【微专题2：三角恒等变换与解三角形】
【高考定位】
1.考情趋势
三角恒等变换与解三角形是高考三角函数模块的核心延伸内容，近3 年高考中题型稳定、分值固定，属于
“中档必得分”模块:小题（5 分/题）多考查三角恒等变换化简求值、解三角形基本量计算，难度中档;解
答题（12 分）常以“恒等变换+解三角形”综合形式呈现，偶尔结合平面向量、面积最值、实际应用（测
量、航海）命题，难度中档偏易.
核心考查频率排序：三角恒等变换（化简、求值）>解三角形基本量求解（边、角、面积）>解三角形综合
应用（最值、范围）>恒等变换与向量/不等式融合.
2.考查要求与命题特点
核心要求：熟练掌握两角和与差、二倍角、辅助角等恒等变换公式，能精准完成三角式化简与求值;掌握
正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，能解决三角形边、角、面积的求解问题，能处理与三角形相关的
最值、范围及实际应用问题.
命题特点：①重公式灵活应用，强调“化简优先”，规避复杂计算;②解三角形突出“边角转化”核心，
渗透数形结合、分类讨论思想;③综合趋势显著，常与平面向量、基本不等式、三角函数值域融合;④实际
应用题型贴近生活，侧重数学建模能力考查.
3.分值与题型分布
全国卷/新高考卷中，该模块总分值约12-17 分:小题1 道（5 分），聚焦恒等变换求值或解三角形基本量
计算;解答题1 道（12 分），多以“恒等变换化简+解三角形综合”形式呈现，部分年份会在压轴题中渗透
三角形最值问题.
【真题体验】
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α - π
4)=（ ）
A．
❑√2
10
B．
❑√2
5
C．3 ❑√2
10
D．7 ❑√2
10
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得cosα =- 3
5，则sin α = 4
5 ，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】cosα =2cos
2 α
2 -1=2×(
❑√5
5 )
2
-1=- 3
5，
因为0<α <π，则π
2 <α <π，则sin α =
❑√1-cos
2α = ❑√1-(- 3
5)
2
= 4
5
，
则sin(α - π
4)=sin α cos π
4 -cosα sin π
4 = 4
5 ×
❑√2
2 -(- 3
5)×
❑√2
2 = 7 ❑√2
10 .
故选：D.
2．【多选题】（2025·全国一卷·高考真题）已知△ABC的面积为1
4 ，若
cos2 A +cos2B+2sinC =2,cos A cos BsinC = 1
4 ，则（ ）
A．sinC =sin
2 A +sin
2B
B．AB = ❑√2
C．sin A +sin B =
❑√6
2
D．A C
2+ BC
2=3
【答案】ABC
【分析】对cos2 A +cos2B+2sinC =2由二倍角公式先可推知A 选项正确，方法一分情况比较A + B和
π
2 的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，
利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用cos A cos BsinC = 1
4 算出A ,B取值，最后利用三角形面
积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】cos2 A +cos2B+2sinC =2，由二倍角公式，1-2sin
2 A +1-2sin
2B+2sinC =2，
整理可得，sinC =sin
2 A +sin
2B，A 选项正确；
由诱导公式，sin( A + B)=sin (π-C)=sinC，
展开可得sin A cos B+sin Bcos A =sin
2 A +sin
2B，
即sin A(sin A -cos B)+sin B(sin B -cos A )=0，
下证C =π
2 .
方法一：分类讨论
若A + B =π
2 ，则sin A =cos B ,sin B =cos A可知等式成立；
若A + B<π
2 ，即A <π
2 - B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A <cos B，同理sin B<cos A，
又sin A >0,sin B>0，于是sin A(sin A -cos B)+sin B(sin B -cos A )<0，
与条件不符，则A + B<π
2 不成立；
若A + B>π
2 ，类似可推导出sin A(sin A -cos B)+sin B(sin B -cos A )>0，则A + B>π
2 不成立.
综上讨论可知，A + B =π
2 ，即C =π
2 .
方法二：边角转化
sinC =sin
2 A +sin
2B时，由C ∈(0,π)，则sinC ∈(0,1]，
于是1×sinC =sin
2 A +sin
2B≥sin
2C，
由正弦定理，a
2+b
2≥c
2，
由余弦定理可知，cosC ≥0，则C ∈(0,π
2 ]，
若C ∈(0,π
2 )，则A + B>π
2 ，注意到cos A cos BsinC = 1
4 ，则cos A cos B>0，
于是cos A >0,cos B>0（两者同负会有两个钝角，不成立），于是A ,B∈(0,π
2 )，
结合A + B>π
2 ⇔A >π
2 - B，而A ,π
2 - B都是锐角，则sin A >sin(
π
2 - B)=cos B>0，
于是sinC =sin
2 A +sin
2B>cos
2B+sin
2B =1，这和sinC ≤1相矛盾，
故C ∈(0,π
2 )不成立，则C =π
2
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由sinC =sin
2 A +sin
2B，结合正弦定理可得，c =asin A +bsin B，由射影定理可得c =acos B+bcos A，
于是asin A +bsin B =acos B+bcos A，
则a(sin A -cos B)+b(sin B -cos A )=0，可同方法一种讨论的角度，推出A + B =π
2 ，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
a(sin A -cos B)+b(sin B -cos A )=0，可知sin A -cos B ,sin B -cos A同时为0或者异号，即
(sin A -cos B)(sin B -cos A )≤0，展开可得，
sin A sin B -sin A cos A -cos Bsin B+cos A cos B≤0，
即cos( A - B)- 1
2
(sin 2 A +sin 2B)≤0，结合和差化积，cos( A - B)(1-sin( A + B))≤0，由上述分析，
A ,B∈(0,π
2 )，则A - B∈(-π
2 ,π
2 )，则cos( A - B)≥0，则1-sin( A + B)≤0，即sinC ≥1，于是
sinC =1，可知C =π
2 .
由cos A cos BsinC = 1
4 =cos A cos B，由A + B =π
2 ，则cos B =sin A，即sin A cos A = 1
4 ，
则sin2 A = 1
2，同理sin2B = 1
2，由上述推导，A ,B∈(0,π
2 )，则2 A ,2B∈(0,π)，
不妨设A <B，则2 A =π
6 ,2B = 5π
6 ，即A =π
12 ,B = 5π
12 ，
由两角和差的正弦公式可知sinπ
12 +sin 5π
12 =
❑√6- ❑√2
4
+
❑√6+ ❑√2
4
=
❑√6
2 ，C 选项正确
由两角和的正切公式可得，tan5π
12 =2+ ❑√3，
设BC =t , AC =(2+ ❑√3)t，则AB =(❑√2+ ❑√6)t，
由S△ABC = 1
2 (2+ ❑√3)t
2= 1
4 ，则t
2= 4 -2❑√3
4
=(
❑√3-1
2 )
2
，则t =
❑√3-1
2
，
于是AB =(❑√6+ ❑√2)t = ❑√2，B 选项正确，由勾股定理可知，A C
2+ BC
2=2，D 选项错误.
故选：ABC
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知cosα
cosα -sinα = ❑√3，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．2❑√3+1
B．2❑√3-1
C．
❑√3
2
D．1- ❑√3
【答案】B
【分析】先将
cosα
cosα -sin α 弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为
cosα
cosα -sin α = ❑√3，
所以
1
1- tan α = ❑√3，⇒tan α =1-
❑√3
3 ，
所以tan(α + π
4)= tan α +1
1- tan α =2❑√3-1，
故选：B.
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知cos(α + β)=m,tan α tan β =2，则cos(α - β)=（ ）
A．-3m
B．- m
3
C．m
3
D．3m
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求cosα cos β ,sin α sin β的关系，结合tan α tan β的值可求前者，故可求
cos(α - β)的值.
【详解】因为cos(α + β)=m，所以cosα cos β -sin α sin β =m，
而tan α tan β =2，所以sin α sin β =2cosα cos β，
故cosα cos β -2cosα cos β =m即cosα cos β =-m，
从而sin α sin β =-2m，故cos(α - β)=-3m，
故选：A.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若B =60
°，b
2= 9
4 ac，则
sin A +sinC =（ ）
A．3
2
B．❑√2
C．
❑√7
2
D．
❑√3
2
【答案】C
【分析】利用正弦定理得sin A sinC = 1
3，再利用余弦定理有a
2+c
2= 13
4 ac，由正弦定理得到
sin
2 A +sin
2C的值，最后代入计算即可.
【详解】因为B =60
°,b
2= 9
4 ac，则由正弦定理得sin A sinC = 4
9 sin
2B = 1
3.
由余弦定理可得:b
2=a
2+c
2-ac = 9
4 ac，
即:a
2+c
2= 13
4 ac，根据正弦定理得sin
2 A +sin
2C = 13
4 sin A sinC = 13
12，
所以(sin A +sinC )
2=sin
2 A +sin
2C +2sin A sinC = 7
4 ，
因为A ,C为三角形内角，则sin A +sinC >0，则sin A +sinC =
❑√7
2
.
故选：C.
6．（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若acosB -bcos A =c，
且C = π
5 ，则∠B =（ ）
A．π
10
B．π
5
C．3 π
10
D．2π
5
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得∠A的值，最后利用三角
形内角和定理可得∠A的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得sin A cos B -sin Bcos A =sinC，
即sin A cos B -sin Bcos A =sin ( A + B)=sin A cos B+sin Bcos A，
整理可得sin Bcos A =0，由于B∈(0,π)，故sin B>0，
据此可得cos A =0, A =π
2 ，
则B =π- A -C =π-π
2 -π
5 = 3π
10 .
故选：C.
7．（2023·全国甲卷·高考真题）在△ABC中，∠BAC =60° , AB =2,BC = ❑√6，∠BAC的角平分线交BC
于D，则AD = ．
【答案】2
【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；
方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B ,C，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记AB =c , AC =b,BC =a，
方法一：由余弦定理可得，2
2+b
2-2×2×b×cos60
∘=6，
因为b>0，解得：b=1+ ❑√3，
由S△ABC = S△ABD+ S△ACD可得，
1
2 ×2×b×sin 60
∘= 1
2 ×2× AD×sin30
∘+ 1
2 × AD×b×sin30
∘，
解得：AD =
❑√3b
1+ b
2
= 2❑√3(1+ ❑√3)
3+ ❑√3
=2．
故答案为：2．
方法二：由余弦定理可得，2
2+b
2-2×2×b×cos60
∘=6，因为b>0，解得：b=1+ ❑√3，
由正弦定理可得，
❑√6
sin 60
∘=
b
sin B =
2
sinC ，解得：sin B =
❑√6+ ❑√2
4
，sinC =
❑√2
2 ，
因为1+ ❑√3>❑√6>❑√2，所以C = 45
∘，B =180
∘-60
∘- 45
∘=75
∘，
又∠BAD =30
∘，所以∠ADB =75
∘，即AD = AB =2．
故答案为：2．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为
❑√3，D为BC中点，且AD =1．
(1)若∠ADC =π
3 ，求tan B；
(2)若b
2+c
2=8，求b,c．
【答案】(1)
❑√3
5 ；
(2)b=c =2.
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积
公式求出a，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答；方法2，利用向量
运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC =π
3 ，AD =1，
则S△ADC = 1
2 AD⋅DC sin ∠ADC = 1
2 ×1× 1
2 a×
❑√3
2 =
❑√3
8 a= 1
2 S△ABC =
❑√3
2 ，解得a= 4，
在△ABD中，∠ADB = 2π
3 ，由余弦定理得c
2= B D
2+ A D
2-2BD⋅AD cos∠ADB，
即c
2= 4 +1-2×2×1×(- 1
2 )=7，解得c = ❑√7，则cos B = 7+ 4 -1
2❑√7×2 = 5 ❑√7
14 ，
sin B =
❑√1-cos
2B =
❑√1-( 5 ❑√7
14 )
2
=
❑√21
14
，
所以tan B = sin B
cos B =
❑√3
5 .
方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC =π
3 ，AD =1，
则S△ADC = 1
2 AD⋅DC sin ∠ADC = 1
2 ×1× 1
2 a×
❑√3
2 =
❑√3
8 a= 1
2 S△ABC =
❑√3
2 ，解得a= 4，
在△ACD中，由余弦定理得b
2=C D
2+ A D
2-2CD⋅ADcos∠ADC，
即b
2= 4 +1-2×2×1× 1
2 =3，解得b= ❑√3，有A C
2+ A D
2= 4 =C D
2，则∠CAD =π
2 ，
C =π
6 ，过A作AE⊥BC于E，于是CE = AC cosC = 3
2 , AE = AC sinC =
❑√3
2 ，BE = 5
2，
所以tan B = AE
BE =
❑√3
5
.
（2）方法1：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得¿，
整理得1
2 a
2+2=b
2+c
2，而b
2+c
2=8，则a=2❑√3，
又S△ADC = 1
2 ×❑√3×1×sin ∠ADC =
❑√3
2 ，解得sin∠ADC =1，而0<∠ADC <π，于是∠ADC =π
2 ，
所以b=c =
❑√A D
2+C D
2=2.
方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，则2⃗AD =⃗AB+⃗AC，又⃗CB =⃗AB -⃗AC，
于是4⃗AD
2+⃗CB
2=(⃗AB+⃗AC )
2+(⃗AB -⃗AC )
2=2(b
2+c
2)=16，即4+a
2=16，解得a=2❑√3，
又S△ADC = 1
2 ×❑√3×1×sin ∠ADC =
❑√3
2 ，解得sin ∠ADC =1，而0<∠ADC <π，于是∠ADC =π
2 ，
所以b=c =
❑√A D
2+C D
2=2.
9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在△ABC中，A + B =3C ,2sin ( A -C)=sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB =5，求AB边上的高．
【答案】(1)3 ❑√10
10
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B,再由正弦定理求出b，根据等面积法
求解即可.
【详解】（1）∵A + B =3C，
∴π-C =3C，即C =π
4 ，
又2sin( A -C )=sin B =sin( A +C )，
∴2sin A cosC -2cos A sinC =sin A cosC +cos A sinC，
∴sin A cosC =3cos A sinC，
∴sin A =3cos A，
即tan A =3，所以0< A <π
2 ，
∴sin A =
3
❑√10 = 3 ❑√10
10
.
（2）由（1）知，cos A =
1
❑√10 =
❑√10
10 ，
由sin B =sin( A +C ) =sin A cosC +cos A sinC =
❑√2
2 ( 3 ❑√10
10
+
❑√10
10 )= 2❑√5
5
，
由正弦定理，
c
sinC =
b
sin B ，可得b=
5× 2❑√5
5
❑√2
2
=2❑√10，
∴1
2 AB⋅h= 1
2 AB⋅AC ⋅sin A，
∴h=b⋅sin A =2❑√10× 3 ❑√10
10
=6.
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知sin (α - β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6，则cos(2α +2 β)=（ ）．
A．7
9
B．1
9
C．- 1
9
D．- 7
9
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α + β)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为sin(α - β)=sin α cos β -cosα sin β = 1
3，而cosα sin β = 1
6，因此sin α cos β = 1
2，
则sin(α + β)=sin α cos β +cosα sin β = 2
3，
所以cos(2α +2 β)=cos2(α + β)=1-2sin
2(α + β)=1-2×( 2
3 )
2
= 1
9
.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
【热点题型一：三角恒等变换（化简、求值）】
【核心归纳】
1.核心公式体系:
2. 两角和与差公式：
;
;
（
，
）;
3. 二倍角公式：
;
;
（
，
）;
4.辅助角公式：
（
，
终边过点
），也可表示为
（
）;
5.同角三角函数关系：
;
（
，
）.
6.化简核心原则：“三统一”——统一角（倍角、和角→单角）、统一函数名（切→弦或弦→切）、统一
表达式形式（化为“一角一函数”标准型）;优先降幂、通分、去根号.
7.求值题型分类:
8.给角求值：化简消去非特殊角，转化为特殊角三角函数值;
9.给值求值：通过角的配凑（和差、倍半、互补互余）转化已知角与所求角，结合角的范围判断函数值符
号;
10.给值求角：先求所求角的某一三角函数值，再结合角的范围定角（优先选余弦函数，因其在
单调
知识讲解与常考题型
题型分类
递减，定角更精准）.
【积化和差公式（不要求记忆，会推导）】
【和差化积公式（不要求记忆，会推导）】
【易错提示】
易错提示
公式记忆错误：如混淆两角和差余弦公式符号、二倍角降幂公式记错（如将
误记为
）;
角的范围忽略：给值求值/求角时，未确定角的取值范围，导致符号判断错误或角的大小错解;
切化弦不彻底：正切与弦函数共存时，未统一函数名，导致化简受阻;
辅助角
象限判断错误：未根据$a、b$符号确定
象限，仅由
定角，导致偏差.
【多选题】（2025·山东聊城·模拟预测）在△ABC中，A，B，C 成等差数列.若
cos A +cosC =
❑√6+ ❑√2
4
，则下列结论正确的是（ ）
A．cos( A +C )=- 1
2
B．cos( A - B)=
❑√6+ ❑√2
4
C．cos(B -C )=
❑√6- ❑√2
4
D．cos( A -C )=
❑√3
2
【答案】ABD
【分析】先求出B和A +C，再根据两角和差的正余弦公式进行判断.
经典例题
【详解】由A，B，C 成等差数列，得A +C =2B.
因为A + B+C =π，所以B =π
3 ，则A +C = 2π
3 ，所以cos( A +C )=- 1
2，A 正确.
又C = 2π
3 - A，由cos A +cosC =
❑√6+ ❑√2
4
，
得cos A +cos(
2π
3 - A)=cos A - 1
2 cos A +
❑√3
2 sin A =cos(A -π
3 )=
❑√6+ ❑√2
4
，
所以cos( A - B)=
❑√6+ ❑√2
4
，B 正确.
cos(B -C )=cos[B -(
2π
3 - A)]=cos(A -π
3 )=
❑√6+ ❑√2
4
，C 错误.
cos( A -C )=cos(2 A - 2π
3 )=2cos
2(A -π
3 )-1=2×(
❑√6+ ❑√2
4
)
2
-1=
❑√3
2 ，D 正确.
故选：ABD
【规律方法总结】
化简“四步法”：降幂→化同角→化同名→配凑标准型（辅助角公式）;
给值求值“角的配凑技巧”：观察所求角与已知角的和、差、倍、半关系（如所求角
、所求角
、所求角
），通过配凑实现公式应用;
给值求角“定角三步骤”：①求所求角的三角函数值（优先选
或
）;②缩小角的范围至单值区
间;③结合单调性定角;
公式逆用与变形：熟练掌握积化和差逆用、
等变形，提升化简
效率.
【多选题】（25-26 高二上·安徽淮南·开学考试）已知α，β为锐角，
sinα = 2❑√5
5
，sin(α - β)=-
❑√10
10 ，则（ ）
A．sin2α = 4
5
B．sin β = 7 ❑√2
10
C．tan(α + β)=- 9
13
D．tan β = 1
7
【答案】ABC
【分析】由α，β为锐角，求出α - β的范围，根据sinα = 2❑√5
5
，sin(α - β)=-
❑√10
10 ，由同角三角关系式
分别求得cosα，tanα，cos(α - β)，再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及
同角三角函数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项.
【详解】因为α，β为锐角，所以0<α <π
2 ，0< β <π
2 ，所以-π
2 <α - β <π
2 ，
小试牛刀1
所以cos(α - β)>0，
因为sinα = 2❑√5
5
，所以cosα =
❑√1-sin
2α =
❑√5
5 ，tanα =sinα
cosα =2，
因为sin(α - β)=-
❑√10
10 ，所以cos(α - β)=
❑√1-sin
2(α - β)= 3 ❑√10
10
，
选项A：sin2α =2sinα cosα =2× 2❑√5
5
×
❑√5
5 = 4
5 ，所以选项A 正确；
选项B：sin β =sin[α -(α - β)]=sinα cos(α - β)-cosα sin(α - β)
= 2❑√5
5
× 3 ❑√10
10
-
❑√5
5 ×(-
❑√10
10 )= 7 ❑√2
10 ，所以选项B 正确；
选项CD：因为sin β = 7 ❑√2
10 ，所以cos β =
❑√1-sin
2 β =
❑√2
10 ，所以tan β =sin β
cos β =7；
tan(α + β)=tanα +tan β
1-tanα tan β =
7+2
1-7×2 =- 9
13，所以C 正确，D 错误.
故选：ABC.
【多选题】（2025·福建福州·模拟预测）已知角α , β的顶点与原点重合，始边与x
轴的正半轴重合，β 终边经过点P(-sinα ,cosα ),tanα =2， 则（ ）
A．tan β =- 1
2
B．β 终边在第二象限
C．sin (α - β)=1
D．cos(α + β)=- 4
5
【答案】AD
【分析】利用三角函数定义即可判断A；判断α所在象限，即可判断B；根据角所在象限，利用两角和差
的正余弦公式，即可判断CD.
【详解】由题意可得tan β =cosα
-sinα =
1
-tanα =- 1
2， A 正确；
由于tanα =2，故α可在第一象限或第三象限，
α在第一象限时，sinα >0,cosα >0，则P(-sinα ,cosα )在第二象限，
α在第三象限时，sinα <0,cosα <0，则P(-sinα ,cosα )在第四象限，
即β 终边在第二象限或第四象限，B 错误；
由于tanα =2，α在第一象限时，sinα = 2
❑√5 ,cosα = 1
❑√5，
此时β在第二象限，tan β =- 1
2，则sin β = 1
❑√5 ,cos β =- 2
❑√5 ，
故sin (α - β)= 2
❑√5 ×(- 2
❑√5)- 1
❑√5 × 1
❑√5 =-1；
小试牛刀2
cos(α + β)= 1
❑√5 ×(- 2
❑√5)- 2
❑√5 × 1
❑√5 =- 4
5 ；
α在第三象限时，sinα =- 2
❑√5 ,cosα =- 1
❑√5，
此时β在第四象限，tan β =- 1
2，则sin β =- 1
❑√5 ,cos β = 2
❑√5 ，
故sin (α - β)=- 2
❑√5 × 2
❑√5 -(- 1
❑√5)×(- 1
❑√5)=-1，
cos(α + β)=(- 1
❑√5)× 2
❑√5 -(- 2
❑√5)×(- 1
❑√5)=- 4
5 ，C 错误，D 正确；
故选：AD
【多选题】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角α , β满足
1-cos2α
2sin α -sin 2α =
sin 2 β
1+cos2 β ,
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β =2，则（ ）
A．α +2 β =π
B．tan (α + β)=-2
C．sin α = 3
5
D．tan α :tan β =2:3
【答案】ABD
【分析】根据二倍角的正余弦公式结合两角和的正弦公式化简，即可判断A；根据两角和的正切公式即可
判断B；先求出tan β，再根据两角差的正切公式求出tan α，再根据同角三角函数的关系即可判断C；由C
选项即可判断D.
【详解】对于A，由
1-cos2α
2sin α -sin 2α =
sin 2 β
1+cos2 β ，
得
2sin
2α
2sin α -2sin α cosα = 2sin β cos β
2cos
2 β
，即sin α
1-cosα = sin β
cos β ，
所以sin α cos β =sin β -cosα sin β，
所以sin β =sin α cos β +cosα sin β =sin (α + β)，
所以β +α + β =α +2 β =π或β =α + β（舍去），故A 正确；
对于B，由
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β =2，
得tan α + tan β
tan α tan β +
2
tan α tan β =2，
即tan α + tan β =-2(1- tan α tan β)，
所以tan (α + β)= tan α + tan β
1- tan α tan β =-2，故B 正确；
对于C，由A 选项得tan β = tan[π-(α + β)]=- tan (α + β)=2，
小试牛刀3
所以tan α = tan[(α + β)- β]= tan (α + β)- tan β
1+ tan (α + β)tan β =-2-2
1- 4 = 4
3 ，
即sin α
cosα = 4
3 ，又sin
2α +cos
2α =1，
所以sin α = 4
5 （sin α =- 4
5 舍去），故C 错误；
对于D，由C 选项知，tan α :tan β = 4
3 :2=2:3，故D 正确.
故选：ABD
【热点题型二：解三角形基本量求解（边、角、面积）】
【核心归纳】
1.核心定理与公式:
2. 正弦定理：
（
为
外接圆半径），变形：
、
、
;
;
3. 余弦定理：
;
;
; 变形：
;
4. 面积公式：①
底
高;②
;③
;④
（
为内切圆半径）;⑤海伦公式：
（
）.
5.题型分类与求解策略:
6.AAS/ASA（两角及一边）：优先正弦定理求另两边，再求面积;
7.SAS（两边及夹角）：优先余弦定理求第三边，再求角或面积;
8.SSS（三边）：优先余弦定理求两角，内角和验证;
9.SSA（两边及一边对角）：正弦定理求另一角，需判断“两解、一解、无解”.
10.SSA 型解的判断：设已知a 、b 、A ，由
判断：①
无解;②
（一解）;③
时一解，
时一解，
时验证
，
成立则两解，否则一解.
【易错提示】
SSA 型漏解/多解：未判断解的个数，直接由
定角;
正弦定理应用忽略角的范围：求出角后未验证与已知角和是否小于
，导致“超角”;
余弦定理符号错误：记错公式符号（如将“
”误记为“+”）;
面积公式角的对应错误：如
中，角
非a、b 夹角;
遗忘内角和验证：求出两角后未验证和是否小于
.
【多选题】（2025·湖南·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，
经典例题
b，c，且a=2,c =(a+2b)cos B，则（ ）
A．cos A =2cos B
B．若cos B =
❑√3
4 ，则b= ❑√13
C．若b
2-c
2=2，则c⋅cos A = 1
2
D．若sin B =2sin A，则△ABC的面积为4
【答案】ABD
【分析】根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、余弦定理逐一判断即可.
【详解】对于A，由c =(a+2b)cos B及正弦定理得sinC =sin A cos B+2sin Bcos B，
又sinC =sin( A + B)=sin A cos B+cos A sin B ,∴cos A sin B =2sin Bcos B ,∵sin B≠0，
∴cos A =2cos B，故A 正确；
对于B，由cos B =
❑√3
4 可得cos A =
❑√3
2 ⇒sin A = 1
2，
cos B =
❑√3
4 ⇒sin B = ❑√1- 3
16 =
❑√13
4
，
又由正弦定理可得
2
1
2
=
b
❑√13
4
⇒b= ❑√13
，故B 正确；
对于C，由余弦定理知b
2-c
2=a
2-2ac cos B，即2= 4 - 4 c cos B ,∴c⋅cos B = 1
2，
代入A 中结论得c⋅cos A =1，故C 错误；
对于D，由已知得sin B =2sin A ⇒b=2a= 4，
由A 可知：cos A =2cos B⇒16+c
2- 4
2×4⋅c =2× 4 +c
2-16
2×2⋅c ⇒c
2=20，
因为a
2+b
2=2
2+ 4
2=20=c
2，所以该三角形是直角三角形，
所以△ABC的面积S = 1
2 ×2×4 = 4，故D 正确．
故选：ABD
【规律方法总结】
定理选择原则：①两角及一边、SSA→优先正弦定理;②两边及夹角、三边→优先余弦定理;③求面积→优
先选含已知角和边的公式;
SSA 型解题四步骤：求
→判断解的个数→求角
（注意两解）→求角
和边
;
验证技巧：用“大边对大角”（
）验证结果合理性，避免错误;
计算简化：保留根号或分式至最后化简，利用
转化未知角（如
）.
【多选题】（2025·广西南宁·模拟预测）设△ABC内角A ,B ,C的对边分别为
小试牛刀1
a,b,c，若A =π
3 ，b=3，c =2，则（ ）
A．a= ❑√7
B．C =π
4
C．△ABC的外接圆面积为7π
3
D．若M 为BC中点，则AM = 19
4
【答案】AC
【分析】由余弦定理判断A，B；利用正弦定理求出△ABC的外接圆的半径，即可判断C；利用向量判断
D.
【详解】对于A，由余弦定理可得a
2=b
2+c
2-2bc cos A =7，
所以a= ❑√7，故A 正确；
对于B，由余弦定理可得cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
= 2❑√7
7
，
所以C ≠π
4 ，故B 错误；
对于C，由正弦定理可得2 R =
a
sin A = 2❑√21
3
，
所以R =
❑√21
3
，
所以△ABC的外接圆面积为S =π R
2=7π
3 ，故C 正确；
对于D，因为M 为BC中点，
所以⃗AM = 1
2 (⃗AB+⃗AC )，
所以⃗AM
2= 1
4 (⃗AB
2+⃗AC
2+2⃗AB⋅⃗AC )= 19
4 ，
所以AM =
❑√19
2
，故D 错误.
故选：AC.
【多选题】（2025·吉林·模拟预测）已知△ABC的面积为
❑√15
4
，若
sin A cos(C - B)=sin Bcos(C - A),sinC = 1
2 cos B，则（ ）
A．C =π
2
B．sin B = 1
4
C．| AC |=2
D．| AB|= ❑√15
【答案】BCD
【分析】由sin A cos(C - B)=sin Bcos(C - A )整理可得C =π
2 或A = B，再由sinC = 1
2 cos B，判断出
C ≠π
2 ，判断出A 选项的真假；当A = B时，由sinC = 1
2 cos B，可得sin B的值，判断出B 选项的真假；
由△ABC的面积结合BC = AC可得AC 的值，判断出C 的真假；由余弦定理可得AB 的值，判断出D 选项
的真假．
【详解】因为sin A cos(C - B)=sin Bcos(C - A)，
所以sin A cosC cos B+sin A sinC sin B =sin BcosC cos A +sin BsinC sin A，
可得sin A cosC cos B =sin BcosC cos A，则有cosC (sin A cos B -cos A sin B)=0，
所以cosC sin ( A - B)=0，有cosC =0或sin ( A - B)=0，即C =π
2 或A = B.
若C =π
2 ，则1
2 cosB =sinC =1，得cos B =2，显然不成立，所以C =π
2 不成立，故A 错误；
若A = B，则C =π-( A + B)=π-2B，由sinC = 1
2 cosB，有sin2B = 1
2 cos B，
所以2sin Bcos B = 1
2 cos B，因为A = B，所以A = B≠π
2 ，所以cos B≠0，所以sin B = 1
4 ，故B 正确；
因为A = B，所以A ,B为锐角，则cos B =
❑√1-sin
2B = ❑√
1-(
1
4)
2
=
❑√15
4
.
可得sinC = 1
2 cos B =
❑√15
8
，cosC =cos(π-2B)=-cos2B =-(1-2sin
2B)=-(1-2× 1
16)=- 7
8.
又△ABC的面积为
❑√15
4
，则1
2 absinC =
❑√15
4
，即1
2 b
2×
❑√15
8
=
❑√15
4
，解得b=2，即AC =2，故C 正确；
由余弦定理，c
2=a
2+b
2-2abcosC = 4 + 4 -2×2×2×(- 7
8)=15，所以AB =c = ❑√15，故D 正确.
故选：BCD
【多选题】（2025·河南许昌·三模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD =π
2 ，
小试牛刀2
小试牛刀3
∠ADC =π
4 ，AC = ❑√5，CD = ❑√2.则下列结果正确的是（ ）
A．AD =3
B．sin ∠CAD = 2❑√5
5
C．sin ∠BAC = 2❑√5
5
D．若AB =2，则△ABC中BC边上高的长度为4 ❑√5
5
【答案】ACD
【分析】先由余弦定理求出AD =3判断A，再由正弦定理求出sin ∠CAD =
❑√5
5 判断B，由诱导公式及同角
三角函数基本关系式求出sin ∠BAC后判断C，最后由等积法求出BC边上的高判断D.
【详解】在△ACD中，由余弦定理得A C
2= A D
2+ DC
2-2 AD⋅DC cos∠ADC，
即(❑√5)
2= A D
2+(❑√2)
2-2 AD×❑√2×cos π
4 ，即A D
2-2 AD -3=0，
∴AD =3或AD =-1（舍去），∴AD =3，故A 正确；
在△ADC中，由正弦定理得
AC
sin∠ADC =
CD
sin∠CAD ，
即
❑√5
sinπ
4
=
❑√2
sin ∠CAD ，解得sin ∠CAD =
❑√5
5 ，故B 不正确；
∵CD< AC，∴∠CAD为锐角，∴cos∠CAD = 2❑√5
5
，
又∵∠BAD =π
2 ，∴sin ∠BAC =sin(
π
2 -∠CAD)=cos∠CAD = 2❑√5
5
.故C 正确；
由cos∠BAC =cos(
π
2 -∠CAD)=sin ∠CAD =
❑√5
5 ，
在△ABC中，由余弦定理得：
BC
2= A B
2+ A C
2-2 AB⋅AC ⋅cos∠BAC =2
2+(❑√5)
2-2×2×❑√5×
❑√5
5 =5，
解得BC = ❑√5，
又∵△ABC的面积为S△ABC = 1
2 ⋅AB⋅AC ⋅sin ∠BAC = 1
2 ×2×❑√5× 2❑√5
5
=2，
设△ABC中BC边上高的长度为h，可得1
2 BC ⋅h=2，可得h= 4
BC = 4 ❑√5
5
，
∴△ABC的边BC上高的大小为4 ❑√5
5
.故D 正确.
故选：ACD.
【热点题型三：解三角形综合应用（最值、范围问题）】
【核心归纳】
1.核心考查方向：边长最值/范围、角的最值/范围、面积最值/范围、与恒等变换/基本不等式融合的综合
最值.
2.解题核心思路:
3.边角转化：通过正、余弦定理将所求量转化为单一变量（角的三角函数或边的代数式）;
4.确定变量范围：结合内角和、两边之和大于第三边、三角函数值域（如
）约束变量;
5.求最值：利用三角函数单调性、二次函数最值或基本不等式求解.
6.常见转化模型:
7.边化角：由正弦定理将边转化为角的三角函数（如
），利用三角函数值域求最值;
8.角化边：由余弦定理将角转化为边的代数式，利用基本不等式求最值（如
，结
合
定值求
最小值）;
9.面积最值：将
转化为单一变量函数，结合正弦定理或基本不等式求解.
【易错提示】
变量转化不彻底：未转化为单一变量，无法确定最值;
变量范围偏差：未准确利用三角形约束条件（如两边之和大于第三边）缩小范围;
基本不等式应用缺失条件：未验证“一正、二定、三相等”，导致最值无法取到;
三角函数值域忽略角的范围：将角的范围误记为全体实数，导致值域错误.
【多选题】（2025·四川资阳·一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c.若sin A +sinC =2sin B，b=2，则（ ）
A．△ABC的周长为6
B．a，b，c成等差数列
C．角B的最大值为π
2
D．△ABC面积的最大值为❑√3
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理结合等差数列的性质判断B，结合题意判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断
C，利用三角形面积公式判断D 即可.
【详解】对于B，因为sin A +sinC =2sin B，所以a+c =2b，
则a，b，c成等差数列，故B 正确，
对于A，因为b=2，所以a+c = 4，可得△ABC的周长为6，故A 正确，
对于C，由余弦定理得cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
= (a+c)
2-2ac - 4
2ac
= 16-2ac - 4
2ac
= 6
ac -1，
经典例题
由基本不等式得ac≤(a+c)
2
4
= 16
4 = 4，当且仅当a=c =2时取等，
可得cos B = 6
ac -1≥6
4 -1= 1
2，由余弦函数性质得y =cos x在(0,π)上单调递减，
而B∈(0,π)，得到B∈(0,π
3 ]，即角B的最大值为π
3 ，故C 错误，
对于D，由三角形面积公式得S△ABC = 1
2 ac sin B≤1
2 ×4×
❑√3
2 = ❑√3，
可得△ABC面积的最大值为❑√3，故D 正确.
故选：ABD
【规律方法总结】
最值求解三步法：转化变量→确定变量范围→利用函数/不等式求最值;
转化原则：①求角的最值/范围→优先边化角，转化为三角函数值域问题;②求边的最值/范围→优先角化
边，转化为基本不等式问题;
基本不等式应用技巧：遇到
、
相关最值，可通过“和定积最大、积定和最小”求解，注意验证等
号成立条件（如
是否符合三角形条件）;
三角函数最值技巧：将表达式化为
或
形式，结合角的范围求
值域.
【多选题】（25-26 高二上·吉林通化·开学考试）在△ABC中，角A , B , C所对
的边分别为a, b, c，且acosC + ❑√3asinC =b+2c，a
2sin BsinC =3，AD为角A的平分线交BC于D，
则（ ）
A．A = 2π
3
B．△ABC的面积为2❑√3
C．AD≤1
D．a≥2❑√3
【答案】ACD
【分析】结合正弦定理，利用三角恒等变换可求角A判断A；利用正弦定理化简a
2sin BsinC =3，可得
bc = 4，再求三角形面积判断B；由三角形面积求出AD表达式，利用基本不等式可求其最大值判断C；利
用余弦定理和重要不等式即可求a的范围判断D.
【详解】对于A，结合正弦定理，由acosC + ❑√3asinC =b+2c，
得sin A cosC + ❑√3sin A sinC =sin B+2sinC
因sin B =sin( A +C )=sin A cosC +cos A sinC,
代入得sin A cosC + ❑√3sin A sinC =sin A cosC +cos A sinC +2sinC
即❑√3sin A sinC =(cos A +2)sinC
因为C ∈(0,π)，所以sinC ≠0，则❑√3sin A -cos A =2，得sin(A -π
6 )=1，
又A -π
6 ∈(-π
6 ,5π
6 )，则有A -π
6 =π
2 ，A =2π
3 ，故A 正确；
小试牛刀1
对于B，由a
2sin BsinC =3和正弦定理，得(2 R sin A)
2⋅b
2 R ⋅c
2 R =3（R是△ABC外接圆的半径），
化简得
bc =
3
(
❑√3
2 )
2 = 4
，故△ABC的面积为1
2 bc sin A = 1
2 ×4×
❑√3
2 = ❑√3，即B 错误；
对于C，因AD为角A的平分线，则S△ABC = 1
2
(b+c) AD⋅sinπ
3 = ❑√3，可得(b+c) AD = 4，
即AD =
4
b+c ≤
4
2❑√bc =1，当且仅当b=c =2时，等号成立，即AD≤1，故C 正确；
对于D，a
2=b
2+c
2-2bc cos A =b
2+c
2+ 4≥2bc+ 4 =12，
即a≥2❑√3，当且仅当b=c =2时，等号成立，故D 正确.
故选：ACD
（2025·海南海口·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．
AC 的中点为D，BD = ❑√3，若
❑√3
6 bsinC =c cos
2 A +C
2
，则（ ）
A．B =π
6 `
B．b 取值范围为[2,2❑√3)
C．△ABC面积的最大值为❑√3
D．△ABC周长的最大值为6
【答案】BC
【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B，
由⃗BD = 1
2 (⃗BA +⃗BC)结合A 选项分析可得ac≤4，然后由余弦定理可得b
2=12-2ac，据此可判断选项正
误；对于C，由B 选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令a+c =t，由B 选项分析可得
a+b+c =t +
❑√36-2t
2，然后用导数研究函数f (t )=t +
❑√36-2t
2，t ∈(2❑√3,4]的单调性，可得周长最大
值情况.
【详解】对于A，c cos
2 A +C
2
= 1
2 [1+cos( A +C)]= 1
2 c (1-cos B)=
❑√3
6 bsinC.
由正弦定理边角互化可得：
❑√3
3 sin BsinC =sinC (1-cos B)⇒1-cos B
sin B
=
2sin
2 B
2
2sin B
2 cos B
2
= tan B
2 =
❑√3
3 ，
则B
2 =π
6 ⇒B =π
3 ，故A 错误；
小试牛刀2
对于B，⃗BD = 1
2 (⃗BA +⃗BC)⇒4⃗BD
2=⃗BA
2+⃗BC
2+2|⃗BA||⃗BC|cos B，
则12=c
2+a
2+ac⇒c
2+a
2=12-ac≥2ac⇒ac≤4，当且仅当a=c取等号.
由余弦定理，b
2=a
2+c
2-2ac cosπ
3 ⇒b
2=a
2+c
2-ac，又c
2+a
2=12-ac，
则b
2=12-2ac，因0<ac≤4，则b
2=12-2ac∈[4,12)⇒b∈[2,2❑√3)，故B 正确；
对于C，由B 分析可知，ac≤4，则S△ABC = 1
2 ac sin B≤1
2 ×4×
❑√3
2 = ❑√3，故C 正确；
对于D，由B 分析，12=c
2+a
2+ac =(a+c)
2-ac⇒ac =(a+c)
2-12≤4，
得a+c≤4.b
2=a
2+c
2-ac =(a+c)
2-3ac =(a+c)
2-3(a+c)
2+36=36-2(a+c)
2.
令a+c =t，则t ≤4，b=
❑√36-2t
2，由三角形三边关系可得a+c>b，
则t >
❑√36-2t
2⇒t
2>36-2t
2⇒t >2❑√3，则2❑√3<t ≤4.
则a+b+c =t +
❑√36-2t
2，令f (t )=t +
❑√36-2t
2，t ∈(2❑√3,4].
则f
' (t )=1-
2t
❑√36-2t
2 =
❑√36-2t
2-2t
❑√36-2t
2
，令❑√36-2t
2>2t ⇒- ❑√6<t <❑√6，
因t ∈(2❑√3,4]，则❑√36-2t
2<2t ⇒f
' (t )<0⇒f (t )在(2❑√3,4]上单调递减，
则f (t )=t +
❑√36-2t
2<f (2❑√3)= 4 ❑√3，即△ABC周长无最大值，恒小于4 ❑√3，
故D 错误.
故选：BC
【多选题】（2025·安徽·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，A =60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD =2，则下列说法正确的是（ ）
A．4 b+c的最小值为6 ❑√3
B．BD
CD =sin B
sinC
C．1
BD + 1
CD 的最大值是❑√3
D．△ABC的周长的取值范围是[4 ❑√3,+∞)
【答案】ACD
【分析】A 应用等面积法及三角形面积公式可得1
b + 1
c =
❑√3
2 ，再应用基本不等式“1”的代换求最值；B 应
用正弦定理及∠BAD =∠CAD即可判断；C 由正弦定理及已知得
1
BD + 1
CD =sin B+sinC = ❑√3sin (B+30°)，即可求最值；D 应用余弦定理及基本不等式得b+c≥8
❑√3、
a=
❑√(b+c)
2-2❑√3(b+c)，即可求周长范围.
小试牛刀3
【详解】A：由等面积法有S△ABC = S△ABD+ S△ACD，即
1
2 bc sin∠BAC = 1
2 AD⋅c sin∠BAD+ 1
2 AD⋅bsin∠CAD，
由AD =2，A =∠BAC =60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，
所以
❑√3
2 bc =b+c，即1
b + 1
c =
❑√3
2 ，
所以4 b+c = 2
❑√3 ⋅(4 b+c)( 1
b + 1
c )= 2
❑√3 ⋅(5+ 4 b
c + c
b )≥2
❑√3 ⋅(5+2❑√
4 b
c ⋅c
b )=6 ❑√3，
当且仅当b= ❑√3,c =2❑√3时取等号，故4 b+c的最小值为6 ❑√3，故A 对；
B：在△ABD中
BD
sin ∠BAD = AD
sin B ，在△ACD中
CD
sin ∠CAD = AD
sinC ，
由∠BAC的平分线AD交BC于D，即∠BAD =∠CAD，故BD
CD = sinC
sin B ，故B 错；
C：由A =∠BAC =60°，则BD = AD sin ∠BAD
sin B
=
1
sin B ，CD = AD sin ∠CAD
sinC
=
1
sinC ，
所以1
BD + 1
CD =sin B+sinC =sin B+sin(120° - B)= 3
2 sin B+
❑√3
2 cos B = ❑√3sin(B+30°)，
又0°<B<120°，即B =60°时，1
BD + 1
CD 的最大值是❑√3，故C 对；
D：由A 分析有
❑√3
2 bc =b+c≥2❑√bc，则bc≤(b+c)
2
4
，故b+c≤
❑√3(b+c)
2
8
，
所以b+c≥8
❑√3，当且仅当b=c = 4
❑√3时取等号，
由a
2=b
2+c
2-2bc cos∠BAC =(b+c)
2-3bc =(b+c)
2-2❑√3(b+c)，
所以a=
❑√(b+c)
2-2❑√3(b+c)，故三角形周长为b+c +
❑√(b+c)
2-2❑√3(b+c)，
令t =b+c≥8
❑√3，则周长L=t +
❑√t
2-2❑√3t =t +
❑√(t - ❑√3)
2-3在[ 8
❑√3 ,+∞)上单调递增，
所以L≥8
❑√3 + ❑√
( 8
❑√3 )
2
-2❑√3× 8
❑√3 = 8
❑√3 + 4
❑√3 = 4 ❑√3，即周长范围是[4 ❑√3,+∞)，故D 对.
故选：ACD
【热点题型四：三角恒等变换与解三角形的实际应用】
【核心归纳】
1.常见实际场景：测量距离（如两点间不可达距离）、测量高度（如山顶、建筑物高度）、航海问题（航
向、距离）、坡度问题.
2.解题核心步骤（数学建模流程）:
3.审题建模：梳理实际问题中的几何关系，画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题;
4.提取已知量：确定三角形中的已知边、角（注意方位角、仰角、俯角、坡度的定义）;
5.选择定理求解：根据已知条件选择正弦定理或余弦定理，结合恒等变换计算未知量;
6.还原实际意义：将计算结果转化为实际问题的答案，补充单位，必要时取近似值.
7.关键概念辨析:
8.方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的角度（
）;
9.仰角/俯角：从水平线向上/向下转到目标方向的角度（
）;
10.坡度：坡面与水平面的夹角
，坡度
.
【易错提示】
概念理解错误：混淆方位角、仰角、俯角的定义，导致已知角提取错误;
建模失误：未能准确将实际问题转化为解三角形问题，遗漏关键三角形或已知条件;
忽略实际约束：计算结果未结合实际场景验证合理性（如距离为负、角度超范围）;
单位不统一：未将角度单位（度、弧度）或长度单位统一，导致计算错误.
（2025·广东深圳·模拟预测）某登山队在山脚营地A 处，测得山顶Q 位于其正东方向，
且仰角为60
°，该队继续沿南偏西30
°的方向行进400 米至营地B 处，测得山顶Q 的仰角为45
°，则该山顶
高于山脚的高度为 米．（结果保留整数，参考数据❑√2≈1.414 ,❑√3≈1.732）
【答案】693
【分析】画出图形，作出辅助线，设QD = x米，表达出各边长，由余弦定理得到方程，求出
x = 400 ❑√3≈693，得到答案.
【详解】如图，过点Q作QD⊥平面ABC于点D，则QD即为山顶高于山脚的高度，
由题意得∠QAD =60° ,∠BAC =30° , AB = 400米，∠QBD = 45°，
设QD = x米，则AD =
QD
tan 60° =
❑√3
3 x，BD =
QD
tan 45° = x，
其中∠BAD =30°+90° =120°，
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD = A B
2+ A D
2- B D
2
2 AB⋅AD
，
即cos120° =
400
2+ x
3
2
- x
2
2×400⋅
❑√3
3 x
，即x
2-200 ❑√3 x -240000=0，
解得x = 400 ❑√3≈400×1.732≈693，
则该山顶高于山脚的高度为693 米.
经典例题
故答案为：693
【规律方法总结】
建模技巧：画图时明确“已知什么、求什么”，标注关键角和边，复杂问题可拆分多个三角形求解;
已知角提取技巧：方位角转化为三角形内角时，利用“正北/正南平行”性质求内错角、同旁内角;仰
角/俯角对应直角三角形中的锐角;
多三角形问题求解：先解已知条件充足的三角形，将求得的边/角作为另一三角形的已知条件，逐步推进;
近似值处理：根据题目要求保留小数位数，实际问题中通常保留1-2 位小数或整数.
（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔P的正西方向且相距50 海里的M处有一艘甲
船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上，则乙船前往支
援M处的甲船需要航行的最短距离是 海里.
【答案】50 ❑√2
【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得MC.
【详解】依题意，画出示意图如下，PM =50，∠MPC =135
∘,∠CMP =90
∘-75
∘=15
∘，
在△PMC中，∠PCM =30
∘，由正弦定理得
MC
sin∠MPC =
PM
sin∠PCM ，
因此MC = 50sin135
∘
sin30
∘
=50 ❑√2（海里），
故答案为：50 ❑√2.
（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高
程测量法的一个示意图，现有A、B、C 三点，且A、B、C 在同一水平面上的投影A
'、B
'、C
'满足
小试牛刀1
小试牛刀2
∠A
'C
' B
' = 45°，∠A
' B
'C
' =60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，B B
'与C C
'的差为100；由B 点测得A
点的仰角为45°，则A、C 两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1）
【答案】373
【分析】过C 作CH ⊥B B
'，过B 作BD⊥A A
'，进而A A
' -C C
' = AD+100，易知AD = DB= A
' B
'，在
△BCH中，求得CH =
100
tan15
° ，进而C
' B
' =
100
tan15
° ，在△A
'C
' B
'中，用正弦定理即可求得A
' B
'的长，进
而可知A A
' -C C
'的长.
【详解】如图，过C 作CH ⊥B B
'，过B 作BD⊥A A
'，
故A A
' -C C
' = A A
' -(B B
' - BH )= A A
' - B B
' +100= AD +100，
由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD = DB．
所以A A
' -C C
' = AD +100= DB+100= A
' B
' +100.
因为∠BCH =15
°，所以CH =C
' B
' =
100
tan15
° .
在△A
'C
' B
'中，由正弦定理得，
A
' B
'
sin 45
° = C
' B
'
sin75
° =
100
tan15
°cos15
° = 100
sin15
° ，
而sin15
°=sin(45
°-30
°)=
❑√2
2 ×
❑√3
2 -
❑√2
2 × 1
2 =
❑√6- ❑√2
4
，
所以A
' B
' =
100×4×
❑√2
2
❑√6- ❑√2
=100(❑√3+1)≈273，
所以A A
' -C C
' = A
' B
' +100≈373.
故答案为：373.
（24-25 高一下·辽宁·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的
《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，
故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某
位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30
∘，沿直线前进80 米到达E点，此时看点C的
仰角为45°，若BC =3 AC，则楼高AB约为（ ）（❑√3≈1.732，结果保留2 位小数）
A．80.56 米
B．81.46 米
C．84.32 米
D．86.56 米
【答案】B
【分析】设AC = x，分别在△ABD与△CBE中利用正弦定理，列方程，解方程即可.
【详解】由已知设AC = x，则BC =3 x，AB = 4 x，
在△ABD中，由正弦定理得
AB
sin∠ADB =
BD
sin∠BAD ，
即BD = sin 60
∘
sin30
∘AB = 4 ❑√3 x，
又在△CBE中，由正弦定理得
BC
sin∠BEC =
BE
sin∠BCE ，
即BE = sin 45
∘
sin 45
∘BC =3 x，
则DE = BD - BE = 4 ❑√3 x -3 x =(4 ❑√3-3)x =80，
则4 x = 4×
80
4 ❑√3-3 ≈81.46，
故选：B.
1．（2025·四川成都·模拟预测）已知sin(α +2 β)=tan(α + β)
tan β
= 1
4 ，则sinα =（ ）
A．1
20
B．- 1
20
C．3
20
D．- 3
20
小试牛刀3
课后针对训练
【答案】D
【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以
便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式
建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果.
【详解】设 x =α + β，y = β，则α +2 β = x + y ,α = x - y，
已知sin(α +2 β)= 1
4 ，即sin(x + y)= 1
4 ；
已知tan(α + β)
tan β
= 1
4 ，即tan x
tan y = 1
4 ，
由tan x
tan y = 1
4 得：sin xcos y
cos xsin y = 1
4 ，即4sin xcos y =cos xsin y ，
设sin xcos y =a，则cos xsin y = 4 a，
又sin(x + y)=sin xcos y +cos xsin y =a+ 4 a=5a= 1
4 ，解得a= 1
20，
因此sin xcos y = 1
20 ,cos xsin y = 4× 1
20 = 1
5，
所求sinα =sin(x - y)=sin xcos y -cos xsin y = 1
20 - 1
5 =- 3
20，
综上，sinα =- 3
20.
故选：D
2．（2025·重庆·模拟预测）若 sin (α + β)= 4
5 ,cos(α - β)= 1
5，则tan α + tan β - 4 tan α tan β =（ ）
A．4
25
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【分析】将条件式分别利用和差角公式展开，两式相比弦化切得解.
【详解】由¿，得¿，
∴sin α cos β +cosα sin β
cosα cos β +sin α sin β = 4，即tan α + tan β
1+ tan α tan β = 4，
即得tan α + tan β = 4 + 4 tan α tan β，即tan α + tan β - 4 tan α tan β = 4.
故选：D.
3．（2025·广东佛山·一模）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则tan(α - π
4)=（ ）
A．7
2
B．2
7
C．1
7
D．7
【答案】D
【分析】结合角α的范围，根据二倍角公式计算出角α的正、余弦值及正切值，再利用正切的差角公式计算.
【详解】∵α ∈(0,π)，∴α
2 ∈(0,π
2 ).
又∵cos α
2 =
❑√5
5 ，sin
2 α
2 +cos
2 α
2 =1，
∴sin α
2 = 2❑√5
5
.
∴sin α =2sin α
2 cos α
2 = 4
5 ，cosα =2cos
2 α
2 -1=- 3
5，tan α = sin α
cosα =- 4
3 .
∴tan(α - π
4 )= tan α -1
1+ tan α =
- 7
3
- 1
3
=7.
故选：D.
4．（2025·云南·一模）在△ABC中，若sin A +sin B = 5
4 ,cos A +cos B = 1
4 ，则sinC =（ ）
A．5
13
B．12
13
C．3
5
D．4
5
【答案】A
【分析】设α = A + B
2
, β = A - B
2
，应用和差化积及已知可得sin α
cosα =5，再由三角形内角和性质、诱导公式
化简得tan C
2 = 1
5，利用二倍角正切公式、平方关系求sinC.
【详解】设α = A + B
2
, β = A - B
2
，则sin A +sin B =sin(α + β)+sin(α - β)=2sin α cos β = 5
4 ①，
cos A +cos B =cos(α + β)+cos(α - β)=2cosα cos β = 1
4 ②，
①÷②得sin α
cosα =5，在△ABC中A + B+C =π，
所以sin α
cosα =
sin A + B
2
cos A + B
2
=
sinπ-C
2
cosπ-C
2
=
cos C
2
sin C
2
=5，即tan C
2 = 1
5，
又因为tanC =
2tan C
2
1- tan
2 C
2
= 5
12，即sinC
cosC = 5
12 ,cosC = 12
5 sinC，
因为sin
2C +cos
2C =1，代入得sin
2C +(
12
5 sinC)
2
=1，
因为C ∈(0,π),sinC >0，所以sinC = 5
13．
故选：A
5．（2025·陕西西安·模拟预测）函数f ( x)=cos3 x -cos2 x，x∈(0,π)，若f ( x)有两个零点
x1, x2( x1< x2)，则（ ）
A．x1+ x2=π
B．2 x2=3 x1
C．cos x1+cos x2= 1
2
D．cos x1cos x2=- 1
4
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出x1, x2，再逐项计算判断即得.
【详解】由f ( x)=0，得cos3 x =cos2 x，而x∈(0,π)，则2 x∈(0,2π)，3 x∈(0,3π)，
3 x -2 x = x∈(0,π)，因此3 x +2 x =2k π,k ∈N，解得x = 2k π
5
,k ∈N，
由x∈(0,π)，得k =1或k =2，于是x1= 2π
5 , x2= 4π
5
，
对于A，x1+ x2=6π
5 ，A 错误；
对于B，2 x2>3 x1，B 错误；
对于C，cos 2π
5 +cos 4π
5
=cos 2π
5 -cosπ
5 <0，C 错误；
对于D，cos x1cos x2=cos 2π
5 cos 4π
5
=-cosπ
5 cos 2π
5 =-
sin 2π
5
2sinπ
5
⋅
sin 4π
5
2sin2π
5
=- 1
4 ，D 正确.
故选：D
6．（2025·云南昭通·模拟预测）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c ,a=3,b=2❑√6,B =2 A，则
S△ABC =（ ）
A．3 ❑√2
B．5 ❑√2
C．3 ❑√2或5 ❑√2
D．6 ❑√6
【答案】B
【分析】由正弦定理得
3
sin A =
2❑√6
sin2 A ，进而求得A ,B的正余弦值，再根据sinC =sin( A + B)，
S△ABC = 1
2 absinC即可求解．
【详解】在△ABC中，由正弦定理得
3
sin A =
2❑√6
sin2 A ，即
3
sin A =
❑√6
sin A cos A ，
解得cos A =
❑√6
3 ,sin A =
❑√3
3 ,sin B =sin2 A =2sin A cos A = 2❑√2
3
，
cosB =cos2 A =2cos
2 A -1= 1
3，
sinC =sin( A + B)=sin A cos B+cos A sin B =
❑√3
3 × 1
3 +
❑√6
3 × 2❑√2
3
= 5 ❑√3
9
则S△ABC = 1
2 absinC =5 ❑√2．
故选：B．
7．（2025·安徽·模拟预测）已知角α满足
1-sin2α
sin2α +cos2α -1 = 1
2，则
tan 2α
tan(α +π
4 )
的值等于（ ）
A．9
4
B．4
9
C．4
3
D．3
4
【答案】B
【分析】应用二倍角公式化简条件得到tan α = 1
2，再对目标式进行化简并代入求解即可.
【详解】由题意得cosα ≠sinα，则
1-sin2α
sin2α +cos2α -1 =sin
2α +cos
2α -2sinα cosα
2sinα cosα -2sin
2α
=
(cosα -sinα )
2
2sinα (cosα -sinα ) =cosα -sinα
2sinα
= 1
2，
解得tan α = 1
2，所以tan2α = 2tanα
1-tan
2α
=
2× 1
2
1- 1
4
= 4
3 ，tan(α +π
4 )=
tanα +tanπ
4
1-tanα tanπ
4
=
1
2 +1
1- 1
2
=3，
所以tan2α
tan(α +π
4 )
=
4
3
3 = 4
9 ，
故选：B.
8．（2025·湖北黄冈·一模）若-π
2 <α - β <π
2 ,cosα -2sin β =1,sinα +2cos β =- ❑√2，则
cos(β +π
3 )=（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√6
3
C．
❑√3
6
D．
❑√6
6
【答案】A
【分析】根据条件，利用平方关系得到sin(α - β)=- 1
2，进而得α = β -π
6 ，再代入cosα -2sin β =1，
利用和差角的余弦公式，计算即得.
【详解】由cosα -2sin β =1两边取平方，可得cos
2α - 4cosα sin β + 4sin
2 β =1①，
由sinα +2cos β =- ❑√2，两边取平方，可得sin
2α + 4sinα cos β + 4cos
2 β =2②，
由①+②得到1+ 4 (sinα cos β -cosα sin β)+ 4 =3，整理得到sin(α - β)=- 1
2，
又-π
2 <α - β <π
2 ，解得α - β =-π
6 ，即α = β -π
6 ，
将其代入cosα -2sin β =1，可得cos(β -π
6 )-2sin β =1，即
❑√3
2 cos β + 1
2 sin β -2sin β =1，
即
❑√3
2 cos β - 3
2 sin β =1，所以
❑√3(
1
2 cos β -
❑√3
2 sin β)= ❑√3cos(β +π
3 )=1，
故得cos(β +π
3 )=
❑√3
3 .
故选：A.
9．（2025·广东珠海·模拟预测）设α ∈(0,π
2 )，β ∈(0,π
2 )，且tan α + tan β =
1
cos β ，则（ ）
A．3α - β =π
2
B．2α - β =π
2
C．3α + β =π
2
D．2α + β =π
2
【答案】D
【分析】根据已知得sin(α + β)=cosα，结合角的范围及诱导公式得到α + β =π
2 ±α或α + β +π
2 ±α =π，
即可得.
【详解】由题设sin α
cosα + sin β
cos β = sin α cos β +cosα sin β
cosα cos β
= sin (α + β)
cosα cos β =
1
cos β ，
所以sin(α + β)=cosα，
因为α ∈(0,π
2 )，β ∈(0,π
2 )，则α + β ∈(0,π)，又sin(α + β)=cosα =sin(
π
2 ±α)，
所以α + β =π
2 ±α或α + β +π
2 ±α =π，即2α + β =π
2 或β =π
2 （舍），
故2α + β =π
2 ．
故选：D
10．（2025·甘肃嘉峪关·三模）【多选题】在锐角△ABC 中，设a=6,c =5，sin B =
❑√7
4 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．b= 4
B．AC边上的高是15 ❑√7
8
C．△ABC 面积是15 ❑√7
4
D．△ABC 内切圆的面积是5
2 π
【答案】ABC
【分析】利用正弦定理，余弦定理及面积公式可求答案．
【详解】在锐角△ABC中，sin B =
❑√7
4 ，所以cos B = 3
4 ，
由余弦定理可得b
2=a
2+c
2-2ac cos B =16，所以b= 4；
由a=6,c =5,sin B =
❑√7
4 ，可得S = 1
2 ac sin B = 15 ❑√7
4
；
设AC边上的高为h，由S = 1
2 bh= 15 ❑√7
4
可得h= 15 ❑√7
8
；
设△ABC内切圆的半径为r，由S = 1
2 (a+b+c)r，可得r =
❑√7
2 ，
所以△ABC内切圆的面积为7
4 π，综上可知D 错误．
故选：ABC．
11．【多选题】（24-25 高三下·湖南长沙·月考）在锐角△ABC中，tan B =3 tanC，角A , B , C的对边分
别为a, b, c，则下列式子正确的是（ ）
A．a= 4 c cos B
B．❑√2ac≤b
2
C．B<π
3
D．tan A ⋅tan
2C ≥2
【答案】ABD
【分析】由tan B =3 tanC，化简得到sin A = 4 cos BsinC，结合正弦定理，可判定A 正确；由
a= 4 c cos B，利用余弦定理化简得2b
2=a
2+2c
2，结合基本不等式，可判定B 正确；
由△ABC为锐角三角形，得到C >π
2 - B，求得tanC >
1
tan B ，再由tan B =3 tanC，求得tan B>❑√3，可
判定C 错误；利用导数可判断结合三角变换公式D 正确.
【详解】对于A 中，由tan B =3 tanC，可得sin B
cos B =3× sinC
cosC ，
即sin BcosC =3cos BsinC，即sin(B+C )=sin A = 4 cos BsinC，
由正弦定理，可得a= 4 c cos B，所以A 正确；
对于B 中，因为a= 4 c cos B，由余弦定理可得a= 4 c× a
2+c
2-b
2
2ac
，
化简得2b
2=a
2+2c
2，
又由基本不等式得2b
2=a
2+2c
2≥2
❑√a
2×2c
2=2❑√2ac，
当且仅当a
2=2c
2时，即a= ❑√2c时，等号成立，所以b
2≥❑√2ac，所以B 正确；
对于C 中，因为△ABC为锐角三角形，可得B+C >π
2 ，则C >π
2 - B，
因为0<B<π
2 ,0<C <π
2 ，所以0<π
2 - B<π
2 ，可得tanC >tan(π
2 - B)=
1
tan B ，
又因为tan B =3 tanC，所以tan B =3 tanC >
3
tan B ，即tan
2B>3，
所以tan B>❑√3，所以π
3 <B<π
2 ，所以C 错误；
对于D 中，在锐角△ABC，由tan( A + B)= tan A + tan B
1- tan A tan B ，且tan( A + B)=- tanC，
整理得tan A ⋅tan B⋅tanC = tan A + tan B+ tanC，
所以3 tan A tan
2C = tan A + 4 tanC，所以tan A =
4 tanC
3 tan
2C -1，
故tan A tan
2C =
4 tan
3C
3 tan
2C -1
，设s(x)=
4 x
3
3 x
2-1
, x>
❑√3
3 ，
则s
' (x)= 12 x
2(3 x
2-1)-24 x
4
(3 x
2-1)
2
= 12 x
4-12 x
2
(3 x
2-1)
2 ，
当
❑√3
3 < x<1时，s
' (x)<0；当x>1时，s
' (x)>0，
故s(x)在(
❑√3
3 ,1)上为减函数，在(1,+∞)为增函数，故s(x)min= s(1)=2，
此时tanC =1,tan B =3,tan A =2，三角形为锐角三角形，故D 正确.
故选：ABD
12．【多选题】（2025·甘肃·模拟预测）在锐角△ABC中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且
sin2 A +sin2B+sin2C = 1
3，△ABC的周长为12，面积为6，则（ ）
A．△ABC内切圆的半径为1
B．△ABC外接圆的半径为6
C．sin A +sin B+sinC = 1
4
D．acos A +bcosB+ccosC =2
【答案】ABD
【分析】借助S = 1
2
(a+b+c)r即可判断A；由三角恒等变换得
sin2 A +sin2B+sin2C = 4 sin A sin BsinC,再结合面积公式和正弦定理即可判断B；借助周长公式和
正弦定理即可判断C；借助正弦倍角公式和正弦定理即可判断D.
【详解】令△ABC的内切圆半径为r，面积为S，所以S =6,a+b+c =12，
所以S = 1
2
(a+b+c)r = 1
2 ×12×r =6，即r =1，故A 正确；
因为A + B+C =π，所以sinC =sin[π-( A + B)]=sin ( A + B)，cosC =cos[π-( A + B)]=-cos( A + B)，
所以sin2 A +sin2B =sin[( A + B)+( A - B)]+sin[( A + B)-( A - B)]
=2sin( A + B)cos( A - B)=2sinC cos( A - B)，
又sin2C =2sinC cosC =-2sinC cos( A + B)
所以sin2 A +sin2B+sin2C =2sinC cos( A - B)-2sinC cos( A + B)
2sinC [cos( A - B)-cos( A + B)]=2sinC ×2sin A sin B = 4 sin A sin BsinC
又sin2 A +sin2B+sin2C = 1
3，所以sin A sin BsinC = 1
12
令△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可知，a=2 R sin A ,b=2 R sin B ,c =2 R sinC,
所以S = 1
2 absinC = 1
2 ×2 R sin A ×2 R sin B×sinC =6，所以R =6，故B 正确；
因为由选项B 知，a+b+c =2 R (sin A +sin B+sinC)=12(sin A +sin B+sinC)=12，
所以sin A +sin B+sinC =1，故C 错误；
由正弦定理和正弦倍角公式得：
sin2 A +sin2B+sin2C =2sin A cos A +2sin Bcos B+2sinC cosC
=2× a
2 R cos A +2× b
2 R cos B+2× c
2 R cosC = acos A +bcosB+ccosC
R
= 1
3,
又由选项B 知R =6，所以acos A +bcosB+ccosC =2，故D 正确；
故选：ABD
13．【多选题】（2025·河南·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
2(a-bcosC)=c sin B，b=2c，BC边上的高为2，则（ ）
A．tan B =2
B．b=2❑√5
C．△ABC的周长为3+3 ❑√5
D．△ABC的面积为3
【答案】AB
【分析】对A 根据正弦定理进行边换角，再利用三角恒变换即可判断；对B，根据同角三角函数关系结合
A 选项即可求出sin B = 2❑√5
5
，再利用正弦定理和两角和的正弦公式求得sin A =1，最后即可求出b，对
CD 利用勾股定理和面积公式即可判断.
【详解】对A，已知2(a-bcosC)=csin B，由正弦定理得到2(sin A -sin BcosC)=sinC sin B，
因为sin A =sin(π -(B+C))=sin(B+C)=sin BcosC +cosBsinC，
代入上式可得：2(sin BcosC +cosBsinC -sin BcosC)=sinC sin B，
2cosBsinC =sinC sin B，因为C ∈(0,π )，所以sinC ≠0，得到2cosB =sin B，则tan B =2，故选
项 A 正确.
对B，由tan B =2=sin B
cosB ，且sin
2B+cos
2B =1，因为B∈(0,π )，tan B>0，所以B∈(0，π
2)，
可得cosB =
❑√5
5 ，sin B = 2❑√5
5
.
已知b=2c，由正弦定理得sin B =2sinC，则sinC =
❑√5
5 ，cosC =
❑√
1-(
❑√5
5 )
2
= 2❑√5
5
.
sin A =sin(B+C)=sin BcosC +cosBsinC = 2❑√5
5
× 2❑√5
5
+
❑√5
5 ×
❑√5
5 =1，
因为A ∈(0,π )，所以A = π
2 .
设BC 边上的高为h=2，因为A = π
2 ，h=csin B，已知h=2，sin B = 2❑√5
5
，则c = ❑√5，b=2c =2❑√5，
选项B 正确.
对C，因为A = π
2 ，b=2❑√5，c = ❑√5，根据勾股定理a=
❑√b
2+c
2=
❑√(2❑√5)
2+(❑√5)
2=5，
△ABC的周长为a+b+c =5+2❑√5+ ❑√5=5+3 ❑√5，故选项C 错误.
对D，△ABC的面积S = 1
2 ah= 1
2 ×5×2=5，故选项D 错误.
故选：AB.
14．（2025·安徽·二模）已知函数f (x)=2sin xcos x +2❑√3cos
2 x - ❑√3.
(1)求函数f (x)的对称轴方程；
(2)若f(
x0
2 )= 6
5 ，x0∈(-π,0)，求f(x0+π
6 )的值．
【答案】(1)x =π
12 + k π
2 ,k ∈Z
(2)48
25
【分析】（1）根据降幂公式及辅助角公式化简，再整体代入法求对称轴方程即可；
（2）由f(
x0
2 )= 6
5，得到sin(x0+π
3 )= 3
5，结合角的范围求得cos(x0+π
3 )= 4
5 ，再利用正弦倍角公式
求解即可．
【详解】（1）f (x)=sin2 x +2❑√3× 1+cos2 x
2
- ❑√3=sin2 x + ❑√3cos2 x =2sin(2 x +π
3 )，
令2 x +π
3 =π
2 + k π,k ∈Z，
解得x =π
12 + k π
2 ,k ∈Z，
故函数f (x)的对称轴为直线x =π
12 + k π
2 ,k ∈Z.
（2）因为f(
x0
2 )=2sin(x0+π
3 )= 6
5，即sin(x0+π
3 )= 3
5，
且x0∈(-π,0)，则x0+π
3 ∈(- 2π
3 ,π
3 )，
可得x0+π
3 ∈(0,π
3 )，则cos(x0+π
3 )= ❑√
1-sin
2(x0+π
3 )= 4
5 ，
则f(x0+π
6 )=2sin[2(x0+π
6 )+π
3 ]=2sin[2(x0+π
3 )]
= 4sin(x0+π
3 )cos(x0+π
3 )= 4× 3
5 × 4
5 = 48
25 ，
所以f(x0+π
6 )= 48
25 ．
15．（2025·江苏南通·模拟预测）△ABC中，sin( A -C )
sinC
+2cos A = ❑√2sin B．
(1)求角C；
(2)若角C 为锐角，M 是BC 边上的一点，CM =2 MB =2，AM =2❑√2，求△ABC的面积．
【答案】(1)C =π
4 或C =3π
4 ；
(2)3+3 ❑√3
2
.
【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简求解.
（2）由（1）的结论，利用正弦定理求出∠CAM，再利用和角的正弦及三角形面积公式求解.
【详解】（1）在△ABC中，sin( A -C )
sinC
+2cos A = ❑√2sin B，得
sin( A -C )+2cos A sinC = ❑√2sin BsinC，
整理得sin A cosC +cos A sinC = ❑√2sin BsinC，即❑√2sin BsinC =sin( A +C )=sin B，
而sin B>0，解得sinC =
❑√2
2 ，又0<C <π，所以C =π
4 或C =3π
4 .
（2）由（1）及角C 为锐角，得C =π
4 ，
在△ACM中，由正弦定理得sin ∠CAM = CM sinC
AM
=
2sinπ
4
2❑√2
= 1
2
，而∠CAM <C，
则∠CAM =π
6 ,∠AMC = 7π
12 ，sin ∠AMC =sin(π
4 +π
3 ) =
❑√2
2 ⋅1
2 +
❑√3
2 ⋅
❑√2
2 =
❑√2+ ❑√6
4
，
因此S△ABC = S△AMC + S△AMB= 1
2 ×2×2❑√2×
❑√2+ ❑√6
4
+ 1
2 ×1×2❑√2×
❑√2+ ❑√6
4
= 3+3 ❑√3
2
，
所以△ABC的面积为3+3 ❑√3
2
.
16．（2025·全国·模拟预测）已知P为△ABC内一点，PB = PC =1,∠APB ,∠BPC ,∠CPA成等差数列．
(1)若PA =1，求△ABC周长的最大值；
(2)若AP⊥BP ,tan ∠BAC =
❑√3
2 ，求PA．
【答案】(1)3 ❑√3
(2)PA = ❑√3
【分析】（1）根据等差中项可得∠BPC =120
∘，设∠APB=2α ,30
°<α ≤60
°，进而根据外接圆的性质、
三角恒等变换公式可得△ABC周长L= ❑√3+2❑√3cos(α -π
3 )，即可利用余弦函数的性质求解，
（2）设∠PAB =θ,∠PAC = β , PA = x，根据正弦定理及题设可得tanθ = 1
x ，tan β =
1
2 x + ❑√3，即可由正
切的和差角公式求解.
【详解】（1）由题意可知：∠APB+∠BPC +∠CPA =360
∘，
结合∠APB ,∠BPC ,∠CPA成等差数列，可得∠APB+∠CPA =2∠BPC，
所以∠BPC =120
∘，
不妨设∠APB最小，且∠APB=2α ,30
°<α ≤60
°，
由于PA = PB = PC =1，故P为△ABC的外接圆圆心，
则∠APC =240
∘-2α ,∠ABC =120
∘-α ,∠ACB =α ,∠BAC =60
∘，
故△ABC的周长L=2[sin α +sin 60
°+sin(120
°-α)]=2(sin α +
❑√3
2 +
❑√3
2 cosα + 1
2 sin α)
= ❑√3+2❑√3cos(α -π
3 )，
故当α =π
3 时，此时周长最大，且最大值为3 ❑√3，
（2）设∠PAB =θ,∠PAC = β , PA = x，由AP⊥BP，∠BPC =120
∘，
则∠APC =150
∘，∠ACP =30
∘- β，
在直角三角形PAB中，tanθ = 1
x ，
在△PAC中，由正弦定理可得
PC
sin β =
PA
sin(30
°- β)，
则
1
sin β =
x
1
2 cos β -
❑√3
2 sin β ，整理得tan β =
1
2 x + ❑√3，
所以tan ∠BAC = tan (θ+ β)= tanθ+ tan β
1- tanθ tan β =
1
x +
1
2 x + ❑√3
1- 1
x ⋅
1
2 x + ❑√3
=
3 x + ❑√3
2 x
2+ ❑√3 x -1
=
❑√3
2 ，
解得x = ❑√3，所以PA = ❑√3.
17．（24-25 高三上·湖南株洲·期末）如图，在等边三角形△ABC中，Q为边BC上一点，BQ =2CQ，点
M，N分别是边AB , AC上的动点（不包括端点），若∠MQN =120
∘，且设∠CNQ =θ.
(1)求证：不论θ为何值，QM
QN =2恒成立.
(2)当△BMQ和△CNQ的面积相等时，求tanθ的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5 ❑√3
3
【分析】（1）首先得到∠BMQ =π-θ，即sin ∠BMQ =sin ∠CNQ，再在△BMQ、△CQN分别利用正
弦定理即可证明；
（2）首先表示出S△BMQ、S△CNQ，结合（1）即可得到1
2 sin(
2π
3 -θ)=2sin(θ - π
3)，最后由两角差的正
弦公式化简计算可得.
【详解】（1）在△QCN中，∠NQC =π-π
3 -θ =2π
3 -θ，
又∠MQN = 2π
3 ，所以∠MQB =θ -π
3 ，
在△BMQ中∠BMQ =π-θ，所以sin∠BMQ =sin∠CNQ，
在△BMQ中，由正弦定理得MQ
sin B =
BQ
sin ∠BMQ ，即MQ = BQ sin B
sin ∠BMQ ，
在△CQN中，由正弦定理得NQ
sinC =
CQ
sin∠CNQ ，即NQ = CQsinC
sin∠CNQ ，
所以QM
QN = BQ
QC =2，即不论θ为何值，QM
QN =2恒成立；
（2）因为S△CNQ= 1
2 CQ⋅QN sin ∠CQN = 1
2 CQ⋅QN sin(
2π
3 -θ)，
S△BMQ= 1
2 BQ⋅QM sin ∠BQM = 1
2 BQ⋅QM sin(θ - π
3)，
又S△BMQ= S△CNQ，BQ =2CQ，由（1）可得QM =2QN，
所以1
2 sin(
2π
3 -θ)=2sin(θ - π
3)，
即1
2(sin2π
3 cosθ -cos2π
3 sinθ)=2(sinθcos π
3 -cosθsin π
3)，
整理得3sinθ =5 ❑√3cosθ，所以tanθ = 5 ❑√3
3
.
18．（2024·山东菏泽·二模）已知在△ABC中，⃗CA ⋅⃗CB =-2,△ABC的面积为❑√3．
(1)求角C的度数；
(2)若BC =2, D , E是AB上的动点，且∠DCE始终等于30°，记∠CED =α．当DE取到最小值时，求α的
值．
【答案】(1)∠C =120°；
(2)75°．
【分析】（1）设CA =b,CB =a，则abcosC =-2, 1
2 absinC = ❑√3求解即可；
（2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到DE =
1
sin(2α -60°)+
❑√3
2
，根据角的范围求解即可．
【详解】（1）设CA =b,CB =a，则abcosC =-2，又1
2 absinC = ❑√3，因此tanC =- ❑√3，
由C为△ABC的内角，所以∠C =120°.
（2）由（1）知，1
2 absin120° = ❑√3，又a=2，则b=2，因此CA =CB =2,∠A =∠B =30°，
在△ACE中，由正弦定理得CA
sinα =
CE
sin30° ，即CE =
1
sinα ，
在△CDE中，由正弦定理得
CE
sin∠CDE =
DE
sin30° ，
DE = CE⋅sin30°
sin∠CDE =
1
2sinα sin(150° -α ) =
1
sin α cosα + ❑√3sin
2α
=
1
1
2 sin 2α -
❑√3
2 cos2α +
❑√3
2
=
1
sin(2α -60°)+
❑√3
2
，
显然30°≤α ≤120°，则有0≤2α -60°≤180°，因此当sin(2α -60°)=1时，DE取到最小值，
此时2α -60° =90°，即α =75°，
所以α的值75°.
