文档文本内容
培优专题 05 导数 7 大重难题型
题型01极值问题
抓关键 · 破难点
首先求定义域，再对函数求导并化简通分，找到导数为零或不存在的点；接着用列表法判断导数在临界
点左右的符号变化，由“左正右负得极大值，左负右正得极小值”确定极值类型，最后代入原函数算出
极值并注明对应的x值。
含参函数的极值问题，需先按参数范围分类讨论导数零点的存在性与大小关系，再逐一判断单调性与极
值；若已知极值求参数，先利用“极值点处导数为0、极值点左右变号”列方程求解，再检验确保该点两
侧符号相反，避免出现“导数为0但不是极值点”的增根，保证结果严谨可靠。
刷经典 · 通方法
1．（2026高三·北京·专题练习）已知函数 .(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 处取得极小值，求 的值；
2．（2026·北京海淀·一模）设函数 （ ）.
(1)当 时，求证：直线 是曲线 的切线；
(2)求 的单调区间；
(3)判断函数 是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由.
3．（2025·26高三上·北京·开学考试）已知函数 ．
(1)求证：曲线 在点 处的切线一定经过点 ；
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)记 ，是否存在实数 ，使得函数 与 在 处同时取得极值，若存在，求出 的
值，若不存在，说明理由．4．（2025·26高三上·北京延庆·月考）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值；
(2)证明：当 时，曲线 不存在斜率小于零的切线；
(3)若函数 存在极值，求 的取值范围.
5．（2025·26高三上·北京·月考）已知函数 ，
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值；
(2)若 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
(3)求证：当 时， 存在极大值，且极大值小于 ．
6．（2025·26高三上·北京·月考）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；(3)若 ，求证：函数 在 上有极大值 ，且 ．
题型02恒成立问题
抓关键 · 破难点
常用方法：
（1）分离参数法：若 对 恒成立，则只需 ；
若 对 恒成立，则只需 ；
（2）分类讨论法：①首先可以把含参不等式整理成适当形式如 、 等；
②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；③得出结论；
（3）构造函数法：①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左
右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：
、 、 、 、 、 ，有时也需要对两边同
时加、乘某式等.
刷经典 · 通方法
7．（2025·26高三上·北京房山·月考）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．8．（2026·北京平谷·一模）已知函数 ．
(1)当 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 极值点的个数；
(3)若对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围．
9．（2025·26高三上·北京海淀·月考）已知函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性：
(3)若对定义域内的任意 ，都有 恒成立，求整数 的最小值.
10．（2026·北京延庆·一模）已知函数 ， ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)是否存在a，使得不等式 恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由．11．（2025·26高三上·北京昌平·期末）设函数 （ ）.
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的极值点的个数，并说明理由；
(3)若 ， 成立，求a的取值范围.
12．（2025·26高三上·北京顺义·月考）已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：当 时， ；
(3)若 恒成立，求实数 的值．
题型03能成立（有解）问题抓关键 · 破难点
常用方法：
（1）分离参数法： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
（2）分类讨论法：①首先可以把含参不等式整理成适当形式如 、 等；
②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；③得出结论；
（3）构造函数法：①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左
右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：
、 、 、 、 、 ，有时也需要对两边同
时加、乘某式等.
刷经典 · 通方法
13．（2026·北京石景山·一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 是 上的单调递增函数，求 的值；
(3)若存在 ，使得 成立，求 的取值范围.
14．（2024·25高三上·北京海淀·月考）已知函数 ，其中 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值；
(3)若关于x的不等式 在 上有解，求实数a的取值范围．15．（2026·北京丰台·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，证明：当 时， ；
(3)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
16．（2023·北京·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 存在极值，求实数 的取值范围；
(3)求证：对任意 ，都存在 ，使得 ．17．（2025·北京海淀·三模）已知 ．
(1)当 时，求函数 的极值点和极值；
(2) 时，求函数 在 上的最小值；
(3)若不等式 的解集非空，求a取值范围．
18．（2024·25高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的最小值；
(2)设函数 ，求函数 的单调区间；
(3)若在区间 上存在 ，使得 成立，求 的取值范围．
题型04不等式的证明
抓关键 · 破难点
基本证明步骤1.作差或变形：对原不等式移项、通分等，或直接作差转化为“函数值与0的关系”；
2.构造新函数：按上述构造方法，搭建辅助函数；
3.分析函数性质：用导数研究函数的单调性、极值或最值；
4.推导结论：结合函数性质，证得不等式。
特殊处理：若构造的函数难用导数求解，可分别求不等式左右两端函数的最值，通过“左式最小值>右式
最大值”证明。
刷经典 · 通方法
19．（2025·26高三上·北京·月考）已知 .
(1)曲线 在点 处的切线为直线 ，记 的斜率为 ，比较 与 的大小；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： .
20．（2024·25高三上·北京房山·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)当 时，求证： ；
21．（2024·25高三上·北京·月考）已知函数 .(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若 ，证明：当 时， .
22．（2025·北京顺义·一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，求证： 是 上的单调递减函数；
(3)求证：当 时， .
23．（2024·25高三上·北京东城·月考）已知函数 （其中 ）.
(1)当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，且函数 有极大值点 ，求证： .24．（2024·25高三上·北京·月考）已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)判断 的零点个数，并说明理由；
(3)证明：函数 的图象在直线 的下方.
题型05零点与方程根
抓关键 · 破难点
（1）利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等函数零点的个数(或方程根的个
数)问题的一般思路:
①可转化为用导数研究其函数的图象与 轴(或直线 )在该区间上的交点问题;
②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;
③结合图象求解；
（2）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函
数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往
往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅
助解题.
刷经典 · 通方法
25．（2025·26高三下·北京·月考）已知函数 ， .
(1)当 时，
①求曲线 在 处的切线方程；②求证： 在 上有唯一极大值点；
(2)若 没有零点，求 的取值范围.
26．（2024·25高三上·北京房山·期末）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(3)求证：存在实数 ，使方程 有正实根.
27．（2025·26高三上·北京东城·期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 在区间 上的极值点的个数；
(3)若函数 在区间 上有唯一零点 ，证明： .28．（2025·26高三上·北京·月考）已知函数 .
(1)求证：曲线 在点 处的切线总与直线 平行；
(2)函数 在区间 上存在极值点，
（i）求 的取值范围；
（ii）求 在区间 上的零点个数.
29．（2025·26高三上·北京朝阳·月考）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 是函数 的极值点，
（i）证明： 的取值范围是 的子集；
（ii）求 在区间 内的零点个数.
30．（2025·26高三上·北京平谷·开学考试）已知函数
(1)求函数 在 处的切线方程；(2)求函数 的单调性区间；
(3)若函数 ， 有2个零点，求a的取值范围.
题型06双变量问题
抓关键 · 破难点
导数双变量问题的常用解法
（1）消元法：若两个变量恰好是某一元二次方程的根，便可借助根与系数的关系（韦达定理）完成消
元。通过韦达定理能求出相关表达式，此时可考虑用其中一个变量表示另一个变量，从而实现变量数量
的简化。
（2）构造函数法：针对等价形式的双变量不等式问题，可先设定一个中间量（例如令某一特定式子为
t），再对不等式进行适当变形，使变形后的等式两边不仅各自只含一个变量，还具备完全相同的表达式
结构。此时将这个相同的结构定义为一个新函数，问题通常就能转化为研究该新函数的单调性问题。
（3）换元法：这是解决双变量问题最核心、也最常用的方法。具体操作是先将原式进行齐次化处理，把
式子转化为类似 或 的形式；完成齐次化后，令 或 作为单一变量，以此达到减
少变量数量的目的。
（4）变换主元法：当题目中有多个变量时，可选择其中一个变量作为主元，将其他变量视为常数，将问
题转化为关于主元的函数问题进行求解。
在解决多变量问题时，需仔细分析题目条件，灵活选用合适方法，将复杂的多变量问题转化为熟悉的单
变量问题进行求解。
刷经典 · 通方法
31．（2024·北京·三模）已知 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 存在两个不同的极值点 ，求证： ．32．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域是 ，导函数 ，设
是曲线 在点 处的切线．
(1)求 的最大值；
(2)当 时，证明：除切点A外，曲线 在直线 的上方；
(3)设过点A的直线 与直线 垂直， ， 与x轴交点的横坐标分别是 ， ，若 ，求 的
取值范围．
33．（2023·24高三下·北京·开学考试）已知 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)设 ，求 的单调区间；
(3)求证：当 时， .34．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若 时， ，求a的取值范围；
(3)若函数 有两个极大值点 ，求 的范围.
35．（2025·26高三下·北京·开学考试）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的最小值；
(3)函数 ，当 时，求证：对任意的 ，且 ，有
．
题型07与面积结合问题刷经典 · 通方法
36．（2024·25高三上·北京朝阳·月考）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的零点.
(2)若 使得 成立，试求 的取值范围
(3)当 在点 处的切线与函数 的图象交于点 时，若 的面积为
，试求 的值．
37．（2026·北京西城·一模）已知函数 ，直线l为曲线 在点 处的切线．O
为坐标原点．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 ，研究函数 的零点个数；
(3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且 为等腰直角三角形，求 的面积．
38．（2025·北京丰台·一模）已知函数 ，直线l是曲线 在点 处的切线.
(1)当 ， （ 为自然对数的底数）时，求l的方程；(2)若存在l经过点 ，求实数a的取值范围；
(3)当 时，设点 ， ，B为l与y轴的交点， 表示 的面积.求 的
最小值.
39．（2025·26高三上·北京·月考）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)求证： 不经过点 ；
(3)当 时，设点 ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？（参考数
据： ）
