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专题2-2 幂指对三角函数比大小归类
目录
题型01 比大小基础：幂指数函数性质...............................................................................................................................1
题型02 比大小基础：对数函数性质..................................................................................................................................2
题型03 比大小基础：三角函数性质..................................................................................................................................3
题型04 临界值型：0 与1 分界........................................................................................................................................... 5
题型05 临界值型：中间值..................................................................................................................................................5
题型06 作差比较法..............................................................................................................................................................6
题型07 作商比较法..............................................................................................................................................................7
题型08 三角函数与幂指对..................................................................................................................................................7
题型09 构造函数求导：对数幂型......................................................................................................................................8
题型10 构造函数求导：指幂型..........................................................................................................................................9
题型11 构造函数求导：对数线性型..................................................................................................................................9
题型12 构造函数求导：指数线性型.................................................................................................................................10
题型13 构造函数求导：三角函数线性型.........................................................................................................................11
题型14 泰勒展开型比大小................................................................................................................................................11
高考练场.............................................................................................................................................................................. 12
题型01 比大小基础：幂指数函数性质
【解题攻略】
幂函数图像
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
1
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性质
过定点
(0,1)
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
【典例1-1】（2023 上·内蒙古赤峰·高三校考期中）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】．（2023 上·河北邢台·高三邢台市第二中学校联考阶段练习）设
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023 上·河南南阳·高一统考期中）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023 上·福建泉州·高三泉州七中校考）设
，
，
，则a，b，c 的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023 上·新疆伊犁·高三校联考）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 比大小基础：对数函数性质
【解题攻略】
对数函数性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1 时，y＝0
函数值的变
化
当0＜x＜1 时，y＜0；
当x＞1 时，y＞0
当0＜x＜1 时，y＞
0；
当x＞1 时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函
数
是(0，＋∞)上的减函
数
2
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【典例1-1】（2023 上·四川成都·高三校考）已知a，b 是实数,则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【典例1-2】（2023 上·江苏南京·高三统考）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023 上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知
则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023 上·河南周口·高三校考阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023 上·山东潍坊·高三统考期中）已知
则
，
，的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 比大小基础：三角函数性质
【解题攻略】
三角函数图像性质
3
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4
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函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
5
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图象
定义
域
R
R
{x|x∈R 且x≠＋
kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调
性
[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
上递增；
[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上
递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－＋kπ，＋kπ)
(k∈Z)上递增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax
＝1；
x ＝－＋2kπ(k∈Z) 时，
ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－1
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
(kπ，0)(k∈Z)
(＋kπ，0)
(k∈Z)
(，0)(k∈Z)
对称
轴
方程
x＝＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
6
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【典例1-1】（2021 届黑龙江省哈尔滨六中高三下学期第四次模拟理科数学试卷）若
，且
，
，
，则
大小关系为
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（山东省德州市齐河县第一中学2020-2021 学年高三上学数学试题）
设
，
，
，则
的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（河南省郑州市第四高级中学2020-2021 学年高三下学期5 月月考数学试题）已知
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知
，
，
，
，则
，
，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知
，
，
，则
，
，的大小关系为
A．
B．
C．
D．
题型04 临界值型：0 与1 分界
【解题攻略】
解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础
的是以正负划分，正数则以1 为区间端点划分。
【典例1-1】．（2024 上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知
，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023 上·吉林长春·高三长春外国语学校校考）若
，
，
，则a，b，c
的大小关系为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b，c，d 满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022 学年高三上学期第2 次（12 月）数学试题）已知
7
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，
，
，则
，
，三者的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（重庆市育才中学2021-2022 学年高三上学期数学试题）已知
，
，
，
则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 临界值型：中间值
【解题攻略】
寻找非0、1 的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然后
可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。
1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值
【典例1-1】（2023 上·浙江·高三校联考）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023 上·四川成都·高三校考）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023 上·江苏·高三专题练习）已知
，
，
，则x，y，z 的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023 上·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c 满足
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 作差比较法
【解题攻略】
差比法：作差，变形，判断正负。
其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者计算
8
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化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。
【典例1-1】（2023 上·江西·高三统考）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023 上·全国·高三专题练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023 上·四川成都·高三校考）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023 下·河南安阳·高二统考期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 作商比较法
【解题攻略】
商比法：
两个正数a，b，如果
，运用商比法，要注意两个数是正数还是负数。
【典例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若
，
，
，则
，
，的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023 上·天津南开·高三南开中学校考）
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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【变式1-3】（2023 下·四川泸州·高三泸县五中校考阶段练习）设
，
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
题型08 三角函数与幂指对
【解题攻略】
三角函数与三角函数值比较大小：
1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小
2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当
(0，
)时，
3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小
【典例1-1】（广东省深圳外国语学校高中园2022-2023 学年高三上学期学段（三）数学试题）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（广西南宁市银海三雅学校2022-2023 学年高三上学期第一次考试数学学科试题）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（四川省成都市实验外国语学校2022-2023 学年高三上学期考试数学试题）已知
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知实数
，
，
，则这三个数的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（河南省济源市、平顶山市、许昌市2022 届高三文科数学试题变式题11-15）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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题型09 构造函数求导：对数幂型
【解题攻略】
构造对数型函数：
由对数性质logaMn＝n log
aM (n∈R，常见得式子可以同构为
型
【典例1-1】（福建省厦门海沧实验中学2021-2022 学年高二下学期期中考试数学试题）已知
，
，
，则
，
，的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（广东省揭阳市2021-2022 学年高三上学期数学试题）已知
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（北京市铁路第二中学2021-2022 学年高三考试数学试题）设
，
，
（
），则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（河南省商丘市商丘名校2021-2022 学年高三联考数学理科试题）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 构造函数求导：指幂型
【解题攻略】
指数幂形式，比较常见的是以e 为底的指数函数与幂函数的积或商的形式：
【典例1-1】（2023 上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
11
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【典例1-2】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023 上·云南昆明·高三校考阶段练习）设
，
，
，设a，b，c 的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023 下·江西上饶·高二统考期末）已知实数：
，
，
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023 下·河南商丘·高二统考阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 构造函数求导：对数线性型
【解题攻略】
对数线性形式，比较常见的是以对数为整体 的线性形式：
等
【典例1-1】．（2022 上·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）设
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】．（2022 上·福建·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022 下·四川成都·高二校联考期中）已知
，且
，
，
，则（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
【变式1-2】（2022 上·江苏徐州·高三期末）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022 上·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知，
，
，
12
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，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 构造函数求导：指数线性型
【解题攻略】
指数线性形式，比较常见的是以指数为整体 的线性形式：
等
【典例1-1】设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】已知
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022 上·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022 上·山东淄博·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，则下列
关系式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13 构造函数求导：三角函数线性型
【典例1-1】（2022 上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023·四川成都·统考一模）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022 上·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）设
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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【变式1-2】（2022 上·海南·高三校联考阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022 上·浙江·高三统考期中）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型14 泰勒展开型比大小
【解题攻略】
泰勒展开式x0=0 时得麦克劳林展开式，常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，
，
，
，
，
.
【典例1-1】已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（江苏省无锡市江阴市普通高中2022-2023 学年高三上学期期末数学试题）设
，
，
，这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022 年新高考1 卷第7 题）设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2021 年全国乙卷理科12 题） 设
，
，
．则（ ）
14
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A.
B.
C.
D.
高考练场
1.（2023 上·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知
，则
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2023 上·广东湛江·高三校联考阶段练习）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（安徽省安庆市一中2017-2018 学年高三下学期数学试题）在
中，
是钝角，设
，
，
，则
、
、的大小关系是______.
4.（福建省三明第一中学2021-2022 学年高三上学期学数学试题）设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.．（2023 下·河北保定·高三定州一中校考阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2023 上·陕西渭南·高三统考）已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.已知实数a，b，c 满足
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.（2022 上·河南安阳·高三统考阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15
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11.．（2022 上·山东聊城·高三统考）已知
，
，
，下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
12.（2022 上·全国·高三校联考阶段练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13.（2023 上·四川遂宁·高三统考期中）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16
