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重难点培优01 集合、常用逻辑用语及其参数、新定义问题
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01 知识重构·重难梳理固根基.............................................................................................................1
02 题型精研·技巧通法提能力.............................................................................................................3
题型01 元素与集合关系及其参数问题（★★）...........................................................................................3
题型02 集合间的基本关系及其参数问题（★★★）...................................................................................4
题型03 集合的基本运算及其参数问题（★★★★）...................................................................................5
题型04 充分必要条件及其参数问题（★★★★）.......................................................................................6
题型05 全称量词与存在量词及其参数问题（★★）...................................................................................7
题型06 集合中新定义问题（★★★★）.......................................................................................................8
03 实战检测·分层突破验成效...........................................................................................................10
重难知识巩固......................................................................................................................................................10
创新能力提升......................................................................................................................................................14
知识重构·重难梳理固根基
知识点01 集合常用结论
1、常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
*
N 或
+
N
Z
Q
R
2、有限集的子集个数确定
如果集合A 中含有n 个元素，则有
（1）A 的子集的个数有2n个．
（2）A 的非空子集的个数有2n－1 个．
（3）A 的真子集的个数有2n－1 个．
（4）A 的非空真子集的个数有2n－2 个．
3、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围
对于两个集合
和
，
或
中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法：
（1）分类讨论：若
，在未指明
非空时，应分为
和
两种情况来讨论．
（2）数形结合：对
这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出
来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解．
4、集合的运算性质
（1）
，
，
．
（2）
，
，
．
（3）
，
，
．
（4）
．
（5）
,
．
5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn 图表示两集合的
交、并、补。如果用card 表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A 的元素个数，则有如下结
论：
（1）
（2）
知识点02 集合中的新定义问题
1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知
识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学
中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的
集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
4、集合新定义问题处理步骤
①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”
哦；然后找出要素分别是什么
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素
④解：结合数学知识进行解答．
知识点03 从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q 以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B 可得，p 是q 的充分条件，
（1）若A
B，则p 是q 的充分不必要条件；
（2）若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
（3）若A
B，则p 是q 的必要不充分条件；
（4）若A＝B，则p 是q 的充要条件；
（5）若A⊈B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要
不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
题型精研·技巧通法提能力
题型01 元素与集合关系及其参数问题
【技巧通法·提分快招】
与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧
（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.
（2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.
（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.
（4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.
1．已知集合
，
，则集合
中的元素个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．集合
的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．18
3．（2026·江西·模拟预测）已知集合
，若
，则
（ ）
A．10 或18
B．
或
C．18
D．
4．设集合
，
，若
，则
的值为________．
5．（2025·河南·一模）集合
，集合
，对任意
，有
，则集
合M 中元素个数的最大值是_____.
题型02 集合间的基本关系及其参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做
到不漏解.
①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互
异性.
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点
值能否取到.
2、集合的子集与真子集结论
（1）若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真
子集有
个．
（2）空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
（3）
．
1．（2026·陕西·二模）已知集合
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·湖北武汉·阶段检测）集合
，则满足
的集
合
的个数为（ ）
A．4
B．7
C．15
D．16
3．（2026·青海西宁·二模）已知集合
，若
，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，集合
有8 个子集，则
的一个值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．已知集合
，
，
，则M、N、P 的
关系满足（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·河北·开学考试）已知
是三个集合，且满足
，则满
足条件的有序集合对
的总数是__________.（用数字作答）
7．已知数列
是首项为
，公差为
的等差数列，集合
，则集合
的子集个数为
____．
题型03 集合的基本运算及其参数问题（交并补）
【技巧通法·提分快招】
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·重庆·二模）已知集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知集合
为全集，集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合
，
．若
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研
学参观、
技术培训类拓展课程．高三某班学生共有
人报名参加拓展课程，其中有
人报名参加劳
动实践，有
人报名参加研学参观，有
人报名参加
技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的
有
人，同时报名参加研学参观和
技术培训的有5 人，只参加
技术培训的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选题）（2026·四川成都·模拟预测）已知集合
，
，
则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
B．
，
C．当且仅当
时，
D．
，使得
8．已知集合A＝
，
，若
，则实数a 的取值范围是________.
9．（2026·安徽合肥·一模）已知集合
，
，同时满足
，
，则
___________．
题型04 充分必要条件及其参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、充分必要条件的判断
若p 以集合A 的形式出现,q 以集合B 的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则
(1)若A B,
⊆
则p 是q 的充分条件.
(2)若B A,
⊆
则p 是q 的必要条件.
(3)若A B,
⫋
则p 是q 的充分不必要条件.
(4)若B A,
⫋
则p 是q 的必要不充分条件.
(5)若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集,则p 是q 的既不充分也不必要条件.
2、参数问题
根据条件与结论之间的充分、必要性求解参数的取值范围问题,首先根据条件和结论对应的命题理出推出关
系,并将该推出关系转化为构成条件和结论对应的集合的子集、真子集关系,再构建不等式(组)求解.
1．已知直线
，则
的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或2
2．“
”是“
”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（25-26 高三下·云南昭通·期中）“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2026·江苏扬州·三模）已知单位向量
，
，则
是“存在实数
，使得
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2026·福建福州·三模）记
为等比数列
的前
项和，设甲：
为等差数列，乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．已知
，
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·上海嘉定·阶段检测）已知
，
，若
是
的充分条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
；
B．
C．
D．
题型05 全称量词与存在量词及其参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧
（1）全称量词命题的真假判定:
要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立;但要判定全称量词命
题是假命题,只需举出集合M 中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
（2）存在量词命题的真假判定:
要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M 中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命
题就是假命题.
2、利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
（1）含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数
的最值问题.
（2）含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,最终借助根的判别式或函数
等相关知识来解决.
（3）根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范
围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题.
1．（2026·广西崇左·二模）已知命题
：
，
，命题
：
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．命题“
，使
”是假命题的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知命题
，命题
，不等式
恒成立，若p 和q 有且仅有
一个正确，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 集合中新定义问题
【技巧通法·提分快招】
解决以集合为背景的新定义问题的关键点
（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要
求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相
关性质求解.
1．（2026·河南开封·二模）定义集合
且
，已知集合
，
，若
，则下列一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之
一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式表
示
和
除以
的余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合
中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·四川·阶段检测）我们定义：一个集合的“极差”为该集合最大元素与最小元素的差值．
则集合
的极差为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
4．（25-26 高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组
，有序
数组
，定义“间距置换”：
，
，
.已知有序数组
，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组
，且
中所有数之和为2026，则
（ ）
A．1004
B．1007
C．1010
D．1013
5．（多选题）群的概念由数学家伽罗瓦在19 世纪30 年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，
但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合，“
”是一个适用于
G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G 对“o”构成一个群：（1）封闭性，即若
，则
存在唯一确定的
，使得
；（2）结合律成立，即对G 中任意元素
都有
；
（3）单位元存在，即存在
，对任意
，满足
，则称为单位元；（4）逆元存在，
即任意
，存在
，使得
则称a 与b 互为逆元.根据以上信息，下列说法中错误的是
（ ）
A．
关于数的乘法构成群
B．
关于数的加法构成群
C．
和
均关于数的加法构成群
D．
关于数的乘法构成群
6．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S 是全体复数集
的一个非空子集，如果
，总有
，则称S 是数环．设
是数环，如果①
内含有一个非零复数；②
且
，
有
，则称
是数域．由定义知有理数集
是数域．
(1)求元素个数最小的数环
；
(2)证明：记
，证明：
是数域；
(3)若
是数域，判断
是否是数域，请说明理由．
7．（25-26 高三上·江西南昌·阶段检测）对于给定的闭区间
，现将按如下规则构造的区间列
称为
的“就近隔离区间列”：
（i）确定
，取
；
（ii）确定
，若
与
的交集为空集，则
，否则判断
与
的交集是否为空集，若为空集，则
，否则判断
与
的交集是否为空集，若为空集，则
，以此类推，直到找到
，设
；
（iii）确定
，若
与
的交集为空集，则
，否则判断
与
的交集是否为空集，若为空
集，则
，以此类推，直到找到
，设
；
（iv）依照（ii）（iii）的方法依次确定
.
已知数列
满足
，区间
是
的“就近隔离区间列”.
(1)求
的通项公式及
.
(2)证明：
.
(3)设是给定的正整数，求集合
中的元素之和
.
实战检测·分层突破验成效
重难知识巩固
1．（2026·湖南郴州·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（ ）
A．命题
，
，则命题p 的否定是：
，
B．“
”是“
”的充分不必要条件
C．方程
的两根都大于1 的充要条件是
D．
是关于x 的不等式
对一切实数x 恒成立的充要条件
4．（25-26 高三上·河南·阶段检测）已知a 为实数，p:
在
(0，+∞)上单调递增，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知命题
；命题
，若p 为假命题，q 为真命题，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设集合
，
，若
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
或
7．（25-26 高三下·上海·阶段检测）已知集合
，
，则
的子集个
数为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
8．（2026·江苏·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．若“
”是“
”的一个充分不必要条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知集合
，集合
，集合
，则以下元
素属于集合
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025 年我国暑期档票房前三名.高一（1）班
共有28 名同学，有15 人观看了《南京照相馆》，有8 人观看了《浪浪山小妖怪》，有14 人观看了《长安
的荔枝》，有3 人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3 人同时观看了《南京照相馆》和
《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A．6 人
B．7 人
C．8 人
D．9 人
12．已知全集为
，集合
，
满足
，则下列运算结果为
的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
13．（2026·河南·模拟预测）已知
，
，
在
上单调
递增，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合
，若集合A、B 满足：
，则集合对
共有（ ）个．
A．36
B．48
C．64
D．81
15．（2026·山东聊城·三模）记等差数列
的前n 项和为
，则“
的公差为2”是“
为等差
数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．（2026·山东临沂·二模）已知集合
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
17．（25-26 高三上·上海·期中）已知集合
，
，若
，
则满足条件的集合
个数为（ ）
A．408
B．409
C．410
D．411
18．（2025 高三·北京·专题练习）对于数集
，
，它们的Descartes 积
，则下
列选项错误的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．集合
表示
轴所在直线
19．（2026·北京朝阳·一模）已知函数
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
20．（25-26 高三上·山东青岛·期中）已知函数
的定义域为
，对于正实数
，定义集合
，则（ ）
A．若
，则对于任意正实数
，集合
中有无限多个元素
B．若
，则
中可能含有
个元素
C．若
，则
D．若
，
，则
21．设集合
是实数集
的子集，如果
满足：对任意
，都存在
，使得
，称
为集合
的聚点，则在下列集合中，以0 为聚点的集合有（ ）
①
②
③
④
A．①②
B．①③
C．②③
D．①③④
22．（25-26 高三上·上海·阶段检测）设集合
中元素均为正整数，且至少有两个元素，若
满足：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
．则关于下面两个
命题，说法正确的是（ ）
命题
：若S 有3 个元素，则
有4 个元素．
命题
：若
有4 个元素，则
有7 个元素．
A．
是真命题，
是真命题
B．
是真命题，
是假命题
C．
是假命题，
是真命题
D．
是假命题，
是假命题
23．（2025·湖南长沙·三模）已知数列
，
，记集合
的元素个数为
.
(1)若
为1，2，4，8，12，写出集合
，并求
的值；
(2)若
为1，3，a，b，且
，求
和集合
；
(3)若数列
项数为，满足
，求证：“
”的充要条件是“
为等比数
列”.
24．（24-25 高三下·浙江·开学考试）定义：
为在集合
中去掉一个元素
后得到的集合；
为集
合
中的所有元素之和.已知由
个正整数组成的集合
，若对于
，都存在两个集合
，使得
，且
，就称集合
为“完美集”.
(1)若
，判断
是否为“完美集”，并说明理由；
(2)若集合
是“完美集”，证明：
是奇数；
(3)若集合
是“完美集”，且
中所有元素从小到大排序后能构成一个等差
数列，则称
为“等差完美集”.已知集合
是“等差完美集”，求
的最小值.
创新能力提升
1．已知
，若命题“
或
”为真命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·北京西城·二模）已知正方体W 和平面
，则“正方体W 的8 个顶点中存在6 个到平面
的距
离相等”是“平面
将正方体W 分成体积相等的两部分”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2026·北京昌平·二模）设
，函数
有最大值的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·上海宝山·阶段检测）已知集合
，若对于任意
，总存在
与之相应的
(其中
)，使得
成立，则称集合
是“
集
合”．下列为“
集合”的有（ ）个
①
②
③
④
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（多选题）（2026·福建厦门·模拟预测）已知
，
，…，
，…均为有限实数集，记
中的最大元
素为
，
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
中所有元素的平均数为191
D．
中所有元素的和为3008
6．（2026·河南许昌·三模）已知
，
，
，
，若
且
，则
____________．
7．（25-26 高三下·江苏扬州·阶段检测）设集合
，若对于满足
的任意k 个
元素的集合
，都存在
，
使得
，则k 的最小值是______．
8．（2026·山东·模拟预测）对于集合
，定义
，若
，则称
为理想
集．例如，
不是理想集，而
是理想集．
(1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由；
①
；②
；③
．
(2)若存在
个非空理想集
，
，…，
，且
，使得
，则称
是
可分的，记
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
．
