第1 讲 集合·综合测试（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
B
C
D
D
B
6
7
8
9
10
B
B
D
AC
ABD
11
12
13
14
15
BC
0或9
8
3
7
（1）①
是，②
是，③不
是 （2）
（i）证明
见解析
（ii）证
明见解析
16
17
18
19
（1）x =3
（2）证明见
解析 （3）当
a>0时，和为
n(n+1)a
2
；当
a<0时，和为
3na
2
（1）
(2,4 ,1),(1,5,1),(1,4 ,2)
（2）证明见解析 （3）
证明见解析
（1）不能，理由见
解析 （2）不能，
理由见解析 （3）
①M ={x∈Q∣x<1}
，N ={x∈Q∣x ≥1}
；②
M ={x∈Q∣x ≤0或x
2
，
N ={x∈Q∣x>0且x
2
（1）
{x∣x =6m+1
（2）
a7=21,a30=89
逐题详解
1.（2026·安徽临泉·二模）已知复数z1=1+2i，z2=1- ❑√3i，则（ ）
A. | z1|<| z2|
B. | z1|>| z2|
C. z1> z2
D. z1< z2
【答案】B
【解析】虚数不能比较大小，| z1|=
❑√1
2+2
2= ❑√5，| z2|=
❑√1
2+(- ❑√3)
2=2，故| z1|>| z2|.
【点拨】复数比较大小的陷阱.虚数不能比较大小，只能比较模长.
2.（2026·泰山教育·4 月模拟）集合A ={ y ∣y =- x
2+8, x∈N , y ∈N }的真子集的个数为（
）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
【答案】C
【解析】∵x∈N，y ∈N，且y =- x
2+8≥0，∴x
2≤8.
∵x∈N，∴x可取0,1,2.
当x =0时，y =8；
当x =1时，y =7；
当x =2时，y = 4.
∴集合A ={4 ,7 ,8}.
集合A中含有3 个元素，∴其真子集的个数为2
3-1=7.
【点拨】求集合的真子集个数时，需先通过列举法确定集合中的元素，注意不要遗漏x =0的情况.
3.（2026·广东梅州·一模）已知全集U = A ∪B ={1,2,3,4 ,5}，A ∩(∁U B)={2,4}，则下列
结论不一定成立的是（ ）
A. {2,4}⊆A
B. (∁U A )⊆B
C. {1,3,5}⊆B
D. {1,3}⊆∁U A
【答案】D
【解析】∵A ∩(∁U B)={2,4}，∴2∈A ,4∈A，∴{2,4}⊆A，故A 正确；
对于任意x∈∁U A，则x∉A，又x∈U = A ∪B，∴x∈B，∴(∁U A )⊆B，故B 正确；
若1∉B，则1∈∁U B，又U = A ∪B ={1,2,3,4 ,5}，则1∈A，则1∈A ∩(∁U B)，与
A ∩(∁U B)={2,4}矛盾，∴1∈B，同理3∈B ,5∈B，故{1,3,5}⊆B，故C 正确；
若1∈A时，可得{1,3}⊆∁U A不成立，故D 错误.
【点拨】利用集合的交、并、补运算性质进行推理，可借助韦恩图辅助分析，直观判断各区域的
元素归属.
4.（2026·广东湛江·模拟）已知集合A ={x∣lg x<1}，B ={x∣x>2}，则A ∪B =（ ）
A. (2,+ ∞)
B. (2,10)
C. (0,10)
D. (0,+∞)
【答案】D
【解析】解lg x<1可得0< x<10，∴A ={x∣0< x<10}，
∴A ∪B ={x∣0< x<10}∪{x∣x>2}={x∣x>0}.
【点拨】解对数不等式时，务必注意对数函数的定义域，即真数大于0 这一隐含条件.
5.（2025·河北·联考）已知集合A ={x∣y = ln(3- x)}，B ={ y ∣y = x
2+1}，则A ∩B =
（ ）
A. (1,3)
B. [1,3)
C. (0,3]
D. [0,3)
【答案】B
【解析】根据题意，由3- x>0，得x<3，
∴集合A =(-∞,3)，
易知B =[1,+∞)，
∴A ∩B =[1,3).
【点拨】集合A求的是函数的定义域，集合B求的是函数的值域，明确集合元素的属性是解题的关
键.
6.（2026·强基联盟·3 月联考）某班共有45 位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，
有18 位同学参加数学竞赛，有15 位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15 位同学，
则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ ）
A. 2 位
B. 3 位
C. 4 位
D. 5 位
【答案】B
【解析】参加竞赛的总人数：45-15=30（位），
根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15-30=3（位）.
【点拨】利用容斥原理解决集合的基数问题，公式为
card( A ∪B)=card( A )+card(B)-card( A ∩B).
7.（2026·襄阳五中·一模）已知全集C ={x∣x是复数}，Q ={x∣x是有理数}，
S ={x∣x是无理数}，R ={x∣x是实数}，P ={x∣x是虚数}，那么(∁CQ)∪(∁C P)为（
）
A. S
B. C
C. R
D. Q
【答案】B
【解析】∵∁CQ = S∪P，∁C P = R，
∴(∁CQ)∪(∁C P)= S∪P∪R =C.
【点拨】理清数系之间的包含关系，实数集与虚数集互为复数集中的补集，有理数集与无理数集
互为实数集中的补集.
8.（2026·湖北·5 月模拟）已知集合A ={1,3,a
2},B ={3,a+2}，且B⊆A，则实数a=
（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】D
【解析】由B⊆A可知a+2=1或a+2=a
2；
当a+2=1时，即a=-1，此时a
2=1，不能满足题意；
当a+2=a
2时，解得a=2或a=-1（舍），
a=2时，A ={1,3,4 },B ={3,4 }，满足题意，
故a=2.
【点拨】处理集合包含关系时，分类讨论后必须代入原集合检验，确保满足集合元素的互异性.
9.（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合M ={a1,a2,⋯,an}(n∈N
*)，定义集合M的模
为该集合中所有元素的和，记作| M |，即| M |=a1+a2+⋯+an，则下列说法中正确的是（
）
A. 若集合A ={1
2 , 1
6 , 1
12 , 1
20 , 1
30 , 1
42 }，则| A |= 6
7
B. 若集合B ={x∣x
3-3 x
2+ 4 x -2=0}，则|B|=-1
C. 若集合C ={x∣ln x - x
e +1=0}，则|C |>2e
D. 记集合Dn⊆{x ∣1≤x ≤11n, x ∈N
*}，且Dn中任意两个数的差的绝对值不等于3，
也不等于8，若| D5|的最大值为a, | D1|的最大值为b，则a-b=220
【答案】AC（全部选对得6 分，部分选对得部分分）
【解析】选项A，
| A |=
1
1×2 +
1
2×3 +
1
3×4 +
1
4×5 +
1
5×6 +
1
6×7 =(1- 1
2 )+( 1
2 - 1
3 )+⋯+( 1
6 - 1
7 )=1- 1
7 = 6
7 ，A 正
确；
选项B，解方程得：x
3-3 x
2+ 4 x -2=( x -1)( x
2-2 x +2)，二次方程x
2-2 x +2=0判别式Δ=- 4<0，
无实根，故集合B ={1}，模|B|=1≠-1，B 错误；
C 选项，设f ( x)= ln x - x
e +1，求导得f
'( x)= e - x
e x ，
x∈(0,e)时，f
'( x)>0,f ( x)递增；x∈(e ,+∞)时，f
'( x)<0,f ( x)递减；
最大值f (e)=1>0，且f ( 1
e
2 )=- 1
e
2 <0,f （1）=1- 1
e >0，∴一个零点x1∈( 1
e
2 ,1)；
又f (e
2)=3-e>0,f (e
3)= 4 -e
2<0，∴另一个零点x2∈(e
2,e
3)，
则|C |= x1+ x2> 1
e
2 +e
2>2e，C 正确；
选项D，集合元素差为3 或8，均小于11，因此可将[1,11n]按每11 个数分为一组，组间不产生
符合条件的差，只需每组取最大和即可，
n=1时，1∼11中，要使元素和最大，选{4 ,5,9,10,11}，满足条件，最大和
b= 4 +5+9+10+11=39；
每组（第k组，11(k -1)+1∼11k）的和为39+5×11(k -1)，∴n=5时总和：
a=39+(39+55)+(39+110)+(39+165)+(39+220)=745，
a-b=745-39=706≠220，D 错误.
【点拨】本题是集合新定义与数列、导数、组合最值的综合.处理新定义问题需紧扣“模”的定义，
将其转化为求和问题.
10.（2025·广东六校·5 月联考）设有有限集合U ={a1,a2,a3,⋯,am}，其中m≥4，m∈N
*，
非空集合M ⊆U，M =∁U M，若存在集合M，使得M，M中的所有元素之和相等，则称集
合U是“可拆等和集”，则（ ）
A. 集合U ={1,2,4 ,⋯,2
2025}不是“可拆等和集”
B. 若集合U ={-1,2,5,k }是“可拆等和集”，则k的取值共有6 个
C. 存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列{an}，使得集合U是“可拆等和集”
D. 若m= 4 k +3，k ∈N
*，数列{an}是等差数列且公差d =a1，则集合U是“可拆等和
集”
【答案】ABD（全部选对得6 分，部分选对得部分分）
【解析】对于A 项，1,2,4 ,⋯,2
2025构成了一个以1 为首项，2 为公比的等比数列，
且1+2+ 4+⋯+2
2024= 1-2
2025
1-2
=2
2025-1<2
2025.
所以，当M ={2
2025}时，M ={1,2,4 ,⋯,2
2024}中所有元素之和也小于2
2025，不满足要求；
当M含有2
2025以及2
2025之外的其余元素时，也不满足要求.
综上，集合U ={1,2,4 ,⋯,2
2025}不是“可拆等和集”，故A 正确；
对于B 项，若M ={-1}，则由“可拆等和集”的定义，有2+5+ k =-1，解得k =-8；
若M ={2}，则由“可拆等和集”的定义，有-1+5+ k =2，解得k =-2；
若M ={5}，则由“可拆等和集”的定义，有-1+2+k =5，解得k = 4；
若M ={-1,2}，则由“可拆等和集”的定义，有5+ k =-1+2，解得k =- 4；
若M ={-1,5}，则由“可拆等和集”的定义，有2+k =-1+5，解得k =2，
此时因集合U ={-1,2,5,k }已含有元素2，故舍去；
若M ={2,5}，则由“可拆等和集”的定义，有-1+k =2+5，解得k =8；
若M ={-1,2,5}，则由“可拆等和集”的定义，有k =-1+2+5=6.
综上可知：k可取-8，-2，- 4，6，4，8共6 个值，故B 正确；
对于C 项，将U中所有元素同时除以a1后可得U 1={1,q ,q
2,⋯,q
m-1}，
根据等比数列前n项和公式，可得1+q+q
2+⋯+q
m-2= 1-q
m-1
1-q
= q
m-1-1
q -1 .
∵q≥2，∴q -1≥1，0<
1
q -1 ≤1，∴有0< q
m-1-1
q -1
≤q
m-1-1<q
m-1.
∴当M 1={q
m-1}时，∁U 1 M 1={1,q ,q
2,⋯,q
m-2}中所有元素之和也小于q
m-1，
不满足要求，显然同时乘以a1后仍然不满足；
当M 1含有q
m-1以及q
m-1之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以a1后仍然不满足.
综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列{an}，使得集合U是“可拆等和集”，
故C 错误；
对于D 项，易知集合U中的元素个数为4 k +3，k ∈N
*，
根据等差数列的性质可知，a1+a4 k +3=a2+a4 k +2=a3+a4 k +1=⋯=a2k +1+a2k +3，k ∈N
*，
共有4 k +3-1
2
=2k +1组（剩余元素为a2k +2），从中剔除ak +1+a3k +3之后，剩余2k组.
从这2k组相同的数据中任意选出k组，将对应的元素分到集合M中；
又d =a1，则ak +1+a2k +2=a1+kd +a1+(2k +1)d =a1+k a1+a1+(2k +1)a1=(3k +3)a1，
而a3k +3=a1+(3k +2)d =(3k +3)a1=ak +1+a2k +2，
不妨将ak +1,a2k +2这两个元素也分到集合M中，则可满足M , M中的元素之和相等.故D 正确.
【点拨】理解“可拆等和集”的本质是集合元素能平分为和相等的两部分.对于等比数列，最大项
大于其余所有项之和，故不可能平分.
11.（2024·山东潍坊·一模）若非空集合M , N , P满足：M ∩N = N , M ∪P = P，则（ ）
A. P⊆M
B. M ∩P = M
C. N ∪P = P
D.
M ∩∁P N =∅
【答案】BC（全部选对得6 分，部分选对得部分分）
【解析】由M ∩N = N可得：N ⊆M，
由M ∪P = P，可得M ⊆P，则推不出P⊆M，故选项A 错误；
由M ⊆P可得M ∩P = M，故选项B 正确；
∵N ⊆M且M ⊆P，∴N ⊆P，则N ∪P = P，故选项C 正确；
由N ⊆M可得：M ∩∁P N不一定为空集，故选项D 错误；
故选BC.
【点拨】将集合的交并运算转化为子集关系是解题关键，即A ∩B = A ⇔A ⊆B，
A ∪B = B⇔A ⊆B.
12.（2024·吉林延边·二模）已知集合A ={x∣a x
2-3 x +2=0}的元素只有一个，则实数a的值
为＿＿＿＿＿＿.
【答案】0或9
8
【解析】集合A有一个元素，即方程a x
2-3 x +2=0有一解，
当a=0时，A ={x∣-3 x +2=0}={2
3 }，符合题意，
当a≠0时，a x
2-3 x +2=0有一解，
则Δ=9-8a=0，解得：a= 9
8，
综上可得：a=0或a= 9
8.
【点拨】对于一元二次方程形式的集合元素个数问题，切忌忽略二次项系数为0 的情况.
13. 2021 年是中国共产党成立100 周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系
列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召. 现有《青春之
歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50 人，观看了《青春之歌》
的有21 人，观看了《建党伟业》的有23 人，观看了《开国大典》的有26 人. 其中，只观
看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4 人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有
7 人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6 人，三支短视频全观看了的有3 人，
则没有观看任何一支短视频的人数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】3
【解析】把大学社团50 人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大
典》三支短视频的人形成的集合分别记为A ,B ,C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21 人，则只看了《青春之歌》的有21- 4 -6-3=8(人)，
因观看了《建党伟业》的有23 人，则只看了《建党伟业》的有23- 4 -7-3=9(人)，
因观看了《开国大典》的有26 人，则只看了《开国大典》的有26-6-7 -3=10(人)，
因此，至少看了一支短视频的有3+ 4+6+7+8+9+10= 47(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为50- 47 =3.
【点拨】利用韦恩图解决集合基数问题，从三个集合的交集开始，由内向外逐层推算各区域的人
数.
14.（2024·湖北· 二模）已知X为包含v个元素的集合(v ∈N
*，v ≥3)．设A为由X的一些三
元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时
包含在唯一的一个三元子集中，则称( X , A )组成一个v阶的Steiner 三元系．若( X , A )为一
个7 阶的Steiner 三元系，则集合A中元素的个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】7
【解析】由题意，集合X中共有7 个元素，从中任取两个不同的元素共有C7
2=21对.
集合A中的每一个三元子集包含C3
2=3对不同的元素.
∵X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，
∴集合A中三元子集的个数为
C7
2
C3
2 = 21
3 =7.
【点拨】将集合问题转化为组合计数问题，通过计算元素对的总数与每个子集包含的元素对数，
利用除法即可求得子集个数.
15.（13 分）（2026·山东·5 月联考）对于集合S ,定义S+ S ={a+b∣a,b∈S} ,若
S∩(S+ S)=∅ ,则称S为理想集.例如,{1,2}不是理想集,而{1,3}是理想集.
（1）判断下列集合是否为理想集,不需要说明理由;
①{1,4} ;
②{1,4 ,10,13} ;
③{4 ,5,6,7 ,8} .
（2）若存在n个非空理想集S1,S2,⋯,Sn ,且Si∩S j=∅(1≤i< j≤n),使得
S1∪S2∪⋯∪Sn={1,2,⋯,k }(k ≥n),则称k是n可分的,记an=max {k ∣k 是n可分的}.
（i）证明:a3≥13;
（ii）证明: 1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
< 11
8 .
【答案】（1）①是，②是，③不是
（2）（i）证明见解析
（ii）证明见解析
【解析】（1） ① {1,4}是理想集；② {1,4 ,10,13}是理想集；③ {4 ,5,6,7 ,8}不是理想集...3
分
（2） （i） 证明：a3≥13.
取S1={1,4 ,10,13},S2={2,3,11,12},S3={5,6,7,8,9}，
则S1∪S2∪S3={1,2,⋯,13}，
故a3≥13................................................................................................................................................... 6 分
（ii） 证明：1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
< 11
8 .
集合①②是理想集，③不是理想集.
（i）构造集合S1={1,4 ,10,13},S2={2,3,11,12},S3={5,6,7,8,9}，
或者构造S1={1,4 ,7 ,10,13},S2={2,3,11,12},S3={5,6,8,9}...................................................8 分
（ii） 若存在n个非空理想集S1,S2,⋯,Sn，且Si∩S j=∅(1≤i< j≤n)，使得
S1∪S2∪⋯∪Sn={1,2,⋯,k }(k ≥n)，
则对于1≤i≤n，取T i= Si∪{si+(2k +1)}，其中Si+{2k +1}表示将集合Si中每个数都加上2k +1后
所得的新集合.
取T n+1={k +1,k +2,⋯,2k +1}，此时存在n+1个非空理想集T 1,T 2,⋯,T n+1，
且T i∩T j=∅(1≤i< j≤n+1)，使得T 1∪T 2∪⋯∪T n+1={1,2,⋯,3k +1}...........................10 分
设an=k，则有an+1≥3k +1=3an+1，则an+1+ 1
2 ≥3(an+ 1
2 )，
∵a1=1，于是an+ 1
2 ≥3(an-1+ 1
2 )≥3
2(an-2+ 1
2 )≥⋯≥3
n-1(a1+ 1
2 )= 3
n
2 ，
即an≥3
n-1
2
............................................................................................................................................11 分
于是1
an
≤
2
3
n-1
=
2(3
n+1-1)
(3
n-1)(3
n+1-1)
<
2⋅3
n+1
(3
n-1)(3
n+1-1)
=3(
1
3
n-1
-
1
3
n+1-1
)，
当n=1时，1
a1
=1< 11
8 成立；...............................................................................................................12 分
当n≥2时，1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
<1+∑
k =2
n
3(
1
3
k -1
-
1
3
k +1-1
)=1+3( 1
8 -
1
3
n+1-1
)< 11
8 .
综上所述，1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
< 11
8 .........................................................................................................13 分
【点拨】本题考查集合新定义与数列不等式证明的综合.处理递推关系an+1≥3an+1时，通过构造
等比数列式an+1+ 1
2 ≥3(an+ 1
2 )求出通项下界，再利用裂项放缩法证明不等式.
16.（15 分）（2026·山东济南·二模）给定正整数n,集合A ={a1,a2,a3,⋯,an}满足对于任意
ai,a j∈A,都存在am∈A,使得|ai-a j|=|am-a1|.
（1）若A ={1,2, x },a1=1,且x∈N
*,求x;
（2）证明:对于任意ai,a j∈A,都有(ai-a1)⋅(a j-a1)≥0;
（3）若a1=a(a≠0),a2=2a,且a2<a3<⋯<an,求集合A中所有元素的和.(用含有a,n的式子表
示)
【答案】（1）x =3
（2）证明见解析
（3）当a>0时，和为n(n+1)a
2
；当a<0时，和为3na
2
【解析】（1） 对于i= j或i=1或j =1时命题显然成立，
又| x -2|∈{| x -1|,|2-1|}，解得x =1.5或1或3，
结合题意可得x =3...................................................................................................................................3 分
（2） 当n=1,2时，命题显然成立.
当n≥3时，若a1既不是A中最大的元素，也不是A中最小的元素，
不妨设au为A中的最大元素，av为A中最小的元素，
则∀ai,a j∈A且ai≠a j，|au-av|≥|ai-a j|，等号成立当且仅当{ai,a j}={au,av}，
故|au-av|=|am-a1|>|au-a1|矛盾！
故a1为A中的最大元素或最小元素........................................................................................................6 分
若a1为最大元素，则∀ai,a j∈A，有ai-a1≤0,a j-a1≤0，故(ai-a1)(a j-a1)≥0，
同理可得，若a1为最小元素∀ai,a j∈A，(ai-a1)(a j-a1)≥0.
命题得证...................................................................................................................................................8 分
（3） 若a>0，a1=a，a2=2a>a，故a1是A中最小元素，
下证a1,a2,a3,⋯,an成等差数列.
∵a3-a2<a3-a1，故|a3-a2|=|am-a1|成立时m=2，
∴有a3-a2=a2-a1，∴a1,a2,a3成等差数列......................................................................................10 分
若ai=ia，对于i=1,2,3,⋯,(k -1)成立，
ak -1-a2<ak -a2<ak -a1，
即(k -3)a<ak -a2<ak -a1，
故|ak -a2|=|am-a1|成立时，m≤k -1，
而{a1,a2,⋯,ak -1}中，两个元素的最大差值为(k -2)a，
(k -3)a<|ak -a2|=|am-a1|≤(k -2)a，故|ak -a2|=|am-a1|=(k -2)a，
即ak -a2=(k -2)a，从而有ak =ka.
从而ai=ia，对于i=1,2,3,⋯,n成立.
故a>0时，A中元素之和为n(n+1)a
2
................................................................................................13 分
当a<0时，a1为最大元素，同理可证a2,a3,⋯,an,a1为等差数列，
其中a2=2a,a1=a，故此时A中元素之和为3na
2 .
综上所述，当a>0时，A中元素之和为n(n+1)a
2
；当a<0，A中元素之和为3na
2 .....................15 分
【点拨】处理集合元素的距离问题，关键在于利用最值元素的性质.通过反证法确定a1是最值，再
利用数学归纳法证明集合元素构成等差数列.
17.（15 分）（2025·燕博园·3 月联考）已知m,n∈N
*，n≥2.设集合
C ={x∣x =3k -2或x =3k -1,k ∈N
*,且k ≤m}，集合
A ={α ∣α =( x1, x2,⋯, xn), xi∈C ,i=1,2,3,⋯,n}.若集合A中的元素α =( x1, x2,⋯, xn)，
β =( y1, y2,⋯, yn)满足| x1- y1|+| x2- y2|+⋯+| xn- yn|=1，则称β为α的“相邻元”.对于
整数H，若集合A存在一个子集B满足：（i）集合B中元素个数为H；（ii）∀α ∈B，在
集合B中都至少有n-1个“相邻元”，则称H是“好数”.
（1）当m=2，n=3时，直接写出α =(1,4 ,1)的“相邻元”；
（2）当m=2，n=9时，求证：4
9- 4
7是“好数”；
（3）当n=2025时，若整数d1,d2,d3满足0<d1<d2<d3≤2022，且d3-d2≥3，d2-d1≥3，求证：
(2m)
2025-(m
2025-d1(2m)
d1+m
2025-d2(2m)
d2+m
2025-d3(2m)
d3)是“好数”.
【答案】（1）(2,4 ,1),(1,5,1),(1,4 ,2)
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】（1） α =(1,4 ,1)的“相邻元”为：(2,4 ,1),(1,5,1),(1,4 ,2)..................................3 分
（2） ∵m=2，∴C ={1,2,4 ,5}.
设A ={α ∣α =( x1, x2,⋯, x9), xi∈{1,2,4 ,5}}，显然A中每一个元素恰有9 个“相邻元”.
设U ={u∣u=(1,1,u3,⋯,u9),ui∈{1,2,4 ,5}}，构造B =∁AU，则集合B中的元素个数为4
9- 4
7.
...................................................................................................................................................................6 分
对集合B中的任意元素b=(b1,b2,⋯,b9)，在集合U中至多存在一个u=(1,1,u3,⋯,u9)，
满足|b1-1|+|b2-1|+|b3-u3|+⋯+|b9-u9|=1，从而b=(b1,b2,⋯,b9)在集合B中至少有8
个“相邻元”，
所以4
9- 4
7是“好数”............................................................................................................................9 分
（3） 设C1={x ∣x =3k -2,k ∈N
*,且k ≤m}，C2={x ∣x =3k -1,k ∈N
*,且k ≤m}.
①当n=2025时，集合A ={α ∣α =( x1, x2,⋯, xn), xi∈C ,i=1,2,3,⋯,2025}中的每一个元素均
有2025 个“相邻元”.
设Bd3={α ∣α =( x1, x2,⋯, x2025-d3,α1,α2,⋯,αd3), xi∈C ,αt∈C2}，则Bd3中含有m
2025-d3(2m)
d3
个元素.
设Bdi={α ∣α =( y1, y2,⋯, y2025-di+1, x1, x2,⋯, xdi+1-di,α1,α2,⋯,αdi), yt∈C2, xt∈C1,αt∈C1}，
i=1,2.
则Bdi中含有m
2025-di(2m)
di个元素，i=1,2. 并且Bd1,Bd2,Bd3两两交集为空集.
设Q = A -(Bd1∪Bd2∪Bd3)，则Q共有：
(2m)
2025-(m
2025-d1(2m)
d1+m
2025-d2(2m)
d2+m
2025-d3(2m)
d3)个元素.............................................12 分
②对于c =(c1,c2,c3,⋯,c2025)∈Q，有c在每一个Bdi (i=1,2,3)中，至多有一个“相邻元”.
下面证明该结论：设b1=(s1,s2,⋯,s2025)∈Bdi，b2=( p1, p2,⋯, p2025)∈Bdi，且均是c的“相邻
元”.
由于c∉Bdi，则c与b1，b2不同元素在前2025-di位，且后di位相同，即b1，b2，后di位相同.
设c与b1不同位置为m，即sm≠cm；c与b2不同位置为t，即pt≠ct.
当m=t相同时，又C中与cm差为1 的只有一个数，则b1=b2.
当m≠t时，|c1- s1|+|c2- s2|+⋯+|c2025- s2025|=|cm- sm|=1，
|c1- p1|+|c2- p2|+⋯+|c2025- p2025|=0或≥2.
∴c在每一个Bdi中，至多有一个“相邻元”......................................................................................14 分
③c不能在Bdi，Bd j中均有“相邻元”，1≤i< j≤3. 下面证明该结论：
Bdi元素中第2025-di+1+1，2025-di+1+2，⋯，2025-di都是C2中元素.
Bd j中第2025-d j+1+1，⋯，2025-d j都是C1中元素.
故Bdi，Bd j中至少有3 个元素属于不同的C1和C2.
所以不存在b1∈Bdi，b2∈Bd j，均是c的“相邻元”.
由①②③知c在Q中至少有2024 个“相邻元”，故：
(2m)
2025-(m
2025-d1(2m)
d1+m
2025-d2(2m)
d2+m
2025-d3(2m)
d3)是“好数”.....................................15 分
【点拨】理解“相邻元”即为曼哈顿距离为1 的向量.通过构造特定集合的补集，计算补集中元素
相邻元的个数，运用容斥原理和抽屉原理进行证明.
18.（17 分）（2024·安阳一中·模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到19 世纪.直到
1872 年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史
称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无
理”的时代，也结束了持续2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指
将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M ∪N =Q，M ∩N =∅，M中的每一
个元素都小于N中的每一个元素，则称( M , N )为戴德金分割.
（1）判断集合M ={x∈Q∣x<0}，N ={x∈Q∣x>0}是否构成一个戴德金分割，并说明理
由；
（2）在一个戴德金分割( M , N )中，能否出现“M有一个最大元素，N有一个最小元素”
的情况？请说明理由；
（3）请分别举出一个戴德金分割( M , N )的具体例子，使得：①M没有最大元素，N有一
个最小元素；②M没有最大元素，N也没有最小元素.
【答案】（1）不能，理由见解析
（2）不能，理由见解析
（3）①M ={x∈Q∣x<1}，N ={x∈Q∣x ≥1}；②M ={x∈Q∣x ≤0或x
2<2}，
N ={x∈Q∣x>0且x
2>2}
【解析】（1） 集合M ={x∈Q∣x<0}，N ={x∈Q∣x>0}不能构成一个戴德金分割.
理由：∵0∈Q，但0∉M且0∉N，∴M ∪N ≠Q，不满足戴德金分割的定义.........................5 分
（2） 在一个戴德金分割( M , N )中，不能出现“M有一个最大元素，N有一个最小元素”的情况.
理由：假设M有一个最大元素a，N有一个最小元素b，
∵M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，∴a<b.
∵a,b∈Q，∴a+b
2
∈Q，且a< a+b
2
<b.
∵M ∪N =Q，∴a+b
2
∈M或a+b
2
∈N.
若a+b
2
∈M，则与a是M的最大元素矛盾；
若a+b
2
∈N，则与b是N的最小元素矛盾.
故假设不成立.........................................................................................................................................10 分
（3） ①令M ={x∈Q∣x<1}，N ={x∈Q∣x ≥1}.
此时M ∪N =Q，M ∩N =∅，且M中任意元素小于N中任意元素.
M没有最大元素，N有最小元素1......................................................................................................13 分
②令M ={x∈Q∣x ≤0或x
2<2}，N ={x∈Q∣x>0且x
2>2}.
此时M ∪N =Q，M ∩N =∅，且M中任意元素小于N中任意元素.
∵❑√2是无理数，∴M没有最大元素，N也没有最小元素...............................................................17 分
【点拨】深刻理解戴德金分割的定义，即利用有理数集的划分来定义实数.有理数的稠密性决定了
不可能同时存在最大和最小元素.
19.（17 分）对于集合A ,B，定义A - B ={x∣x∈A ，且x∉B}．若
A ={x∣x =2k +1,k ∈N }，B ={x∣x =3k +1,k ∈N }，将集合A - B中的元素从小到大排列
得到数列{an}.
（1）写出集合A ∩B中的元素组成的集合（用描述法表示）；
（2）求a7与a30的值.
【答案】（1）{x∣x =6m+1,m∈N }
（2）a7=21,a30=89
【解析】（1） 集合A表示所有正奇数，即A ={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,⋯}.
集合B表示被3 除余1 的非负整数，即B ={1,4 ,7 ,10,13,16,19,22,⋯}.
设x∈A ∩B，则存在k1,k2∈N，使得x =2k1+1=3k2+1，即2k1=3k2.
∵2和3互质，∴k2必须是2的倍数，设k2=2m (m∈N).
则x =3(2m)+1=6m+1 (m∈N).
∴集合A ∩B中的元素组成的集合为{x∣x =6m+1,m∈N }...........................................................6 分
（2） 集合A - B表示在集合A中但不在集合B中的元素，即正奇数中剔除被3 除余1 的数.
∵A ∩B ={x∣x =6m+1,m∈N }，即A ∩B ={1,7,13,19,25,⋯}.
集合A中的元素依次为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,⋯.
剔除A ∩B中的元素后，得到A - B的元素依次为：3,5,9,11,15,17 ,21,23,⋯.......................10 分
观察发现，数列{an}的项可以分组，每组2 个元素，第m组的元素为6m-3,6m-1 (m∈N
*).
∵7 =2×3+1，∴a7是第4组的第1个元素，即m= 4时的6m-3.
∴a7=6×4 -3=21................................................................................................................................ 13 分
∵30=2×15，∴a30是第15组的第2个元素，即m=15时的6m-1.
∴a30=6×15-1=89.............................................................................................................................17 分
【点拨】处理集合差集与数列结合的问题，关键是找出集合元素的周期性规律.通过列举前几项，
发现每6 个连续整数中包含2 个目标元素.
