培优专题01 三角函数与解三角形 6 大重难题型
💎题型01 三角函数化简及图象、性质问题
命题方向一 三角函数概念及三角恒等变换
命题方向二 三角函数的性质
命题方向三 三角函数的图象变换
💎题型02 三角形的中线、角平分线、垂线条件的应用
命题方向一 三角形的中线
命题方向二 三角形的角平分线
命题方向三 三角形的高线
💎题型03 解三角形中的求边、求角、求面积问题
命题方向一 利用正、余弦定理解三角形的边与角
命题方向二 与三角形的面积相关解三角形问题
💎题型04 三角形中的最值、范围问题
命题方向一 解三角形中涉及角度的最值（范围）
命题方向二 解三角形中涉及边长、代数式的最值（范围）
命题方向三 解三角形中涉及周长的最值（范围）
命题方向四 解三角形中涉及面积的最值、范围
💎题型05 几何图形中的解三角形
💎题型06 解三角形融合交汇问题
命题方向一 三角函数与复数的创新融合
命题方向二 三角函数与数列的创新融合
命题方向三 解三角形与平面向量融合
命题方向四 解三角形与三角函数融合
题型01 三角函数化简及图象、性质问题
抓关键·破难点
三角函数化简及图象、性质问题主要考查恒等变形和三角函数性质，解题时要熟练掌握三角恒等变换
公式，主要解题步骤：
第一步：通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)
（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α
2
，sin2α＝1－cos 2α
2
，
第二步：再通过辅助角公式“化一”，化为
第三步：辅助角公式：asin α＋bcos α ＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b
a.
第四步：最后利用三角函数图象和性质，求解计算.
一般将
x
v
j
+
看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题
（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
刷经典·通方法
🎯命题方向一 三角函数概念及三角恒等变换
1 .（2026·浙江强基联盟·联考）设点
沿
的圆周按逆时针方向旋转角
后到点
．
（1）当
时，求
的值；
（2）若
，求
的取值范围．
si (n
)
y
A
x
B
w
j
+
+
=
1
15
,
4
4
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
2
2
:
1
O x
y
+
=
e
a
,
Q m n
π
4
a =
m
n
+
π 5π
,
4 4
a
é
ù
Îê
ú
ë
û
2
2
m
n
n
-
+
2．（2025·河北保定模拟）已知函数
．
（1）求函数
的对称中心及对称轴方程；
（2）当
时，求函数
的最大值和最小值．
3．（2025·广东广州·一模）已知函数
，其中
．
（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；
（2）若
时，
的最小值为4，求
的值．
🎯命题方向二 三角函数的性质
4. （2026·广东广州市天河区适应性训练·二模）已知函数
的周期为
，且
.
（1）求函数
的解析式；
（2）比较
与
的大小.
2
π
sin
3cos cos 2
f x
x
x
x
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
f
x
7π
0, 12
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
f
x
2
2cos
3sin2
1
=
+
- +
f x
x
x
m
R
xÎ
f
x
π
0, 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
f
x
m
sin
f x
x
w
j
=
+
π
π,
0,
2
w
j
>
<
π
2π
2
3
f
f
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
y
f
x
=
11π
8
f æ
ö
ç
÷
è
ø
4π
7
f æ
ö
ç
÷
è
ø
5．（2025·辽宁鞍山·模拟）已知函数
．若函数
的相邻
两条对称轴间的距离为
．
(1)求
的值，并求函数
在
的值域；
(2)若函数
(
)
3
y
f x
q
=
+
-
（其中常数
）为奇函数，求
的值．
🎯命题方向三 三角函数的图象变换
6.（2026·重庆第八中学3 月适应性测试）已知函数
2sin
0
6
f x
x
w
w
p
æ
ö
=
-
>
ç
÷
è
ø
的最小正周期为π．
（1）若
π
π
,
12 3
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
6
5
f a =
，求
π
cos
12
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的值；
（2）将函数
f x 的图象向右平移π
12个单位，再向上平移1 个单位，得到的图象对应函数记为
g x ，求函
数
y
g x
=
在
π π
,
6 3
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上的值域．
2
π
π
( )
sin 2
2 3 cos
(
0)
6
12
f x
x
x
w
w
w
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
( )
f x
π
2
w
( )
f x
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û
π
0, 2
q
æ
ö
Î ç
÷
è
ø
q
7．（2026·安徽皖江阶段测试）已知函数
的部分图象如图所示，图象与
轴的交点为
，且
在区间
上恰有一个极大值和一个极小值.
（1）求
的值及
的取值范围；
（2）若
是整数，将
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，求
的最大值.
8．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数
的最小正周期为
．
（1）求
的值；
（2）将函数
的图象先向左平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，
若
在区间
上有且仅有3 个零点，求
的取值范围．
π
sin
0,
π
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
<
ç
÷
è
ø
y
3
0,
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
f
x
0, π
j
w
w
f
x
11π
24
g
x
π
1
π
8
2
8
h x
g x
g
x
æ
ö
æ
ö
=
-
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
π
4sin
cos
3
0
3
f
x
x
x
w
w
w
æ
ö
=
+
-
>
ç
÷
è
ø
π
w
f
x
π
6
y
g x
=
g
x
0, m
m
2
1
4
3
D
A
B
C
题型02 三角形的中线、角平分线、垂线条件的应用
抓关键·破难点
一、中线问题
如图，△ABC 中，AD 为BC 的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD 长.
①倍长中线：如图，构造全等三角形，再用余弦定理即可；
② 向量法：
1
= 2
AD
AB
AC
+
uuur
uuur
uuur
,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即cos
cos
0
ADB
ADC
+
=
∠
∠
；
注：若或将条件“AD 为BC 的中线”换为“ BD
CD
l
=
”则可以考虑方法②或方法③.
二、角平分线问题
△ABC 中，AD 平分∠BAC.
①角平分线定理：
D
AC
CD
AB
B
=
证法1（等面积法）
1
2
1
2
=
ABD
ACD
S
BD h
AB h
S
CD h
AC h
×
×
=
×
×
，得
D
AC
CD
AB
B
=
注：
1h 为A 到BC 的距离，
2h 为D 到AB,AC 的距离.
证法2（正弦定理）
如图，sin
3
sin 1
D
AB
B
=
∠
∠，sin
4
sin
2
C
CD
A
=
∠
∠
,而sin
1
sin
2,sin
3
sin
4
=
=
∠
∠
∠
∠
，整理得
D
AC
CD
AB
B
=
D
C
B
A
②等面积法
ABC
ABD
ADC
S
S
S
=
+
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
A
A
AB
AC
A
AB
AD
AC
AD
=
+
三、垂线问题
①等面积法：
sin
AD
BC
AB
AC
BAC
×
=
×
×
∠
②
sin
=
sin
AD
AB
ABD
AC
ACD
=
×
×
∠
∠
③a
c COS B
b COS C
=
×
+
×
刷经典·通方法
🎯命题方向一 三角形的中线
1.（2026·江苏南通2 月检测）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯
定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三
边之半的平方和的两倍，即如果AD 是ABC
V
中BC 边上的中线，则
2
2
2
2
2
2
BC
AB
AC
AD
é
ù
æ
ö
+
=
+
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
.
（1）若在ABC
V
中，
5
AB =
，
3
AC =
，
π
3
BAC
Ð
=
，求此三角形BC 边上的中线长；
（2）请证明题干中的定理；
（3 ）如图
ABC
V
中，若AB
AC
>
，D 为BC 中点，
3
BD
DC
=
=
，
sin
3 sin
3 sin
a
A
b
B
b
A
C
+
=
-
，
3 3
2
ABC
S
=
△
，求cos
DAC
Ð
的值.
2．（2026·山东济钢高级中学3 月检测）在ABC
V
中，角
, ,
A B C 的对边分别为
, ,
a b c ，已知
2
2
2
2
2 3
tan
tan
b
A
C
a
b
c
+
=
-
-
.
（1）求C；
（2）若
3
c = ，D 为边AB 的中点，
1
CD= ，求a b
-
.
3．（2025·湖南长沙·二模）在
中，已知
，
，
．
（1）求
；
（2）设BC，AC 边上的两条中线AM，BN 相交于点P，求
．
4．（2025·河北张家口·一模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
.
（1）若
，求
；
（2）当BC 边上的中线最小时，求
的面积.
ABC
V
2
AB =
5
AC =
60
BAC
Ð
=
°
sin
ACB
Ð
cos
MPN
Ð
ABC
V
2π
3
A =
7sin 2
3 cos
B
b
B
=
13
cos
14
B =
c
ABC
V
🎯命题方向二 三角形的角平分线
5．（2026·四川宜宾普通高中第二次诊断性测试）已知ABC
V
的内角A、B、C 的对边分别为a
b
c
、、，满足
sin
3
c o s
0
a
B
b
A
+
=
．
（1））求A；
（2）设点D 为B C 上一点，AD 是ABC
V
的角平分线，且
3
b = 、
6
c =
，求AD 的长度．
6.（2026·宁夏青铜峡一模）在
中，内角
的对边分别是
，且
．
（1）求
的大小；
（2）若
，
为
的角平分线，且
，求
的面积．
7．（2025·湖北武汉·三模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
，
，
角
的角平分线交
于点
，且
．
（1）求
的长；
（2）求
的面积．
8．（2025·江西·三模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
（1）求A；
（2）若∠BAC 的角平分线AD 与边BC 交于点D，且
，求
的最小值．
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
sin 2
cos sin
sin cos
A
B
C
B
C
+
= -
A
2 5
a =
AQ
ABC
V
1
=
AQ
ABC
V
ABC
V
A
B
C
a
b
c
7
cos
9
B =
4
a =
B
AC
D
3 2
BD=
CD
ABC
V
ABC
V
cos2
2 cos
cos
0
b
c
c
A
a
A
C
+
+
+
=
4
b
c
+
=
1
1
BD
DC
+
🎯命题方向三 三角形的高线
9. （2026·山东青岛一模调研）设
的内角A，B，C 所对的边分别为
，，，且有
．
（1）求角A；
（2）若BC 边上的高
，求
．
10．（2025·广东模拟）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
（1）求
；
（2）设
，求
边上的高.
11．（2025·海南三亚·一模）在锐角
中，角
所对的边分别为
，且
.
（1）求
；
（2）若
，求边
上的高
的长.
12．（2025·河南郑州·一模）记
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为
，已知
2
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
2sin
sin .
C
A
B
-
=
（1）求sin
;
C
（2）设
10
BC =
，求BC 边上的高.
ABC
V
a
b
c
π
2sin
6
b
c
B
a
+
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
3
4
h
a
=
cos
cos
B
C
ABC
V
, ,
ABC
, ,
a b c
3
2 , sin
3 7 cos
a
c c
B
b
C
=
=
cosC
6
c=
AB
ABC
V
, ,
ABC
, ,
a b c
3
2 sin
b
a
B
=
A
1,
7
b
c
a
=
+
=
BC
AD
, ,
a b c
题型03 解三角形中的求边、求角、求面积问题
抓关键·破难点
一、利用正、余弦定理解三角形边与角
利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的互化，解题的思路是：
第一步：选定理
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
第二步：巧转化
化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，
则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
第三步：得结论
利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利
用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
二、常用三角形的面积公式
（1）
；
（2）
；
（3）
（
为三角形内切圆半径）；
（4）
，即海伦公式，其中
为三角形的半周长。
刷经典·通方法
🎯命题方向一 利用正、余弦定理解三角形的边与角
1. （2026·河北邯郸模拟）在
中，内角
所对的边分别为
，已知
.
（1）求
；
1
2
S
ah
=
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
ac
B
bc
A
=
=
=
1 (
)
2
S
r a
b
c
=
+
+
r
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
-
-
-
1 (
)
2
p
a
b
c
=
+
+
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
sin
sin
2 3(
cos
)
a
B
b
A
c
a
B
+
=
-
A
（2）若
，
的面积为
，求：
①边长
的值；②
的值．
2.（2026·河北唐山一模） 记
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
.
（1）证明：
；
（2）若
，求A.
3. （2026·山东烟台诊断性测试）已知
的内角
的对边分别为
，
，
且
的面积为
．
（1）求
；
（2）若
为锐角三角形，
，求
的值．
4. （2026·江苏南京市栖霞区名校联盟·一模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
的面积为S，
.
（1）证明：
；
（2）若
，求内角A 的大小.
2
sin
sin
3
B
C
=
ABC
V
3 3
2
a
cos(2
)
B
A
-
ABC
V
cos2
cos2
2cos2
A
B
C
+
=
2
2
2
2
a
b
c
+
=
sin
3
b
A
c =
ABC
V
A B C
，，
a
b
c
，，
2
2
2
12
b
c
a
+
-
=
ABC
V
3 3
A
ABC
V
2 3
b =
a
c
+
ABC
V
ABC
V
2
2
1
sin
2
S
b
c
A
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
2
b
c
=
7
a
c
=
🎯命题方向二 与三角形的面积相关解三角形问题
5.（2026·海南部分学校联合调研）已知
的内角
的对边分别为
，且
为锐角，
.
（1）求
；
（2）若
，求
的面积.
6. （2026·山东德州一模）已知
为锐角三角形，
.
（1）求
；
（2）求
；
（3）若
外接圆的周长为
，求
的面积.
7. （2026·江西赣州摸底考试）在
中，角
的对边分别为
，且
.
（1）若
，求
的值.
（2）若
内切圆的面积为
，求
的面积.
8. （2026·江苏扬州市第一次调研） 记
的内角
的对边分别为
，已知
.
（1）求
的值；
（2）若
的面积为
，求
；
（3）若
，当角
最大时，求
的面积
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
C
2 sin
b
c
B
=
C
2,
10
a
c
=
=
ABC
V
ABC
V
2
7 2
sin
,sin
10
10
A B
C
-
=
=
sin cos
A
B
tan A
ABC
V
5 π
ABC
V
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
2
3sin
cos
c
a
C
C
b
-
-
=
tan
5 3
C=-
tan A
3 3 3,
a c
ABC
+ = +
△
的
π
ABC
V
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
2 cos
0
a
b
C
+
=
tan
3tan
C
B
+
ABC
V
2
6
c
B
2
b =
A
ABC
V
题型04 三角形中的最值、范围问题
抓关键·破难点
一、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
b
c
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
)
(
)
(
)
(
（2）面积公式：
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S ABC
ab
C
bc
A
ac
B
=
=
=
1 (
)
4
2
abc
S ABC
a
b
c
r
R
=
=
+
+
×
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
A
bc
bc
a
c
b
c
bc
b
c
b
A
bc
c
b
a
cos
2
2
)
(
2
)
(
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
+
+
=
+
-
+
=
（4）基本不等式
①,a b
R+
Î
2
a
b
ab
+
②
2)
2
(
b
a
ab
+
(当且仅当
b
a =
时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角
C
B
A
、
、
有关的三角函数
①和差角公式：sin(
)
sin
cos
cos sin
a
a
a
=
，
cos(
)
cos
cos
sin
sin
a
a
a
=
m
②辅助角公式：
)
sin(
cos
sin
2
2
j
a
a
a
+
+
=
+
b
a
b
a
（其中
a
b
b
a
a
b
a
b
=
+
=
+
=
j
j
j
tan
cos
sin
2
2
2
2
，
，
）．
二、解题思路步骤
（1）利用基本不等式：
bc
a
bc
c
b
bc
a
c
b
A
2
2
2
cos
2
2
2
2
2
-
-
+
=
-
+
=
，再利用
bc
c
b
2
+
及
a
c
b
>
+
，
求出
c
b +
的取值范围或者利用
bc
a
bc
bc
a
c
b
A
2
2
2
cos
2
2
2
2
-
-
+
=
（2）利用三角函数思想：
B
A
R
B
R
C
R
B
R
c
b
+
+
=
+
=
+
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
，结合辅助角公式及三
角函数求最值
刷经典·通方法
🎯命题方向一 解三角形中涉及角度的最值（范围）
1. （2026·山东淄博模拟）已知锐角
的三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且满足
.
（1）求角
；
（2）求
的取值范围.
2. （2026·甘肃省一模）如图，
中，角
的对边分别为
.
（1）求
；
（2）若
，求
的取值范围.
3. （2026·江苏省南京市栖霞区名校联盟一模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，．已
知
，且
．
（1）当
，
时，求
，
的值；
（2）若角
为锐角，求
的取值范围．
4．（2026·山东青岛·高三上期末测试）已知
ABC
V
内角
,
,
A B C 的对边分别为
,
,
a b c ，
2
b
c a
c
=
+
．
（1）证明：
2
B
C
=
；
ABC
V
A
B
C
a
b
c
2
cos
cos
sin
3
a
B
b
A
c
C
+
=
C
sin
sin
sin
A
B
C
+
+
ABC
V
, ,
A B C
π
, , ,
,
3
3
a b c C
a
b
=
=
tanB
0
BC
CD
l
l
=
>
uuur
uuur
sin
sin
ADC
CAD
Ð
Ð
+
ABC
V
A
B
C
a
b
c
sin
sin
sin
A
C
p
B p
+
=
ÎR
2
1
4
ac
b
=
5
4
p =
1
b =
a
c
B
p
（2）求
2
sin
cos
sin
A
C
B
+
的最小值．
🎯命题方向二 解三角形中涉及边长、代数式的最值（范围）
5．（2026·河北邯郸·一模）ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为
, ,
a b c ，已知
, ,
a b c 成等差数列，且sin
2
sin
3
A
B =
．
（1）求cosB；
（2）记ABC
V
外接圆的面积为S ，若
64π
S
，求b的取值范围．
6.（2026·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学第一次联合模拟考试）在
中，角A，B，
C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求A 的大小；
（2）若
为锐角三角形，求
取值范围．
7. （2026·江苏南京市中华中学模拟预测）
内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
.
（1）若
，
，求
的面积；
（2）若角
为钝角，求
的取值范围.
8. （2026·黑龙江齐齐哈尔一模）在锐角
中，角
所对的边分别是
，且
.
（1）求
；
ABC
V
sin
sin
(
)sin
a
A
c
C
b
c
B
-
=
-
ABC
V
b
c
的
ABC
V
的
A
B
C
a
b
c
2
2
2
(
2 )cos
0
2
a
b
c
c
b
A
b
+
-
-
+
=
4
a =
8
+
=
b
c
ABC
V
C
c
b
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
2 sin
π
6
a
c
b
C
æ
ö
+ =
+
ç
÷
è
ø
B
（2）求
的最大值.
🎯命题方向三 解三角形中涉及周长的最值（范围）
9．（2026 安徽合肥“校集团”·一模)在锐角
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c，.已知
2
a =
，
π
3
B =
.
（1）若1
cos
sin
sin
A
b
A
C
+
=
，求ABC
V
的面积；
（2）求ABC
V
的周长的取值范围.
10．（2025·湖北武汉模拟）已知
分别为锐角
三个内角
的对边，且
.
（1）求
；
（2）若
；求
周长的取值范围.
11．（2025·湖南益阳·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
．
（1）若
，求A；
（2）若
是锐角三角形，求
周长的取值范围．
2
2
2
2
a
b
c
-
, ,
a b c
ABC
V
, ,
ABC
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
- -
=
A
3
a =
ABC
V
ABC
V
, ,
ABC
, ,
a b c
1
a=
cos
cos
1
b
A
B
-
=
π
4
C =
ABC
V
ABC
V
🎯命题方向四 解三角形中涉及面积的最值、范围
12．（2025·广西模拟预测）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
3 sin
2
cos
a
B
b
A
=
-
.
（1）求内角A 的大小；
（2）若
1
a= ，求
ABC
V
面积S 的最大值.
13．（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a
b
c
，，，若
2
4sin
b
B
=
，且
2
2
3sin
sin
2
2
C
A+
=
.
（1）若a
c
=
，求b ；
（2）求△ABC 面积的最大值.
14．（2026·安徽·模拟预测）在
ABC
V
中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且
2 sin
2
sin
2sin
sin
a
A
b
c
B
c
C
B
=
-
+
-
．
（1）求A ；
（2）若
3
BD
DC
=
uuur
uuur ，
4
=
AD
，求
ABC
V
面积的最大值．
15 （2026·广东汕头3 月调研）在
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．
且
．
（1）若D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
，求
面积的最大值；
（2）求
的取值范围．
ABC
V
sin
tan 2
2
cos
C
A
A
=
-
2
2
2
2
2
2
2
1
3
4
2
4
a
b
c
a b
c
é
ù
æ
ö
+
-
ê
ú
-
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
2
CD =
ABC
V
2
2
a
b
ab
+
题型05 几何图形中的解三角形
抓关键·破难点
解三角形问题在高考中一般以三角形等平面多边形为载体，要求学生除了要熟练应用正弦定理、余弦
定理，还要对一些平面几何性质有一定的敏感度。对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利
用正弦定理与余弦定理求解。若图形中条件与结论不在一个三角形内：
【解题路径1】要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出
方程求解.
【解题路径2】根据图形分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边
角，逐步建立未知与已知的联系.
刷经典·通方法
1．（2026·浙江宁波3 月联考）在
ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，已知
3
c = ，
6
b = ，
3sin
cos
2
A
A
+
=
．
（1）求A；
（2）点D 在边B C 上，连接AD ，且
:
1: 2
BD DC =
，记
ABD
△
和
ACD
的内切圆半径分别为1r ，2r ，求1
2
r
r
+
的值．
2. （2026·甘肃陇南康县第一中学等三校·一模）已知
中，
是角
所对的边，
.
（1）求角
的大小；
（2）已知
.
（i）如图①，在
的边
上分别取
两点，若
，求
长度的最小值；
ABC
V
, ,
a b c
, ,
A B C
sin
sin
2
A C
a
b
A
+
=
B
1
a
b
=
=
ABC
V
,
AB BC
,
D E
AD
DE
=
AD
（ii）如图②，
分别在边
上，
，求
面积的最小值.
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD
中，对角线AC 与BD 交于点O，已知
，
，
，且
（1）求BO 的长；
（2）若
，求
的值．
4．（2026·辽宁盘锦高三上期末检测）在四边形
中，
平分
．
（1）求
；
（2）当
取最大值时，求
．
5．（2025·山东·模拟预测）在四边形
中，
，
，
，
．
（1）求
的周长
（2）求四边形
的面积．
,
,
D E F
,
,
AB BC AC
π
,
6
DE
EF
EDF
Ð
^
=
DEF
V
60
AOD
Ð
=
o
3
AC =
6
BD=
AD
BC
=
π
7sin 2
8 7 cos
15
6
OCB
ODA
æ
ö
Ð
-
=
Ð
-
ç
÷
è
ø
cos
ODA
Ð
ABCD
1
BC
AC
CD
AC
=
=
，
，
2
2
2
2
3
AB
AC
BC
BCD
AC
BC
AC
+
-
Ð
=
-
，
ACB
Ð
BD
AB
AC
ABCD
2
2
2
AB
BC
AC
AC BC
=
+
-
×
2
3
AB
BC
=
3
3
AC = +
π
2
BAC
ACD
ACB
CAD
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
ABC
V
ABCD
6．（2026·河北秦皇岛模拟）如图，在四边形
中，
，
，
是等边三角形．
（1）若
，求
的面积；
（2）若
，求
的面积；
（3）求
的面积的最大值．
题型06 解三角形融合交汇问题
抓关键·破难点
一、解三角形与平面向量的综合题
（1）通常可将向量关系通过基底分解或坐标运算，转化为边与角的关系，再利用正弦、余
弦定理求解；或反过来，用三角形的边、角表示向量，通过向量的模、数量积等工具处理长度、
角度与垂直、平行等问题。
（2）解题时要根据已知条件选择合适的切入点，注意数形结合，理清向量与三角形元素之
间的对应关系，合理运用运算律和公式，逐步推导得出结论。
二、三角函数与解三角形的融合问题
刷经典·通方法
🎯命题方向一 三角函数与复数的创新融合
1.(2026·山东菏泽一模)已知复数
1
1
3i
z = +
，
2
sin
icos
z
x
x x
=
+
ÎR .
（1）当
π
3
x =
时，求
1
2
z
z ；
（2）设
1
2
z
z z
=
，记
Im
f x
z
=
（Imz 表示复数z 的虚部）.将
f x 图象上所有点的横坐标扩大为原来的
2 倍（纵坐标不变）得到函数
g x 的图象，求
g x 的单调递增区间.
ABCD
2
AD =
3
CD=
ABC
V
60
ADC
Ð
=
°
ABC
V
2
BC =
BCD
△
BCD
△
🎯命题方向二 三角函数与数列的创新融合
2．(2026·山西大学附属中学3 月诊断)已知函数
sin 2
f x
x j
=
+
，
0
j
p
Î
，
．
（1）若函数
( )
y
f x
=
是偶函数，求实数j 的值．
（2）若
π
3
j =
，将方程( )
1
f x = 的所有正数解从小到大排列，构成数列
n
x
，其前n 项和为
n
S ，求
24
S 的值．
🎯命题方向三 解三角形与平面向量融合
3. （2026·福建泉州毕业班质量检测一）
的内角
所对的边分别为
，其面积为
. 已知
.
（1）求
；
（2）点
满足
，且
，求
.
4．（2026·江西吉安·模拟）在
中，
，
，
分别是角
，
，
的对边，已知向量
，
，且
.
（1）求角
的大小；
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
S
2
3
0
S
AB AC
+
×
=
uuur uuur
A
D
4
1
3
3
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
2
CD
AD
=
2
2
2
b
c
a
+
ABC
a
b
c
A
B
C
(2cos ,
)
m
C b
=
-
r
(1, cos
cos )
n
a
C c
A
=
+
r
//
m
n
r
r
C
（2）若
，求
的周长的取值范围.
5．（2026·江西丰城中学·一模）设向量
3sin ,sin
cos
m
x
x
x
=
+
r
，
2cos ,sin
cos
n
x
x
x
=
-
r
，
f x
m n
= ×r r
．
（1）求
f x 的单调递减区间；
（2）在锐角ABC
V
中，角A
B
C
，，
所对的边分别为a
b
c
，，，若1
f A = ，
2
a =
，
6
sin
sin
2
B
C
+
=
，求ABC
V
的面积.
🎯命题方向四 解三角形与三角函数融合
6．（2026·四川南充高三期末检测）已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求函数
的解析式及对称中心；
（2）在锐角
中，角
的对边分别为
，若
，求
周长的取值范围．
3
c=
ABC
π
π
2sin
(
0,
)
2
2
f x
x
w
j
w
j
=
+
>
-
<
<
f
x
ABC
V
, ,
ABC
, ,
a b c
3,
4
f C
c
=
=
ABC
V
7．（2026·陕西安康阶段检测）已知
的三个内角
所对的边分别为
，且
，
，设
，
的周长为
.
（1）当
时，求
的值；
（2）求函数
的解析式及最大值.
8．（2026·黑龙江哈尔滨模拟检测）已知函数
的最小正周期为
.
（1）求
的值；
（2）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.c 为
在
上的最大值，再从条件①、
条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求
的取值范围.条件①：
；
条件②：
；条件③：
的面积为S，且
.注：如果选择
多个条件分别解答，按第一个条件计分.
ABC
V
, ,
ABC
, ,
a b c
π
3
A =
2
2
cos
cos
3
2
2
2
C
B
b
c
b
c
+
+
=
+
B
x
=
ABC
V
y
π
4
x =
y
y
f
x
=
2
( )
2
3 sin
cos
2 cos
, (
0)
f x
x
x
x
w
w
w
w
=
+
>
π
w
ABC
V
( )
f
x
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
a b
-
cos
cos
2 cos
a
B b
A
c
C
+
=
2 sin
cos
sin 2
3
a
A
B
b
A
a
+
=
ABC
V
2
2
2
3
4
a
b
c
S
+
-
=
