文档文本内容
专题 01 集合、逻辑用语与复数
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
2026 年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上
海卷； 以交、并、补、子集等基础运算
2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上 为基础；新定义、点集类创新题
考点01 海卷； 占比提升；常结合函数、数列、
集合 2024年：新课标卷、全国Ⅰ卷、北京卷、天 平面区域跨模块命题，重点考查
津卷、上海卷； 数形结合，部分试卷设置难度较
题型包含选择、填空、解答题，为连年必考 高的压轴小题与综合大题。
考点
2026年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上
海卷； 核心考查充分必要条件、命题真
2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上 假与命题否定；素材融合向量、
考点02常
海卷； 数列、函数、立体几何等知识；
用逻辑用
2024年：新课标Ⅱ卷、全国甲卷、北京卷、 新定义题型频繁出现，着重考查
语
天津卷、上海卷； 逻辑推理能力，题目灵活性较
以选择题为主，部分试卷结合解答题综合设 强。
问
2026年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上
海卷； 基础考点为复数四则运算、虚
2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上 部、共轭复数、模长计算；复数
考点03复 海卷； 几何意义成为考查热点，新增距
数 2024年：全国甲卷、新课标Ⅱ卷、全国Ⅰ 离、最值类综合小题；整体计算
卷、北京卷、天津卷、上海卷； 难度适中，注重数形结合思想的
仅考查选择、填空题，部分试卷设置多选 运用。
题，年年必考
考点01 集合
1．（2026·天津·高考真题）已知全集 ，集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由题可得 ,又因 ，
则 .
2．（2026·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，则 .
3．（2026·全国I卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，
，
即集合 ，且集合 ，所以 .
4．（2026·全国II卷·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可得 ，所以
5．（2026·上海·高考真题）对于函数 ， ，设 .对于点集 ，若存在 ，使得任取 ，总有 ，则称 为“最低点”.对于函数 和
，以下说法中正确的是（ ）
A．若 和 都有最小值，则 有最低点；
B．若 有最低点，则 和 都有最小值；
C．若 或 有最小值，则 有最低点；
D．若 有最低点，则 或 有最小值.
【答案】D
【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得
或 ，再分类讨论即可.
【详解】对于A项，取 ， ，取 ， ，
则 ， ；而 无最低点，故A错误；
对于B项，取 ， ，取 ， ，
则 无最小值， ；而 有最低点 ，故B错误；
对于C项，取 ， ，取 ， ，
则 无最小值， ；
因为 的函数值可趋向于负无穷大，所以 无最低点，则 亦无最
低点，故C错误；
对于D项，因为 有最低点，不妨设 为 的最低点， 且 ， 且
，所以 或 ，
若 ，则 且对任意的 ，总有 ，即 ；
若 ，同理可知 ；
所以若 有最低点，则 或 有最小值，故D正确.
故选：D.
6．（2025·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合 ，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：D.
7．（2025·天津·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由 ，则 ，
集合 ，
故
故选：D.
8．（2025·全国II卷·高考真题）已知集合 则 （ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】求出集合 后结合交集的定义可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D.
9．（2025·全国I卷·高考真题）已知集合 ， ，则 中元素个数为
（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， 中的元素个数为 ，
故选：C．
10．（2024·北京·高考真题）已知 是平面直角坐标系中的点集.
设 是 中两点间距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域 ，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定 ，则 ，且 ，
可知 ，即 ，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 ，
如图阴影部分所示，其中 ，可知任意两点间距离最大值 ，
阴影部分面积 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
11．（2024·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得 .
故选：C.
12．（2024·天津·高考真题）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，故选：B
13．（2024·全国I卷·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合 ，由交集的概念即可得解.
【详解】因为 ，且注意到 ，
从而 .
故选：A.
14．（2026·上海·高考真题）已知集合 ， ，则 __________．
【答案】
【详解】由题意得 ，解得 ，经验证此时集合 满足题意.
15．（2026·上海·高考真题）已知集合 ， ，若 ，则 ____________.
【答案】
【分析】利用子集的定义求解.
【详解】 ， ， ，
集合 中所有的元素都在集合 中，
集合 中的元素 在集合 中，
.
故答案为： .
16．（2025·上海·高考真题）已知全集 ，集合 ，则
_________．
【答案】 /
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知 .故答案为： .
17．（2024·上海·高考真题）设全集 ，集合 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据补集的定义可求 .
【详解】由题设有 ，
故答案为：
18．（2025·上海·高考真题）已知集合 ， ，则 等于________．
【答案】
【详解】试题分析：
考点：集合运算
【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合
类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用
Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
19．（2025·北京·高考真题）已知集合 ，从M中选取n个不
同的元素组成一个序列： ，其中 称为该序列的第i项 ，若该
序列的相邻项 满足： 或 ，则称该序列为K列．
(1)对于第1项为 的K列，写出它的第2项．
(2)设 为K列，且 中的项 满足：当i为奇数时， ：当i为偶数时，.判断 ， 能否同时为 中的项，并说明理由；
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
【答案】(1) 或
(2)不能，理由见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设 与 能同时在 中，导出矛盾，从而得出 与 不能同时在 中的结论；
（3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【详解】（1）根据题目定义可知， 或 ，
若第一项为 ，显然 或 不符合题意（不在集合 中），所以下一项是 或 ；
（2）假设二者同时出现在 中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设 在 之前.
显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从 到 必定要向下一项走
奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在 中，所以从 到 必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在 中.
（3）法1：若 中的所有元素构成K列，考虑K列中形如 的项，
这样的项共有 个，由题知其下一项为 ，共计16个，
而 ，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个 ，有12个 与之相对应，矛盾．
综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．
法2：假设全体元素构成一个K列，则 .
设 ， .则 和 都包含 个元素，且 中元素的相邻项必定在 中.
如果存在至少两对相邻的项属于 ，那么属于 的项的数目一定多于属于 的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于 .
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如 和 ，
否则将导致属于 的项的个数比属于 的项的个数多2，此时 .
从而这个序列的前 项中，第奇数项属于 ，第偶数项属于 ；
这个序列的后 项中，第奇数项属于 ，第偶数项属于 .
如果不存在相邻的属于 的项，那么也可以看作上述表示在 或 的特殊情况.
这意味着必定存在 ，使得 .
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故 中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数
的点的数量一定分别是 和 （不一定对应）.
但容易验证， 和 都包含 个横纵坐标之和为奇数的点和 个横纵坐标之和为偶数的点，所以
，得 .
从而有 .
这就得到 .
再设 ， .
则同理有 .
这意味着 .
从而得到 ，但显然它们是不同的集合，矛盾.所以由M的全部元素组成的序列都不是K列．
20．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域为 ．对于正实数a，定义集合
．
(1)若 ，判断 是否是 中的元素，请说明理由；
(2)若 ，求a的取值范围；
(3)若 是偶函数，当 时， ，且对任意 ，均有 ．写出 ，
解析式，并证明：对任意实数c，函数 在 上至多有9个零点．
【答案】(1)不是；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算 和 即可；
（2）法一：转化为在实数 使得 ，分析得 ，再计算得 ，
最后根据 的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线 与该函数有两个交点，将 用
表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出 时解析式，再分析出 ，最后对 的范围
进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1） ， ，则 不是 中的元素.
（2）法一：因为 ，则存在实数 使得 ，且 ，当 时， ，其在 上严格单调递增，
当 时， ，其在 上也严格单调递增，
则 ，则 ，
令 ，解得 ，则 ，
则 .
法二：作出该函数图象，则由题意知直线 与该函数有两个交点，
由图知 ，假设交点分别为 ， ，
联立方程组 得
（3）对任意 ，因为其是偶函数，
则 ，而 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ， ，则 ，
，则 ，
而 ， ，则 ，则 ，
所以当 时， ，而 为偶函数，画出函数图象如下：
其中 ，但其对应的 值均未知.
首先说明 ，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时，即使让 ，此时最多7个零点，
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；当 时，若 ，此时有3个零点，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，
则最多在 之间取得6个零点，
以及在 处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
21．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域是 ．对于 ，定义集合
．
(1) ，求 ；
(2)对于集合 ，若对任意 都有 ，则称 是对称集．若 是对称集，证明：“函数 是偶
函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”；
(3)若 ， ．求 的取值范围，使得对于任意 ，都有 ．
【答案】(1)(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；
（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；
（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.
【详解】（1）由定义得， .
（2）证明：
必要性：因为函数 是偶函数，所以对任意 ， ，
对任意 ，若 ，即 ，则 ，
所以 ，所以对任意 ， 是对称集.
充分性：若对任意 ， 是对称集，
因为对任意 ， ，所以 ，即 ①，
又 ，所以 ，即 ②.
由①②得，对任意 ， ，
所以函数 是偶函数.
综上，“函数 是偶函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”，得证.
（3）因为对于任意 ，都有 ，
所以若 ，则 ，即若 ，则 ，
所以 ，所以 在 上单调不减，
所以对任意 ， 恒成立.
当 时，显然成立， ；当 时， 恒成立，令 ， ，
所以 在 单调递减， 单调递增，所以 ；
当 时， 恒成立，此时
因为 在 上单调递减，当 时， ，
时， ，
所以 ；
综上， .
【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.
考点02常用逻辑用语
1．（2026·北京·高考真题） ， 是无穷数列，则“存在常数 ，使 ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论.
【详解】由题意，
， 是无穷数列，
验证充分性：
当存在常数 ，使 时，
， ，
显然成立，验证必要性：
当 ， 时，此时满足 ,
假设存在常数 ，使 成立，
当 时， ， ，
此时， 需同时“不小于无限增大的 ”和“不大于无限增大的 ”，
但不存在这样的固定常数 ，
∴当 时，无法必然推出“存在常数 ”，即必要性不成立，
∴“存在常数 ，使 ”是“ ”的充分不必要条件.
2．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称
和 伴随．则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ， ， ，由条件结合伴随的定义可判断结论.
【详解】设 ， ， ， ，
则 ， ，
当 和 伴随，有 或 ，
又 ， ，
若 和 伴随，则 或 ，
所以 和 伴随的充要条件是 ，即 .
3．（2026·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【详解】由 ，解得： 或 ，
即 时， 成立，反之不成立，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
4．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域为D，则“ 的值域为 ”是“对任意 ，存
在 ，使得 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数 的值域为 ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，充分性成立；
取 ， ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，但此时函数 的值域为 ，必要性不成立；
所以“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得 ”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2025·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由 ，则“ ”是“ ”的充分条件；
又当 时， ，可知 ，
故“ ”不是“ ”的必要条件，
综上可知，“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A.
6．（2024·上海·高考真题）定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，存在不
全为0的实数 ，使得 ．已知 ，则 的充分条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先分析出三个向量共面，显然当 时，三个向量构成空间的一个基底，
则即可分析出正确答案.
【详解】由题意知这三个向量 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由 能推出 ，
对D，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，
则当 无法推出 ，故D错误.
故选：C．
7．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.
9．（2024·天津·高考真题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质， 和 都当且仅当 ，所以二者互为充要条件.
故选：C.
10．（2024·新课标II卷·高考真题）已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取 、 ，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
11．（2026·上海·高考真题）设 是定义在 上的函数.定义性质 ：若对任意 ，当 时，
，则称函数 具有“性质 ”.
(1)判断函数 是否具有“性质 ”；
(2)若分段函数 具有“性质 ”，求所有满足条件的实数 和 的解；
(3)已知 的值域为 ，且在 上是严格增函数，证明： 是偶函数的充要条件是： 具
有“性质 ”.
【答案】(1)没有，理由见解析(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；
（2）根据一次函数的单调性，结合“性质 ”的特性进行求解即可；
（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质 ”的特性进行运算证明即可.
【详解】（1）函数 不具有“性质 ”，理由如下：
例如当 时，显然 成立，
，根据指数函数的单调性可知 ，
所以有 ，这与“性质 ”矛盾，故函数 不具有“性质 ”；
（2）因为函数 具有“性质 ”，所以取 ，有 ，
于是有 ，
当 时，由 ，
当 时，由 ，
若 ，若 ，则有 ，
取 ，
此时 ，但是 ，不符合“性质 ”，所以 不符合题意，
故 ，此时 ，
若 时，则 ，
由 ，若 时，则 ，
由 ，
因此 ，
综上所述：当且仅当 时，满足条件；
（3）充分性：若 具有“性质 ”，则 是偶函数.
若存在 ， ，不妨设 ，
记 ，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 ，
若 ，则有 ，
若 ，则有 ，
故对任意 ， ，这与 的值域为 矛盾，
所以 不成立，则有 ，因此函数 是偶函数；
必要性：若 是偶函数，则 具有“性质 ”.
当 时，因为 在 上是严格增函数，
所以 ，
又因为函数 是偶函数，
所以由 ，因此 具有“性质 ”.
所以 是偶函数的充要条件是： 具有“性质 ”.
考点03复数1．（2026·全国II卷·高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
2．（2026·北京·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【详解】由题意 ，
则 .
3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】先求出复数 ，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由 可得， ，所以 ，
故选：B.
4．（2025·全国II卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
5．（2025·全国I卷·高考真题） 的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为 ，所以其虚部为1，
故选：C.
6．（2024·北京·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得 .
故选：C.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出 ，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得， ，故 .
故选：D
8．（2024·全国甲卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由 ，则 .
故选：A
9．（2024·新课标II卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若 ，则 .
故选：C.
10．（2024·全国I卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
11．（2026·全国I卷·高考真题）（多选）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A选项，复数 的共轭复数 ，因此 ，A选项正确.
对于B选项，复数的模 ，因此 ，B选项错误.
对于C选项，∵ ，
∴ ，该选项正确.
对于D选项，
∵ 分子 ，分母 ，
∴ ， 是实数，故 ，该选项正确.
12．（2026·天津·高考真题）化简 __________．
【答案】
【详解】 .
13．（2026·上海·高考真题）已知 ，对于所有满足 的复数 ，都有 的最小值与 的最
小值相同，则 ____________.
【答案】3
【分析】根据复数的几何意义分析求解即可.【详解】由 得复数 对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为 表示点 到圆上一点的距离，且点 到圆心 的距离为1，
则 的最小值为 ，
而 表示点 到圆上一点的距离，且点 到圆心 的距离为 ，
则 的最小值为 ，
又因为 的最小值与 的最小值相同，
所以 ， ，解得 .
故答案为：3.
14．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简 ，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得 ，所以 .
故答案为：
15．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足 ，则 的最小值是_________．
【答案】
【分析】先设 ，利用复数的乘方运算及概念确定 ，再根据复数的几何意义数形结合计算即
可.
【详解】设 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ，由复数的几何意义知 在复平面内对应的点 在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段 上运动，
设 ，则 ，由图象可知 ，
所以 .
故答案为：
16．（2025·上海·高考真题）已知复数 ，其中i为虚数单位，则 __________．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可.
【详解】 ，
故 ．
故答案为： .
17．（2024·上海·高考真题）已知 ，则 _______.
【答案】 /
【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得.
【详解】由题意可得 ，故 .
故答案为： .
18．（2024·上海·高考真题）已知虚数 ，其实部为1，且 ，则实数 为______．
【答案】2
【分析】设 且 ，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设 ， 且 .
则 ，
， ，解得 ，
故答案为：2.
19．（2024·天津·高考真题） 是虚数单位，复数 ______．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】 .
故答案为： .
