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专题2-2 幂指对三角函数比大小归类
目录
题型01 比大小基础：幂指数函数性质...............................................................................................................................1
题型02 比大小基础：对数函数性质..................................................................................................................................3
题型03 比大小基础：三角函数性质..................................................................................................................................4
题型04 临界值型：0 与1 分界........................................................................................................................................... 7
题型05 临界值型：中间值..................................................................................................................................................8
题型06 作差比较法............................................................................................................................................................10
题型07 作商比较法............................................................................................................................................................11
题型08 三角函数与幂指对................................................................................................................................................13
题型09 构造函数求导：对数幂型....................................................................................................................................15
题型10 构造函数求导：指幂型........................................................................................................................................17
题型11 构造函数求导：对数线性型................................................................................................................................19
题型12 构造函数求导：指数线性型.................................................................................................................................20
题型13 构造函数求导：三角函数线性型.........................................................................................................................23
题型14 泰勒展开型比大小................................................................................................................................................25
高考练场.............................................................................................................................................................................. 27
题型01 比大小基础：幂指数函数性质
【解题攻略】
幂函数图像
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
1
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性质
过定点
(0,1)
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
【典例1-1】（2023 上·内蒙古赤峰·高三校考期中）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为函数
单调递减，所以
，
又幂函数
在
上单调递增，所以
，所以
，
因为函数
单调递增，所以
，所以
.故选：D
【典例1-2】．（2023 上·河北邢台·高三邢台市第二中学校联考阶段练习）设
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“0”、“1”分析判断.
【详解】因为
在
上单调递增，且
，则
，即
，
又因为
在
上单调递减，且
，则
，即
，
又因为
在
上单调递减，且
，则
，即
，所以
.故选：B.
【变式1-1】（2023 上·河南南阳·高一统考期中）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性判断．
【详解】
，又
，指数函数
是增函数，所以
，即
，
，而
，幂函数
是增函数，所以
，即
，
所以
，故选：A．
【变式1-2】（2023 上·福建泉州·高三泉州七中校考）设
，
，
，则a，b，c 的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较大小.
【详解】由
在定义域上单调递减，所以得：
，
由
在定义域上单调递增，所以得：
，
即：
.故A 项正确.故选：A.
2
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【变式1-3】（2023 上·新疆伊犁·高三校联考）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和幂函数的性质，求得
的范围，即可求解.
【详解】因为
在
内单调递增，则
，
又因为
在
上单调递减，则
，可得
，
且
在
上单调递增，则
，所以
.故选：B.
题型02 比大小基础：对数函数性质
【解题攻略】
对数函数性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1 时，y＝0
函数值的变
化
当0＜x＜1 时，y＜0；
当x＞1 时，y＞0
当0＜x＜1 时，y＞
0；
当x＞1 时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函
数
是(0，＋∞)上的减函
数
【典例1-1】（2023 上·四川成都·高三校考）已知a，b 是实数,则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由指数函数和对数函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为
在
上单调递增，所以
可得
，
因为
在
上单调递增，所以
可得
，
所以
推不出
，
如
，满足
，但推不出
，
能推出
.
故“
”是“
”的必要不充分条件.故选：C.
【典例1-2】（2023 上·江苏南京·高三统考）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可做出判断.
3
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【详解】对于
，因为函数
在
上单调递减，且
，所以
，即
；
对于
，因为函数
在
上单调递增，且
，所以
，即
；
对于
，因为函数
在
上单调递增，且
，所以
，即
；
综上所述，
.故选：D.
【变式1-1】（2023 上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知
则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换底公式得到
，利用函数
的单调性，得到
，利用
的
单调性得到
，即可得出结果.
【详解】因为
，
，
又函数
在定义域上单调递增，
，所以
，
又易知，
，
，所以
，
，故选：C.
【变式1-2】（2023 上·河南周口·高三校考阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和对数函数的图象与性质判断
三个数的范围即可得出它们的大小关系.
【详解】因为
，
由对数函数
的图象与性质知
，∴
；
∵由对数函数
的图象与性质知
，∴
；
∵由指数函数
的图象与性质知
，∴
；∴
．故选：A.
【变式1-3】（2023 上·山东潍坊·高三统考期中）已知
则
，
，的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指对数函数的性质和特殊值比较法判断
，
，的大小.
【详解】因为
，
，所以
，
，所以
，
所以
，故选：B.
4
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题型03 比大小基础：三角函数性质
【解题攻略】
三角函数图像性质
5
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函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义
域
R
R
{x|x∈R 且x≠＋
kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调
性
[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
上递增；
[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上
递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－＋kπ，＋kπ)
(k∈Z)上递增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax
＝1；
x ＝－＋2kπ(k∈Z) 时，
ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－1
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
(kπ，0)(k∈Z)
(＋kπ，0)
(k∈Z)
(，0)(k∈Z)
6
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【典例1-1】（2021 届黑龙江省哈尔滨六中高三下学期第四次模拟理科数学试卷）若
，且
，
，
，则
大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
试题分析：∵
， ∴
，∴
，
，
，
∴
．
【典例1-2】（山东省德州市齐河县第一中学2020-2021 学年高三上学数学试题）
设
，
，
，则
的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先利用两角差的正弦公式，正弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系、诱导公式和余弦的二倍角公式
化简
，再利用正弦函数的单调性即可求解.
【详解】
，
，
，
因为
在
单调递增，
，
所以
，即
，故选：B.
【变式1-1】（河南省郑州市第四高级中学2020-2021 学年高三下学期5 月月考数学试题）已知
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
本题首先可通过诱导公式以及两角和的余弦公式得出
、
，然后通过函数
在区间
上是减函数即可得出结果.
【详解】
，
，因为函数
在区间
上是减函数，
，
所以
，即
，故选：C.
【变式1-2】已知
，
，
，
，则
，
，的大小关系是（
7
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）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
因为
，故可得
，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小.
【详解】因为
，故可得
，根据指数函数
是单调减函数，
可得
，即可得
；根据幂函数
是单调增函数，
可得
，即可得
综上所述：
.故选：A.
【变式1-3】已知
，
，
，则
，
，的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
可以看出
，直接排除A、B，再比较
，从而选出正确答案.
【详解】
可以看出
是一个锐角，故
；又
，故
；又
，而
，
故
；从而得到
，故选C.
题型04 临界值型：0 与1 分界
【解题攻略】
解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础
的是以正负划分，正数则以1 为区间端点划分。
【典例1-1】．（2024 上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知
，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用“
分段法”确定正确答案.
【详解】
，
，所以
.故选：B
【典例1-2】（2023 上·吉林长春·高三长春外国语学校校考）若
，
，
，则a，b，c
的大小关系为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据“
分段法”确定正确答案.
【详解】
，
，
，
所以
.故选：D
8
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【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b，c，d 满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.
【详解】由
，
，
，得
，
，
，
，
所以
，
，
．
因为
，
，
，
.
所以
，故选：D．
【变式1-2】（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022 学年高三上学期第2 次（12 月）数学试题）已知
，
，
，则
，
，三者的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质比较即可
【详解】因为
在
上为减函数，且
，
所以
，即
，
因为
在
上为增函数，且
，所以
，
所以
，所以
故选：C
【变式1-3】（重庆市育才中学2021-2022 学年高三上学期数学试题）已知
，
，
，
则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的单调性比较可得选项.
【详解】
解：
，
，
，
所以
．故选：C．
题型05 临界值型：中间值
【解题攻略】
寻找非0、1 的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然后
可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。
1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值
9
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【典例1-1】（2023 上·浙江·高三校联考）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由对数的运算性质可得
，
，
，即可得出答案.
【详解】
，
，
，故
故选：C.
【典例1-2】（2023 上·四川成都·高三校考）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，确定
，
，的范围，即可得出答案.
【详解】
，
，
，
，
所以
.故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】应用对数函数的单调性及放缩法对
进行估值即可判断.
【详解】
，且
，故
，
，即
.
由
可得
，又
，故
.则
.故选：C
【变式1-2】（2023 上·江苏·高三专题练习）已知
，
，
，则x，y，z 的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x，y，z 的取自范围，即可得出结论.
【详解】根据题意可得
，
，
利用对数函数单调性可知
，即
；
又
，可得
；
而
，即
；综上可得
.故选：C
10
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【变式1-3】（2023 上·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c 满足
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数运算性质运算即可比较大小.
【详解】由
，得
，即
，即
．
，
，
综上可知
.故选:A．
题型06 作差比较法
【解题攻略】
差比法：作差，变形，判断正负。
其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者计算
化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。
【典例1-1】（2023 上·江西·高三统考）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由对数的运算性质进行化简可得
，
，再作差，结合基本不等式可比较a,b 的大小.
【详解】由
得
，即
，
，
又
，
所以
，故选：C.
【典例1-2】（2023 上·全国·高三专题练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质可得
，即可得
，由作差法即可判断
.
【详解】
，
，故
，
由于
，所以
，故
，
11
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因此
，故选：B
【变式1-1】（2023 上·四川成都·高三校考）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先变形比较
，再根据对数函数的性质和比较，即可判断选项.
【详解】
，
，
则
，即
，
，所以
.故选：A
【变式1-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用作差法，再结合对数函数
的单调性分别判断
和
的大小关系，即可判断出
的大小关系.
【详解】因为
，所以
；
又因为
，所以
；
综上所述：
.故选：C.
【变式1-3】（2023 下·河南安阳·高二统考期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对数的性质比较
的大小关系，再利用作差法比较
的大小关系.
【详解】因为
，所以
，
又因为
，且
，所以
，
所以
，即
，因此
，故选:C.
题型07 作商比较法
【解题攻略】
商比法：
两个正数a，b，如果
，运用商比法，要注意两个数是正数还是负数。
【典例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若
，
，
，则
，
，的大小关
12
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系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据指对函数的单调性可得
，
，
，再作商比较
的大小，从而可求解.
【详解】因为
，
，
令
，而
，即
，所
以
，又因为
，所以
.故选：D
【典例1-2】（2023 上·天津南开·高三南开中学校考）
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由对数性质及基本不等式比较各数的大小.
【详解】由
，
由
，即
，故
，
综上，
.故选：A
【变式1-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
，
，作商
，利用基本不等式可得
，得
，根
据对数函数的单调性可得
.
【详解】
，
，
，
所以
，
，所以
.故选：A
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先证明
，利用比商法结合基本不等式证明
，再根据对数运算性质，结合对数函数
性质证明
即可得结论.
【详解】因为
，
，
13
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所以
，
又
，所以
，所以
，所以
，故
，
因为
，
又
，所以
，所以
，
所以
，又
，所以
，所以
，故选：A.
【变式1-3】（2023 下·四川泸州·高三泸县五中校考阶段练习）设
，
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用对数函数单调性以及作商法，可得答案.
【详解】由
，则
，
，
由
，且
，则
，
由
，则
，故
，
，
由
，
，
，则
，
由
，
，
，则
，
综上可得
.故选：A
题型08 三角函数与幂指对
【解题攻略】
三角函数与三角函数值比较大小：
1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小
2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当
(0，
)时，
3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小
【典例1-1】（广东省深圳外国语学校高中园2022-2023 学年高三上学期学段（三）数学试题）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角函数单调性得出
，作商比较
与
，得出
，即可得出
，
同取
以2 为底的对数得出
与
，则只需比较
与
即可，根据对
14
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数运算与单调性得出
，即可比较得出
，即可得出答案.
【详解】
，即
，
，即
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，即
，
，即
，综上
，故选：D.
【典例1-2】（广西南宁市银海三雅学校2022-2023 学年高三上学期第一次考试数学学科试题）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数的单调性得到
，
的大小，再利用余弦的诱导公式和单调性得的范围比较即
可．
【详解】解：因为
，
，则
，
又因为
，
，则
所以
，故选：B．
【变式1-1】（四川省成都市实验外国语学校2022-2023 学年高三上学期考试数学试题）已知
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断
大于
，
小于
；然后判断
大于
，小于
，从而确定正确答案.
【详解】
，
在区间
上单调递减，
，
所以
，
，所以
是最小的.
.
，即
，所以
.故选：B
【点睛】比较代数式的大小，可以考虑利用类似“
分段法”的方法进行求解.本题中是利用了“
”
进行分段.分段的标准要考虑题目具体的数值类型来判断.如本题中，涉及了三角函数、对数函数、指数运
算等知识.
15
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【变式1-2】已知实数
，
，
，则这三个数的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的图象和性质可得：
，然后再比较
的大小关系即可.
【详解】因为
，所以
，
又因为
，
而
，所以
，
所以
，故选：
.
【变式1-3】（河南省济源市、平顶山市、许昌市2022 届高三文科数学试题变式题11-15）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的单调性可得
，令
，利用导数求其单调性可得
，由
可得
，即可求解
【详解】因为
在
内单调递增，且
，
所以
，令
，所以
，
当
，
单调递增；当
，
单调递减；
所以
，所以
即
，
因为
，且
，
所以
，综上，
故选：B
题型09 构造函数求导：对数幂型
【解题攻略】
构造对数型函数：
由对数性质logaMn＝n log
aM (n∈R，常见得式子可以同构为
型
【典例1-1】（福建省厦门海沧实验中学2021-2022 学年高二下学期期中考试数学试题）已知
，
，
，则
，
，的大小关系是
A．
B．
C．
D．
16
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【答案】B
【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用
函数的单调性判断大小．
【详解】对于
的大小：
，
，明显
；
对于
的大小：构造函数
，则
，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，
即
对于
的大小：
，
，
，
故选B．
【典例1-2】（广东省揭阳市2021-2022 学年高三上学期数学试题）已知
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，由导数可判断出
在
上单调递增，从而可得
，化简变形可比较出a，b，c 的大小关系
【详解】令
，可得
，当
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，所以
，
即
，得
，
，又已知
，
，
，
所以
，故选：D.
【变式1-1】设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，求导判断其单调性即可．
【详解】令
，
，令
得，
，
当
时，
，
单调递增，
，
，
，
，
，
，故选：A．
17
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【变式1-2】（北京市铁路第二中学2021-2022 学年高三考试数学试题）设
，
，
（
），则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数
的单调性对a，b，c 进行大小比较即可.
【详解】令
，则
由
，得
，由
，得
则
在
单调递减，在
单调递增，在
时取最小值.
故
，且
又由
，可得
，则
即
，则
综上，有
，即
故选：A
【变式1-3】（河南省商丘市商丘名校2021-2022 学年高三联考数学理科试题）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，
，由导函数得到
在
上单调递减，又
，
，
，
，从而得到
.
【详解】令
，
，则
．则当
时，
，
所以函数
在
单调递减，因为
，
，
，
，所以
，即
．故选：A．
题型10 构造函数求导：指幂型
【解题攻略】
指数幂形式，比较常见的是以e 为底的指数函数与幂函数的积或商的形式：
【典例1-1】（2023 上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知
，
，
，则有（ ）
A．
B．
18
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C．
D．
【答案】D
【分析】令
，利用导数说明
在
上单调递减，即可得到
，再令
，利用导数证明
，即可得到
，从而得到
.
【详解】令
，有
，
所以当
时
，即
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
，即
，
令
，则
，所以当
时
，即
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，所以
，所以
，
综上可得
.故选：D.
【典例1-2】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对数的换底公式可得
，进而得到
，构造函数
，利用导数分析单调性
可得
在区间
上单调递增，进而得到
，进而得到
，进而求解即可.
【详解】因为
，
，所以
．
令函数
，所以
，令
，即
，
所以
在区间
上单调递增，所以
，即
，即
，
所以
．故选：B.
【变式1-1】（2023 上·云南昆明·高三校考阶段练习）设
，
，
，设a，b，c 的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，由导数判断单调性后比较．
【详解】解：构造函数
，则
，
当
时，
，函数
在
上为减函数，
19
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而
，
，
，又
，
所以
，即
，故选：A
【变式1-2】（2023 下·江西上饶·高二统考期末）已知实数：
，
，
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，
，
，构造函数
，利用导数探讨函数
的单调性，结合单调性比较
的大小作答.
【详解】由
，得
，
令
，则
，当
时，
，当
时，
，
于是函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
即
，因此
，即
，又
，
所以
．故选：D
【变式1-3】（2023 下·河南商丘·高二统考阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，研究其单调性比较大小即可.
【详解】令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
又因为
，所以
.故选：B.
题型11 构造函数求导：对数线性型
【解题攻略】
对数线性形式，比较常见的是以对数为整体 的线性形式：
等
【典例1-1】．（2022 上·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）设
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.
【详解】因为
，
，
，当
时，设
，
则
，所以
在
上单调递减且
，
所以
，
即
，所以
；
20
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又因为
，所以
，
，即
，
所以
.故选：A.
【典例1-2】．（2022 上·福建·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用单调性，分别将
和
比较，即可得到答案.
【详解】设函数
，则
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，则
，即
.
又
，所以
.故选：D.
【变式1-1】（2022 下·四川成都·高二校联考期中）已知
，且
，
，
，则（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
【答案】D
【分析】变形给定的各个等式，构造函数，借助函数的单调性比较大小作答.
【详解】依题意，
，
，
，
令
，求导得：
，当
时，
，当
时，
，
因此，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，
，则
，又
，
于是得
，又
，所以
.
故选：D
【变式1-2】（2022 上·江苏徐州·高三期末）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，求导可得
在
上单调递增，即可得
，从而
得出
大小，又结合对数函数与指数函数的性质比较得出
大小，即可得结论.
【详解】解：设
，
，所以
，
则当
时，
，所以
单调递增，则
，
所以
，则
；
又
，且
，
所以
，故
.故选：C.
【变式1-3】（2022 上·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知，
，
，
，则（ ）
A．
B．
21
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C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，
，利用导数分析单调性即可得出
；由
，
，可得
，结合图像即可判断
，进而求解.
【详解】设
，
，
所以
，即函数
在
上单调递减，
故
，即
，即
.
因为
，
，即
，如图，函数
与
及
，
故
.所以
，故选：A.
题型12 构造函数求导：指数线性型
【解题攻略】
指数线性形式，比较常见的是以指数为整体 的线性形式：
等
【典例1-1】设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数和对数运算的转换可确定
；设
，利用导数可确
定当
时，
，由此得到
，进而得到结果.
【详解】
，
，
，
，
，
，即
，
；
，即
，
；
，即
，
；
，即
.
设
，则
，
当
时，
，又
，
，
，
在
上单调递减，
，即当
时，
，
，
，即
.
综上所述：
.故选：
.
22
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【典例1-2】已知
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】首先设
，利用导数得到
，从而得到
，设
，利用导数得到
，从而得到
和
，即可得到答案.
【详解】设
，
，令
，解得
.
，
，
为减函数，
，
，
为增函数.
所以
，即
，当且仅当
时取等号.所以
.
故
，即
.设
，
，令
，解得
.
，
，
为增函数，
，
，
为减函数.
所以
，即
，当且仅当
时取等号.所以
.
所以
，又因为
，所以
.
又因为
，所以
，
即
，综上
.故选：B
【变式1-1】已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先设
，利用导数得到
，从而得到
，设
，
利用导数得到
，从而得到
和
，即可得到答案.
【详解】解：设
，
，令
，解得
.
，
，
单调递减，
，
，
单调递增.
所以
，即
，当且仅当
时取等号.所以
.
又
，
，故
，所以
；
设
，
，令
，解得
.
，
，
单调递增，
，
，
单调递减.所以
，即
，当且仅当
时取等号.
所以
，故
，又
，所以
，
故
.故选：B.
23
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【变式1-2】（2022 上·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】记
，
，利用导数判断函数的单调性，从而可得
，
，即
；由此能判断
，
，的大小关系．
【详解】解：记
，则
，令
，解得
，令
，解得
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
即
，所以
；记
，
,则
恒成立，
故
在
上单调递减，则
，即
，
即
，所以
；综上，可得
.故选：A
【变式1-3】（2022 上·山东淄博·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，则下列
关系式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造新的函数，
，
，
，求导判断函数的
单调性，即可比较大小.
【详解】设函数
，则
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，当
时，
，即
，所以
.
设函数
，
，则
，
所以
在
上单调递减，当
时，
，
所以当
时，
，即
，所以
.
设
，
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，即
，
，
所以
，所以
，故
.故选：D
题型13 构造函数求导：三角函数线性型
【典例1-1】（2022 上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，构造函数
，由
，构造函数
，利用导数研究两函数的单调性即可比较a 与b、c 与b，进而得出结果.
24
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【详解】由
，令
，
，得
，
所以函数
在
上单调递增，则
，∴
，即
；
由
，令
，得
，
由
，
，知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
，即
，即
.
所以
.故选：C.
【典例1-2】（2023·四川成都·统考一模）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，利用导数证得
在
上单调递增，从而得到
；再利用作差
法得
，从而由
的单调性及中间值
证得
，由此得解.
【详解】令
，则
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，即
，即
，则
；
因为
，所以
，因为
在
上单调递增，所以
，则
，故
，则
；综上：
.故选：C.
【变式1-1】（2022 上·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）设
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
（
），由导数得其单调递增，从而得
时，
，即
，从而由
可得
，再设
，由导数得其单调性得
时，
，
，从而可得
，得出
，结合起来可得结论．
【详解】易知
，
，又
，所以
，
，
设
（
），则
，
所以
在
上单调递增，
，
，
，
25
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∴
，
，设
，
，所以
在
上递减，
时，
，
，
，
，所
以
，综上，
．故选：C．
【变式1-2】（2022 上·海南·高三校联考阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】用作差法可得
，令
可得
，进而可推出
，从
而得解
【详解】因为
，又
，所以
，
所以
，所以
；令
，则
恒成立，
所以
在
递增，所以
，所以
又
，
所以
，所以
，又
，所以
，即
；
所以
，故选：B
【变式1-3】（2022 上·浙江·高三统考期中）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意构造函数
和
，利用导数研究函数
的单调性可得
，进而
，则
；利用导数研究函数
的单调
性可得当
时
，即
，则
，进而得出结果.
【详解】由
，得
；
由
，得
.
设函数
，则
，所以函数
在
上单调递减，故
，
即
，所以
，有
，得
，所以
，所
以
；
26
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由
，可设函数
，
则
，所以函数
在
单调递增，且
，
所以当
时，
，即
，即
，所以
.综上，
.故选：C
题型14 泰勒展开型比大小
【解题攻略】
泰勒展开式x0=0 时得麦克劳林展开式，常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，
，
，
，
，
.
【典例1-1】已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
根据题意，构造函数
，则可以计算
【典例1-2】（江苏省无锡市江阴市普通高中2022-2023 学年高三上学期期末数学试题）设
，
，
，这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
27
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【答案】C
【分析】根据诱导公式得到
，结合
的单调性，比较出
，先利用多次求导，得
到
，
，从而得到
，比较出
.
【详解】
，∵
，而
在
上单调递增，
∴
且
时，
，以下是证明过程：
令
，
，
，令
，
故
，令
，
故
，令
，
则
，令
，
故
，令
，
故
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
所以
，故
在
上单调递增，
所以
，故
在
上单调递增，
所以
，故
在
上单调递增，
所以
，故
在
上单调递增，
∴
，
∴
，∴
.故选：C．
【变式1-1】（2022 年新高考1 卷第7 题）设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解法三】泰勒展开
28
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【变式1-2】（2021 年全国乙卷理科12 题） 设
，
，
．则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b 的大小作出判定，对于a 与c，b 与c 的大小关系，
将0.01 换成x,分别构造函数
,
，利用导数
分析其在0 的右侧包括0.01 的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0 即可得出a 与c，b 与c 的大小关系.
【详解】
泰勒展开法
高考练场
1.（2023 上·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知
，则
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性和中间值比较出大小关系.
【详解】因为
在R 上单调递减，
，
所以
，故
，
，故
.故选：C
2.（2023 上·广东湛江·高三校联考阶段练习）若
，则（ ）
29
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的性质比较大小即可
【详解】因为
在
上单调递增，且
，所以
，所以
，所以
，即
，因为
在
上单调递增，且
，
所以
，所以
，所以
，即
，
，因为
在
上单调递增，且
，所以
，即
，
所以
.故选：A
3.（安徽省安庆市一中2017-2018 学年高三下学期数学试题）在
中，
是钝角，设
，
，
，则
、
、的大小关系是______.
【答案】
【分析】
由三角形的三边关系结合正弦定理可得出
与
的大小关系，由正弦函数的单调性可得出
、的大小关
系，由此可得出
、
、的大小关系.
【详解】
在
中，设内角
、
、
的对边分别为
、
、，则
，
由正弦定理得
，则
，
由于
为钝角，则
，所以，
，
正弦函数
在
时单调递增，则
，
同理可得
，所以，
，即
.
因此，
.故答案为：
.
4.（福建省三明第一中学2021-2022 学年高三上学期学数学试题）设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先根据指数函数、幂函数的性质确定
范围并比较大小，再判断的范围，即可比较
，
，的大小
关系.
【详解】
在
上单调递增，
，
又
在
上单调递减，
，
，
,
又
，
.故选：D
5．（2023 下·河北保定·高三定州一中校考阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，可得
，而
，则可得
，再由
，易得
，则
可知
，由此即可选出答案.
【详解】
，
x
y
z
x
y
z
0.3
0.6
a
0.6
0.3
b
2
1
log 3
c
a
b
c
a
c
b
b
c
a
c
a
b
c
b
a
a
b
，
c
a
b
c
0.3
y
x
0
，
0.3
0.3
0.3
0
0.3
0.6
1
1
0.3
x
y
R
0
0.3
0.6
1
0.3
0.3
0.3
0
0.6
0.3
0.3
0
0.3
0.3
0.6
1
0
1
b
a
2
2
1
log
log 1
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c
c
b
a
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a
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2
c
b
c
a
b
a
c
c
a
b
c
b
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b
b
a
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c
2
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c
b
c
b
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a
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由
，有
，可得
．
又由
，有
，有
，
可得
．故选：D
6.（2023 上·陕西渭南·高三统考）已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
分别与
、
、比较大小即可得出判断.
【详解】∵
，∴
，
∵
，∴
，则
．
∵
，∴
，
，
，则
，
∵
，∴
，则
，故
．故选：C．
7.已知实数a，b，c 满足
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过形式构造函数，通过
的性质判断大小关系。
【详解】由题意知
，由
，得
，
设
，则
，当
时，
单调递增，因
，
当且仅当
时取等号，故
，又
，所以
，故
，
∴
，则
，即有
，故
.故选:C．
8.（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用对数运算性质化简
，再用作商法比较大小.
【详解】因为
，
，
，由
，所以
，由
，而
，
27
8
1
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30
27
8
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b
a
b
a
3
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c
2
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c
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c
b
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a
b
c
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c
b
c
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b
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, ,
a b c
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5
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2
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13
13
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1
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c
a
b
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ln
ln
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a
b
c
b
c
b
a
c
c
b
a
a
b
c
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ln
( )
(
0)
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f x
x
x
0,
0,
0
a
b
c
ln
ln
ln
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a
a
b
c
e
b
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1
a
b
c
ln
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0)
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x
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x
x
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a
a
ln
0
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ln
ln
a
a
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ln
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f a
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z
y
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则
，所以
，综上：
.故选：B
9．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用中间值法比较a 与c，b 与c 大小关系，再通过构造函数
，然后通过
的单调
性比较a 与b 的大小关系.
【详解】∵
，∴
，∴
，又∵
，
∴
，令
，则
，又∵
中，
，
∴
，∴
在R 上恒成立，∴
在R 上单调递增，
∴
，即：
，∴
，即：
，∴
.故选：A.
10.（2022 上·河南安阳·高三统考阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造两个函数
，
，与
，
，利用导数确定单调性后
可得．
【详解】设
，
，则
，所以
在
上单调递增，
，
，
，所以
，
设
，
，则
，
在
上递减，
，
，
，即
，所以
．故选：D．
11.．（2022 上·山东聊城·高三统考）已知
，
，
，下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，利用导数研究单调性可比较
，
，利用导数研究
单调性可比较
，即可求解
【详解】设
，则
在
上恒成立，所以
在
单调递增，
所以
，即
，所以
，又
在
单调递增，
2
3
2
1
2
x
y
x
y
z
y
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b
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c
b
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ln 7
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b
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)
e
(2 )
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2
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x
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x
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a
b
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2021
2022
2023
1
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,
,
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2022
2022
a
b
c
a
c
b
b
a
c
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a
b
c
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x
x
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( 0, 1)
( )
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0
f x
f
ln(1
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x
x
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1
1
2023
ln(1
)
ln
2022
2022
2022
1
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g x
x
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g x
( )
g x
( 0, 1)
( )
(1)
0
g x
g
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x
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2022
2021
2022
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2022
c
b
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1.1
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a
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e
b
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c
a
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c
a
b
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c
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b
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,
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x
x x
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,
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x
1,
f x
1,
1.1
1
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0
e
1.1
e
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0
0.1
e
1.1
1.1
y
x
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所以
，即
，所以
；
设
，则
在
上恒成立，
所以
在
单调递减，所以
，即
，
所以
，即
所以
；综上所述：
，故选：C
12.（2022 上·全国·高三校联考阶段练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，可知
，即
，由
在区间
上单调递减，可知
，即有
.
【详解】
，
，
，只需比较
，
，
的大小即
可，
，
，所以
，即
，所以
，即
.
构造函数
，（
），则有
，
所以
在区间
上单调递减，所以
，即
，
所以有
，
，即
.综上：
.故选：B.
13.（2023 上·四川遂宁·高三统考期中）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到
，再构造函数
，得到其
单调性，得到
，构造函数
，求导得到其单调性，得到
，
结合对数函数单调性得到
，比较出大小.
【详解】因为
，而
在
上单调递减，故
，
又
在
上单调递增，故
，令
，则
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
，
故
，即
，故
，又
，令
，
则
，当
时，
，
单调递减，
1.1
1.1
0.1
e
1.1
0.11
1.1
e
1.1
b
a
1
ln
,
1
g x
x
x x
1
1
0
g
x
x
1,
g x
1,
1.1
1.1
1
0
g
g
1.1
1.1
1 ln1.1
1.1
0
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1.1
1 ln1.1
1.1
1.1
1 1.1ln1.1 1.1
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c
b
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ln 0.9
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故
，故
，因为
，所以
，即
，
因为
在
上单调递增，
故
，又
，故
，
故
故选：D
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2
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