文档文本内容
专题02 函数图像及性质的综合应用
内容概览
01 命题探源·考向解密
02 根基夯实·知识整合
03 高频考点·妙法指津（4 大命题点+4 道高考预测题，高考必考·（5-10）分）
考点一 函数图象及性质的综合应用
命题点1 函数图象的判定
命题点2 函数奇偶性
命题点3 比大小
命题点4 函数性质综合应用
高考预测题
3 道
04 好题速递·分层闯关（精选10 道最新名校模拟试题+9 道高考闯关题）
考点
考向
命题特征
函数图象及性
质
函数图象的判定
函数奇偶性
比大小
函数性质综合应用
常以选择题的形式出现，常考函数图象变换，借图考单
调、奇偶、对称、周期性质，重综合运用与数形结合思
想 。
1
2
考点一 函数图像及性质的综合应用
《解题指南》
解题思维：函数图像及性质综合应用需掌握：先识图（单调区间、对称中心/轴、周期），再结合代数验
证；善用数形结合，通过图像特征推导函数性质，解决复合函数、方程根、不等式等问题，注重逻辑连
贯与综合运用。
命题点01 函数图像的判定
【典例01】（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）函数
在区间
的图
象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
【典例02】（2023 年天津高考数学真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为
（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
故选：D
命题点02 函数奇偶性
【典例01】（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
4
，
故此时
为偶函数.
故选：B.
【典例02】（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【解析】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
命题点03 比大小
【典例01】（2025 年高考全国一卷数学真题）已知
，则x，y，z 的大小关
系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
5
【解析】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
【典例02】（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
开口向下，对称轴为
，
6
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
命题点04 函数性质综合应用
【典例01】（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
的定义域为R，
，
且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
7
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
【典例02】（多选题）（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
8
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值点，故D 错误.
故选：
.
高考预测题
1．已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
9
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，定义域为
，
又
，所以
为偶函数，故A 错误；
对于B，当
时
，
易知
，
，所以
，不满足，故B 错误；
对于D，当
时，
，
由反比例函数的性质可知，
在
上单调递减，故D 错误；
检验选项C，
满足图中性质。
故选：C
2．已知
是定义域为
的偶函数，且
为奇函数，则
（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
10
【解析】由函数
为偶函数，则
轴为该函数图象的一条对称轴；
由函数
为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心.
由函数
的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数
的图象，
则
是函数
的一个对称中心.
所以直线
是函数
图象的对称轴，
是函数
图象的对称中心，
由
，则
，所以
.
故选：D.
3．已知函数
，
，
的零点分别为
，
，，则
，
，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，化简得
，
即
，换底后得到
；
令
，则
，化简得
，
即
，换底后得到
；
令
，则
；化简得
，
即
，换底后得到
；
分别画出它们的图象为：
11
由图可以看出
.
故选：A.
4．（多选题）函数
是定义在
上的奇函数，满足
在区间
上单
调递减，且
，则（ ）
A．
B．
C．
关于直线
对称
D．
在
上单调递增
【答案】AD
【解析】因为
，所以
，
所以
，
故
，
所以
，所以
，
所以，6 是函数
的一个周期.
对于A，因为
是定义在
上的奇函数，所以
，所以
，正确；
12
对于C，因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
的图象不关于直线
对称，错误；
对于B，因为
，
，
所以
，错误.
对于D，因为
，
因为6 是
的周期，所以
，故
所以函数
的图象关于
对称，又
在区间
上单调递减，
所以
在区间
上单调递增，正确；
故选：AD
13
好题速递
1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．
B．10
C．2
D．
【答案】C
【解析】函数
，
则
，
由函数
的图象关于点
对称，得
恒成立，
即
恒成立，
因此
，解得
，所以
.
故选：C
2．（2025·陕西汉中·一模）若函数
为奇函数，则实数
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】函数
为奇函数，故必有
成立，
即
，解得
，
则此时
，定义域为
，
而
，即函数
为奇函数，符合题意，
14
故
，
故选：C
3．函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
的定义域为
，
且
，
所以
是奇函数，排除 D．
又因为
，
所以
，排除A．
当
时，
，排除B.
故选：C
4．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
，则下列比较大小正确的是（ ）
A．
B．
15
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可得函数
的定义域为
，
由题意知
，
令函数
，且
，
则
，即
在
单调递增，所以
，
故
在区间
上恒成立，则
在
上单调递减，
所以
，由函数的单调性可知
.
故选：B
5．（2025·浙江·一模）已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】
的定义域，由
，
若
，由不等式可解得函数定义域为
，不关于原点对称，不可能为奇函数，
若
，解得函数定义域为
，
若为奇函数，必有
，解得
；
又
，
解得
，
16
故选：C.
6．（2025·安徽合肥·一模）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
【答案】B
【解析】因为
是定义在
上的偶函数，所以
.又因为
，
所以
，所以
，所以
的周期为
.
因为
时，
，所以
.
故选：B.
7．（多选题）（2025·广东江门·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
，且
，则
的值可能为（ ）
A．101
B．102
C．103
D．104
【答案】BCD
【解析】因
，则
，
因
，则
，
则
，即
，
令
，则
，
因
，则
，
则
的值可能为
.
故选：BCD
17
8．已知函数
满足
，若函数
与
的图象有6 个交点，交点横坐
标为
，则
．
【答案】12
【解析】由
知
的图像关于直线
对称，
又
的图像也关于直线
对称，
所以函数
与
的图像有6 个交点，
分3 对交点分别关于直线
对称，每对交点的横坐标之和为4，所以
．
故答案为：12.
9．（2025·上海奉贤·一模）若函数
是偶函数，则实数
．
【答案】
【解析】函数的定义域为
，
由题意可知
，即
，
所以
，
因该等式对定义域内的任意
都成立，故
，
解得
故答案为：
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
，
，则
.
【答案】3
【解析】
，则
，故
，
所以
的一个周期为4，所以
，
18
又
中，令
得
，
故
，则
.
故答案为：3
高考闯关
1．（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
上的大致图象，则该函数
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据图象可知，
是奇函数，
对于A，由题意得
，
则
是奇函数，符合题意，故A 正确，
对于B，
，
则
是奇函数，令
，则
，
19
当
时，
在
上单调递减，
则
，与图象不符，故B 错误，
对于C，由题意得
，
，
则
，
可得
不是奇函数，故C 错误，
对于D，由题意得
，
，
则
可得
不是奇函数，故D 错误.
故选：A.
2．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
，若
恒成立，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知
，
令
，
且
的定义域为
关于原点对称，所以
是奇函数，
因为
为
上的减函数，
为
上的减函数，
20
所以函数
在
上单调递减，故函数
在
上单调递减，
又由
，得
，
所以
，
所以
任意
恒成立，即
对任意
恒成立，
若
，可得
，此时恒成立，满足要求；
若
，则需
，解得
，
综上所述，
的取值范围是
，
故选：B.
3．（多选题）（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若
，
为偶函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，由
，可得
，
两式相减可得
，故A 正确；
对于B，由
为偶函数，可得
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，
由
，两边求导得
，即
，
所以
是以4 为周期的周期函数，
21
则有
，无法推出
，故B 错误；
对于C，由
，两边求导得
，
即
，令
，可得
，
又
，令
，可得
，
联立
，解得
，故C 正确；
对于D，由
，当
时，
，又
，可得
，
当
时，可得
，
由
，即
，
所以
，令
，可得
，
所以
，令
，可得
，
，
，
由B 知
的周期为4，则
，所以
，
，故D 正确.
故选：ACD.
4．（多选题）（2025·云南昭通·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且对任意
，有
，当
时，
，则（ ）
A．
是以
为周期的周期函数
B．点
是函数
的一个对称中心
22
C．
D．函数
有个零点
【答案】BCD
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
又因为
，所以函数
关于直线
对称；
所以
，
所以
，
所以函数
是周期为的周期函数，所以A 选项错误；
由于函数
是奇函数，关于点
中心对称，且函数
关于直线
对称，
因此点
是函数
的一个对称中心，所以B 选项正确；
由于函数
是周期为的周期函数，且
时，
，
那么
，因此
，所以C 选项正确；
作出函数
与函数
的图象如图所示，
根据图象可知，两个图象有个交点，因此函数
有个零点，所以D 选项正确，
故选：BCD．
5．（2025·上海嘉定·一模）已知
，且
，则实数
的取值范围是 .
23
【答案】
【解析】令
，等价于
，可得
，解得
，
可知函数
的定义域为
，
因为
，即
，
可知函数
为奇函数，
且
，
因为
在
内单调递增，则
在
内单调递减，
且
在定义域内单调递增，可知函数
在
内单调递减，
若
，则
，
可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
6．（2025·上海奉贤·三模）已知
、
为常数，函数
为奇函数，则
．
【答案】3
【解析】由题意，函数
为奇函数，
则
，故
，
24
可得
，则
，解得
，
所以
.
故答案为：3.
7．（2025·广西柳州·一模）已知定义在
上的函数
，
为
的导函数，
定义域也是
，
满足
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以
的对称中心为
，
又因为
，
所以
，
所以
，
故答案为：
.
8．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
，若
，
，
，则
，
，三个数中最大的是 ，最小的是 .
【答案】
【解析】
，
则
，
25
又
定义域为
，故
关于
对称，
当
时，由
，
由
、
都在
上单调递增，
且
在
上单调递增，故
在
上单调递增；
由
，
，则
，故
，故
，
又
，故
；
令
，则
，故
在
上单调递增，
则
，则
，
又
，故
，
由
，则
，即
；
故有
，
则
，
即
，即
，
，三个数中最大的是，最小的是
.
故答案为：，
.
9．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知定义在
上的函数
与
满足
，其中
为奇函数，
的图象关于直线
对称，且
，则
．
【答案】4
【解析】已知
为奇函数，
则
，即
，
用
代替
，则
，即
．
26
因为
的图象关于直线
对称，所以
．
已知
，则
，
用
代替
，可得
，
由
和
，
可得
，即
，
因为
，且
，
将两式相加可得
，
用
代替
，则
．
由
和
，可得
，
所以函数
的周期为4．
因为
，用
代替
，则
．
由
和
，且
，
可得
，即
，
所以函数
的周期也为4．
由
，令
，得
，即
，
所以
，
．
所以
．
故答案为：4．
27
28
