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重难点02：比较大小的难点解构与思维升
级
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、单调性法比大小（直接法）............................................................3
题型二、媒介值法比大小（以0,1 作媒介）.................................................4
题型三、作差、商法比大小............................................................................5
题型四、构造函数法比大小............................................................................5
题型五、指对同构法比大小............................................................................6
题型六、放缩法比大小....................................................................................7
题型七、指、对、幂及三角函数比大小综合问题........................................7
1. 底数相同、指数不同的指数式，如b
m和b
n，利用指数函数y= b
x的单调性比较大
小。
2. 指数相同、底数不同的幂式，如b
m和b
n和n
k，利用幂函数y=x
k的单调性比较大
小。
3. 底数相同、真数不同的对数式，如logbm 和logbn，利用对数函数y=logbx的单
调性比较大小。
知识网络・核心根基深扎牢
一、单调性法
实战演练・能力进阶攀高峰
典例探究
举一反三
典例探究
举一反三
典例探究
举一反三
典例探究
举一反三
典例探究
举一反三
典例探究
举一反三
典例探究
举一反三
4. 抽象函数定义法比较大小，如函数y = f ( x)单调递增（或递减）且f (a)≤f (b)，
则a≤b（或a≥b）。
注：除上述函数外，通常也可能结合其它函数（如三角函数、分段函数、对勾函数
等）或函数性质（奇偶性、轴对称、点对称等）比较大小
当需要比较的多个数，其底数、指数、真数均不相同，且直接通过作差法、商法等常
规方法难以直接判断大小时，就可以使用媒介值法。具体来说，就是寻找像 0、1 或者其
他能明确判断数的大小关系的数作为媒介值，然后将需要比较的数分别与媒介值进行比
较，再依据这些比较结果，结合函数的单调性等性质，来确定这些数之间的大小关系。
1. 作差法：作差与0 比较大小。
2. 作商法：作商与1（或-1）比较大小。
注：作差、商后若不能直观得出与0,1，-1 等的大小关系，需要构造函数，利用单调
性判断。
1. 作差、商后直接构造函数，利用单调性、极值、最值判断。
2. 观察需比较数的结构，总结同构规律，利用单调性、极值、最值判断。
常见同构模型：
1. 积型：不等式ae
a≤b ln b：
同左：变形为a⋅e
a≤ln b⋅e
ln b，构造函数f ( x)= x e
x。
同右：变形为e
a⋅ln e
a≤b⋅ln b，构造函数f ( x)= x ln x。
取对数：变形为a+ ln a≤ln b+ ln(ln b)，构造函数 f ( x)= x + ln x。
2. 商型：不等式e
a
a < b
ln b
：
同左：变形为e
a
a < e
ln b
ln b
，构造函数f ( x)= e
x
x
。
二、媒介值法
三、作差、商法
四、构造函数法
同右：变形为e
a
ln e
a < b
ln b
，构造函数f ( x)= x
ln x
。
取对数：变形为a−ln a<ln b−ln(ln b)，构造函数 f ( x)= x−ln x。
3. 和差型：不等式e
a±a>b± ln b：
同左：变形为e
a±a>e
ln b± ln b，构造函数f ( x)=e
x± x。
同右：变形为e
a± ln e
a>b± ln b，构造函数f ( x)= x ± ln x。
六大超越函数图像：
四、构造函数法
