文档文本内容
培优冲刺 02 比大小归类
目录
题型一：选取中间值：0与1型..........................................................................................................................................1
题型二：选取中间值：临界值型........................................................................................................................................2
题型三：利用基础函数单调性：对数函数型....................................................................................................................2
题型四：利用基础函数单调性：指数函数型....................................................................................................................3
题型五：利用基础函数单调性：三角函数型....................................................................................................................4
题型六：比大小基本方法：做差比较法............................................................................................................................6
题型七：比大小基本方法：做商比较法............................................................................................................................7
题型八：比大小基本方法：幂次方放大法........................................................................................................................7
题型九：对数同构分离型....................................................................................................................................................8
题型十：放缩型....................................................................................................................................................................9
题型十一：构造：指数幂型................................................................................................................................................9
题型十二：构造：对数与幂函数型..................................................................................................................................10
题型十三：构造：对数线性函数构造型..........................................................................................................................10
题型十四：构造：指数线性构造......................................................................................................................................11
题型十五：构造：三角线性构造......................................................................................................................................11
题型十六：构造：泰勒展开型..........................................................................................................................................12
题型十七：比较难的构造型..............................................................................................................................................13
题型一：选取中间值：0与1型
解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础
的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分，负数多以-1为分界点划分。
1.设 ， ， ，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2.定义在 上的函数 ，若 ， ， ，则比较 ， ， 的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
4.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：选取中间值：临界值型寻找非0、1的中间变量，中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然后可以对
区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。
1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值
3.利用幂指对等函数计算公式进行适当的放缩转化
1.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2.若 ，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A．a<b<c<d B．d<b<c<a C．b<d<c<a D．d<c<b<a
3.若 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：利用基础函数单调性：对数函数型
对数函数
图
象
（1）定义域： _.
（2）值域：
性
质 （3）过定点 ，即x=_1_时，y=0
（4）在 _ 上增函数 （4）在 上是减函数（5） ； （5） ；
对数比较大小
①同底数对数比较，用单调性比较；
②同真数对数比较，画图像比较；
③不同底也真对数比较，借助媒介“0和1”.
④对数与指数之间比较，一般借助媒介“0和1” .
1.已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2.已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4.已知 ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
题型四：利用基础函数单调性：指数函数型
指数函数
图
象
（1）定义域： _.
性
质 （2）值域：（3）过定点 ，即x=_1_时，y=0
（4）在 _ 上增函数 （4）在 上是减函数
（5） ； （5） ；
指数幂比较大小
①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较；
②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较；
③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”.
1.设 ， ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3.若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4.设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：利用基础函数单调性：三角函数型
三角函数图像与性质函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义 {x|x∈R且x≠＋
R R
域 kπ，k∈Z}
值域 [－1，1] [－1，1] R
[－π＋2kπ，2kπ]
[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
单调 上递增； (k∈Z)上递增； (－＋kπ，＋kπ)
性 [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上 [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递增
递减
(k∈Z)上递减
x＝＋2kπ(k∈Z)时，y ＝ x＝2kπ(k∈Z)时，
max
1； y ＝1；
max
最值
x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y x＝π＋2kπ(k∈Z)时，
min
＝－1 y ＝－1
min
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
对称 (＋kπ，0)
(kπ，0)(k∈Z) (，0)(k∈Z)
中心 (k∈Z)
对称
x＝＋kπ
轴 x＝kπ(k∈Z)
(k∈Z)
方程周期 2π 2π π
三角函数与三角函数值比较大小：
1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小
2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当 (0， )时，
3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小
1.下列选项中两数大小关系错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3.sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4. ， ， ，则 ， ， 的大小
关系是（ ）
A． B． C． D．
题型六：比大小基本方法：做差比较法
差比法：作差，变形，判断正负。
其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者计算化
简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。
1.已知实数 ， ， ，那么实数 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2.若 ， ， ，则关于a、b、c的大小关系，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．3.设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4..已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B．
C． D．
题型七：比大小基本方法：做商比较法
商比法：
两个正数 ，如果 ，则 ，运用商比法，要注意两个数是正数还是
负数
1.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2.若正实数 ， ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知0<a<b<1，设m=blna，n=alnb， ，则m，n，p的大小关系为（ ）
A．m<n<p B．n<m<p C．p<m<n D．p<n<m
4.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型八：比大小基本方法：幂次方放大法
指、对、幂大小比较的常用方法：
（1）底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
（3）底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行
大小关系的判定.1.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型九：对数同构分离型
利用对数运算，把对数值转化为一个相同整数+一个小数（多为0-1之间的
数），然后再比较小数部分的大小
1.若 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2. ､ ､ 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型十：放缩型放缩：
1.借助幂指对函数的单调性进行放缩。
2.常用一些放缩公式：
;
当 时取等;
,当 时取等,
1.若 ， ， ，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2.已知 ， ， 则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4.若 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型十一：构造：指数幂型
指数幂型构造特征：
多以e为底数，构造x ，x/ , /x，以及f（x）与 的乘除型函数，求导，
判断单调性比大小
1．已知 ， ， ，则有（ ）
A． B．
C． D．
2.已知 为R上的奇函数， ，若 在区间 上单调递减.若 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．3.设 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4.设 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型十二：构造：对数与幂函数型
对数幂型构造特征：
多以e为底数，构造xlnx，x/lnx,lnx/x，以及f（x）与lnx的乘除型函数，求
导，判断单调性比大小
1.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2.设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3.已知实数a，b，c满足 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4.设 ， ， （ ），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型十三：构造：对数线性函数构造型
对数线性型构造特征：
多以e为底数，构造 等形式函数，求导，判断单调性比大小
1.已知实数a，b，c满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
3.设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4.设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
题型十四：构造：指数线性构造
指数线性型构造特征：
多以e为底数，构造 +kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小
1.）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4.若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型十五：构造：三角线性构造
三角线性型构造特征：
构造 或 等形式函数，求导，判断单调性比大小
1.设 ，则（ ）
A． B． C． D．
2.设 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
3.已知 ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4.设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型十六：构造：泰勒展开型
麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，
，
，
，
，
.
1.设 ， ， ，则
A． B． C． D．
2. 设 ， ， ．则（ ）
A. B. C. D.
3.设 ， ， ，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型十七：比较难的构造型
1.已知实数 ， ， ，(e为自然对数的底数)则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．2.已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
