易错易混05 三角函数与解三角形
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01 错点扫描・易错建模夯基石 ........................................................................................................1
02 易错归纳・查漏补缺避陷阱..........................................................................................................7
易错归纳01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论（★★★）...........................................................7
易错归纳02 没有精准识别诱导公式（★★★★）...................................................................................9
易错归纳03 求值问题忽略角的范围（★★★★）.................................................................................11
易错归纳04 ω 与φ 的符号和取值问题（★★★★★）..........................................................................16
易错归纳05 忽略三角函数的图像变换规律（★★★★）.....................................................................25
易错归纳06 解三角形中解的个数问题（★★★★）.............................................................................29
易错归纳07 直接将a、b、c=sinA、B、C（或者反过来）（★★★★★）.................................31
易错归纳08 忽略一些关键条件（例如锐角三角形）（★★★★★）.................................................35
03 实战检测・易错通关验成效........................................................................................................40
一、任意角的三角函数
1、定义：任意角α 的终边与单位圆交于点P(x ，y)时，则sinα=y ，cosα=x ，tanα= y
x ( x≠0)．
2、推广：三角函数坐标法定义中，若取点P(x ，y)是角α 终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O的距
离为r ，则sinα= y
r ，cosα= x
r ，tanα= y
x ( x≠0)
3、三角函数的性质
三角函数
定义域
第一象
限符号
第二象限
符号
第三象
限符号
第四象限符
号
sinα
R
＋
＋
－
－
cosα
R
＋
－
－
＋
tan α
{α| α≠kπ+ π
2 ，k ∈Z}
＋
－
＋
－
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
（1）已知角
的终边上一点
的坐标，求角
的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
（2）已知角
的一个三角函数值和终边上一点
的横坐标或纵坐标，求与角
有关的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知
数，从而求解问题。
（3）已知角的终边所在的直线方程（
），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点
，求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意
的符号，对
进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角
的三角函数值。
二、同角三角函数的基本关系
1、平方关系：sin2α+cos2α=1．
2、商数关系：
sinα
cosα =tanα(α≠π
2 +kπ )；
三、三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k ∈Z)
π +α
−α
π−α
π
2 −α
π
2 +α
正弦
sinα
−sinα
−sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
−cosα
cosα
−cosα
sinα
−sinα
正切
tan α
tan α
−tanα
−tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
注：利用诱导公式化简及其计算
（1）诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．
（2）学会诱导公式的逆用，如
等，再如
，能将
中
的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．
（3）学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为
的整数倍．
四、两角和差公式
①
；
②
；
③
；
变形：tanα±tan β=tan(α±β)(1∓tanα tan β)；
tanα⋅tan β=1−tanα+tan β
tan(α+β)
=tanα−tan β
tan(α−β)
−1
五、二倍角公式
①
；
②
；
③
；
变式：
sin2α= 2sinα cosα
sin2α+cos2α
= 2tanα
1+tan2α
；cos2α=cos2α−sin2α
sin2α+cos2α
=1−tan2α
1+tan2α
；tan α
2 =sinα
1+cosα =1−cosα
sinα
六、降幂公式
七、辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
八、三角函数的图像与性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
{x| x∈R ，x≠kπ+ π
2 }
值域
[−1 ，1]
[−1 ，1]
R
周期性
2 π
2 π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
九、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用
1、最小正周期：
T=2π
w .
2、定义域与值域：y=A sin(wx +ϕ)的定义域为R，值域为[-A,A].
3、最值（以下A>0，w>0 ）
{
当wx +ϕ= π
2 +2kπ(k ∈Z )时，函数取得最大值A ;
当wx +ϕ=−π
2 +2kπ(k ∈Z )时，函数取得最小值−A ;
4、单调性
{
wx +ϕ∈[−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ ](k ∈Z )⇒增区间；
wx +ϕ∈[ π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ ](k ∈Z )⇒减区间.
5、对称轴与对称中心
{
当wx 0+ϕ=kπ+ π
2 (k ∈Z )，即sin(wx 0+ϕ)
¿±1时，y=sin(wx +ϕ)的对称轴为x=x0
当wx 0+ϕ=kπ (k ∈Z )，即sin(wx 0+ϕ)=0
时，y=sin(wx +ϕ)的对称中心为( x0,0).
正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与x 轴交点的位置.
6、平移与伸缩
函数y＝sin x 的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
递增区间
[2kπ−π
2 ，2kπ+ π
2 ]
[−π+2kπ ，2kπ ]
(kπ−π
2 ，kπ+ π
2 )
递减区间
[2kπ+ π
2 ，2kπ+ 3 π
2 ]
[2kπ ，π+2kπ ]
无
对称中心
(kπ ，0)
(kπ+ π
2 ，0)
( kπ
2 ，0)
对称轴方程
x=kπ+ π
2
x=kπ
无
注：每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角wx +ϕ ”变
化多少.
十、解三角形多解情况
1、在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
2、题设三角形中，已知一个角A 和两个边a,b ，判断三角形个数，遵循以下步骤
第一步：先画一个角并标上字母A
第二步：标斜边（非对角边）⇒b
第三步：画角的高，然后观察（a,bsin A ）
十一、解三角形相关公式
1、正弦定理
①正弦定理：
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R
②变形：sin A
sin B =a
b ,sin B
sinC =b
c ,sinC
sin A =c
a
③变形：a:b:c=sin A :sin B:sinC
④变形：
a+b+c
sin A+sin B+sinC =
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC
⑤变形：asinB=bsin A ,asinC=csin A ,bsinC=csinB
2、余弦定理
①余弦定理：b2+c2−a2=2bc cos A ,a2+c2−b2=2ac cosB,a2+b2−c2=2ab cosC
②变形：cos A=b2+c2−a2
2bc
,cosB=a2+c2−b2
2ac
,cosC=a2+b2−c2
2ab
3、三角形面积公式
①SΔABC =1
2 ab sinC ,SΔABC =1
2 ac sin B,SΔABC =1
2 bc sin A
②SΔ ABC =1
2 r (a+b+c)=1
2 rl 其中r ,l 分别为Δ ABC 内切圆半径及Δ ABC 的周长
推导：将Δ ABC 分为三个分别以Δ ABC 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积
法即可得到上述公式
③SΔABC =2R2sin Asin BsinC=abc
4 R （R 为Δ ABC 外接圆的半径）
推导：将a=2 Rsin A 代入SΔABC =1
2 a2sin BsinC
sin A
可得SΔABC =2 R2sin A sin BsinC
将a=2Rsin A ,b=2RsinB，c=2RsinC 代入SΔABC =2 R2sin A sin BsinC
可得SΔABC =abc
4 R
④SΔABC =1
2 a2sin BsinC
sin A
,SΔABC =1
2 b2sin AsinC
sin B
,SΔABC =1
2 c2sin Asin B
sinC
⑤海伦公式SΔ ABC =√p( p−a)( p−b)( p−c)（其中p=1
2
(a+b+c)）
推导：根据余弦定理的推论cosC=a2+b2−c2
2ab
∴SΔABC =1
2 ab sinC=1
2 ab √1−cos2C=1
2 ab√
1−(
a2+b2−c2
2ab )
2
⇒1
4 √(2ab )2−(a2+b2−c2)
2= 1
4 √(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
令p=1
2
(a+b+c)，整理得SΔ ABC =√p( p−a)( p−b)( p−c)
注：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要
选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有
的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
．
技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦
定理能够解决两类问题
易错归纳01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论
【易错陷阱·避错攻略】
对三角函数的定义的理解：
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个坐标(或比值)的集合
的对应．
(2)三角函数可以用比值来定义，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α 终边上的位置无关，只由角α 的终边位置决定，即三角函数值的大
小只与角有关．
1．已知角
的终边经过点
，且
，则
（ ）
A．3
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】由余弦函数的定义计算可得.
【详解】由余弦函数定义可得
，所以
，解得
.
故选：D
2．如果角
的终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】方法一：先求出
，再由弦化切公式转化为
进行求解；方法二：直线
过第一象限和第三象限．分别求
若
的终边在第一象限，可取终边上一点
，与若
的终边在第三象限，可取终边上一点
，再
由三角函数的定义进行求解．
【详解】方法一：
因为角
的终边在直线
上，所以设直线
上一点
，
可得
．
所以
．
方法二：
直线
过第一象限和第三象限．
若
的终边在第一象限，可取终边上一点
，
则
，
，
则
．
若
的终边在第三象限，可取终边上一点
，
则
，
，
则
故选：B
3．已知角α 的终边在直线
上，则
＝
【答案】
【分析】设在直线
上任取点
，根据三角函数的定义即可求解.
【详解】设在直线
上任取点
，所以
，
所以
，
故答案为：
.
易错归纳02 没有精准识别诱导公式
【易错陷阱·避错攻略】
正确应用诱导公式的前提条件有两个：
一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看
看它们的和或差是否为
的整数倍；
二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用两角之间的关系并根据诱导公式进行计算即可．
【详解】
，
．
故选：A
2．（2025·陕西咸阳·一模）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】以
为整体，利用倍角公式结合齐次式问题分析求解即可.
【详解】由题意可得：
.
故选：C.
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对已知条件化简变形可得
，然后由
结合余弦的二倍角公式可求得结果.
【详解】由
，得
，
即
，所以
，
所以
.
故选：C.
4．（2025·河南·二模）已知
，则
.
【答案】
【分析】由
，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】
.
故答案为：
.
5．已知
，则
.
【答案】
/
【分析】利用诱导公式
，即可求出答案.
【详解】因为
，
所以
.
故答案为：
.
易错归纳03 求值问题忽略角的范围
【易错陷阱·避错攻略】
应用同角三角函数关系式的注意事项：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意根据角的
范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
1．（25-26 高三上·重庆·月考）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解.
【详解】因为
，所以
,
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：A.
2．（24-25 高三上·宁夏银川·月考）已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由所给角的象限结合同角三角函数基本关系可得
，
，再利用两角和的余弦
公式计算即可得解.
【详解】由
，
，则
，
，
故
，
，
故
.
故选：C.
3．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
平方求出
，结合平方关系求出
，即可求得
，利用两角和
的正弦公式，即可求得答案.
【详解】已知
，
则
，
所以
，
联立
，结合
，解得
，
则
，
故
.
故选：D.
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知
，则
的值为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由两角和与差的正、余弦公式化简可得
，再由同角三角函数的基本关系和两角和
的正切公式可求出
，两式联立即可得出答案.
【详解】因为
，
所以
，分子分母同时除以
，得
①，
由于
，所以
所以
,
所以
，所以
，
即
，分子分母同时除以
得，
，
代入①得：
，解得
.
故选：D.
5．（多选题）若
，
，且
，
，则以下说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由
的范围可以求出
的范围，结合
，可以将
的范围缩小到一定的范围，从而求
出
的取值；再结合
的取值范围，可以求得
和
的范围，求出
值后，利用配
凑法，求出
的取值，最后结合其范围得出
的值.
【详解】因为
，所以
，且因为
，
所以
，则
，
则
，所以
正确；
由
可得
，又因为
，
利用不等式的性质可得
，
，
所以
，
则
，
又因为
，所以
，所以
正确.
故选:
6．（24-25 高三上·广东佛山·月考）已知
，
，
，则
.
【答案】
【分析】先由角的范围和题设
和
的值，求出
和
的值，再利用拆角
变换展开后代入求值即得.
【详解】因
，
，
，
故
，
，
故
，
，
则
.
故答案为：
7．已知
，
，则
.
【答案】
或
/
或
【分析】令
，则
，
，
.由同角三角函数的平方关系可得
或
，结合两角差的余弦公式即可求解.
【详解】令
，则由
可得
，
则原题目变为：已知
，
，求
.
∵
，
，
∴当
时，
；当
时，
.
由两角差的余弦公式可得
，
∴当
时，
；
当
时，
，
即
或
.
故答案为：
或
.
易错归纳04 ω 与φ 的符号和取值问题
【易错陷阱·避错攻略】
1、φ 的符号和取值
题型1．已知
的部分图象求
的方法：
（1）利用极值点的纵坐标求
；（2）把某点的坐标代入求
．
题型2．已知
的部分图象求
的方法：
由
，即可求出
．常用结论：（1）相邻两个极大（小）值点之间的距离为
；（2）相邻两个零点
之间的距离为
（3）极值点到相邻的零点，自变量取值区间长度为
．
题型3．已知
的部分图象求
的方法：
求
的值时最好选用最值点求．
峰点：
；谷点：
．
也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点．
升零点（图象上升时与
轴的交点）：
；
降零点（图象下降时与
轴的交点）：
（以上
）．
2、ω 的符号和取值
（1）求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y
＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解。
如对于函数y=Asin(ωx+ϕ)来说，当
时，由于内层函数
是单调递增的，所以函数
y=Asin(ωx+ϕ)的单调性与函数y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x 的单调性来解
决；但当
时，内层函数
是单调递减的，所以函数y=Asin(ωx+ϕ)的单调性与函数
y=sin x 的单调性正好相反，就不能按照函数y=sin x 的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将
的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。
（2）与三角函数单调性有关的参数问题
如果解析式中含有参数，要求根据函数单调性求参数的取值范围，通常先求出单调区间，然后利用集合间
的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒(可以)成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，
进而求出参数的范围.
【注意】由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区
间)求解ω 或φ 的取值范围，则将区间端点值代入后，去对应
(k Z)
∈
或
(k Z)
∈
列出不等式求解．另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的单调递减
(增)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω 的范
围．
（3）与对称性有关的参数问题
一般来说,若函数f(x)= Asin(ωx+φ)在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间
长度小于或等于半周期长度”大致确定ω的范围,再利用对称轴是否在该区间内进一步约束ω的范围,最后
对剩下的ω进行逐一检验,进而确定ω的准确范围.
【注意】①函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为
(k Z)
∈
，对称轴为x＝－＋＋(k Z)
∈
，
此时函数的对称中心和对称轴可用参数ω 表示，对称中心和对称轴的取值与参数ω 有着紧密的联系．
②三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻对称轴和对称中心之间的
“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω 的取值．
（4）与三角函数的最值存在有关的参数问题
一般考查形式是给出区间最值点的个数求参数范围，这种题目一种思路是求出所有的最值点根据区间内最
值点的个数列出不等式求解，另一种思路利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω 的不
等式，进而求出ω 的值或取值范围．
（5）与三角函数的零点有关的参数问题
解决此类问题，要先根据所给的单调区间判断ω 的大致范围，再计算对称轴，依据函数在所给区间的极值
点及对称轴缩小范围，从而求出ω 的范围．
注：一般来说,已知函数f(x)= Asin(ωx+φ)在某个区间上有k个零点、最值等,可将ωx+φ看作一个
整体,再利用正弦函数y=sint的性质解题.
这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为
的形式；根据题设给出限制条件
（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出
的大致范围；在求出
的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等
式求解。
1．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数
为偶函数，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数
，利用偶函数性质
，可得
，或
，结合
即可求解.
【详解】函数
为偶函数，需满足
.
将函数化简：
.
由偶函数性质得：
即
利用正弦函数的性质，可得：
（舍去，因为不恒成立），
或
解得：
，即
结合
，得
.
故选：B.
2．（广东省部分学校2026 届高三上学期开学联考数学试题）已知函数
在
区间
上单调递增，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】以
为整体，结合正弦函数的单调性分析求解可得
，即可得结果.
【详解】因为
，且
，则
，
若函数
在区间
上单调递增，
注意到
，则
，解得
，
所以
的最大值为1.
故选：C.
3．（25-26 高三上·辽宁·开学考试）设函数
在区间
恰有三个极值点、两个零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合正弦函数的图象可得答案.
【详解】因为
，所以
，
由函数
在区间
恰有三个极值点、两个零点，
得
，解得
.
故选：C.
4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，且
.若将
的图象向左平移
个单位长度后所得函数的
图象关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意，利用辅助角公式得
，其中
.根据题设知，
为
图象的一条对称轴，结合
可求得
，
，
，再根据
关于
轴对称，得到
，
，从而求得
的最小值.
【详解】由题意，知
，其中
.
因为
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
为
图象的一条对称轴，所以
，
.
又
，所以
，
，解得
，
，
，
所以
.将
的图象向左平移
个单位长度后，
得到
的图象.
由
的图象关于
轴对称，得
，
，
所以
，
，
所以
的最小值为
.
故选：C.
5．（23-24 高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数
，
为
的最小
正周期，且
对任意的
恒成立，若函数
在区间
上恰有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可得
为
的一条对称轴，即可求得
，再以
为整体分析可得
，运算求解即可得答案.
【详解】由题意可得：
的最小正周期
，
又
对任意的
恒成立，
所以
为
的一条对称轴，
所以
，解得
，
又
，则
，
，
所以
．
当
时，
，
若函数
在区间
上恰有3 个零点，则
，解得
，
即
的取值范围是
.
故选：D．
6．（2025·江苏连云港·模拟预测）（多选题）已知函数
满足
，
且在
上是单调函数，则
的所有可能取值是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】AC
【分析】分析出
关于
中心对称，关于
轴对称，根据单调性得到
，设对称中心
和对称轴
的距离为
，则
，设
的最小正周期为
，分
，
，
，
和
五种情况，结合函数的性质判断出答案.
【详解】
，故
关于
中心对称，
，故
关于
轴对称，
，则
，
在
上是单调函数，所以
，故
，
设对称中心
和对称轴
的距离为
，则
，
设
的最小正周期为
，
若
，则
，故
，此时
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
因为
，故当
，
时，满足要求，此时
，
此时
，当
时，
，
此时
在
上单调递增，满足要求；
若
，即
，
，此时
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
因为
，故当
，
时，满足要求，此时
，
此时
，当
时，
，
故
在
上不单调，不合要求，
若
，即
，
，此时
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
因为
，故当
，
时，满足要求，此时
，
此时
，当
时，
，
此时
在
上单调递增，满足要求；
若
，即
，
，此时
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
因为
，故当
，
时，满足要求，此时
，
此时
，当
时，
，
故
在
上不单调，不合要求，
当
时，
，
不合要求，
综上，
所有可能取值为1 或5.
故选：AC
7．函数
，
的单调减区间为 .
【答案】
和
【分析】先根据诱导公式化简函数解析式，根据正弦函数图像的性质，求出函数的单调减区间，判断在
上的减区间.
【详解】由题意知
，所以函数
的单调减区间就是
的单调增区间，
已知
得单调增区间为
，
得
，解得
，
当
时，增区间为
，当
时，增区间为
，
所以
在
上的单调增区间为
和
，
即
在
上的单调减区间为
和
，
故答案为：
和
.
8．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数
是偶函数，则
的最小正值为 ．
【答案】
/
【分析】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当
时，
，则
，
.给
赋值，
即可求得
的最小正值.
【详解】由于
是偶函数，所以
，
，
故
，
，所以当
时，
取最小正值，最小正值为
．
故答案为：
.
9．（2025·北京大兴·三模）已知函数
（
），
，
，且
的最小值为
，则
，
．
【答案】
/1.5
【分析】根据两角和的正弦公式化简，求出
，根据零点与极值点求出周期得出
.
【详解】
，
所以
，
因为
，
，且
的最小值为
，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
；
10．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数
（
，
），若
，
，且
在区间
上单调，则
．
【答案】
【分析】根据函数在区间
内的单调得出周期，进而求得
，通过极值点和零点条件建立关于
和
的方程，结合
的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果.
【详解】设函数
的周期为
，由
，
，
结合正弦函数图象的特征可知，
，
.
故
.
又因为
在区间
上单调，所以，
，故
，
所以
.
由
，得
，即
且
，
所以，当
时，
，
，
或
，舍.
当
时，
，
，
，符合条件.
当
时，
，
，
或
，舍.
所以
，
.
故答案为：
.
易错归纳05 忽略三角函数的图像变换规律
【易错陷阱·避错攻略】
在进行图像变换时要注意三点：
（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；
（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；
（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出
现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量
而言的，即图像变换要看“变量
”发生多大变化，而不是“角
”变化多少．
1．为了得到
的图象，只要把
的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动
个单位长度
B．向左平行移动
个单位长度
C．向右平行移动
个单位长度
D．向左平行移动
个单位长度
【答案】A
【分析】将
变形为
的形式，从而确定平移的方向和单位长度.
【详解】将
变形为
对于函数
，要得到
的图象，根据“左加右减”的原则，需要将
的图象
上所有的点向右平行移动
个单位长度。
只要把
的图象上所有的点向右平行移动
个单位长度，就可得到
的图象.
故选：A.
2．（2025·山东济宁·一模）将函数
的图象向右平移
个周期后，所得图象对应的函数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出函数周期，再由函数平移的性质结合余弦函数的诱导公式可得.
【详解】函数周期
，所以函数
的图象向右平移
个周期可得
.
故选：D
3．（24-25 高三上·陕西西安·期末）将函数
图象上所有的点向左平移
个单位长度，得
到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合诱导公式，利用平移规律求平移后的函数解析式.
【详解】由题意得
故选：C
4．（2025·山西临汾·三模）为了得到函数
的图象，只要把正弦函数上所有点（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】D
【分析】利用函数图像的平移变换即可求解.
【详解】因为
，所以将函数
的图像向左平移
个单位长度得
，
故选：D.
5．要得到函数
的图象，只需将
的图象向左平移
个单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式以及平移的性质可得
，即可根据范围求解.
【详解】
，故将其向左平移
个单位得到
，
故
,进而
，
故
，解得
，
结合
，取
，则
，
故选：A
6．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，要得到一个偶函数的图象，可以将
的图
象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简函数，再结合函数图象变换求解判断.
【详解】依题意，
，
对于A，
，所得函数不是偶函数，A 错误；
对于B，
，所得函数不是偶函数，B 错误；
对于C，
，所得函数是偶函数，C 正确；
对于D，
，所得函数不是偶函数，D 错误.
故选：C
7．（24-25 高三下·湖北武汉·月考）将函数
的图像按以下
顺序进行变换：①向左平移
个单位长度；②横坐标变为原来的
，纵坐标不变；③向上平移1 个单位长
度；④纵坐标变为原来的3 倍.可得到
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的平移变换求解即可.
【详解】函数
向左平移
个单位长度，
得到
，
横坐标变为原来的
，纵坐标不变，得到
，
向上平移1 个单位长度，得到
，
纵坐标变为原来的3 倍，得到
，
则
，又
，
解得
，
则
.
故选：A.
易错归纳06 解三角形中解的个数问题
【易错陷阱·避错攻略】
两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间
内不单调，此时三角形解的情
况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数。
1．在
中，
，
，分别为
，
，
的对边，给出下列四个条件：
①
，
，
； ②
，
，
；
③
，
，
； ④
，
，
．
能判断三角形存在且有唯一解的是（ ）
A．①④
B．②③
C．①②③
D．②③④
【答案】B
【分析】由正弦定理及三角形的性质分别判断出所给命题的真假．
【详解】①中，
，
，
，
由正弦定理可得
，即
，可得
，
因为角
为锐角，所以角
有两解，所以①不正确；
②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确；
③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确；
④中，由正弦定理可得
，所以不存在这样的三角形，所以④不正确．
故选：B．
2．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知
，若满足条件的
有两个，则
b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦定理可得
，再由三角形有两解可得角
的范围，从而得到结果.
【详解】由正弦定理可得
，则
，
因为
，且满足条件的
有两个，
所以
，且
（当
时，三角形只有一解），
此时
，则
.
故选：B
3．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）在
中，已知
，
，若
有唯一值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
可求
，对
的取值进行讨论，求出使得B 唯一时
的取值范围，此时
有
唯一值.
【详解】由
可得：
，且
，
若
，则
，由正弦定理可得
,
则
，所以B 为锐角，
此时B 唯一，则C 也唯一，所以
有唯一值.
当
时，
，则此时B 唯一，则C 也唯一，所以
有唯一值.
当
时，因为
，根据正弦函数图像易知，
在
上存在两个根，所以
存在两个
值满足
，所以不成立.
故选：C
4．（24-25 高三下·江苏苏州·开学考试）在
中，
，
，若满足上述条件的
恰有一
解，则边长
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意
，或
，进而可得.
【详解】若满足条件的
恰有一解，如图
则
，或
，
当
时，
，
当
时，
，
所以AC 的取值范围是
.
故选：D
5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
的三角
形有两个，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【详解】在
中，
，由
有两解，得
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故选：D
易错归纳07 直接将a、b、c=sinA、B、C（或者反过来）
【易错陷阱·避错攻略】
什么情况下边化角?
（1）当每一项都有边且次数一样时，采用边化角
（2）当每一项都有角《sin 》且次数一样时，采用角化边
（3）当每一项都是边时，直接采用边处理问题
（4）当每一项都有角《sin 》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可
1．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
.
(1)求
；
(2)求
的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，化简计算即得.
（2）由（1）及余弦定理，结合基本不等式求出的
最大值，根据三角形面积公式得到面积最大值.
【详解】（1）由题意得，
，
由正弦定理
，可得
，
，
，
，
.
（2）
，
由余弦定理
，
所以
，当且仅当
时取等号，
的面积的最大值为
.
2．
的三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)若
，边AB 上的高为
，求
的周长．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据正弦定理化简，再应用二倍角正弦计算求出角；
（2）应用面积公式求出
，再结合余弦定理求出边即可得出周长.
【详解】（1）
，
，
，
，即
，
，
或
；
（2）
，
，
边AB 上的高为
，
，则
，
又由余弦定理得
，
，
又
，
或
，
的周长
.
3．已知
三个内角A、B、C 所对的边分别为
.
(1)证明：
；
(2)若
的面积为6，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合三角恒等变换，即可证明；
（2）根据（1）的结果，以及面积公式求，再代入余弦定理，即可求解.
【详解】（1）由已知
，得
，
所以
，
所以
，
故
，又
，
所以
.
（2）若
，则
，所以
，解得
，
又由余弦定理得：
，
所以
.
4．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式、两角和的余弦公式变形，用正弦定理化角为边，再由余弦定理求得角；
（2）由面积公式和余弦定理（1）中结论列方程组求得
后得周长.
【详解】（1）因为
，
所以
，
由正弦定理得
，
所以
，又
，
所以
；
（2）因为
，
的面积为
，
则
，解得
，所以
的周长为
.
5．设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
的值；
(2)若点
在线段
上，
，
，
的面积为
，求
的长度.
【答案】(1)3
(2)1 或2
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）根据题设，结和三角形的面积公式及余弦定理易得
，设
，再利用
列方程即可求解.
【详解】（1）由
，
根据正弦定理得：
．
所以
则
．
因为
，所以
.
（2）由题意，
，则
，
由余弦定理得
，则
，解得
，
则
，设
，
，
由
，
则
，
则
，解得
或2，即
或2.
易错归纳08 忽略一些关键条件（例如锐角三角形）
【易错陷阱·避错攻略】
处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三
个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
1．（2025·山西·模拟预测）在锐角
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求角A；
(2)
，
，D 为AC 的中点，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角及辅助角公式即可求解.
（2）根据余弦定理即可求得
的长，再利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为
，所以由正弦定理得
.
因为
，所以
，所以
，
整理得
，即
.
因为
，所以
，所以
，即
.
（2）
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
或
.
若
，则
，则
为钝角，舍去，
所以
，
，因为
，根据正弦定理，角
最大，
所以
为锐角三角形，符合题意.
因为
为
的中点，所以
，
所以，在
中，
，
所以
.
在
中，
.
2．（2025·浙江嘉兴·二模）在锐角
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出
，结合正弦定理可求得结果；
（2）由平面向量的减法可得出
，利用平面向量数量积的运算性质结合与余弦定理可得出
关于
、
的方程组，解出这两个量的值，可得出
的值，然后利用三角形的面积公式可求得
的面积.
【详解】（1）由
及正弦定理可得
，
即
，
即
，
即
，
因为
为锐角，故
，可得
，由正弦定理得
，故
.
（2）因为
，则
，故
，
所以
，
即
，即
①，
由余弦定理可得
，即
②，
联立①②可得
，
，故
，
因此，
.
3．（2024·重庆·一模）在梯形
中，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)设点
为
的中点，求
的长．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）在
中利用余弦定理求出
，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出
的长.
【详解】（1）在梯形
中，由
为钝角，得
是锐角，
在
中，
，则
，
由余弦定理得
，即
为等腰三角形，
所以
.
（2）由
，得
，由点
为
的中点，得
，
所以
.
4．在锐角
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求B 的值；
(2)若b=2，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.
（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得
，结合角的范围即可得解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
即
，由余弦定理得
，
因为
，所以
．
（2）在锐角
中，
，记
的面积为．
由正弦定理得
，即
．
所以
．
因为在锐角
中，
，所以
，
，
解得
，则
，所以
，
所以
，所以面积的
．
5．（2025·山东临沂·三模）在锐角
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
.
(1)求
；
(2)若
，求的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用余弦定理化简整理可得
，即可求解.
（2）利用正弦定理、差角的正弦公式化简，再利用正切函数性质求出范围.
【详解】（1）在锐角
中，由
及余弦定理，
得
，而
，解得
，
而
，所以
.
（2）由（1）知，
，
，由
是锐角三角形，得
，
解得
，
，由正弦定理得
，
则
，
所以的取值范围是
.
6．（24-25 高三上·重庆渝中·月考）设
的三个内角
的对边分别为
，已知角
为钝
角，
.
(1)若
，求
的周长;
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得
，再利用正弦定理求出
，
然后利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，而
，
则
，即有
，而
为钝角，则
为锐角，因此
，
由
，得
，由
，
为锐角，得
，
由正弦定理
，得
，
，
由余弦定理得
，
于是
，解得
，
所以
的周长为
.
（2）由（1）知
，
则
，又
，即
，
因此
，所以
的取值范围
.
1．（24-25 高三上·山东威海·期末）为了得到函数
的图象，只需把函数
图象上的所
有点（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得.
【详解】函数
，
因此把函数
图象上的所有点向左平移
个单位得到函数
的图象.
故选：C
2．（2025·福建莆田·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】
.
故选：C.
3．（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知
的图象为
，为了得到
的
图象，只要把
上所有的点（ ）
A．向右平行移动
个单位长度
B．向左平行移动
个单位长度
C．向右平行移动
个单位长度
D．向左平行移动
个单位长度
【答案】C
【分析】结合诱导公式，直接求解三角函数图像平移即可.
【详解】因为
，
即图像
上所有的点向右平移
个单位，
又
，
即上述图像再次向右平移
个单位，
综上，为了得到
的图象，
只要把
上所有的点向右平行移动
个单位长度.
故选：C
4．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用诱导公式可得
，又
，进而得到
，即可求值.
【详解】由
，
由
，
而
，则
，
所以
，则
，可得
，
所以
，则
.
故选：B
5．在
中，内角
的对边分别为
，已知
，且
，若
，则
的面积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角可得
，再结合条件可得
，最后由面积公式得解.
【详解】由
及正弦定理，
可得
，
因
，所以
，
又
，则有
，
若
，则有
，则
，
所以
.
选选：B.
6．
的内角
的对边分别是
，若
，则当
有两解时，
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】理由正弦定理，将问题转换为三角方程根的个数求参数问题即可.
【详解】由正弦定理有
，即
，即
有两解，
因为
，所以
，从而
，解得
.
故选：C.
7．（2025·湖南·二模）若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
可得
的取值，结合角的范围以及平方和为1 可计算
，由
两角和的余弦配凑角可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
8．（2025·江西新余·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题干条件和正弦定理得
，再由
及余弦定理可得
，联
立化简得
，结合角C 的范围求得
，代入
求解即可.
【详解】由
及正弦定理可得
，
，
由
及余弦定理可得
，
所以
，所以
，故
，
又
，故
，所以
，所以
，
所以
.
故选：D
9．（2025·广东茂名·模拟预测）已知
，且
，求
的值为
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】由
，结合
的范围求出
的值，再利用诱导公式将
化简，即可得解.
【详解】
，
，
．
．
故选：A
10．（23-24 高三上·北京·开学考试）
中，内角
的对边分别为
，若已知
，则“
”是“
有且仅有一解”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】给定的边
、
和角
，通过正弦定理来分析三角形解的情况，进而判断两个条件之间的逻辑关
系
【详解】判断充分性，
由正弦定理
可得
.
已知
，即
（因为
），由于
，所以
.
当
时，
，此时
可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么
可能有两解，所以
由
不能推出
有且仅有一解，充分性不成立.
判断必要性，
若
有且仅有一解，有两种情况：
情况一：
且
，此时由正弦定理
，可得
，因为
，所以
.
情况二：
且
或
，当
时，
；当
时，
.
所以由
有且仅有一解不能推出
，必要性不成立.
则“
”是“
有且仅有一解”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
11．已知函数
，则下列命题中错误的是（ ）
A．若
在
上单调递增，则
的取值范围是
B．若
在
上恰有3 个零点，则
的取值范围是
C．若
在
上的值域为
，则
的取值范围是
D．若
在
上有最大值，没有最小值，则
的取值范围是
【答案】B
【分析】把
的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到不等式，四个选项一一
进行求解，求出
的范围.
【详解】对于A，当
时，
，又
在
上单调递增，
所以
，又
，解得
，故A 正确；
对于B，当
时，
，若
在
上恰有3 个零点，
则
，解得
，故B 错误；
对于C，
时，
，
由题意得
，解得
，故C 正确；
对于D，
时，
，
由题意得
，解得
，故D 正确．
故选：B．
12．已知函数
在区间
上存在最大值和最小值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化相位为整体变量，再结合正弦曲线，根据题意可得到不等式求范围.
【详解】因为
，
，所以
．
画出
的图象，如图．
由图，得
或
，解得
或
．
故选:C．
13．已知
.若
是函数
的零点，直线
是函数
图象的对
称轴，
在区间
上单调，则
的最大值是（ ）.
A．14
B．9
C．10
D．6
【答案】B
【分析】根据已知可得，
为正奇数且
.结合
为
的零点，
为
图象的对称轴，
求出符合题意的解析式，并结合
在
上单调，可得
的最大值.
【详解】解法1：由
得
，则
.
当
时，
只能取
，则
，
，
从而
，
是
图象的对称轴.
当
时，
，这个区间不含
中的任何一个，
故函数
在
上单调，符合题意.
当
时，
只能取
，则
，
，
从而
，
是
图象的对称轴.当
时，
，
这个区间含有
，则函数
在
上不单调，不符合题意.
当
时，
只能取
，则
，
，
从而
，
是
图象的对称轴.
当
时，
，这个区间不含有
中的任何一个，
函数
在
上单调，符合题意.
当
时，
只能取
，则
，
，
从而
，
是
图象的对称轴.当
时，
，
这个区间含有
，则函数
在
上不单调，不符合题意.
综上，
的最大值为9.
解法2：根据函数
的图象特征知，它的一个零点和一条对称轴之间的最近距离为周期的四分之一，
所以
，即
，可得
，其中
.
所以函数
的极值点为
.
由于
在
上单调，所以对于任意的
，
都有
，
即
.
当
时，
，存在
，不合题意；
当
时，
，对任意的
，符合题意.
解法3：从
，
入手来思考，
要取最大值，
可以结合选项，从
取值最大的选项开始，一一验证.
当
时，
，从单调区间的一个端点
往前推算，
靠近
的单调区间为
，
，容易看出
，不合题意.
当
时，
，从单调区间的一个端点
往前推算，
靠近
的单调区间为
，
，容易看出
，符合题意.
解法4：由
得
，则
，
从而
其中
.
由
，即
，可知
为正奇数
.
由
得
又由于
，所以
只能取
.
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
.
因为
是正奇数且不超过12，所以
.
当
时，
，
，
该区间含有
，则
在
上不单调，不符合题意.
当
时，
，
，
该区间不含有
中的任何一个，则
在
上单调，符合题意.
综上，
的最大值为9.
解法5：由题意知
，得
，即
，从而
①.
又由题意可得
其中
，则
.
又因为
，所以
.
当
时，
，
②.
由①②可得
，
的最大值为9.
故选：B.
14．（2024·辽宁·模拟预测）（多选题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据题意利用
可判断A 选项；由
和
判断
的取值范围，进而易得
，可判断B 选项；先求
，然后利用
可判断C 选项；由
可判断D 选项.
【详解】对于A：因为
，
，
所以
,故A 错误；
对于B：
，则
又
，
所以
，所以
，故B 正确；
对于C：由
，
可得
，
，
又
，所以
，故C 错误；
对于D：根据C 选项知
，
所以
,故D 正确.
故选：BD．
15．设角
终边上一点
，
，则
的值为 .
【答案】
或
【分析】由三角函数的定义即可得解.
【详解】当
时，
，
；
当
时，
，
.
故答案为：
或
.
16．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知
，则
.
【答案】
【分析】以
为整体，利用诱导公式可得
，再根据倍角公式结合齐次式问题运算
求解.
【详解】因为
由
.
故答案为：
.
17．函数
的单调增区间为 .
【答案】
【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间.
【详解】函数
，即
，
则
，解得
，
所以函数
的单调增区间为
.
故答案为：
18．（24-25 高三上·江西·月考）已知函数
的图象关于
轴对称，则
.
【答案】
【分析】根据三角函数奇偶性的性质即可求解.
【详解】因为函数
的图象关于
轴对称，故
为偶函数，
所以
.又
，所以
.
故答案为：
19．（24-25 高三上·山东泰安·月考）已知
，
，
，则
.
【答案】
【分析】利用余弦的差角公式先求
，从而可得
，根据角的范围结合同角三角函数的基
本关系确定
，再利用正切的差角公式计算即可.
【详解】由题意可知
，所以
，
即
，
又
，所以
，
则
，
所以
，
所以
.
故答案为：
20．在
中，角
所对的边分别为
，且
，则
，若
，
是
角
的内角平分线，
，则
．
【答案】 1
【分析】利用正弦定理边化角可得
，利用三角形的面积公式和
，以及二倍角公式可
得
，从而得解.
【详解】设
外接圆的半径为，由
，
根据正弦定理，设
外接圆半径为，
则
，则
，即
，
由三角形的面积公式得
，
所以
，
即
，
，则
，即
，
所以
．
故答案为：1；
21．（25-26 高三上·河北衡水·月考）函数
恒有
，且
在
上单调递增，则
．
【答案】
【分析】利用正弦函数最值得出
，所以
，已知
在
上单调递增，
所以
，解出
.分
和
，根据
在
上单调性进行讨论，得
出
值.
【详解】已知
恒有
，根据正弦函数的性质可得：
，即
，所以
，所以
；
已知
在
上单调递增，所以
，即
，解得
.
当
时，因为
，所以
，因为
在
上单调递增，
所以
，解得
，
所以
，解得
，故
.
当
时，因为
，所以
.取
，
则
，因为
，
所以
，故
在
上单调递减，不满足题意.
同理可得
不满足题意.
综上可得：
.
故答案为：
.
22．已知
分别为
三个内角
的对边，且
(1)求
；
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角的三角函数关系化简后，运用正余弦定理即可求得；
（2）先由条件求出角
，利用正弦定理求出边
的长，即得三角形的周长.
【详解】（1）由
可得
，
即
，
由正弦定理可得：
，
由余弦定理可得：
，
，
.
（2）在
中，由（1）得
，因
，则
，
，
由正弦定理可得：
，
即
，则
，
，
则
的周长为
.
23．（24-25 高三下·江苏盐城·月考）在锐角
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)证明：
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转换，结合两角差的正弦公式、正弦函数性质进行求解即可；
（2）根据锐角三角形的性质求出角
的取值范围，结合正切的二倍角公式、对勾函数的单调性进行求解
即可.
【详解】（1）因为
，
所以由正弦定理有
，则
．
因为
，
，
所以
，
所以
，即
．
（2）因为
为锐角三角形，
所以
，
，
，
解得
，
则
，
又
，则
，因为
在
上单调减，
所以
，即
．
24．（2025·江西·模拟预测）已知锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，.
(1)若
，且
，求
面积的最大值；
(2)若
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出ac 的最大值，再根据三角形面积公式求出面积最大值；
（2）通过已知条件结合余弦定理和正弦定理进行化简推导，得出角之间的关系。
【详解】（1）因为
，
，
由余弦定理得
，
所以
，当且仅当
时取等号，
又
，
所以
的面积
，
即
面积的最大值为
.
（2）证明：由
及余弦定理得，
，
因为在锐角
中，
，
所以
，即
，
由正弦定理得
，
因为
，
都是锐角，所以
，
.
25．（23-24 高三上·山西·月考）在钝角
中，内角
所对的边分别为
，且有
．
(1)求
；
(2)若点
在边
上，
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合内角和、和差公式和辅助角公式化简即可求解；
（2）利用
列方程可得
，然后结合已知可解.
【详解】（1）由正弦定理及
，
有
，
又由
，有
，
即
，
又
，
所以
，
整理得
，
又由钝角
，有
，上式可化为
，
即
，
所以
，
所以
，可得
；
（2）由
，有
，
又由
，可得
，
则
，
可得
，
又由
，可得
，
所以
．
26．（2025·安徽安庆·二模）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)证明：
；
(2)若角
为锐角，且
的面积为
，求边长
的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）根据正弦定理边角转化可得
，由此可得
.
（2）根据条件结合边角转化可得
，分析可得
为等腰直角三角形，根据
可得结果.
【详解】（1）证法1：由正弦定理得，
.
∵
，
∴
，即
，
∵
，∴
，故
，
∵
，∴
，
∴
或
，
∴
或
（舍），故
.
证法2：由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
，
∴
，即
，
∴
，
∴
.
∵
，∴
，即
，
∵
，∴
，
∴
或
，
∴
或
（舍），故
.
（2）由
，得
，即
，
∴
，
∵
，∴
，故
，
∵
，∴
，即
，故
，
∴
，即
，故
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∵
，∴
.
27．（2024·湖北·一模）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)证明：
.
(2)若点
在边
上，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得
，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；
（2）由已知条件结合正弦定理可得
，根据锐角
确定角C 的范围，即可求得答案.
【详解】（1）证明：因为
，所以
，
整理得
.
又
，所以
，从而
，
整理得
，则
.
由
，得
，
即
，结合锐角
中，
，
则
，即
.
（2）如图，由
，可得
，则
.
在
中，由正弦定理得
，
整理得
.
因为
，且
是锐角三角形，所以
解得
，
则
，
从而
，即
的取值范围为
.
