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培优冲刺 06 三角函数图像性质与解三角形归类
目录
题型一：图像求解析式··························································································································1
题型二：恒等变形与性质·····················································································································3
题型三：利用对称性求零点和············································································································3
题型四：能成立与恒成立求参数·······································································································4
题型五：图形1：四边形型················································································································5
题型六：图形2：中线型·····················································································································6
题型七：图形3：角平分线型············································································································7
题型八：图形5：三角形高·················································································································8
题型九：图形6：中线与重心型········································································································8
题型十：图形综合：定比分点型·······································································································9
题型十一：范围与最值1：基础型····································································································9
题型十二：范围与最值2：边系数不对称型·················································································10
题型十三：范围与最值3：无边长型·······························································································10
题型十四：范围与最值4：比值型····································································································11
题型十五：范围与最值5：角边互错型···························································································12
题型十六：范围与最值6：角度最值型···························································································12
题型十七：范围与最值7：范围综合型···························································································13
题型十八：相等角度转化型·················································································································13
题型十九：压轴19题1：三角与数列结合型················································································13
题型二十：压轴19题1：三角函数型新定义················································································14
题型一：图像求解析式
形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质
(1)图像变换：
①相位变换：y＝sin x→y＝sin(x＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)| φ|个单位；
②周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的||倍；
③振幅变换： y＝sin (ωx＋φ) →y＝Asin(ωx＋φ) 的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A|
倍；
注意：y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平移||个单位；
(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同
增异减
(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝ ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T
＝.
(3)对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．
①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
正弦“第一零点”： ；正弦“第二零点”：
余弦“第一零点”： ；余弦“第二零点”：1．（2024·甘肃·一模）如图，角 的始边为 轴非负半轴，终边与单位圆交于点 ，过点 作 轴
的垂线，垂足为 到直线 的距离为 .若将 关于角 的函数关系记为 .
(1)求 的解析式；
(2)将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，求 在 的单调递增区间.
2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不
变，得到函数 的图象，求函数 在 上的值域.
3．（2023·河北·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，其中 ，且
.
(1)求 与 的值；
(2)若斜率为 的直线与曲线 相切，求切点坐标.题型二：恒等变形与性质
利用二倍角和降幂公式等进
1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆开
2. “重组”：系数次幂一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”
进行恒等变形
1.（2024·北京顺义·二模）已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求 的值；
(2)已知 时， 单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数
存在，求m的最大值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的图像与直线 的一个交点的横坐标为 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．（2024·山东聊城·一模）在梯形 中， ，设 ， ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ， ， ，求 .
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知 是斜三角形．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的取值范围．
题型三：利用对称性求零点和
1．（22-23高三·山西忻州·开学考试）已知函数 ．
(1)若 的图象关于直线 对称， ，求 的单调递增区间；
(2)在（1）的条件下，当 时， 和 是 的两个零点，求 的值和 的取值范围．
2．（22-23高三·上海杨浦·阶段练习）已知定义域为R的函数 的最小正
周期为π，且直线 是其图像的一条对称轴.
(1)求函数 的解析式，并指出该函数的振幅、频率、圆频率和初始相位；(2)将函数 的图像向右平移 个单位，再将所得图像上的每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标
不变)，得到新的函数 ，已知函数 (λ为常数且λ∈R)在开区间(0，nπ)(n∈N且
n≥1)内恰有2021个零点，求常数λ和n的值.
3．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数
为奇函数，且 图象的相邻两条对称轴间的距离为 .
(1)求 的解析式与单调递减区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，当 时，求方程 的所有根的和.
题型四：能成立与恒成立求参数
一般地，已知函数 ，
（1）相等关系
记 的值域为A, 的值域为B,
①若 ， ，有 成立，则有 ；
②若 ， ，有 成立，则有 ；
③若 ， ，有 成立，故 ；
（2）不等关系
(1)若 ， ，总有 成立，故 ；
(2)若 ， ，有 成立，故 ；
(3)若 ， ，有 成立，故 ；
(4) 若 ， ，有 成立，故 ．
1．（2023·山东济宁·二模）已知函数 ．
(1)求函数 在 上的单调递增区间;
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数 的图象关于点
成中心对称，在 上的值域为 ，求 的取值范围．
2．（2023·山西·模拟预测）已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示.(1)求 的解析式，并求 的单调递增区间；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
3．（2022·浙江·三模）已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
题型五：图形1：四边形型
四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这
个隐形条件
四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自用
余弦定理，构建数量关系
1．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，在凸四边形 中，已知 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，四边形 的面积为4，求 的值．
2．（2023·辽宁·模拟预测）如图，在平面凸四边形ABCD中， ， ， ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围．3．（2023·山西·模拟预测）如图，四边形 中， ， ， ， ，
.
(1)求 的面积；
(2)求线段 的长度.
题型六：图形2：中线型
.中线的处理方法
1.向量法：
2.余弦定理法（补角法）：
如图设 ，
在 中，由余弦定理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，②
因为 ，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4. 中线分割的俩三角形面积相等
1．（2023·福建福州·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 面积为 ，求 边上中线的长．
2．（2024·北京东城·一模）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 为 边的中点，且 ，求 的值.3．（2024·四川泸州·三模） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且
的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若 是 边的中点， ，求 的长.
题型七：图形3：角平分线型
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程
分）：
三角形角平分线的处理方法：
1．（23-24高三·浙江杭州·）在 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角 ；
(2)若 是 的角平分线，且 ， ，求 的面积
2．（23-24高三山东·阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，满足
(1)求 ；
(2) 的角平分线与 交于点 ，求 的最小值.
3．（23-24高三黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 中，内角 的对边分别是 ，且
，
(1)求角 ；
(2)若 ，求边 上的角平分线 长．
题型八：图形5：三角形高三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
1.（22-23高三上·湖北·阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，三角
形三边上的高之比为 .
(1)求 的值；
(2)若 为边 上一点， ， ，求 的长.
2.（江苏省南通市2022-2023学年高三上学期数学试题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且 ， .
(1)求 ；
(2)若边AB上的高为1，求 的面积.
3.（安徽省滁州市定远县第三中学2022-2023学年高三数学试题） 中，内角A、B、C所对的边分别
为a、b、c，满足 ．
(1)当A为何值时，函数 取到最大值，最大值是多少？
(2)若 等于边AC上的高h，求 的值．
题型九：图形6：中线与重心型
1.（2022春·河北邢台·高三统考）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，且 外接圆的半径为 ．
(1)求C的大小；
(2)若G是 的重心，求 面积的最大值．
2.（2023春·河北秦皇岛·高三校考阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，且
.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.
① 为 的内心；② 为 的外心；③ 为 的重心.
(1)求 ；
(2)若 ，__________，求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
3.（2023秋·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝6， ．
(1)求A的大小；
(2)M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，___________，求△ABC的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题．
①M为△ABC的外心，AM＝4；
②M为△ABC的重心， ；
③M为△ABC的内心， ．
(注：三角形的三边中垂线的交点称为外心，三角形的三条中线的交点称为重心，三角形的三条角平分线的
交点称为内心)
题型十：图形综合：定比分点型
1.（2024·全国·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求角 ；
(2)若点 在线段 上，且满足 ，求 面积的最大值．
2.（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 、 、 的对边分别是 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 边上一点， ， ，求 的面积．
3.（2024·广东佛山·二模）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，点 在边 上，且满
足 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 ．
题型十一：范围与最值1：基础型
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选
择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
1.（2023·广西·模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ，在下列三个条件
中任选一个，解答下面的问题．① ，② ，③ ．
(1)求角 的大小；
(2)若 外接圆的面积为 ，求 的最大值．2.（2024·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中 ，且
．
(1)求B的大小；
(2)求 面积的最大值．
3.．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求当 面积最大时 的值.
题型十二：范围与最值2：边系数不对称型
解三角形：最值范围
1. 可以用余弦定理+均值不等式来求解。
2. 可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范
围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
1.（2024·上海嘉定·二模）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ．
(1)求角 ，并计算 的值；
(2)若 ，且 是锐角三角形，求 的最大值．
2．（2024·山西吕梁·一模）设 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)设 的角平分线交 于点 ，求 的最小值．
3．（2024·广东湛江·一模）已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 外接圆的直径为 ，求 的取值范围．
题型十三：范围与最值3：无边长型
有角无边型1.一个角为定值，则另外俩角和为定值，所以可以消角。
2.注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围求
解。
3.有角无边型，如果出现边，多为边的比值齐次式型，一般可以用正弦定地来边化角转化
1．（2024·河南·一模） 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)求 的最大值．
3．（2024·辽宁·一模）在 中，内角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的最大值．
题型十四：范围与最值4：比值型
最值范围：分式比值型
化边为角型
1. 通过正余弦定理，把边转化为角。
2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
3. 对单变量（单角）求最值。
角化变型：
主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化
1．（2024·山西朔州·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，向量
，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，满足
.
(1)求角 ；(2)求 的取值范围.
3．（23-24高三上·山东枣庄·）在 中，角 所对的边分别为 .若 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
题型十五：范围与最值5：角边互错型
正弦定理转化，要以有长度的边为主转化，消边化角求最值范围
1.（2023·江西·校联考二模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
2.（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设 ， ，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
3.（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
题型十六：范围与最值6：角度最值型
锐钝角限制型
注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围求解
1.（22-23高三浙江宁波·阶段练习）记锐角 的内角为 ，已知 .
(1)求角 的最大值；
(2)在锐角 中，当角 为角A的最大值时，求 的取值范围.
2.（2021·黑龙江大庆·一模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 的最大值．
（2）若 取（1）中最大值， ， ，当 的周长最小时，求 的值．
3.（20-21高三·河南南阳·）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .（1）求角 的最大值；
（2）当角 最大时，若 ，求 的面积.
题型十七：范围与最值7： 范围综合型
1.（23-24三·浙江·模拟）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足
(1)求角 的值；
(2)若 且 ，求 的取值范围．
2．（2024高三·全国·专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角B的大小；
(2)若 ，且 为锐角三角形，求 的周长的取值范围；
(3)若 ，且 外接圆的半径为2，圆心为O，P为圆O上的一动点，试求 的取值范围．
3．（22-23高三辽宁鞍山·期中）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_________．
(1)求A；
(2)若 ，求线段AD长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题型十八： 相等角度转化型
1．（23-24高三·湖南衡阳·阶段练习）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)若 是边 上一点（不包括端点），且 ，求 的取值范围.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 ，
，且 ．
(1)求证： ；
(2)已知点 在线段 上，且 ，求 的取值范围．
3．（2024·全国·模拟预测）在 中， 分别为角 ， ， 所对的边，点 为 的中点．
(1)若 ， ， ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．
题型十九：压轴19题1：三角与数列结合型
1．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列 满足：存在正整数 ，使得 对一切正整数 成立，则
称 是周期为 的周期数列．(1)若 （其中正整数m为常数， ），判断数列 是否为周期数列，并说明理由；
(2)若 ，判断数列 是否为周期数列，并说明理由；
(3)设 是无穷数列，已知 ．求证：“存在 ，使得 是周期数列”的充要条
件是“ 是周期数列”．
2．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密
算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，
欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为 ．
(1)试求 ， ， ， 的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求 ， 与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算 ，欧拉函数 ；
③求正整数k，使得kq除以 的余数是1；
④其中 称为公钥， 称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是 ．若满足题意的正整数k从小到大排列得到
一列数记为数列 ，数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
3．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨
等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数 ，悬链线
的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：
；②两角和公式： ，③导数： 定义双曲
正弦函数 ．
(1)直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当 时，双曲正弦函数 的图像总在直线 的上方，求直线斜率 的取值范围；
(3)无穷数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不
存在，说明理由.
题型二十：压轴19题1：三角函数型新定义
对新定义的题型要注意一下几点：
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.1．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），
将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①
可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英
文字母 ， ，…表示．
(1)在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），求点
的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距
离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公
式①可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一个二阶矩
阵， ， 是平面上的任意两个向量，求证： ．
2．（23-24高三江苏常州·）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，
但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名
字命名．当 内一点 满足条件 时，则称点 为 的布洛卡点，角 为
布洛卡角．如图，在 中，角 所对边长分别为 ，点 为 的布洛卡点，其布洛卡角为
．
(1)若 ．求证：
① （ 为 的面积）；
② 为等边三角形．
(2)若 ，求证： ．
3．（23-24高三广东广州·）对于函数 及实数m，若存在 ，使
得 ，则称函数 与 具有“m关联”性质．(1)若 与 具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(2)已知 ， 为定义在 上的奇函数，且满足；
①在 上，当且仅当 时， 取得最大值1；
②对任意 ，有 ．
求证： 与 不具有“4关联”性．
