培优专练+三年真题 01 集合与常用逻辑用语
【考点一】集合基本运算 【考点四】充分必要条件
【考点二】集合含参问题 【考点五】全称与存在量词
【考点三】集合新定义
【题型一】集合基本运算
1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知集合A={x||x|<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（ ）
A．{x|-1<x<2} B．{x|-1<x≤2}
C．{x|0≤x<1} D．{x|0≤x≤2}
【答案】B
【分析】根据并集的定义即可求解．
【详解】由题可知，A={x|-1<x<1}，则A∪B= {x|-1<x≤2}．
2．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={x∈N*|x2<10}，则∁ A=（ ）
U
A．{4,5,6} B．{5,6} C．{1,2,3} D．{3,4,5,6}
【答案】A
【详解】由x2<10，可得-❑√10<x<❑√10，所以A={x∈N*|x2<10}={1,2,3}，
又U={1,2,3,4,5,6}，所以∁ A={4,5,6}.
U
3.（2026·广东佛山·一模）已知集合A={x|-1<x≤1}，B={x|0<x<2}，则A∩B=（ ）
A．{x|0<x≤1} B．{x|-1<x<2}
C．{x|0<x<1} D．{x|-1<x<0}
【答案】A
【详解】已知A={x|-1<x≤1}，B={x|0<x<2}，在数轴中表示出集合A,B，由图可知A∩B={x|0<x≤1}.
4.（2026·上海·三模）已知全集U=R，集合A={1,3,5,7}，B={x∣x≥2}，则A∩∁ B=________．
U
【答案】{1}
【详解】由全集U=R，集合A={1,3,5,7}，B={x∣x≥2}，
可得∁ B={x|x<2}，则A∩∁ B={1}.
U U
5．（2026·江苏南通·模拟预测）A={1,2}，B∩∁ A={3}，则A∪B=______．
R
【答案】{1,2,3}
【分析】结合集合的交集及补集运算分析B的可能情况，然后再结合集合并集运算可求．
【详解】解：因为A={1,2}，B∩∁ A={3}，得3∈B且3∈∁ A.
R R
所以B={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}.所以A∪B={1,2,3}
故答案为：{1,2,3}
6．（2026·河南濮阳·一模）已知全集U=A∪B={x∈N* ∣-1<x<10},A∩(∁ B)={1,3,5,7}，则B=
U
__________.
【答案】{2,4,6,8,9}
【分析】由交、并、补集的定义求解即可.
【详解】U=A∪B={x∈N* ∣-1<x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
A∩ (∁ B) ={1,3,5,7}，所以B= {2,4,6,8,9}.
U
故答案为：{2,4,6,8,9}
7.（多选）（2026·山东济南·模拟预测）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若M∩U=N，则（ ）
A．M≠∅ B．M≠N
C．∁ (M∩N)= ∁ N D．N⊆M
U U【答案】CD
【详解】已知U为全集，M⊆U，N⊆U，由集合运算性质：M∩U=M，
因为M∩U=N，所以M=N.
A：M可以是空集，此时N=∅，满足M=N，错误.
B：已推出M=N，错误.
C：∵M=N，∴M∩N=M=N，∴∁ (M∩N)= ∁ N，正确.
U U
D：∵M=N，相等集合互相包含，N⊆M成立，正确.
8．（多选）（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集U={-2,-1,0,2,3,4}，集合M={-1,0,2}，N=¿，且N⊆U，则
（ ）
A．a<0 B．3∉(M∪N)
C．M∩N中元素个数为2 D．(∁ M)∩N≠∅
U
【答案】BD
【分析】分析可知，所以方程x2+ax-4=0有两个相异实根x 、x ，且x 、x 异号，结合全集U中的元素可确定集合
1 2 1 2
N，结合韦达定理求出a的值，再利用集合运算可判断BCD选项.
【详解】在集合N中，因为Δ=a2+16>0，所以方程x2+ax-4=0有两个相异实根，
设为x 、x ，由韦达定理可得x x =-4，所以x 、x 异号，且∁ M={-2,3,4}，
1 2 1 2 1 2 U
因为全集的元素中两元素之积为-4的只有两组-2、2和-1、4，
所以N={-2,2}或N={-1,4}.
当N={-2,2}时，-2+2=-a=0，则a=0，
所以M∪N={-2,-1,0,2}，M∩N={2}，(∁ M)∩N={-2}；
U
当N={-1,4}时，-1+4=-a=3，则a=-3，
所以M∪N={-1,0,2,4}，M∩N={-1}，(∁ M)∩N={4}.
U
综上，则a=0或a=-3，3∉(M∪N)，M∩N中元素个数为1，(∁ M)∩N≠∅，
U
故A错误，B正确，C错误，D正确.【题型二】集合含参问题
1．（2026·安徽合肥·二模）已知集合A=¿，若2∉A，则a的取值范围是（ ）
A．(-2,2] B．[-2,2] C．(-2,2) D．[-2,2)
【答案】D
2-a
【详解】若2∈A，则 ≤0⇔¿，解得a<-2或a≥2，
2+a
所以若2∉A，则a的取值范围为[-2,2).
2．（2026·云南·三模）已知集合A={a2,a},B={1,3}，若A∩B={1}，则a=（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．±1
【答案】C
【详解】因为A={a2,a},B={1,3},A∩B={1}，
所以a=1或a2=1，
当a=1时，与集合元素的互异性矛盾；
当a2=1时，可得a=-1，此时A={-1,1},满足A∩B={1}
故a=-1.
3．（2026·江西·模拟预测）已知集合A={x∣x2+mx+9=0}，若{n}⊆A⊆{9,n}，则mn=（ ）
A．10或18 B．-10或-18 C．18 D．-18
【答案】B
【分析】分A={n}，A={9,n}两种情况结合题意讨论求解即可.
【详解】若A={n}，则方程x2+mx+9=0只有一个解，
则Δ=m2-36=0，得m=±6，
m=6 m=-6
所以{ 或{ ，此时mn=-18，
n=-3 n=3
若A={9,n}，则方程x2+mx+9=0有两相异实数解且9是方程x2+mx+9=0的其中一个解，则9m+90=0，得m=-10，
所以方程可化为x2-10x+9=0，则n=1，mn=-10；
综上，mn=-18或-10.
4.（2026·上海·模拟预测）已知集合A={1,2,k2}，B={0,3}，若A∩B={3}，则实数k=__________．
【答案】±❑√3
【分析】根据交集的定义和集合的性质计算即可.
【详解】因为已知集合A={1,2,k2}，B={0,3}，A∩B={3}，
所以k2=3，解得k=±❑√3.
5．（2025·安徽合肥·一模）已知集合A={x∣-2≤x≤1},B={x∣m-1≤x<m+1}，若A∩B=B，则实数m的取值
范围为__________.
【答案】[-1,0]
【分析】根据集合的包含关系列不等式求解.
【详解】因为A∩B=B，故B⊆A，
因为m+1>m-1恒成立，所以B≠∅，
所以¿，即-1≤m≤0.
故答案为：[-1,0].
6．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知集合A={1,7,|a|}，集合B={1,a+6}，若A∪B=A，则实数a=__________.
【答案】-3
【分析】根据A∪B=A得B⊆A，再讨论元素间的关系可解.
【详解】A∪B=A，即B⊆A，若a+6=7，则a=1，不符合；
若a+6=|a|，则a=-3，经检验符合题意.
故答案为：-3.
7.（2025·江西·模拟预测）（多选）已知集合A=¿，B={2,3}，下列结论正确的是（ ）A．若a=0，则A=R B．若a=0，则A=∅
C．若B⊆A，则a≤2 D．若B⊆A，则a可以取3
【答案】AC
【分析】把a=0代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若a=0，则任意实数x均满足0⋅x≤6，因此A=R，A正确，B错误；
对于CD，由B⊆A，得¿，解得a≤2，C正确，D错误.
故选：AC.
【题型三】集合新定义
1．（2026·河南开封·二模）定义集合A-B=¿且x∉B}，已知集合A={1,a}，B={2,b}，若A-B={1}，则下列一
定成立的是（ ）
A．a=2 B．b≠1 C．A∩B={2} D．B-A={2}
【答案】B
【详解】因为集合A-B=¿，集合A={1,a}，集合B={2,b}，A-B={1}，
所以1∈A且1∉B，a∈B，b≠1,b≠2，
选项A：因为a∈B，所以a=2或者a=b（且满足集合元素的互异性）；
选项B：因为1∉B且B={2,b}，所以b≠1一定成立；
选项C：当a=b=3时，集合A={1,3}，集合B={2,3}，A∩B={3}，C错误；
选项D：当a=2，b=3时，集合A={1,2}，集合B={2,3}，B-A={3}，D错误.
2．（2025·北京·模拟预测）集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B ,B ,⋯,B (n∈N*).记b为集合
1 2 n i
B (i=1,2,3,⋯,n)中的最大元素，则b +b +b +⋯+b =（ ）
i 1 2 3 10
A．10 B．40 C．45 D．50
【答案】C
【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可.
【详解】由题知：B ={1,2,3},b =3, B ={1,2,4},b =4,
1 1 2 2B ={1,2,5},b =5, B ={2,3,4},b =4，B ={2,3,5},b =5，
3 3 4 4 5 5
B ={2,4,5},b =5，B ={3,4,5},b =5，
6 6 7 7
B ={1,4,5},b =5，B ={1,3,5},b =5，B ={1,3,4},b =4，
8 8 9 9 10 10
则b +b +⋯+b =3+4×3+5×6=45
1 2 10
故选：C
3.（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合A={a ,a ,a ,⋯,a }，定义集合B=¿中的元素的个数为集合A的“容量”，
1 2 3 n
记为|A|.若集合A=¿，且|A|=4047，则正整数n的值是_________.
【答案】2025
【分析】先求出集合A，再根据题干中的定义即可求出结果.
【详解】若集合A=¿，则集合B={3,4,⋯,(n-1)+n}={3,4,⋯,2n-1}，
故|A|=2n-1-2=2n-3=4047，解得n=2025.
故答案为：2025
4.
（2026·山东德州·模拟预测）已知A，B，C为集合M={1,2,⋅⋅⋅,n}(n∈N*)的非空子集，满足：
①A∩B=A∩C=B∩C=∅，A∪B∪C=M；
②{x∈M|x=3k,k∈N*}⊆A，B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；
③A，B，C中所有元素的和分别记为S ，S ，S ，且S =S =S ．则正整数n的最小值为________．
1 2 3 1 2 3
【答案】8
【分析】根据给定条件，n从1开始依次取值讨论求解.
【详解】当n=1，2时，无法满足A中的元素是3的倍数，故舍；
当n=3时，集合M元素的总和为6，每部分和应为2，但A中必须包含3，
其和3>2，故舍；
当n=4时，集合M元素的总和为10，不能被3整除，故舍；
当n=5时，集合M元素的总和为15，每部分和应为5，A中必须包含3，需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时A={2,3}，剩余元素{1,4,5}分配给B,C，
无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍；
当n=6时，集合M元素的总和为21，每部分和应为7，A中必须包含3和6，
此时和为9>7，故舍；
当n=7时，集合M元素的总和为28，不能被3整除，故舍；
当n=8时，集合M元素的总和为36，每部分和应为12，A中必须包含3和6，
需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时A={1,2,3,6}，剩余元素{4,5,7,8}分配给B,C，
B取奇数{5,7}，和为12，C取偶数{4,8}，和为12，满足所有条件，
故n的最小值为8.
5.（2025·湖南邵阳·模拟预测）（多选）给定实数集A，定义集合M¿，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素
为集合A的上确界，记作supA.以下说法正确的是（ ）
A．若数集A中有2025个元素，则supA一定存在
B．若数集A中没有最大值，则supA不存在
C．若数集A，B有上确界，则数集{a+b∣a∈A,b∈B}一定也有上确界，为supA+supB
D．若数集A，B有上确界，则数集{ab∣a∈A,b∈B}一定也有上确界，为supAsupB
【答案】AC
【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不等式的性
质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D.
【详解】对于A，若数集A中有2025个元素，则数集A中的元素一定有最大值，
∴数集A一定有上确界，故A正确；
1
对于B，若A=¿，当n>1时，x= <1，
n
则数集A中的元素没有最大值，
∵∀a∈A，都有m≥a，∴m≥1，
∴supA=1，即数集A中有上确界，故B错误；对于C，若数集A，B有上确界，设supA=m，supB=n，
由上确界的定义可知，对于∀a∈A，b∈B，都有a≤m，b≤n，∴a+b≤m+n，
即sup{a+b∣a∈A,b∈B}=m+n=supA+supB，故C正确；
对于D，若A={-2,-1}，B={1,2}，则数集A，B有上确界，且supA=-1，supB=2，
此时{ab∣a∈A,b∈B}={-4,-2,-1}，
则sup{ab∣a∈A,b∈B}=-1≠-2=supAsupB，故D错误.
故选：AC
6.（2025·山东临沂·二模）对集合A, B，定义集合A△B=¿，记|X|为有限集合X的元素个数．
(1)若A={1, 2}, B={2, 3, 4}，求A△B；
(2)给定集合S={1, 2, 3, 4}的子集M，求集合¿的元素个数；
(3)设A, B, C为有限集合，证明：|A△C|≤|A△B|+|B△C|．
【答案】(1)A△B={1,3,4}
(2)4
(3)
对任意元素x∈A△C，因为x恰属于集合A,C之一，不妨设x∈A且x∉C．
若x∈B，则x∈B△C；若x∉B，则x∈A△B．
故x∈(A△B)∪(B△C)，从而A△C⊆(A△B)∪(B△C)．
因此|A△C|≤|A△B|+|B△C|，结论成立．
【分析】（1）根据定义直接写出结果即可；
（2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；
（3）对任意元素x∈A△C，可证x∈A△B或x∈B△C，故可证题设中的不等式.
【详解】（1）因为A△B中的元素是要么只属于A，要么只属于B，
所以A△B={1,3,4}；（2）设|M|=m，则m≤4，因为|X△M|=1，
故符合条件的X的个数为C0 C1 +C1 C0 =4-m+m=4.
m 4-m m 4-m
（3）略
【题型四】充分必要条件
1．（2026·山东烟台·模拟预测）“x>1”是“|x+1|>2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由|x+1|>2 ⇒ x+1<-2或x+1>2 ⇒ x<-3或x>1.
所以x>1时，|x+1|>2必成立；
当|x+1|>2时，x>1可以不成立，如x=-4时，|x+1|>2但x>1不成立.
所以“x>1”是“|x+1|>2”的充分不必要条件.
2．（2026·陕西西安·模拟预测）“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断．
【详解】由基本不等式得，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立，
所以当a=b时，a2+b2=2ab，此时a2=b2成立；
若a=1,b=-1，此时a2=b2，而a2+b2=2≠2ab=-2，
所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件．
3．（2026·天津·二模）设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”成立的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.
【详解】充分性证明:当a>b
①若a>b≥0,则有|a|>|b|,于是a|a|>b|b|;
②若a≥0>b,则有a|a|≥0,b|b|<0,于是a|a|>b|b|;
③若0≥a>b,则有a2<b2,于是-a2>-b2,因为a|a|=-a2,b|b|=-b2,所以有a|a|>b|b|成立.
∴ “a>b”是“a|a|>b|b|”的充分条件.
必要性证明:当a|a|>b|b|
(1)若a=0时，由a|a|>b|b|，可得0>b|b|，则b<0=a，于是a>b;
(2)b=0时，由a|a|>b|b|，可得a|a|>0，则a>b=0，于是a>b;
(3)若a>0,b>0,则有a2>b2,于是a>b;
(4)若a>0,b<0,则有a|a|>0,b|b|<0,满足条件a|a|>b|b|,于是成立a>b;
(5)若a<0,b>0,则a|a|>b|b|不成立,不满足条件;
(6)若a<0,b<0,由a|a|>b|b|,可得-a2>-b2,即a2<b2,所以有0>a>b.
∴ “a>b”是“a|a|>b|b|”的必要条件.
综上所述,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.
4．（2026·山东济南·模拟预测）记无穷等比数列{a }的前n项和为S ，若a >0，则“存在正数M，使得对任意正整数
n n 1
n，都有S <M”是“公比0<q<1”的（ ）
n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】（充分性）若取q=-1，首项a >0，则数列为a ,-a ,a ,-a ,······
1 1 1 1 1此时前n项和S 满足：n为奇数时，S =a ；n为偶数时，S =0；
n n 1 n
显然可取M=a +1，则对所有n∈N*，都有S <M，所以充分性不成立；
1 n
a (1-qn )
（必要性）当0<q<1时，前n项和为S = 1 ，
n 1-q
a a
由于1-qn<1恒成立，则S < 1 恒成立，取M= 1 +1，
n 1-q 1-q
则对所有n∈N*，都有S <M，必要性得证.
n
所以“存在正数M，使得对任意正整数n，都有S <M”是“公比0<q<1”的必要不充分条件.
n
5．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球Ω从B，C，D三个口中的一个口滚动进入后，该口封
闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球Ω从B口滚动进入”是“小球Ω从D口滚动出来”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系
【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从B口滚动进入，
根据通道走向，小球最终只能从D口滚动出来，
所以“小球Ω从B口滚动进入”能推出“小球Ω从D口滚动出来”，充分性成立；
若小球Ω从D口滚动出来，小球可能是从B口滚动进入，也可能是从C口滚动进入（由图可知从C口进入最终也会从
D口出来），
所以“小球Ω从D口滚动出来”不能推出“小球Ω从B口滚动进入”，必要性不成立．综上所述，“小球Ω从B口滚动进入”是“小球Ω从D口滚动出来”的充分不必要条件．
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知p:“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”成立的必要不充分条
件，则实数m的取值范围为（ ）
A．¿ B．(-∞,-5)∪(3,+∞)
C．(-5,3) D．[-5,3]
【答案】B
【分析】解二次不等式分别求出p和q的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可.
【详解】因为p:(x-m) 2>3(x-m)，即(x-m)(x-m-3)>0，
则x<m或x>m+3,q:x2-x-6≤0，即-2≤x≤3，
又p是q的必要不充分条件，则m>3或m+3<-2，即m>3或m<-5.
则m的取值范围为(-∞,-5)∪(3,+∞).
故选：B
2x+1
7.（2026·云南怒江·模拟预测）已知m>0，使得不等式 ≤1成立的一个充分不必要条件是-2≤x≤4，则m的取
x-m
值范围是__________.
【答案】(4,+∞)
【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于m的不等式求解即可.
2x+1 x+m+1
【详解】由 -1= ≤0，可得(x+m+1)(x-m)≤0且x≠m.
x-m x-m
因为m>0，所以-m-1<m，故不等式的解集为[-m-1,m).
由-2≤x≤4是不等式成立的充分不必要条件，可得[-2,4]是[-m-1,m)的真子集，
故¿，解得4<m，
所以m的取值范围是(4,+∞).
8．（2025·安徽·一模）（多选）若a,b∈R，则“a3<b3”的充分不必要条件是（ ）
A．a<b B．❑√b-a>11 1
C．a2<b2 D．0< <
b a
【答案】BD
【分析】由充分不必要条件的定义逐项验证求解即可.
【详解】a3<b3⇔a<b，故“a<b”是“a3<b3”的充要条件，故A错误
由❑√b-a>1得b>a+1>a，能推出a<b，反之不成立，
所以“❑√b-a>1”是“a3<b3”的充分不必要条件，故B正确；
若a=1,b=-2,a2<b2,a3<b3不成立，故充分性不成立，
若a=-2,b=-1,a3<b3,a2<b2不成立，故必要性不成立，
所以“a2<b2”是“a3<b3”的既不充分也不必要条件，故C错误；
1 1 1 1
0< < ⇔0<a<b，所以“0< < ”是“a3<b3”的充分不必要条件，故D正确.
b a b a
故选：BD.
9．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，|S|表示有限集S中的元素个数.
设A，B都为有限集，则（ ）
A．A∩B=∅的充要条件是|A∪B|=|A|+|B| B．A⊆B的必要条件是|A|≤|B|
C．A⊆B的充分条件是|A|≤|B| D．A=B的充要条件是|A|=|B|
【答案】AB
【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD.
【详解】对于A，由|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|及|A∪B|=|A|+|B|，得|A∩B|=0⇔A∩B=∅，
A正确；
对于B，由A⊆B，得|A|≤|B|，A⊆B的必要条件是|A|≤|B|，B正确；
对于C，取A={1,4},B={1,2,3}，满足|A|≤|B|，而A⊄B，C错误；
对于D，取A={1,2},B={3,4}，满足|A|=|B|，而A≠B，D错误.
故选：AB.2x-2
10.（2025·河南信阳·模拟预测）已知集合A={x| <1}，集合B={x|x2+x+a-a2<0}．
x+1
(1)若存在x ∈A，使得B≠ϕ，求a的取值范围;
0
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
1 1
【答案】(1)(-∞， )∪( ，+∞)
2 2
(2)a≥4或a≤-3
【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合B在(-1，3)内有解，由函数y=x2+x的单调性确定最值，即
可求a的取值范围；
（2）由（1）可得A=(-1，3)，B={x|(x+a)(x+1-a)<0}，由题意，可得A是B的真子集，分情况讨论求解即
可.
2x-2
【详解】（1）集合A={x| <1}={x|-1<x<3}，
x+1
若存在x ∈A，使得B≠ϕ，只需集合B在(-1,3)内有解，
0
即a2-a大于y=x2+x在(-1,3)内的最小值，
( 1) ( 1 )
因为y=x2+x在 -1,- 上单调递减，在 - ,3 上单调递增，
2 2
1
所以y=x2+x在(-1,3)内的最小值为- ，
4
1 1
所以a2-a>- ，解得a≠ ，
4 2
1 1
所以a的范围为(-∞, )∪( ,+∞)；
2 2
（2）由(1)得，A=(-1,3)，B={x|(x+a)(x+1-a)<0}，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，
分类讨论如下：1
当-a=a-1，即a= 时，B=ϕ，不符题意；
2
1
当-a<a-1，即a> 时，B={x|-a<x<a-1}，
2
此时¿(等号不同时成立)，解得，a≥4时，满足A是B的真子集；
1
当-a>a-1，即a< 时，B={x|a-1<x<-a}，
2
此时¿(等号不同时成立)，解得，a≤-3时，满足A是B的真子集，
综上，a≥4或a≤-3时，满足“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
【题型五】全称与存在量词
1
1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2=0，q：∀x>0，x+ ≥2，则下列命题为真的
x
是（ ）
A．p∧q B．p∧¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q
【答案】C
【分析】分别判断命题p与命题q的真假即可得.
【详解】对x2+2x+2=0，有Δ=4-8=-4<0，故该方程无解，故命题p为假命题；
1 √ 1
由x>0，则x+ ≥2❑ x⋅ =2，当且仅当x=1时，等号成立，故命题q为真命题；
x x
故p∧q、p∧¬q、¬p∧¬q都为假命题，¬p∧q为真命题.
2．（2026·陕西安康·模拟预测）已知命题p：∃x∈Z，2x<x2，则命题p的真假以及否定分别为（ ）
A．真，¬p：∃x∈Z，2x≥x2 B．假，¬p：∃x∈Z，2x>x2
C．真，¬p：∀x∈Z，2x≥x2 D．假，¬p：∀x∈Z，2x≥x2
【答案】C
【分析】先通过特殊整数验证命题p的真假，再依据特称命题的否定规则得出¬p的形式.
【详解】取x=3∈Z，此时23=8，32=9，满足2x<x2，因此命题p为真命题，根据特称命题的否定规则，特称命题∃x∈M,q(x)的否定为全称命题∀x∈M,¬q(x)，
因此命题p:∃x∈Z,2x<x2的否定¬p为∀x∈Z,2x≥x2
.
3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题p:∀x∈R,x2+2x+2>0，则命题p的真假以及否定分别为（ ）
A．真，¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤0 B．真，¬p:∃x∈R,x2+2x+2≤0
C．假，¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤0 D．假，¬p:∃x∈R,x2+2x+2≤0
【答案】B
【分析】根据命题的真假判断即可.
【详解】x2+2x+2=(x+1) 2+1>0，故命题p为真．
又¬p:∃x∈R，x2+2x+2≤0．
16
4．（2026·湖南长沙·三模）命题“∀x∈[3,+∞)，x+ >8”的否定为（ ）
x
16 16
A．∃x∉[3,+∞)，x+ >8 B．∃x∈[3,+∞)，x+ ≤8
x x
16 16
C．∃x∉[3,+∞)，x+ ≤8 D．∃x∈[3,+∞)，x+ <8
x x
【答案】B
【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定，
16 16
因此命题“∀x∈[3,+∞)，x+ >8”的否定为命题“∃x∈[3,+∞)，x+ ≤8”.
x x
5．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：∀x>0，x2-7x+6≤0，则命题p的否定为________________．
【答案】∃x>0，x2-7x+6>0
【分析】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案.
【详解】命题p：∀x>0，x2-7x+6≤0的否定为：∃x>0，x2-7x+6>0，
故答案为：∃x>0，x2-7x+6>0
6．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“∃x∈(0,π),sin2x-msinx<0”是假命题，则m的取值范围为__________．【答案】(-∞,-2]
【分析】由sin2x-msinx≥0对任意x∈(0,π)恒成立，变换m≤2cosx，根据三角函数的值域即可得到答案.
【详解】由于“∃x∈(0,π),sin2x-msinx<0”是假命题，则有sin2x-msinx≥0对任意x∈(0,π)恒成立，
sin2x 2sinxcosx
由于x∈(0,π)时，sinx>0，因此m≤ = =2cosx，
sinx sinx
又因为当x∈(0,π)时，2cosx∈(-2,2)，且2cosx在(0,π)内可无限趋近-2，为满足m≤2cosx恒成立，
故m的取值范围是(-∞,-2].
1
7．（2025·山西晋城·模拟预测）已知命题p:∀x>2， +2x>m-1恒成立是真命题，则实数m的取值范围是
x-2
________．
【答案】(-∞,2❑√2+5)
( 1 ) ( 1 )
【分析】先根据题意得出m-1< +2x ；再根据均值不等式求出 +2x 即可得出结果.
x-2 x-2
min min
1
【详解】因为∀x>2， +2x>m-1恒成立，
x-2
( 1 )
所以m-1< +2x ．
x-2
min
又因为x>2，
所以x-2>0，
根据均值不等式可得：
1 1
+2x= +2(x-2)+4
x-2 x-2
√ 1
≥2❑ ×2(x-2)+4
x-2
1 ❑√2
=2❑√2+4，当且仅当 =2(x-2)，即x=2+ 时取等号，
x-2 2
所以m-1<2❑√2+4，即m<2❑√2+5．故答案为：(-∞,2❑√2+5).
8.（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（ ）
A．∀x∈R，x2+4>2x
B．“∃x∈R，|x-1|+1<0”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“∀x∈R，x+4x4≥0”的否定是“∀x∉R，x+4x4<0”
【答案】AB
【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项.
【详解】选项A：将不等式变形：x2-2x+4>0，配方得：(x-1) 2+3>0，
对所有实数恒成立，因此选项A正确；
选项B：由绝对值的非负性，|x-1|≥0，
因此|x-1|+1>0，不可能小于0，因此选项B正确；
选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”，
是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误；
选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变x的取值范围，因此选项D错误.
故选：AB.
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题）设x∈R，则“x=0”是“sin2x=0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由x=0⇒sin2x=sin0=0，则“x=0”是“sin2x=0”的充分条件；
又当x=π时，sin2x=sin2π=0，可知sin2x=0⇒x=0，
故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件，
综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2026·天津·高考真题）设x∈R，则“x>0”是“x2+3x>0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由x2+3x>0，解得：x<-3或x>0，
即x>0时，x2+3x>0成立，反之不成立，
所以“x>0”是“x2+3x>0”的充分而不必要条件.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于p而言，取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，¬p是真命题，
对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题，
综上，¬p和q都是真命题.
故选：B.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合A={1,2,3,4,5,9},B=¿，则∁ (A∩B)=（ ）
AA．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5}
【答案】D
【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为A={1,2,3,4,5,9},B=¿，所以B={1,4,9,16,25,81}，
则A∩B={1,4,9}，∁ (A∩B)={2,3,5}
A
故选：D
5．（2025·北京·高考真题）已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x ∈D，
0
使得|f (x )|>M”的（ ）
0
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x ∈D，使得f (x )=|M|+1，
1 1
取x =x ，则|f (x )|=|M|+1>M，充分性成立；
0 1 0
取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x ∈D，使得f (x )=|M|+1，
1 1
取x =x ，则|f (x )|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0,+∞)，必要性不成立；
0 1 0
所以“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x ∈D，使得|f (x )|>M”的充分不必要条件.
0 0
故选：A.
6．（2026·北京·高考真题）{a }，{b }是无穷数列，则“存在常数M，使a ≤M≤b (n=1,2,3,⋯)”是“
n n n n
a ≤b (n=1,2,3,⋯)”的（ ）
n n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论.【详解】由题意，
{a }，{b }是无穷数列，
n n
验证充分性：
当存在常数M，使a ≤M≤b (n=1,2,3,⋯)时，
n n
a ≤M(n=1,2,3,⋯)，M≤b (n=1,2,3,⋯)，
n n
a ≤b (n=1,2,3,⋯)显然成立，
n n
验证必要性：
当a =n，b =n2 时，此时满足a ≤b ,
n n n n
假设存在常数M，使a ≤M≤b (n=1,2,3,⋯)成立，
n n
当n→+∞时，a =n→+∞，b =n2→+∞，
n n
此时，M需同时“不小于无限增大的n”和“不大于无限增大的n2”，
但不存在这样的固定常数M，
∴当a ≤b 时，无法必然推出“存在常数M”，即必要性不成立，
n n
∴“存在常数M，使a ≤M≤b (n=1,2,3,⋯)”是“a ≤b (n=1,2,3,⋯)”的充分不必要条件.
n n n n
7．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x+1,x),⃗b=(x,2)，则（ ）
A．“x=-3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件 B．“x=1+❑√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x=0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件 D．“x=-1+❑√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当⃗a⊥⃗b时，则⃗a⋅⃗b=0，
所以x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或-3，即必要性不成立，故A错误；
对C，当x=0时，⃗a=(1,0),⃗b=(0,2)，故⃗a⋅⃗b=0，所以⃗a⊥⃗b，即充分性成立，故C正确；
对B，当⃗a//⃗b时，则2(x+1)=x2，解得x=1±❑√3，即必要性不成立，故B错误；
对D，当x=-1+❑√3时，不满足2(x+1)=x2，所以⃗a//⃗b不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
{ 7π 5π 5π} { ❑√3 1 }
8．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合A= sin ,cos ,tan ，B= - ,- ,1 ，则A∩B=
6 3 4 2 2
（ ）
{ ❑√3 1} { ❑√3 } { 1 } { ❑√3 1 }
A． - ,- B． - ,1 C． - ,1 D． - ,- ,1
2 2 2 2 2 2
【答案】C
7π π π 1 5π π π 1
【详解】因为sin =sin (π+ )=-sin =- ，cos =cos (2π- )=cos = ，
6 6 6 2 3 3 3 2
5π π π
tan =tan (π+ )=tan =1，
4 4 4
{ 1 1 } { ❑√3 1 } { 1 }
即集合A= - , ,1 ，且集合B= - ,- ,1 ，所以A∩B= - ,1 .
2 2 2 2 2
9．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数z ，ω ，如果满足“z-ω∈R ”或“z-ω∈R ”，那么就称z 和
ω 伴随.则当z 和ω 伴随，则ω-i 和z+i 伴随的充要条件是（ ）.
A．Reω+Rez=0 B．Reω-Rez=0
C．Imω+Imz=0 D．Imω-Imz=0
【答案】C
【分析】设z=x+ yi，ω=a+bi，x,y∈R，a,b∈R，由条件结合伴随的定义可判断结论.
【详解】设z=x+ yi，ω=a+bi，x,y∈R，a,b∈R，
则z-ω=(x-a)+(y-b)i，z-ω=(x-a)+(y+b)i，
当z和ω伴随，有y-b=0或y+b=0，
又(ω-i)-(z+i)=(a-x)+(b- y-2)i，(ω-i)-z+i=(a-x)+(b+ y)i，若ω-i和z+i伴随，则b- y-2=0或b+ y=0，
所以ω-i和z+i伴随的充要条件是b+ y=0，即Imω+Imz=0.
10．（2024·上海·高考真题）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P ,P ,P ∈Ω，存在不全为0
1 2 3
的实数λ ,λ ,λ ，使得λ ⃗OP +λ ⃗OP +λ ⃗OP =0⃗．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是（ ）
1 2 3 1 1 2 2 3 3
A．(0,0,0)∈Ω B．(-1,0,0)∈Ω
C．(0,1,0)∈Ω D．(0,0,-1)∈Ω
【答案】C
【分析】首先分析出三个向量共面，显然当(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)∈Ω时，三个向量构成空间的一个基底，则即可
分析出正确答案.
【详解】由题意知这三个向量⃗OP ,⃗OP ,⃗OP 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
1 2 3
对A，由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(0,0,0),(1,0,0)∈Ω无法推出
(0,0,1)∉Ω，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知(-1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(-1,0,0),(1,0,0)∈Ω无法推出
(0,0,1)∉Ω，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由(1,0,0),(0,1,0)∈Ω能推出(0,0,1)∉Ω，
对D，由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面，
则当(0,0,-1)(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故D错误.
故选：C．
二、填空题
11．（2026·上海·高考真题）已知集合A={2,4}，B={2,3,m}，若A⊆B，则m=____________.
【答案】4
【分析】利用子集的定义求解.
【详解】∵A={2,4}，B={2,3,m}，A⊆B，∴集合A中所有的元素都在集合B中，
∴集合A中的元素4在集合B中，
∴m=4.
故答案为：4.
三、解答题
12．（2025·北京·高考真题）已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8},M={(x,y)∣x∈A,y∈A}，从M中选取n个不同的
元素组成一个序列：(x ,y ),(x ,y ),…,(x ,y )，其中(x ,y )称为该序列的第i项(i=1,2,…,n)，若该序列的相邻
1 1 2 2 n n i i
项(x ,y ),(x ,y )满足：¿或¿，则称该序列为K列．
i i i+1 i+1
(1)对于第1项为(3,3)的K列，写出它的第2项．
(2)设Γ为K列，且Γ中的项(x ,y )(i=1,2,…,n)满足：当i为奇数时，x∈{1,2,7,8}：当i为偶数时，
i i i
x∈{3,4,5,6}.判断(3,2)，(4,4)能否同时为Γ中的项，并说明理由；
i
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
【答案】(1)(6,7)或(7,6)
(2)不能，理由见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设(3,2)与(4,4)能同时在Γ中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4,4)不能同时在Γ中的结论；
（3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【详解】（1）根据题目定义可知，¿或¿，
若第一项为(3,3)，显然x =0或-1不符合题意（不在集合A中），所以下一项是(6,7)或(7,6)；
2
（2）假设二者同时出现在Γ中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设(3,2)在(4,4)之前.
显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在Γ中，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在Γ中.（3）法1：若M中的所有元素构成K列，考虑K列中形如(x ,y )(x ,y∈{1,2,7,8})的项，
i i i i
这样的项共有16个，由题知其下一项为(x ,y ),x ,y ∈{3,4,5,6}，共计16个，
i+1 i+1 i+1 i+1
而(x ,y )≠(3,3),(6,3),(3,6),(6,6)，因为只能6由2来，3只能由7来，
i+1 i+1
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个(x ,y )，有12个(x ,y )与之相对应，矛盾．
i i i+1 i+1
综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．
法2：假设全体元素构成一个K列，则n=64.
设T ={(x,y)|x∈{1,2,7,8},y∈{1,2,3,4,5,6,7,8}}，T ={(x,y)|x∈{3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6,7,8}}.
1 2
则T 和T 都包含32个元素，且T 中元素的相邻项必定在T 中.
1 2 1 2
如果存在至少两对相邻的项属于T ，那么属于T 的项的数目一定多于属于T 的项的数目，
2 2 1
所以至多存在一对相邻的项属于T .
2
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2m和2m+1，
否则将导致属于T 的项的个数比属于T 的项的个数多2，此时m=1,2,3,⋯,31.
2 1
从而这个序列的前2m项中，第奇数项属于T ，第偶数项属于T ；
1 2
这个序列的后64-2m项中，第奇数项属于T ，第偶数项属于T .
2 1
如果不存在相邻的属于T 的项，那么也可以看作上述表示在m=0或m=32的特殊情况.
2
这意味着必定存在m∈{0,1,2,...,32}，使得¿.
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故T 中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量
1
一定分别是m和32-m（不一定对应）.
但容易验证，T 和T 都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以m=32-m=16，得
1 2
m=16.
从而有¿.
这就得到T ={(x ,y )|k=1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64} .
1 k k再设T ={(x,y)|x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},y∈{1,2,7,8}}，T ={(x,y)|x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},y∈{3,4,5,6}}.
3 4
则同理有¿.
这意味着T ={(x ,y )|k=1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64} .
3 k k
从而得到T =T ，但显然它们是不同的集合，矛盾.
3 1
所以由M的全部元素组成的序列都不是K列．
