所以“存在
，使得
”是“
为等差数列”的必要不充分条件，
故选：B
9．（2025·河北秦皇岛·三模）已知全集
，集合
，
，
是全集
的三个子集，定义：
表示集合
中元素的个数，若
，
，则所有的有序子集列
有（ ）
A．360 个
B．640 个
C．960 个
D．1920 个
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算.
【详解】由
，得从全集
中选择3 个元素分别作为
中的元素，
不同方法种数是
，
余下的两个元素中的每一个元素只能是属于
中的一个或都不属于这3 个集合，
因此余下的两个元素中的每一个元素都有4 种不同的选择方法，
所以所有的有序子集列
有
个.
故选：C
10．（2025·北京东城·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】先验证充分性，由已知可得
或
，即可知
之间的关系；再验证必要性，
根据
之间的关系，结合诱导公式即可判断.
【详解】充分性：因为
，所以
或
，
当
时，
或
，
，
当
时，
或
，
，
可得
或
，所以充分性不成立，
必要性：若
，
当
为偶数时，设
，则
，
则
，满足
，
当
为奇数时，设
，则
，
则
，满足
，
所以必要性成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
11．（2025·四川绵阳·三模）（多选题）已知集合
，对于
中的任意两个元素
都有
，则集合
的元素个数可以为（ ）
A．4 个
B．7 个
C．9 个
D．10 个
【答案】AB
【分析】通过对集合
中元素满足的不等式进行变形，分析元素之间的关系，利用函数单调性来确定集合
中元素个数的上限，并通过举例验证元素个数的可能性.
【详解】当
时，不满足集合元素的互异性，排除.
不妨设
（
效果一样），已知
，则
.
将其变形为
关于
的表达式：
，移项可得
，进一步得到
.
因为
且
，所以
，那么
.
由此可知
，所以集合
至多有
中的一个整数，若有两个，取较小者为
，会与不等式矛盾.
令
，对
求导，可得
，所以
在
上是递增函数.
假设存在
且
，令
，
，
由
的单调性可知
，这与
矛盾，
所以
中至多只有
中的一个整数.
因为
，所以集合
至多只有
中的一个整数.
因为
，所以集合
至多有
中的一个整数.
因为
，所以集合
至多有
中的一个整数.
又因为
，
，
，所以集合
中可以同时存在，
，.
综上，集合
至多有
个元素.
，
符合条件，说明集合
的元素个数可以是
个或
个.
故选：AB.
12．（2025·浙江绍兴·模拟预测）（多选题）已知集合
，若对于任意
，以
及任意
，满足
，则称集合
为“一字集”，记
为“一字集” ，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】理解“一字集”的定义，根据该内涵对每个选项进行分析判断.
【详解】对于选项A：
任取两点
在该单位圆内，
则线段
的所有点均满足
，
因此属于该集合，A 正确.
对于选项B：
取特殊值进行排除，假设两点
，令
，
则它们的中点
不满足
，所以B 错误.
对于选项C:
设
，因为
,
所以对于任意
，满足
.
又因为
,所以对于任意
，满足
.
所以
，所以
.所以C 正确.
对于选项D：
若
,设
，
.
那么
.
因为
,所以
.
则
.
所以选项D 正确.
故选：ACD.
13．（24-25 高三上·安徽铜陵·模拟预测）已知集合
，
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合
，根据
，即可得到
满足的条件，
求出结果；
（2）结合（1）中的两集合，根据
是
的必要不充分条件，可得
是
的真子集，然后列出不等
式，即可求出结果.
【详解】（1）由题知，
，
，
令
，可得
，解得
或
，
令
，解得
，
，
则
或
，
，
若
，则
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
（2）由（1）知，
或
，
，
若
是
的必要不充分条件，则
是
的真子集，
所以
或
，
解得
或
，
即实数
的取值范围为
.
14．（24-25 高三下·河南·模拟预测）已知有限集合
（
，
），若
，则称A 为“完美集”.
(1)已知
，
，
，
，
成等差数列，若集合A 为“完美集”，求
；
(2)已知
，是否存在首项为3 的等比数列
，使得集合A 为“完美集”，若存在，求集合A；若不
存在，说明理由；
(3)已知
，且集合A 为“完美集”，求A.
【答案】(1)－2
(2)不存在，理由见解析
(3)
或
【分析】（1）根据“完美集”的定义与等差数列性质即可求得结果.
（2）根据“完美集”的定义得到等式
，解得
，不符合题意，得到结果.
（3）根据题干，设
，若集合A 为“完美集”，
则
，再对n 分情况讨论即可.
【详解】（1）依题意
，
，
，解得
；
（2）设数列
的公比为q，依题意
，
，
，
因为集合A 为“完美集”，所以
，
整理得
，解得
，不符题意，
所以不存在首项为3 的等比数列
，使得集合A 为“完美集”；
（3）设
，若集合A 为“完美集”，
则
，
易知
，
，
，当
时，
，
当
时，显然不符题意；
当
时，不妨设
，
，故
，所以
；
当
时，因为
，所以
，符合题意；
当
时，
，不符题意；
综上，
或
.
【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运
算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息
的迁移，达到灵活解题的目的.
15．（2025·河南·二模）已知一个非空数集A，对
，且
，记B 为A 去掉x，y 后的集合，若有
或
，则称A 是一个好集合．对于一个非空数集P，对
，且
，记Q 为P 去
掉x，y 后的集合，若有
或
或
，则称P 是一个坏集合．
(1)证明：集合
不是好集合；
(2)若A 是好集合，证明：存在一个与A 中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P；
(3)证明：不存在有限的好集合A，满足A 中的元素均为正实数，且A 中的元素个数为大于5 的奇数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义，举例说明即可；
（2）根据好集合的特点和坏集合的定义可证结论；
（3）利用反证法，假设存在这样的有限集A 符合题意，得出矛盾，可证结论成立.
【详解】（1）取
，
，记
，则
，
，故A 不是好集合．
（2）记集合
，则P 中元素均为正数，且与集合A 中元素个数相同，下证P 为坏集合，
因为A 为好集合，所以
，且
，都有
或
（其中B 为A 去掉a，b 后的集合），
设Q 为P 去掉
，
后的集合，此时
，
，
，
若
，则
；若
，则
与
必然有一个属于Q，故P 为坏集合，命题得证．
（3）假设存在这样的有限集A，使得A 中的元素均为正实数，元素个数为大于5 的奇数，且A 为好集合，
则设
，且
，
，
因为
，设B 为集合A 去掉元素
，
，
后构成的集合，
所以只能
，考虑
，这
个数均属于A，且各不相同，均小于
，
所以
，
，…，
，
因为
，故
，
若
，即
，矛盾，故
，
又因为
这
个数属于A，且均小于
，
所以
，…，
，即
，
，
再考虑A 集合中去掉
与
记为集合
，
因为
，所以
，即
，所以只能
；
又
，故矛盾，所以原假设不成立，
即不存在有限的好集合A，满足A 中的元素均为正实数，且A 中的元素个数为大于5 的奇数．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25 高三下·上海·模拟预测）已知
、
、
为三角形的三个内角，则“
”是“角
为直角”的（ ）条件
A．充分必要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断可得答案.
【详解】当
时，由
得，
，
令
，则
，
，
根据零点存在性定理可知，关于
的连续函数
在
上有零点
，
∴
，
满足条件
，但角
不是直角，
∴由
不能得到角
为直角.
当角
为直角时，
，
，
∴
，
∴由角
为直角能得到
.
∴“
”是“角
为直角”的必要不充分条件.
故选：C.
2．我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设
是线性空间
到自身的一个变换，将
中所有能被
变换为零向量的向量组成的集合称为变换
在
上的核，记作
．已知线性空间
，对任意
，变换
满足
，则
中的元素个
数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出
，再求出
中零向量个数即可得解.
【详解】对任意
，
且
，
则
，令
，得
，
则
，得
，又
，则
，
令
，得
，解得
，且
，即
且
，
又
，因此
，
于是变换
将
中的元素变换为零向量的
，
所以
中的元素个数为4.
故选：C
3．（24-25 高三上·上海宝山·模拟预测）命题P：
的是命题Q：
的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】将命题P：
去掉绝对值符号，分四种情况讨论，得出命题Q：
不一定成立，即
是
的不充分条件；将命题Q：
变形为
后，分
或
情况讨论，得
出
不一定成立，即
是
的不必要条件.
【详解】命题Q：
可变形为
，即
，
即
，即
或
.
( )当
时，有
和
两种情况，此时
不一定成立，故
是
的不必要条件；
(
)当
时，有
和
两种情况，此时
不一定成立，故
是
的不必要条件；
综上两种情况可知，
是
的不必要条件；
命题P：
,去掉绝对值符号，有以下四种情况：
( )当
，即
时，
，
，即
，
故
是
的不充分条件；
(
)当
，即
时，
，
，即
，
故
是
的充分条件；
( )当
，即
时，
，
，即
，
故
是
的充分条件；
(
)当
，即
时，
，
，即
，
故
是
的不充分条件；
综上四种情况可知，
是
的不充分条件；
所以
是
的即不充分也不必要条件.
故选：D
4．（2025·山西·二模）（多选题）记
表示
个元素的有限集合，
表示
非空数集
中所有元素的和.若集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
的最小值为14
【答案】ABD
【分析】根据所给定义判断A、B，依题意可得
，再由等差数列求和公式判断C，
依题意可得
，由等差数列求和公式求出
，即可判断D.
【详解】对于A：由题可知
，故A 正确；
对于B：由
，知
的所有可能为：
，
则
分别为
，所以
，故B 正确；
对于C：因为
，
所以
，所以
，故C 错误；
对于D：因为
，所以
，
所以
，
又当
时，
，当
时，
，
所以满足
的
的最小值为
，故D 正确.
故选：ABD
5．（24-25 高三下·重庆·期中）按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为
；已
知全集
的子集
满足
.若
恰有两个元素，则这样的集合列
有 个；所有满足条件的集合列
有 个.
【答案】 96 625/
【分析】对于空①：先利用组合确定
的不同的可能种数，然后结合集合的交并运算，利用乘法计数原理
得到对于
的每一种确定的情况，集合列
的不同种数，进而利用乘法计数原理求得集合列
的不同种数，得到空①的答案；类似空①的求解过程，得到
的元素个数为0，1，2，3，4 的
各种情况下的集合列
的不同种数，然后根据加法计数原理求和，并利用二项式定理化简计算得
到空②的答案.
【详解】空①：
有2 个元素，是从
中任选2 个数字，有
种不同的可能；
由于
，所以
中必须而且只需包含没有被
选中的2 个元素；
其余的2 个元素都可以任意的在或不在
中，各有4 种不同的处置方法，
每种方法都确保了集合列
的不同，
从而有
种不同的处置方式，得到集合列
的16 种不同的结果，
所以集合列
有
种不同的结果.
空②：类似空①的过程，可知当
时，
集合列
有
个不同的结果，
因为
，
所以所有满足条件的集合列有625 种不同的结果.
故答案为：96；625.
6．（24-25 高三下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中
的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如
的“交替和”是
的“交替和”是5.
(1)求集合
的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合
，求集合
所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合
，其中
求集合
所有非空子集的交替和的总和.
【答案】(1)12；
(2)672；
(3)
.
【分析】（1）先求出集合
的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替
和”的和；
（2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；
（3）将集合
的所有非空子集分类，并将含有3 的多元素子集与不含有3 的非空子集配对求出每对集合
的“交替和”的和，再加上单元素集
的“交替和”即可.
【详解】（1）集合
的非空子集有
，
根据题意，集合
的交替和分别为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
所以，集合
的所有非空子集的交替和的总和为
.
（2）集合
的所有非空子集中，考虑数字1 在子集中出现的情况，
相当于从剩下的5 个元素中选取若干个元素与1 组成子集，那么1 出现的次数为
次.
同理，每个元素出现的次数为
次，
所以，集合
所有非空子集的元素和的总和为
.
（3）集合
，其非空子集有
个，
将这些非空子集分为3 类：第一类，含元素3 的单元素集
，有1 个，其“交替和”为3；
第二类，含元素3 的多元素集合（至少两个元素），有
个；
第三类，不含元素3 的非空集合，有
个，
将第二类中的集合
与第三类中的集合
（集合
中的元素去掉元素3 构成的新集合）配对，
则集合
与集合
的“交替和”的和始终为3，
如取
，则
，集合
与集合
的“交替和”的和为
，
这样的配对共有
组，因此集合
的所有非空子集的“交替和”的总和为
.
