【微专题3：三角恒等变换及解三角形中的最值与范围】
【高考定位】
1.考情趋势
三角恒等变换与解三角形中的最值与范围问题是高考三角函数模块的核心难点与高频考点，近3 年考查频
率稳居三角模块前3 位.题型覆盖小题（5 分/题）与解答题（12 分，多为第二问）：小题多单独考查单一
三角函数或简单解三角形场景的最值/范围；解答题常以“恒等变换化简+最值求解”“解三角形+最值拓
展”形式呈现，或二者融合考查，难度中档偏上，是区分中档生与优生的关键题型.
核心考查频率排序：单一三角函数最值（
型）>三角形面积最值>二次型三角函数最
值>三角形边长（和/差）最值>三角形角的范围>含参数三角函数最值>与向量/基本不等式融合的综合最值.
新高考卷更侧重“转化思想+综合应用”，全国卷兼顾基础转化与拓展延伸.
2.考查要求与命题特点
核心要求：熟练掌握三角恒等变换公式（二倍角、辅助角等）、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，
能实现三角式化简与边角灵活转化；掌握三角函数单调性、值域及三角形内角和、边长关系等隐含条件的
应用；能结合换元法、基本不等式、数形结合等思想求解各类最值与范围问题；能处理含参数场景下的最
值求解与参数范围推导.
命题特点：①重“化简转化”，所有最值问题均需先将表达式化为“一角一函数”或单一变量形式，解三
角形最值需额外实现“ 边化角” 或“ 角化边” ；②隐含条件“ 必用性” ，三角函数有界性（
）、三角形内角和（
）、边长约束（两边之和大于第三边）是限定范围
的关键；③思想融合性强，高频渗透数形结合、转化与化归、分类讨论思想；④场景固定化，三角恒等变
换最值多以纯三角函数表达式为背景，解三角形最值多以“已知一边一角”“已知两边关系”为题干背景.
3.分值与题型分布
全国卷/新高考卷中，两类问题总分值约10-17 分：小题1-2 道（5-10 分），分别考查三角恒等变换与解
三角形最值；解答题中作为核心问（通常为第二问），分值6-8 分，多为综合型最值问题.新高考多选题中
偶尔出现，考查多维度范围判断（如角的范围、边长范围、函数值域同时判断）.
【真题体验】
1．（2024·天津·高考真题）已知函数f (x)=3sin(ωx +π
3 )(ω>0)的最小正周期为π．则f (x)在区间
[-π
12 ,π
6 ]上的最小值是（ ）
A．-
❑√3
2
B．- 3
2
C．0
D．3
2
2．（2022·新高考全国
卷
Ⅰ
·高考真题）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
cos A
1+sin A =
sin2B
1+cos2B ．
(1)若C = 2π
3 ，求B；
(2)求a
2+b
2
c
2
的最小值．
3．（2020·全国II 卷·高考真题）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.
4．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2bsin A - ❑√3a=0．
（I）求角B 的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
5．（2022·全国甲卷·高考真题）已知△ABC中，点D 在边BC 上，∠ADB =120° , AD =2,CD =2BD．
当AC
AB 取得最小值时，BD = ．
6．（2018·北京·高考真题）若△ABC的面积为
❑√3
4 (a
2+c
2-b
2),且∠C 为钝角，则∠B= ；c
a的取
值范围是 .
【热点题型一：三角恒等变换中的最值与范围（单一三角函数型）】
【核心归纳】
1.标准型结构与最值原理：
2.核心结构：
（
），同理适用于
型（注意
的值域为
，
无最值，仅考查指定区间内的范围）；
3.最值求解：当
时，最大值为
，最小值为
，当且仅当
（
型最大
值）、
（
型最小值）时取得（
）;
时，最值与
时相反.
4.常见变式与转化方法：
5.含绝对值型：
，先求内层
的值域，再取绝对值得到最终范围;
6.指定区间型：已知
，求
的最值，核心是先确定
的取值范围，再
结合
（
）的单调性求值域;
7.化简转化：非标准型需通过三角恒等变换化为标准型，如利用二倍角降幂、辅助角公式等（例：
化为
）.
【易错提示】
忽略
的符号：直接默认
求最值，导致最大值与最小值颠倒;
指定区间内“单调性判断错误”：未准确确定
的范围，或记错
的单调区间，导致最
值求解错误（如误以为
在
上单调递增）;
绝对值型最值漏解：未先求内层值域，直接对标准型最值取绝对值（如
，内层
，绝对值后值域为
，而非
的错误推导）;
型函数误求最值：忽略
的值域为
，错误认为其有最大值或最小值.
（25-26 高三上·山东·月考）已知函数
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
例题
f (x)=sin(ωx +π
6 )+sin(ωx -π
6 )-2cos
2 ωx
2
(ω>0)图象与直线y =-1的两个相邻交点间的距离为π
2 .
(1)求ω的值；
(2)若x∈[0,π
2 ]，求函数f (x)的值域.
【规律方法总结】
标准型最值“三步法”：①化标准型，明确
的值;②判断
的符号，确定最值与
的关系;
③结合三角函数的有界性（
）求最值;
指定区间最值“定角域→判单调→求最值”：①由
的范围求
的范围（“角域”）;②画出
（或
）在该角域内的图像，标注单调区间;③计算角域端点和极值点的函数值，对比得到最值;
绝对值型最值“分层求解”：先求不含绝对值的内层函数值域，再根据绝对值的几何意义（非负性）求外
层值域;
快速验证技巧：利用特殊值验证，如求
在
上的最值，可代入
计算，对
比结果合理性.
（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）某饰品店定制半径为1 米，圆心角为π
4 的
扇形展示台．现要在该扇形内制作一个内接矩形陈列区域ABCD，其中点A 、B在扇形的半径OP上，点
D在半径OQ 上，点C在扇形弧上（如图所示），在区域ABCD内摆放耳环、戒指等小件首饰．为了提升
台面空间利用率，现要计算矩形ABCD 的面积，则面积最大值为 平方米．
（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知某三角形场地ABC是直角三角形，且
|AB|=2 km，∠ABC =π
2 ，∠ACB =π
6 ，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图△MNP）的人工
湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则△MNP的面积最小值为 k m
2.
小试牛刀1
小试牛刀2
（2025·宁夏中卫·二模）函数f (x)=2❑√3cos
2(
π
4 - x)-cos2 x - ❑√3在(0,π
2 )上
的值域为 ．
【热点题型二：三角恒等变换中的最值与范围（二次型三角函数型）】
【核心归纳】
1.常见结构类型：
2.纯二次型：
、
（
）;
3.含交叉项型：
（可通过二倍角公式化简消去交叉项）;
4.分式二次型：
（换元后转化为分式函数最值）.
5.核心解题思路——换元法：
6.换元原则：令
或
，将二次型三角函数转化为二次函数
;
7.换元关键：明确新元的取值范围（
，因
）;
8. 化简前置：含
或
的交叉项型，先通过二倍角公式化简（如
，
），再判断是否需要换元.
9.二次函数最值求解：根据二次函数
的开口方向（
的符号）和对称轴
，结合
的范围，分情况讨论最值：①对称轴在
内，最值在顶点和区间端点处取得;②对称轴在
外，最值在区间端点处取得.
【易错提示】
换元后“ 忽略
的范围” ：将
视为全体实数求二次函数最值，未限定
（如
，误将
视为
，得到最小值1，实际
，最小值为2）;
化简时“公式错误”：二倍角降幂公式记错（如
误记为
），导致化简后函数结构错误;
交叉项型“ 未化简直接换元” ：如
，未先令
（则
），直接分别换元导致解题复杂或错误;
分式二次型“未验证分母不为零”：换元后未确认分母在
内是否为零，导致定义域遗漏，最值求
解错误.
（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角α，β满足2cos(2α + β)+cos β =0，则
tan α + tan β的最小值为 .
【规律方法总结】
换元“三步骤”：①化简函数式（含交叉项先消去）;②确定换元对象（
或
），明确
;③转化为二次函数或分式函数，结合定义域求最值;
小试牛刀3
经典例题
例题
二次函数最值“分类讨论标准”：以对称轴与区间
的位置关系为分类依据，避免漏讨论或重复讨论;
交叉项型“快速换元技巧”：遇到
与
共存的形式，优先令
（
），利用
转化，简化计算;
分式二次型“转化技巧”：当分子分母为同次二次式时，可采用“分离常数法”转化为
或
的形式，再结合二次函数值域求最值.
（23-24 高三下·浙江·开学考试）函数f (x)=2cos(x -π
4 )+sin2 x (x∈R)的值域
为 .
（2025·浙江嘉兴·一模）已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,-π
2 <φ<π
2 )的最小
正周期为T，若f (T )= 1
2，则cos(x +3φ)+cos(2 x -6φ)的最小值为（ ）
A．-2
B．- 9
8
C．0
D．9
8
（25-26 高一上·全国·单元测试）在△ABC中，sin B = 4 sin A cosC，则当
tan(C - A)取最大值时，C =（ ）
A．π
3
B．π
6
C．π
4
D．2π
3
【热点题型三：解三角形中的最值与范围（面积与边长型）】
【核心归纳】
1.三角形面积的最值与范围：
2.核心公式与转化方向：基础面积公式
（边角对应是关键）;外接
圆关联公式
（
为外接圆半径）; 转化逻辑：①边化角：由正弦定理
、
，将面积转化为“单一角的三角函数”（如
）;②角化边：由余弦
定理将角转化为边的关系，结合基本不等式求
的最值（如已知
，通过
求
最大值）.
3. 常见题干背景与求解策略：已知一边一角（如
，
）：由余弦定理
，得
，代入面积公式得
;已
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
知两边之和（如
）：结合基本不等式
，代入面积公式求最值;已知角的范围（如
）：将面积转化为关于
的三角函数，结合单调性求范围.
4.三角形边长（和/差/积）的最值与范围：
5.核心转化路径：①边化角：由正弦定理
、
、
，将边长转化为角
的三角函数，结合角的范围求值域;②角化边：由余弦定理将角的关系转化为边的代数式，结合基本不等
式、边长约束（两边之和大于第三边）求最值.
6.常见题型与求解策略：单一边长最值（如求
的最小值）：由正弦定理转化为
的三角函数，或由余弦
定理
结合基本不等式求解;边长和/差最值（如求
的最大值）：由正弦定理
转化为
，利用和角公式化简为“一角一函数”（如
）
当
时取最值;边长乘积最值（如求
的最大值）：通过余弦定理结合基本不等式
求
解.
7.隐含约束条件：角的约束
（
）;边长约束
、
、
（求范围时需验证）.
【易错提示】
面积公式“边角对应错误”：如用
时，角
并非
、
的夹角，导致面积表达式错误;
基本不等式应用“缺等号条件”：如由
求
最大值时，未验证
是否能构成三角形;
边化角后“角的范围遗漏”：未结合三角形内角和限定角的范围，导致三角函数值域求解错误;
边长最值“未验证边长约束”：求出范围后未检验是否满足两边之和大于第三边，导致结果无效;
忽略
的定值属性：在含外接圆半径的公式中，误将
视为变量，导致转化逻辑混乱.
（25-26 高三上·广东·月考）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知
a= ❑√3,(a-b)(sin A +sin B)=sinC (b+c)，则△ABC面积的最大值为 .
【规律方法总结】
面积最值“两步走”：①选对面积公式（优先含已知角/边的公式）;②转化求最值（基本不等式求
最
值或边化角求三角函数值域）;
已知一边一角求面积最值“快速公式”：若已知
，
，则
（当且仅当
时取等
号）;
边长最值“转化原则”：已知角的约束优先边化角，已知边的关系优先角化边;
边长和/差“化简技巧”：利用和角公式将
化简为“定值角+变量角”形式，借助余弦函数有
界性求最值;
验证技巧：求出最值后，验证等号成立时三角形是否存在（如
时满足内角和为
），边长范围需验
证两边之和大于第三边.
（25-26 高三上·湖南长沙·期中）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
经典例题
例题
小试牛刀1
已知2a=b+2c sin(A -π
6 ).
(1)求C；
(2)已知c =6，△ABC的内切圆半径为r.
（
）当
ⅰ
r = ❑√3时，求sin A +sin B；
（
）求
ⅱ
r
a+b 的最大值.
（25-26 高三上·河北·月考）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，且
2b-a=2c cos A.
(1)求C；
(2)若a+b= ❑√3,∠ACB的角平分线交AB于点D.
（i）求CD的最大值；
（ii）求1
AD + 1
BD 的最小值.
【热点题型四：解三角形中的最值与范围（角的范围型）及含参数最值】
【核心归纳】
1.三角形角的范围问题：
2.核心求解思路：①角化边：由余弦定理
，结合边的约束判断角的范围（如
）;②边化角：由正弦定理
，结合内角和约束求范围;③三
角恒等变换：化简角的表达式，结合三角函数值域求范围.
3.常见题型与约束条件：已知边的比例关系（如
）：由余弦定理求角的余弦值定范围;
已知边长不等式（如
）：由
得
（钝角三角形）;已知角的三角函数关系
（如
）：由正弦定理转化为边的关系
，再求角的范围.
4.含参数三角函数最值（跨模块通用）：
5.常见参数类型：参数在系数上（如
、
）;参数在自变量约束上（如
，
）;参数在三角函数内部（如
）.
6.核心解题思路：明确“变量”与“参数”，将函数视为关于自变量的函数，参数作为常数参与运算;分
类讨论参数（如系数正负、区间与单调区间关系）;已知最值求参数时，先求最值关于参数的表达式，再
建立方程/不等式求解，验证等号成立条件.
【易错提示】
余弦值符号与角的范围对应错误：如误将
视为
;
边化角后“忽略角的单调性”：如由
得
，未排除
的无效情况;
角的范围“未综合所有约束”：仅由单一条件求范围，未结合内角和、边的关系缩小范围;
参数与变量混淆：将参数视为变量，导致函数结构分析错误;
小试牛刀2
含参数最值“分类讨论不全面”：遗漏参数为零、对称轴与区间端点重合等关键情况.
（25-26 高二上·黑龙江·开学考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若2a
2=b
2+c
2，则A的最大值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【规律方法总结】
角的范围“求解三步法”：①选择转化路径（角化边或边化角）;②得到三角函数不等式（如
）;
③由三角函数单调性及内角和确定范围;
钝角/锐角三角形判断“核心公式”：角
为钝角
;角
为锐角
;锐角三角
形
三个角的余弦值均大于0;
定角范围“优先用余弦”：余弦函数在
上单调递减，定角更精准，避免多解;
含参数最值“逆向求解法”：已知最值求参数时，先求最值关于参数的表达式，建立方程/不等式求解后，
验证等号成立条件和定义域有效性;
参数讨论“边界优先原则”：优先讨论参数使函数性质发生变化的边界值（如参数为零、对称轴与区间端
点重合），避免遗漏.
（24-25 高二下·湖南郴州·期末）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，
c，若
1- tan A
2
1+ tan A
2
= tan B，则a
2+b
2
c
2
的最小值为（ ）
A．4 ❑√2-5
B．4 ❑√2-3
C．4 ❑√2
D．1
（24-25 高一下·浙江宁波·期末）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，
已知b
2-a
2= 1
2 c
2，则tan A +
1
tan B 的最小值为（ ）
A．1
B．2❑√3
3
C．4
3
D．❑√2
（24-25 高一下·福建宁德·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若2a
2+b
2=c
2，则tan A的最大值为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．
❑√3
3
D．
❑√3
2
1．（24-25 高一下·四川德阳·期末）若△ABC的角A，B，C所对边a，b，c，且满足
a+2b- 4 bsin
2 C
2 =0，则tan A的最大值为（ ）
经典例题
例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
课后针对训练
A．
❑√6
4
B．
❑√3
3
C．3
4
D．
❑√6
2
2．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数f (x)=3sin(ωx +π
3 )(ω>0)在区间(-π
3 ,π
6 )上单调递增，则
当ω取最大值时，f (x)在区间[
π
2 ,π)上的值域为（ ）
A．(- 3
2 , 3 ❑√3
2 ]
B．(- 1
2 ,
❑√3
2 ]
C．(- 3 ❑√3
2
, 3
2]
D．(-
❑√3
2 , 1
2]
3．（25-26 高三上·安徽六安·月考）在等边三角形ABC的三边上各取一点D，E，F，满足DE =3，
DF =2❑√3，∠≝=90°，则三角形ABC边长的最大值为 ．
4．（25-26 高三上·上海·月考）已知△ABC的外接圆半径为2，三个角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
若acos B+bcos A = 2❑√3，且⃗CA ⋅⃗CB<0，则2a+3b的最大值为 .
5．（2025·广东深圳·模拟预测）记锐角△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
sin ( A - B)
cos B
= sin ( A -C)
cosC
，且asinC =1，则1
a
2 + 1
b
2的最大值为 ．
6．（2025 高三下·全国·专题练习）已知锐角△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若A =π
3 ,a≥b，
则b
2+c
2
bc
的最小值为 .
7．（2025 高三·全国·专题练习）在△ABC内，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若a
2+b
2≥4 abcosC，
且cos( A - B)= 1
6，则cosC的取值范围是 ．
8.（24-25 高一下·江西宜春·期末）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足a=2，
sin A +sin B
sinC
= b-c
b-a．则△ABC内切圆半径r 的取值范围为 ．
9．（24-25 高一下·山东滨州·期末）在锐角△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若
(a+b)(sin A -sin B)=(c -b)sinC，a=2❑√3，则△ABC周长的取值范围是 ．
10．（24-25 高一下·重庆·期末）在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若BC边上的高为
1
4 a，当sin B
sinC + sinC
sin B 取得最大值时，sin A = .
11．（2025·湖北·模拟预测）已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A ,B ,C的对边，满足
❑√3c⋅sin A -c⋅cos A = ❑√3a-b.
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的面积S = ❑√3b，求b的取值范围.
12．（25-26 高三上·山西·月考）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，已知2b=c +2acosC.
(1)求A；
(2)求sin B - ❑√3cosC的取值范围.
13．（25-26 高三上·山西大同·期中）如图，在矩形甬道ABCD中（假定甬道AD，BC可以无限延伸），
AB =3，BE =2 EA，M，N分别为边AD，BC上的动点，且∠MEN = π
3 ，设∠BNE =θ.
(1)若△MEN的面积记为S (θ)，写出函数解析式S (θ)；
(2)求S (θ)的最小值.
14．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知向量a
→
=(cos x ,2sin x),b
→
=(2cos x ,❑√3cos x)，函数
f (x)= a
→
⋅b
→.
(1)求函数f (x)的最小正周期及对称中心；
(2)在锐角△ABC中，若f(
A
2)=3且a= ❑√3，求△ABC周长的取值范围
15．（25-26 高三上·江苏盐城·期中）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，
❑√3bcos A +asin B = ❑√3c，∠ABC的角平分线BT交AC于点T，BT =2.
(1)求B；
(2)若AT =2TC，求△ABC的面积；
(3)若△ABC为锐角三角形，求AT + AB的取值范围.
16．（25-26 高三上·山东临沂·期中）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
a(❑√3sin B+cos B)=b+c.
(1)求A；
(2)设D为边BC上一点，
（
）若
ⅰ
D为BC中点，a=2❑√3，△ABC的面积为2❑√3，求AD的长度；
（
）若
ⅱ
AD为锐角△ABC的角平分线，a= 4，求BD长度的取值范围.
17.（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，角A ,B ,C的对边分
别为a,b,c，且a
2+c
2=b
2+ac，b=2❑√3，
(1)求R的值；
(2)求r的取值范围.
