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专题03 导数构造法大全培优归类
题型1 比大小: 构造对数幂型函数
.构造对数幂型：
比较常见的对数幂型函数图像
1
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1．（24-25 高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为
，
，
，构造函数
，
因为
，由
，得到
，
由
，得到
，所以
在区间
上单调递减，
因为
，
，
，
因为
，所以
，故选项A，C，D 错误，选项B 正确，
故选：B.
2．（24-25 高三安徽蚌埠·模拟）已知
，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】据题意可设
，求导
，从而可根据导数符号得出
在
上单调递减，
可得
的大小.
【详解】
，
令
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
又
，所以
，所以
，所以
.
故选：B.
3．（24-25 高san ·河南·阶段练习）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，求导得函数单调性，进一步即可比较大小.
2
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【详解】因为
，
，
，
构造函数
，求导得
，
令
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，所以
.
故选：A.
4．（24-25 高三 ·重庆·阶段练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，借助导数研究
在
上的单调性，利用单调性得到
，
，将
变形，利用函数
在
上单调性得到
，即可得解.
【详解】因为
，所以令
，
.
令
，解得
.
所以当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
因为
，所以
，即
；
因为
，所以
，即
.
而
和
，则
综上可知，
.
故选：D
题型2 比大小:构造指数幂型函数
构造指数幂型：
比较常见的指数幂型函数图像
3
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1．（24-25 高三·山东聊城·阶段练习）已知实数
分别满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
变形为
，观察可发现这与
形式相同，且易知
，
.构造
，求导可得
在
上单调递增.从而可推出
，代入即
可得到结果.
【详解】由
可得，
，则
，
即
，又
，
所以
，且
，
.
令
，则
，当
时，
恒成立，
所以，
在
上单调递增.
又
，
，
，所以
.
所以，
.
故选：A.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意通过构造函数
来比较大小，再利用
即可求解.
【详解】由题知
，
，故构造函数
，
则
，当
时，
，所以
在
单调递增，
而
，所以
，所以
，
设
，
，当
时，
，
所以
在
单调递增，则
时，
，
4
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则
，综上可知
.
故选：A.
3．（24-25 高三河南郑州·模拟）已知
且
，
且
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知条件变形可得
，
，
，构造函数
，
，求导判断单
调性，利用单调性求解判断.
【详解】由
，可得
，
，
同理，可得
，
，
，
，
令
，
，则
，
当
时，
，即
单调递减，
当
时，
，即
单调递增，
，又
，则
，
，则
，
，则
，
即
，且
，
，
，
由
在
上单调递增，所以
.
故选：D.
4．（24-25 高三安徽·阶段练习）已知
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用余弦函数的单调性可得
，构造函数
，由函数单调性可得
，
即可得出大小关系.
【详解】因为余弦函数
在
上单调递减，且
，
所以
；
因为
，
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
5
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所以
，所以
.
故选：D．
题型3 比大小: 同构
把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单
调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合
的等式或不等式问题．
利用恒等式x＝ln ex 和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构
造的函数的单调性进行研究．
常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝.
其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t 进行指对互化．
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数
（e 是自然对数的底数），若
对任意的
恒成立，则实数a 的最小值为（ ）
A．e
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据不等式
的形式，构造新函数，利用导数的性质，结合新函数的单调性进行求解即可.
【详解】由
，得
，所以
，所以
，当
时，
显然
.令
，
，则由
得
，
，因为
，所
以
，
在
上单调递增，所以
，则
，即
.设
，
，则
，当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，所
以
，则
，
，所以实数a 的最小值为
，
故选：B.
【点睛】关键点睛：根据两次构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性进行求解是解题的关键.
2．（21-22 高三上·浙江绍兴·期末）已知关于
的不等式
恒成立，其中为自然对数的
底数，
，则（ ）
A．
既有最小值，也有最大值
B．
有最小值，没有最大值
C．
有最大值，没有最小值
D．
既没有最小值，也没有最大值
【答案】B
【分析】对不等式进行变形，构造新函数，结合单调性与同构得到
，从而利用导函数研究
，求出最大值，从而求出
，得到答案.
【详解】
变形为：
，
6
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即
，
令
（
）则上式可化为：
，
其中
，所以
（
）单调递增，
故
，即
，令
，
则
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
处取得极大值，也是最大值，
故
，所以
，解得：
，
综上：
有最小值，无最大值.
故选：B
【点睛】研究函数单调性，利用同构知识，求出参数的取值范围问题，通常适用于等式或不等式中同时存
在指数与对数式，要结合不等式特点，进行适当变形.
3．（24-25 高三上·江苏·期末）已知实数x，y 满足
，则下列关系一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先条件等式变形为
，再通过构造函数
，利用导数判断函数的单调性，再根据
不等式
，比较大小.
【详解】由
可知，
，
设
，
，
，所以
在
单调递增，
因为
，
，所以
.
故选：D
4．（24-25 高二下·重庆·阶段练习）若实数
是函数
的零点，则
（ ）
A．0
B．1
C．e
D．
【答案】A
【分析】根据指对运算讲方程
化简为
，构造函数
，可得
，求导确定单调性即可得所求.
【详解】由题可得
，
所以
，
设函数
，则
恒成立，
所以函数
在
上单调递增，
7
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由
得
，即
，故
.
故选：A.
题型4 比大小 :构造指数函数+线性型
常见的指数线性函数：
1．（21-22 高三上·四川乐山·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数可求得
，
；分别代入
和
，整理可得
的大小关系.
【详解】令
，则
，
在
上单调递增，
，即
，
，
，即
；
令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
（当且仅当
时取等号），
，
即
（当且仅当
时取等号），
，即
；
综上所述：
.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两
个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数
的大小关系.
2．（2022·河南省直辖县级单位·二模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
8
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【分析】记
，记
，利用导数即可得到结论.
【详解】记函数
，可得
.
令
，解得
；
，解得
，
所以
在
单减，在
单增，
所以
，即
，
当
时，有
，即
.
记
，可得
.
令
，解得
；
，解得
，
所以
在
单增，在
单减，
所以
，即
，所以
，
当
时，有
，即
.
所以
，
所以
.
故选：B.
3．（2023·重庆·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知结合式子特点合理构造函数，结合导数与单调性的关系分别证出
，
，
然后进行赋值即可比较函数值的大小.
【详解】令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
故
，所以
，当
时取等号.
所以
，
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
故
，所以
，当
时取等号.
所以
，即
.
故选：C.
4．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简
，得到
，
，构造函数
和
，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.
【详解】由题意得
，
可得
，
设
，可得
，所以
单调递减，
则
，即
，所以
；
又由
，
设函数
，可得
，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，所以
，
所以
.
故选：C.
题型5 比大小 :构造对数函数+线性型
常见的对数线性函数：
1．（21-22 高三上·甘肃白银·开学考试）设
．
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先构造函数
，利用导数判断函数的单调性，即得
，根据
，判断
的大小，再对变形，即可比较
的大小，并判断选项.
【详解】设函数
,
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令
令
，得
；令
，得
．
则
，当且仅当
时，等号成立，所以
，
即
，即
，即
，
因为
，即
，
所以
．
故选：A
3．（2025 高三·全国·专题练习）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】表示出
，并适当变形，观察式子，构造函数
,
，利用导数即可证明
，
，可比较大小.
【详解】由
得
，
由
得
，又
．
取
，则
，
，
．
设
，则
，
所以
在
单调递增，又
，则
，
即
，所以
．
令
，则
，所以
在
单调递增，
则
，故
，则
，即
，所以
．
故选：A.
3．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，则有
、
、
，结合导数计算可得其单调性，
即可得解.
【详解】令
，则
，
则当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
、
、
，
11
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由
，故
.
故选：C.
4．（2025·青海海东·三模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数确定单调性，进而比较大小.
【详解】令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
，
因此
，而
，
因此
，又函数
在R 上单调递增，
所以
.
故选：A
题型6 比大小 :构造三角函数型
三角函数常见的放缩不等式：
（1）
的放缩：当
时，
；当
时，
.
（2）
的放缩：当
时，
.
1．（22-23 高三·湖南·模拟）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，可得
，求得函数
在
单调递
增，得到
，再构造函数
，得到
，求得
，
单调
递增，得到
，即可求解.
【详解】构造函数
，
，可得
，
，
令
，
，则
，
因为当
时，
，
均单调递减，
12
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所以
单调递减，
所以
，
因为
，所以
，
所以
单调递增，
又
，从而
在
单调递增，所以
，
所以
，从而得到
，
又因为
，
构造函数
，
，所以
，
，
令
，则
，
因为当
时，
，
均单调递增，
所以
单调递增，
所以
，
所以
在
单调递减，所以
，
所以
，
单调递增，从而
，
所以
，所以
，
综上可得：
.
故选：B.
2．（24-25 高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性进而比较大小.
【详解】令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，因此
；
令函数
，求导得
，
13
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令
，求导得
由
，得
，
则
，即
，函数
在
上单调递增，
，
，函数
在
上单调递增，
，
因此
，所以
.
故选：B
3．（24-25 高二下·辽宁·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较大小.
【详解】设
，则
，
在
上单调递增，则
，
，即
，
；
设
，则
，
在
上单调递增，则
，即
，
，
又
，
．
故选：C．
4．（24-25 高三·广西桂林·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由指数、正弦函数的性质有
，构造
，
并应用导数研究其单调
性确定
的大小即可得.
【详解】由题知，
，
，
，
令
，
，则
，
所以
在区间
上单调递减，所以
，
所以
，即
，
综上，
．
故选：C
14
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题型7 导数构造：幂积型
幂积型构造：
若已知
分析问题；
1．（24-25 高三·重庆·阶段练习）已知
为定义在
上的奇函数，
，且当
时，有
，则使
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，可得当
时
，进而可得
在
上为
增函数，进而可得当
时，
，当
时，
，再由函数
为奇函数可得.
【详解】令
， 当
时，
，
所以，函数
在
上为增函数，且
，
故当
时，
，得
，
当
时，
，得
，
又
为定义在
上的奇函数，
故由
可解得
或
，
故选：B
2．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，
当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】当
时，
，可得
在
上单调递增，结合函数
是定义
域为
的奇函数，
，从而得到不等式，求出答案.
【详解】令
，则
，
由题意知当
时，
，故
在
上单调递增，
因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
所以
，
所以
是定义域为
的偶函数，
所以
在
上单调递减，
又因为
，所以
，
15
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所以
，
所以当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
.
则不等式
的解集为
.
故选：D.
3．（23-24 高三·四川凉山·模拟）已知可导函数
的定义域为
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为
，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】令
，则
，
故
在
上单调递减，
不等式
可变形为
，
即
，
所以
且
，解得
.
故选：A
4．（23-24 高三福建福州·阶段练习）定义在
上的函数
满足
，
（若
，则
，c 为常数），则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
在
取得极小值，极小值为
C．
只有一个零点
D．若
在
上恒成立，则
【答案】B
【分析】首先构造函数的导数，并求函数的解析式，得
，再利用导数判断函数的单调性，即可
判断AB；由函数的性质，确定函数的图象，即可判断C；利用参变分离，将不等式恒成立，转化为
，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最大值.
【详解】∵
且
，可得
，
则有
，故
（c 为常数），
16
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又
，则
，得
，故
，
，
，
当
，即
，解得：
，
，此时
单调递增，
当
，即
，解得
，
，
当
，即
解得：
，
，此时
单调递减，
对于A，由于
，
单调递增，
，
单调递减，
∵
，可得
，
∵
，
，∵
.
故
，故A 正确：
∴
，
取得极大值，
，故B 错误；
对于C，当
，
，
，
，
，
，
画出
草图，如图：
根据图象可知：
只有一个零点，故C 正确；
对D，要
在
上恒成立
即：
在
上恒成立，
∵
，可
在上恒成立，
只需
，令
，
，
当
，
；
单调递增，
当
时，
；
单调递减，
，
；
则
，即
，故D 正确；
17
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故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数的导数，即可求解函数的解析式.
题型8 导数构造：幂商型
幂商型构造：
1．（2024·四川德阳·模拟预测）设定义域为
的函数
的导函数为
.已知
，
，若
在
上恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用
导函数的奇偶性分析原函数
的奇偶性，再构造函数
，根据题意分析
单调性，结合不等式有意义，分类讨论，并结合同构特点利用单调性解不等式可得.
【详解】令
，由
，令
，则
.
则
，故
，
由
，令
，则
，故
，
故
，可知
为偶函数；
令
，则
，
当
时，由
，则
，即
在
上严格递增，
又
，
则当
时，
，故
；
则当
时，
，则
；
则由偶函数
对称性可知，当
时，
.
由
，则
.
不等式
可化为
，其中
且
.
当
时，
，则
，
故不等式
无解；
当
时，
，可得
，即
，
18
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由
在
上严格递增，可知
，解得
，
所以
；
综上所述，不等式的解集为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：根据题意中导函数满足的不等关系及所求解不等式，构造函数
，利用新函数
的单调性求解抽象不等式.
2．（24-25 高三上·云南德宏·期末）已知定义在
上的函数
，
是
的导函数，满足
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，结合题意利用导数计算可得该函数单调性，即可将不等式
转化为
，从而得到
，即可得解.
【详解】令
，则
，
则当
时，
，即
在
上单调递减，
由
，则
，又
，
即不等式
等价于
，
即
，即有
，解得
.
故选：D.
3．（24-25 高三·湖北·模拟）已知函数
的定义域为
，
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，判定其单调性计算即可.
【详解】根据题意可令
，
所以
在
上单调递增，则原不等式等价于
，
由
，解之得
．
故选：B．
4．（24-25 高三·福建三明·模拟）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
的解集为（ ）
19
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题可设
，
，由其导数可知
在
上为增函数，又由
可得
则
，分析可得
的符号，进而分析
在
上的符号规律，结合函数的奇偶性即
可解出.
【详解】设
，
，则其导数
，
而当
时
，所以
，即
在
上为减函数，
又由
，
为定义在
上的奇函数，则
，
则
，
所以
区间
上，
，在区间
上，
，
则在区间
上，
，在区间
上，
，
又由
是定义在
上的奇函数，则
，
且在区间
上，
，在区间
上，
，
综合可得：不等式
的解集为
．
故选：B.
题型9 导数构造：指数积型
指数积型：
1．（23-24 高三·安徽亳州·模拟）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，
且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数
，判断
的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调
性得到一元二次不等式，解之即得.
【详解】设
，则
，故
单调递增.
又
，故
可转化为
，即
，
由
单调递增可得
，解得
或
，
20
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即不等式
的解集为
.
故选：
.
2．（24-25 高三四川达州模拟）定义在
上的函数
，且
，对
，
，则
不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，利用导数得
在
上单调递减，把
转化为
，利
用单调性解不等式即可.
【详解】
，
，
构造
，
所以
，
所以
在
上单调递减，且
，
不等式
可化为
，即
，所以
，
所以原不等式的解集为
.
故选：B.
3．（23-24 高三福建·模拟）设
在
上存在导数
，满足
，且有
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题目中已知
和
，以及不等式
结构特征可构造函数
，再由函数的特殊值
和单调性性质即可求解.
【详解】令
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，又由题
，
所以
，即
，即
的解集为
，
故选：D.
4．（23-24 高三广东佛山模拟）已知函数
的定义域为
，且
恒成立，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据不等式
和
的结构特征构造函数
，研究
其单调性即可求解.
【详解】令
，
因为
即
，
则
，
21
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所以
在
上单调递增，
故若
，即
，即
，
由定义域及单调性可得
，
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A.
题型10 导数构造：指数商型
指数商型：
1．（23-24 高三·山东·阶段练习）若定义在R 上的函数
满足
，则当
时，
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】B
【分析】构造函数
，求导并结合已知条件判断
，函数
在R 上单调递增，可得
，得解.
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，即函数
在R 上单调递增，
又
，
，即
，即
.
故选：B.
2．（24-25 高三·河北邢台·阶段练习）已知函数
在
上可导，且
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造新函数
，利用导数判断
的单调性，再将不等式
变形，
借助
的单调性即可求解.
22
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【详解】令
，则
，所以
在
上单调递增．
又不等式
，等价于
，
即
，
所以
，所以
，解得
．
故选：B.
3．（23-24 高三广西钦州·模拟）已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，利用导数判断出函数
的单调性，将不等式
变形为
，结合函数
的单调性可解出该不等式.
【详解】构造函数
，则
，
所以，函数
在
上单调递减，
由
，可得
，即
，解得
，
因此， 不等式
的解集为
，故选C.
【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式，解决这类不等式的基本步骤如下：
（1）根据导数不等式的结构构造新函数
；
（2）利用导数研究函数
的单调性，必要时要考查该函数的奇偶性；
（3）将不等式转化为
的形式，结合函数的单调性进行求解.
4．（2018·甘肃兰州·二模）已知
是定义在
上的可导函数，若在
上
有恒成立，且
（为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意构造函数
，利用导数判断出
在
上为减函数，即可得到
，判
断选项A、B；∵
判断选项C、D.
23
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【详解】设
，则
.
∵在
上
有恒成立
∴
在
上恒成立，即
在
上为减函数.
∴
∵
∴
，故A、B 不正确.
∵
∴
故选：C.
【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造
辅助函数常根据导数法则进行：如
构造
，
构造
，
构造
，
构造
等.
题型11 导数构造：正弦函数型
正弦函数型：
1．（23-24 高三·重庆·阶段练习）函数
是定义在
上的奇函数，其导函数为
，且
，当
时，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可构造函数
，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断
的正负情况，结合
，即可求得答案.
24
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【详解】令
，则
，
由于当
时，
，故此时
，
则
在
上单调递减，
由于函数
是定义在
上的奇函数，
则
，即
为
上的偶函数，
则
在
上单调递增，
而
，故
，
故当
或
时，
，当
或
时，
，
由
可得
或
，解得
或
，
故不等式
的解集为
，
故选：B
【点睛】关键点点睛：关键是构造函数
，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解.
2．（23-24 高三·内蒙古模拟）已知
是定义域为
的函数
的导函数，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先构造函数
，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式.
【详解】设
，
，
所以函数
单调递增，
，
即
，得
，所以
，
所以不等式的解集为
.
故选：D
3．（22-23 高三·重庆·模拟）设
是函数
的导函数，当
时，
，则（ ）
25
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用三角函数公式化简已知，再构造函数
，利用函数单调性依次判断选项.
【详解】
，
设
在
单调递增，
，所以A 错误；
，
所以
，所以B 正确；
，所以C 错误；
，
，所以D 错误.
故选：B
4．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为偶函数，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单
调性及一元一次不等式的解法即可求解.
【详解】令
，
则
，
所以
在
上单调递减.
又因为
偶函数，所以
，
所以
.
26
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又
，
所以不等式
等价于
，
根据函数的单调性可知
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A.
题型12 导数构造：余弦函数型
余弦函数型：
，
1．（2023·江西·模拟预测）定义在区间
上的可导函数
关于
轴对称，当
时，
恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，对
求导，可知当
时，
单调递增，由
可得
，即
，然后根据函数的性质可得不等式，解
不等式即可得出答案.
【详解】因为
，化简得
，
构造函数
，
即当
时，
单调递增，
27
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所以由
，
则
，
即
.因为
为偶函数且在
上单调递增，
所以
，解得
.
故选：C.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数
满足
，且
在
处取极值，则下列
说法中正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
是偶函数
C．
在
处取极小值
D．
的最大值为
【答案】C
【分析】
根据已知等式有意义可构造不等式求得函数定义域，知A 错误；由已知等式变形可得
，由
此得到
，根据
可求得
的值，进而确定
，根据偶函数定义
知B 错误；根据
的正负可确定
单调性，由极小值定义可知C 正确；利用换元法，结合二次函数
的最值可求得D 错误.
【详解】
对于A，
有意义，
，
且
，
，
的定义域为
，A 错误；
对于B，
，
，
，
，
，
在
处取极值，
，解得：
，
28
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，
，
不是偶函数，B 错误；
对于C，由B 知：
，
令
，解得：
或
，
则当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取得极小值，C 正确；
对于D，令
，则
，
，
，
即
，D 错误.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式来求解函数的相关性质的问题，解题关键是能够通过对已知等
式的变形，将其转化为
的导函数的形式，进而结合极值定义推导得到函数
解析式.
3．（22-23 高三·重庆沙坪坝·模拟）已知
是函数
的导函数，
，且对于任意的
有
．则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，根据已知条件，利用导数得到
为增函数，由
可推出
A 正确；由
可推出B 不正确；由
可推出C 不正确；由
可推出D 不正确.
【详解】因为对于任意的
有
．又
，
，
所以
，
设
，
，则
，
29
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因为当
时，
，所以
，
所以
在
上为增函数，
因为
，所以
，所以
，所以
，所以
，故A 正确；
因为
，所以
，所以
，所以
，所以
，
故B 不正确；
因为
，所以
，所以
，所以
，所以
，故
C 不正确；
因为
，所以
，所以
，所以
，所以
，故
D 不正确；
故选：A
4．（22-23 高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数
，
是其导函数，
，
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数
，结合导数研究函数
的单调性，由此对选项
进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
，
30
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所以
，即
，
所以
，故A 错误；
因为
，所以
，
又
，
所以
，故B 错误；
因为
，所以
，
，
即
，
，
因为
，
所以
，
，故C 错误，D 正确．
故选：D
【点睛】求解含有函数及其导函数一起的不等式，可转化已知不等式，然后利用构造函数法，结合导数来
研究所构造函数的单调性，从而解决问题.
题型13 导数构造：对数型构造
对数型构造：
1．（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）已知函数
的定义域为
，导函数为
，不等式
恒成立，且
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，则由题意可知
，设
，
，则有
，不等式等价于
，利用单调性求解即可.
【详解】设
，
，不等式
恒成立，可知
，
设
，
，则
，
，
31
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且
，
于是
在
上单调递增，注意到
，
不等式
，等价于
，
即
，得
，解出
.
故选：A．
【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多
问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
2．（24-25 高三上·江苏南京·期中）已知函数
的导函数为
，当
时，
，
则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．当
时，
【答案】D
【分析】A 选项，令
得
；D 选项，构造函数
，得到
的单调性，然后利用
单调性和
的性质即可得到结论；BC 选项，根据
的正负判断.
【详解】在
中令
得
，故A 错；
令
，则
，
因为当
时，
，
所以
，
在
上单调递增，
因为
，所以当
时，
，
时，
，
因为在
时，
，
时，
，
所以
时，
，故D 正确；
，则
，
，故
的正负不确定，故B 错；
当
时，
，
，故
在
的单调性不确定，故C 错.
故选：D.
【点睛】方法点睛：构造函数的常见类型：
①乘积形式：例如
，
；
②商的形式：例如
，
.
3．（2022·广东梅州·二模）已知
是定义在
上的奇函数，
是
的导函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，根据题意可得函数
在
上递增，从而可得出函数
在
上的符号分布，从而可得函数
在
上的符号分布，再结合
是定义在
上的奇函数，
即可得出函数在
上的符号分布，从而可得出答案.
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【详解】令
，
则
，
所以函数
在
上递增，
又因
，
所以当
时，
，
当
时，
，
又因当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，当
时，
，
又因为
，所以当
时，
，
因为
是定义在
上的奇函数，
所以
，当
时，
，
由不等式
，
得
或
，
解得
，
所以不等式
的解集是
.
故选：B.
4．（21-22 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知
是定
的奇函数，
是
的导函数，
，且满足：
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
对函数求导可得到函数
单调递减，再结合
，和
的奇偶性，通过
分析得到当
，
，
，
，故不等式
等价于
或
，
求解即可.
【详解】令
，则
，
故函数
单调递减，定义域为
，
（1）
，
时，
；
时，
．
时，
；
时，
．
当
，
时，
，又
（1）
．
当
，
，又
为奇函数，
当
，
．
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不等式
等价于
或
解得
或者
故答案为：D.
题型14 导数构造：指数型线性
指数型线性构造：
1．（21-22 高三上·河南三门峡·阶段练习）若定义在
上的函数
满足
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，利用导数研究
的单调性，由此求得不等式
的解集.
【详解】令
，则
，所以
在
上单调递增，
又因为
，由
，得
，两边同时乘
以
，得
，得
，即
，解得
，即不等式的解集是
.
故选：C
2．（21-22 高二下·黑龙江·期中）已知
是函数
的导函数，
，若对任意
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，利用导数说明函数的单调性，即可得到不等式的解集；
【详解】解：令
，则
，
，
，
，即
在
上单调递减，
又
，
，
当
时
，即
，即
，
的解集为
．
故选：A．
3．（21-22 高三上·全国·期中）已知
是定义在R 上的函数，
是
的导函数，满足：
34
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，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，利用导数求得
的单调性，由此求得不等式
的解
集.
【详解】令
，则
，
所以
在R 上单调递增，不等式
可化为
，
而
，则
，即
，
所以
，即不等式解集为
.
故选：D
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）函数
的定义域是R，
，对任意
，
+
<1，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】构造函数
，结合条件，求得函数
的导数在定义域上恒小于零，即为减函
数，从而将不等式转换为
，根据单调性求得不等式的解集.
【详解】构造函数
，因为
，所以
为R 上的减函数．
又因为
，
所以原不等式转化为
，即
，解得
.
故选：B
【点睛】本题主要考查构造函数法解不等式，考查运用函数的导数来求得函数的单调区间，考查化归与转
化的数学思想方法.
题型15 导数构造：对数型线性
对数型线性构造：
y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果逆向思维
1．（20-21 高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数
（
）的导函数是
，且满足
，
，当
时，
，则使得
成立的
的取值范
围是（ ）
A．
B．
35
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C．
D．
【答案】D
【分析】由给定条件构造
，求
可得
单调性，并根据
判断
和
的解，从而求得
时
以及
的解集；根据条件
可知
关于点
中心对称，从而求出函数
以及
在
上的解集，进而求出
的解
集.
【详解】解：
，则
关于点
中心对称，
当
时，令
，则
，所以
在
上单调
递增，又
，则当
时，
，且
，所以
，当
时，
且
，所以
.
因为
关于点
中心对称，所以当
时，
，
若
，当
时，
，则
，当
时，
，则
.所以
的解为
.
故选：D.
【点睛】思路点睛：（1）由给定条件
可构造
，从而利
用导数可求出
的单调性；
（2）由
可知
关于点
中心对称，由（1）的结论可求出
以及
的解集；
（3）由多项式的乘积可求出
的解.
2．（20-21 高二下·湖南·阶段练习）若定义在
上的函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，利用导数证明
在
上单调递增，不等式
，等价
于
，利用单调性解不等式得解.
【详解】由题意知
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，且
.
不等式
，
等价于
，
故
.
故选：B
3．（2023·全国·二模）定义在
上的函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】构造新函数
，利用导数说明其单调性，将
变形为
，
利用函数的单调性即可求解.
【详解】令
，
则
，由于
,
故
,故
在
单调递增，
而
，
由
，得
，
∴
，即
,
∴不等式
的解集为
,
故选：D．
4．（23-24 高三·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数
满足
，且在
上单调递增，
则
的范围是（为自然对数的底数）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，求出函数
的导数，根据函数
的单调性求出
，
根据函数
的单调性得到
在
上恒成立，即可求出
的范围.
【详解】令
，由
，得
，
所以，
，令
.
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故
.
因为函数
在
上单调递增，故
在
上恒成立，
即
，得
.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
题型16 导数构造：多重型
构造函数多重型：
二次构造：
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1．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，
对
恒成立，且
，则不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据已知条件构造一个函数
，再利用
的单调性求解不等式即可.
【详解】由
，可得
，
即
，令
，
则
.
令
，
，
所以
在
上是单调递减函数.
不等式
，
等价于
，
即
，
，
所求不等式即
，
由于
在
上是单调递减函数，
所以
，解得
，
且
，即
，
故不等式
的解集为
.
故选：D
【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式，考查了利用导数判断函数单调性的方法，考查
了分析问题的逻辑思维能力，属于困难题.
2．（23-24 高三·上海奉贤·模拟）已知
，
且
是常数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据已知条件可知
，根据函数的单调性与奇偶性即可求出结果.
【详解】令
，所以
，当
时，
，所以
，所以
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在
上单调递增，
又因为
，所以
为奇函数，
，即
等价于
，所以
，所以
，
故选：
3．（22-23 高三上·河南·阶段练习）设
是定义在R 上的连续的函数
的导函数，
（e 为自然对数的底数），且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数单调性即得.
【详解】设
，则
，
∵
，
∴
，函数
在R 上单调递增，
又
，
∴
,
由
，可得
，
即
，又函数
在R 上单调递增，
所以
，即不等式
的解集为
.
故选：C．
4．（24-25 高三·重庆·模拟）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，
，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】根据题意可构造函数
，求得
的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结
果．
【详解】构造函数
，则
；
因为
，
所以当
时，
，即
，此时
在
上单调递增；
当
时，
，即
，此时
在
上单调递减；
又
，所以
，即
；
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所以函数
图像上的点
关于
的对称点
也在函数图像上，
即函数
图像关于直线
对称，
不等式
变形为
，即
；
可得
，
又
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，解得
，
则不等式的解集为
，
故答案为：
．
结束
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