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专题07 比大小归类
目录
题型一：基础函数：指数函数性质.....................................................................................................................................1
题型二：基础函数：对数函数性质.....................................................................................................................................2
题型三：幂指对函数性质.....................................................................................................................................................3
题型四：借助0、1 分界.......................................................................................................................................................4
题型五：指数型同构法.........................................................................................................................................................5
题型六：借助常数分界.........................................................................................................................................................5
题型七：放缩型.....................................................................................................................................................................6
题型八：构造型1：对数幂型..............................................................................................................................................7
题型九：构造型2：指数幂型..............................................................................................................................................8
题型十：构造型3：指数线性构造......................................................................................................................................9
题型十一：构造型4：对数线性构造................................................................................................................................10
题型十二：构造型5：三角函数线性构造........................................................................................................................10
题型十三：构造型6：综合构造........................................................................................................................................11
题型十四：三角函数型构造比大小...................................................................................................................................12
题型十五：幂指对与三角函数混合型...............................................................................................................................12
题型十六：泰勒展开...........................................................................................................................................................13
题型十七：麦克劳林展开...................................................................................................................................................14
题型一：基础函数：指数函数性质
1．（23-24 高三·湖南衡阳·阶段练习）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
指数函数比大小易错点：
1.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质
3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x 轴是它的水平渐近线
4.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调
性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
1
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2．（23-24 高三·云南昆明·模拟）已知
，
（为自然对数的底数）
，比较
，
，
的大小（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三·宁夏银川·阶段练习）已知函数
，
，且
，则（
）
A．
，
，
B．
，
，
C．
D．
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知实数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高三·山东威海·模拟）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：基础函数：对数函数性质
1．（22-23 高三下·河南·阶段练习）已知
，
，
，
，则( )
A．
B．
C．
D．
对数函数比大小，主要时通过对数计算公式转化为结果相同，利用单调性比大小
对数运算公式
1.对数的运算法则：
①loga(MN)＝logaM
＋
log
aN
②loga＝logaM
－
log
aN；
③logaMn＝n log
aM (n∈R)；
④logamMn＝logaM．
2.对数的性质：①a
＝
N ；
②logaaN＝
N (a>0 且a≠1)．
3.对数的重要公式
①换底公式：logbN＝；
②换底推广：logab＝， logab·logbc·logcd＝logad.
2
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2．（23-24 高三·江苏泰州·模拟）已知三个互不相等的正数
满足
，（其中
是一个无理数），则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·重庆·模拟预测）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·辽宁·一模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三·广东佛山·模拟）已知
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：幂指对函数性质
1．（23-24 高三·辽宁朝阳·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三江苏泰州·模拟）已知三个互不相等的正数
满足
有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定
其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：
，当
时，函数递增；当
时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：
，当
时，函数递增；当
时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0 或1 等.
3
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，（其中
是一个无理数），则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·河南·模拟预测）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高三·河北唐山·阶段练习）设
，
，
，则a，b，c 的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·河南·一模）已知
，则这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2024 年高考天津卷）若
，则
的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
题型四：借助0、1 分界
1.（23-24 高三 ·辽宁朝阳·阶段练习）已知
，
，
解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础
的是以正负划分，正数则以1 为区间端点划分。
指、对、幂大小比较的常用方法：
（1）底数相同，指数不同时，如
和
，利用指数函数
的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如
和
利用幂函数
单调性比较大小；
（3）底数相同，真数不同，如
和
利用指数函数
单调性比较大小；
（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1 或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进
行大小关系的判定.
4
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，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（黑龙江省桦南县第一中学2021-2022 学年高三上学期）已知
，
，
，则a，
b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022 学年高三学期（12 月）数学试题）已知
，
，
，则
，
，三者的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（陕西省西安市第一中学2021-2022 学年高三上学期期中）已知定义在R 上的函数
满足当
时，
不等式
恒成立，若
，
，
，则a，b，c 大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：指数型同构法
1.（江苏省镇江市2021-2022 学年高三上学期期中数学试题）已知
，
，
，
，
则下列大小关系正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.. （四川省宜宾市普通高中2022 届高三上学期第一次诊断测试文科数学试题）若
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
指数幂同构性比较大小
①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较；
②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较；
③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”.
5
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3.（陕西省西安中学2021-2022 学年上学期数学试题）若
，则三者大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
4..已知三个实数a，
，
，其中
，则这三个数的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：借助常数分界
1.（陕西省西安市第一中学2024 届高三下学期高考模拟押题文科数学试题（一））若
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2024 年普通高等学校招生全国统一考试数学理科猜题卷（四））已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2022 年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（九））若
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（广西师大附属外国语学校2021 届高三5 月高考考前模拟考试数学（理）试题）已知
，
，
，
，则
、
、、
的大小关系是（ ）
A．
B．
寻找非0、1 的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然
后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。
1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值
3.利用幂指对等函数计算公式进行适当的放缩转化
6
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C．
D．
题型七：放缩型
1.（湖北省恩施州咸丰春晖学校2022-2023 学年高二上学期11 月月考数学试题）若
，
，
，则它们的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（山东省枣庄市第三中学2021-2022 学年高三质量检测数学试题）已知
，
，
，则a，
b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）．
A．
B．
C．
D．
4.设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为______.（用“<”连接）
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023 学年高一上学期12 月阶段性测试数学试题
题型八：构造型1：对数幂型
放缩：
1.借助幂指对函数的单调性进行放缩。
2.常用一些放缩公式：
;
当
时取等;
,当
时取等,
7
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1.（2023·江西景德镇·统考一模）设
，
，
（e 为自然对数底数），则a，b，c 大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2023 上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2023·河南·校联考模拟预测）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：构造型2：指数幂型
常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”→“构造”，得新函数，求导函数寻找单调性
对数幂常见的构造：
构造对数幂型：
比较常见的对数幂型函数图像
8
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1.（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数
，且
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2023 下·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知
，
，
（其中为自然常数），
则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：构造型3：指数线性构造
构造对数幂型：
比较常见的对数幂型函数图像
9
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1.（2022·全国·模拟预测）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2022 下·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知
，
，
，则下列不等式成
立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十一：构造型4：对数线性构造
1.（2022 上·江苏镇江·高三校考期中）已知
，
，
，其中
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2022·全国·高三专题练习）已知
则（ ）
A．
B．
C．
D．
指数线性型构造特征：
多以e 为底数，构造
+kx+b 等形式函数，求导，判断单调性比大小
对数线性型构造特征：
多以e 为底数，构造lnx+kx+b 等形式函数，求导，判断单调性比大小
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3.（2022 上·河南·高三校联考开学考试）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2022 下·贵州贵阳·高三校联考）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十二：构造型5：三角函数线性构造
1.（2022 上·浙江·高三绍兴鲁迅中学校联考阶段练习）设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2022·四川内江·统考二模）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2021 上·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2023 下·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）
，
，
，则
的大小关系为
（ ）.
A．
B．
C．
D．
题型十三：构造型6：综合构造
三角线性型构造特征：
构造sinx+kx+b 或cosx+kx+等形式函数，求导，判断单调性比大小
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1.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设
，则
大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2023·山东·模拟预测）已知
，
，
，其中
为自然对数的底数，
则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（21-22 高三上·江西景德镇·阶段练习）已知
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（23-24 高三·山东·阶段练习）已知实数
满足
，
，
，则
，
，的
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十四：三角函数型构造比大小
在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量
就有了函数的形式，如
在第一题中
，将
视为
，将
视为函数
与
的函数值，从而只需比较
与
这两个函数大小关系即可.
相对是先慢后快，
相对是先快后慢，解题过程中可先画出函数在区间
上的图象，根据图象来确定大小关系.
12
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1.已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（安徽省安庆市第一中学2022 届高三热身考试数学试题）已知函数
与函数
在区间
都为减函数，设
，且
，
，
，则
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知
则
的大小关系是__________．
题型十五：幂指对与三角函数混合型
1.（广东省中山市中山纪念中学2021-2022 学年高三上学期第二次段考数学试题）在必修第一册教材
“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例2 中，我们得到如下结论：当
或
时，
；当
三角函数与三角函数值比较大小：
1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小
2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当
(0，
)时，
3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小
函
数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图
象
三角函数基础图像
13
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时，
，请比较
，
，
的大小关系
A．
B．
C．
D．
2.已知
，
，
，则
，
，的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.若
，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（福建省龙岩第一中学2023 届高三上学期第二次月考数学试题）已知
，则a，b，
c 的大小关系是( )
A．
B．
C．
D．
题型十六：泰勒展开
1.（2022·全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（22-23 高三下·广东广州·阶段练习）
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
常见函数的泰勒展开式
由泰勒展开式,我们可以得到几个常用的初等函数在x =0处的泰勒展开式:
(1)
1
1−x =1+ x + x
2+⋯+ x
n+o(x
n);
(2)(1+ x)
m=1+mx + m(m−1)
2!
x
2+⋯+ m(m−1)⋯(m−n+1)
n!
x
n+o(x
n);
(3)e
x =1+ x + x
2
2! +⋯+ x
n
n! +o(x
n);
(4)ln (1+ x)= x−x
2
2 + x
3
3 −⋯+(−1)
n x
n+1
n+1 +o(x
n+1);
(5)sin x = x−x
3
3! + x
5
5! −⋯+(−1)
n
x
2n+1
(2n+1)! +o(x
2n+2);
(6)cos x =1−x
2
2! + x
4
4! −x
6
6! +⋯+(−1)
n
x
2n
(2 )! +o(x
2n+1).
14
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A．
B．
C．
D．
3.（2024 高三·河南·专题练习）设函数
，
，
在
上的
零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（23-24 高三·山东临沂·模拟）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，其中
.已知
，则下列说法不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．无法判断二者大小
题型十七：麦克劳林展开
1.（22-23 高三上·江苏无锡·期末）设
，
，
，这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，
，
，
，
，
.
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2.已知
，
，
，则
，
，的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
16
