【微专题2：三角恒等变换与解三角形】
【高考定位】
1.考情趋势
三角恒等变换与解三角形是高考三角函数模块的核心延伸内容，近3 年高考中题型稳定、分值固定，属于
“中档必得分”模块:小题（5 分/题）多考查三角恒等变换化简求值、解三角形基本量计算，难度中档;解
答题（12 分）常以“恒等变换+解三角形”综合形式呈现，偶尔结合平面向量、面积最值、实际应用（测
量、航海）命题，难度中档偏易.
核心考查频率排序：三角恒等变换（化简、求值）>解三角形基本量求解（边、角、面积）>解三角形综合
应用（最值、范围）>恒等变换与向量/不等式融合.
2.考查要求与命题特点
核心要求：熟练掌握两角和与差、二倍角、辅助角等恒等变换公式，能精准完成三角式化简与求值;掌握
正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，能解决三角形边、角、面积的求解问题，能处理与三角形相关的
最值、范围及实际应用问题.
命题特点：①重公式灵活应用，强调“化简优先”，规避复杂计算;②解三角形突出“边角转化”核心，
渗透数形结合、分类讨论思想;③综合趋势显著，常与平面向量、基本不等式、三角函数值域融合;④实际
应用题型贴近生活，侧重数学建模能力考查.
3.分值与题型分布
全国卷/新高考卷中，该模块总分值约12-17 分:小题1 道（5 分），聚焦恒等变换求值或解三角形基本量
计算;解答题1 道（12 分），多以“恒等变换化简+解三角形综合”形式呈现，部分年份会在压轴题中渗透
三角形最值问题.
【真题体验】
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 = √5
5 ，则sin(α −π
4)=（ ）
A．√2
10
B．√2
5
C．3√2
10
D．7√2
10
2．【多选题】（2025·全国一卷·高考真题）已知△ABC的面积为1
4 ，若
cos2 A +cos2B+2sinC =2,cos A cos BsinC = 1
4 ，则（ ）
A．sinC =sin
2 A +sin
2B
B．AB =√2
C．sin A +sin B = √6
2
D．A C
2+ BC
2=3
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知cosα
cosα −sinα =√3，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．2√3+1
B．2√3−1
C．√3
2
D．1−√3
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知cos(α + β)=m,tan α tan β =2，则cos(α −β)=（ ）
A．−3m
B．−m
3
C．m
3
D．3m
1
5．（2024·全国甲卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若B =60
°，b
2= 9
4 ac，则
sin A +sinC =（ ）
A．3
2
B．√2
C．√7
2
D．√3
2
6．（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若acosB−bcos A =c，
且C = π
5 ，则∠B =（ ）
A．π
10
B．π
5
C．3 π
10
D．2π
5
7．（2023·全国甲卷·高考真题）在△ABC中，∠BAC =60° , AB =2,BC =√6，∠BAC的角平分线交BC
于D，则AD = ．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为√3，
D为BC中点，且AD =1．
(1)若∠ADC =π
3 ，求tan B；
(2)若b
2+c
2=8，求b,c．
9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在△ABC中，A + B =3C ,2sin ( A −C)=sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB =5，求AB边上的高．
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知sin (α −β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6，则cos(2α +2 β)=（ ）．
A．7
9
B．1
9
C．−1
9
D．−7
9
【热点题型一：三角恒等变换（化简、求值）】
【核心归纳】
1.核心公式体系:
2. 两角和与差公式：
;
;
（
，
）;
3. 二倍角公式：
;
;
（
，
）;
4.辅助角公式：
（
，
终边过点
），也可表示为
知识讲解与常考题型
题型分类
2
（
）;
5.同角三角函数关系：
;
（
，
）.
6.化简核心原则：“三统一”——统一角（倍角、和角→单角）、统一函数名（切→弦或弦→切）、统一
表达式形式（化为“一角一函数”标准型）;优先降幂、通分、去根号.
7.求值题型分类:
8.给角求值：化简消去非特殊角，转化为特殊角三角函数值;
9.给值求值：通过角的配凑（和差、倍半、互补互余）转化已知角与所求角，结合角的范围判断函数值符
号;
10.给值求角：先求所求角的某一三角函数值，再结合角的范围定角（优先选余弦函数，因其在
单调
递减，定角更精准）.
【积化和差公式（不要求记忆，会推导）】
【和差化积公式（不要求记忆，会推导）】
【易错提示】
易错提示
公式记忆错误：如混淆两角和差余弦公式符号、二倍角降幂公式记错（如将
误记为
）;
角的范围忽略：给值求值/求角时，未确定角的取值范围，导致符号判断错误或角的大小错解;
切化弦不彻底：正切与弦函数共存时，未统一函数名，导致化简受阻;
辅助角
象限判断错误：未根据$a、b$符号确定
象限，仅由
定角，导致偏差.
3
【多选题】（2025·山东聊城·模拟预测）在△ABC中，A，B，C 成等差数列.若
cos A +cosC = √6+√2
4
，则下列结论正确的是（ ）
A．cos( A +C )=−1
2
B．cos( A −B)= √6+√2
4
C．cos(B−C )= √6−√2
4
D．cos( A −C )= √3
2
【规律方法总结】
化简“四步法”：降幂→化同角→化同名→配凑标准型（辅助角公式）;
给值求值“角的配凑技巧”：观察所求角与已知角的和、差、倍、半关系（如所求角
、所求角
、所求角
），通过配凑实现公式应用;
给值求角“定角三步骤”：①求所求角的三角函数值（优先选
或
）;②缩小角的范围至单值区
间;③结合单调性定角;
公式逆用与变形：熟练掌握积化和差逆用、
等变形，提升化简
效率.
【多选题】（25-26 高二上·安徽淮南·开学考试）已知α，β为锐角，sinα = 2√5
5
，
sin(α −β)=−√10
10 ，则（ ）
A．sin2α = 4
5
B．sin β = 7√2
10
C．tan(α + β)=−9
13
D．tan β = 1
7
【多选题】（2025·福建福州·模拟预测）已知角α , β的顶点与原点重合，始边与x
轴的正半轴重合，β 终边经过点P(−sinα ,cosα ),tanα =2， 则（ ）
A．tan β =−1
2
B．β 终边在第二象限
C．sin (α −β)=1
D．cos(α + β)=−4
5
【多选题】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角α , β满足
1−cos2α
2sin α −sin2α =
sin2 β
1+cos2 β ,
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β =2，则（ ）
A．α +2 β =π
B．tan (α + β)=−2
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
4
C．sin α = 3
5
D．tan α :tan β =2:3
【热点题型二：解三角形基本量求解（边、角、面积）】
【核心归纳】
1.核心定理与公式:
2. 正弦定理：
（
为
外接圆半径），变形：
、
、
;
;
3. 余弦定理：
;
;
; 变形：
;
4. 面积公式：①
底
高;②
;③
;④
（
为内切圆半径）;⑤海伦公式：
（
）.
5.题型分类与求解策略:
6.AAS/ASA（两角及一边）：优先正弦定理求另两边，再求面积;
7.SAS（两边及夹角）：优先余弦定理求第三边，再求角或面积;
8.SSS（三边）：优先余弦定理求两角，内角和验证;
9.SSA（两边及一边对角）：正弦定理求另一角，需判断“两解、一解、无解”.
10.SSA 型解的判断：设已知a 、b 、A ，由
判断：①
无解;②
（一解）;③
时一解，
时一解，
时验证
，
成立则两解，否则一解.
【易错提示】
SSA 型漏解/多解：未判断解的个数，直接由
定角;
正弦定理应用忽略角的范围：求出角后未验证与已知角和是否小于
，导致“超角”;
余弦定理符号错误：记错公式符号（如将“
”误记为“+”）;
面积公式角的对应错误：如
中，角
非a、b 夹角;
遗忘内角和验证：求出两角后未验证和是否小于
.
【多选题】（2025·湖南·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，
b，c，且a=2,c =(a+2b)cos B，则（ ）
A．cos A =2cos B
B．若cos B = √3
4 ，则b=√13
C．若b
2−c
2=2，则c⋅cos A = 1
2
D．若sin B =2sin A，则△ABC的面积为4
经典例题
5
【规律方法总结】
定理选择原则：①两角及一边、SSA→优先正弦定理;②两边及夹角、三边→优先余弦定理;③求面积→优
先选含已知角和边的公式;
SSA 型解题四步骤：求
→判断解的个数→求角
（注意两解）→求角
和边
;
验证技巧：用“大边对大角”（
）验证结果合理性，避免错误;
计算简化：保留根号或分式至最后化简，利用
转化未知角（如
）.
【多选题】（2025·广西南宁·模拟预测）设△ABC内角A ,B ,C的对边分别为
a,b,c，若A =π
3 ，b=3，c =2，则（ ）
A．a=√7
B．C =π
4
C．△ABC的外接圆面积为7π
3
D．若M 为BC中点，则AM = 19
4
【多选题】（2025·吉林·模拟预测）已知△ABC的面积为√15
4 ，若
sin A cos(C −B)=sin Bcos(C −A ),sinC = 1
2 cos B，则（ ）
A．C =π
2
B．sin B = 1
4
C．| AC |=2
D．| AB|=√15
【多选题】（2025·河南许昌·三模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD =π
2 ，
∠ADC =π
4 ，AC =√5，CD =√2.则下列结果正确的是（ ）
A．AD =3
B．sin ∠CAD = 2√5
5
C．sin ∠BAC = 2√5
5
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
6
D．若AB =2，则△ABC中BC边上高的长度为4√5
5
【热点题型三：解三角形综合应用（最值、范围问题）】
【核心归纳】
1.核心考查方向：边长最值/范围、角的最值/范围、面积最值/范围、与恒等变换/基本不等式融合的综合
最值.
2.解题核心思路:
3.边角转化：通过正、余弦定理将所求量转化为单一变量（角的三角函数或边的代数式）;
4.确定变量范围：结合内角和、两边之和大于第三边、三角函数值域（如
）约束变量;
5.求最值：利用三角函数单调性、二次函数最值或基本不等式求解.
6.常见转化模型:
7.边化角：由正弦定理将边转化为角的三角函数（如
），利用三角函数值域求最值;
8.角化边：由余弦定理将角转化为边的代数式，利用基本不等式求最值（如
，结
合
定值求
最小值）;
9.面积最值：将
转化为单一变量函数，结合正弦定理或基本不等式求解.
【易错提示】
变量转化不彻底：未转化为单一变量，无法确定最值;
变量范围偏差：未准确利用三角形约束条件（如两边之和大于第三边）缩小范围;
基本不等式应用缺失条件：未验证“一正、二定、三相等”，导致最值无法取到;
三角函数值域忽略角的范围：将角的范围误记为全体实数，导致值域错误.
【多选题】（2025·四川资阳·一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c.若sin A +sinC =2sin B，b=2，则（ ）
A．△ABC的周长为6
B．a，b，c成等差数列
C．角B的最大值为π
2
D．△ABC面积的最大值为√3
【规律方法总结】
最值求解三步法：转化变量→确定变量范围→利用函数/不等式求最值;
转化原则：①求角的最值/范围→优先边化角，转化为三角函数值域问题;②求边的最值/范围→优先角化
边，转化为基本不等式问题;
基本不等式应用技巧：遇到
、
相关最值，可通过“和定积最大、积定和最小”求解，注意验证等
号成立条件（如
是否符合三角形条件）;
三角函数最值技巧：将表达式化为
或
形式，结合角的范围求
值域.
【多选题】（25-26 高二上·吉林通化·开学考试）在△ABC中，角A , B , C所对
的边分别为a, b, c，且acosC +√3asinC =b+2c，a
2sin BsinC =3，AD为角A的平分线交BC于D，
则（ ）
A．A = 2π
3
B．△ABC的面积为2√3
经典例题
小试牛刀1
7
C．AD≤1
D．a≥2√3
（2025·海南海口·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．
AC 的中点为D，BD =√3，若√3
6 bsinC =c cos
2 A +C
2
，则（ ）
A．B =π
6 `
B．b 取值范围为[2,2√3)
C．△ABC面积的最大值为√3
D．△ABC周长的最大值为6
【多选题】（2025·安徽·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，A =60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD =2，则下列说法正确的是（ ）
A．4 b+c的最小值为6√3
B．BD
CD =sin B
sinC
C．1
BD + 1
CD 的最大值是√3
D．△ABC的周长的取值范围是[4√3,+∞)
【热点题型四：三角恒等变换与解三角形的实际应用】
【核心归纳】
1.常见实际场景：测量距离（如两点间不可达距离）、测量高度（如山顶、建筑物高度）、航海问题（航
向、距离）、坡度问题.
2.解题核心步骤（数学建模流程）:
3.审题建模：梳理实际问题中的几何关系，画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题;
4.提取已知量：确定三角形中的已知边、角（注意方位角、仰角、俯角、坡度的定义）;
5.选择定理求解：根据已知条件选择正弦定理或余弦定理，结合恒等变换计算未知量;
6.还原实际意义：将计算结果转化为实际问题的答案，补充单位，必要时取近似值.
7.关键概念辨析:
8.方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的角度（
）;
9.仰角/俯角：从水平线向上/向下转到目标方向的角度（
）;
10.坡度：坡面与水平面的夹角
，坡度
.
【易错提示】
概念理解错误：混淆方位角、仰角、俯角的定义，导致已知角提取错误;
建模失误：未能准确将实际问题转化为解三角形问题，遗漏关键三角形或已知条件;
忽略实际约束：计算结果未结合实际场景验证合理性（如距离为负、角度超范围）;
单位不统一：未将角度单位（度、弧度）或长度单位统一，导致计算错误.
（2025·广东深圳·模拟预测）某登山队在山脚营地A 处，测得山顶Q 位于其正东方向，
且仰角为60
°，该队继续沿南偏西30
°的方向行进400 米至营地B 处，测得山顶Q 的仰角为45
°，则该山顶
高于山脚的高度为 米．（结果保留整数，参考数据√2≈1.414 ,√3≈1.732）
【规律方法总结】
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
8
建模技巧：画图时明确“已知什么、求什么”，标注关键角和边，复杂问题可拆分多个三角形求解;
已知角提取技巧：方位角转化为三角形内角时，利用“正北/正南平行”性质求内错角、同旁内角;仰
角/俯角对应直角三角形中的锐角;
多三角形问题求解：先解已知条件充足的三角形，将求得的边/角作为另一三角形的已知条件，逐步推进;
近似值处理：根据题目要求保留小数位数，实际问题中通常保留1-2 位小数或整数.
（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔P的正西方向且相距50 海里的M处有一艘甲
船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上，则乙船前往支
援M处的甲船需要航行的最短距离是 海里.
（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高
程测量法的一个示意图，现有A、B、C 三点，且A、B、C 在同一水平面上的投影A
'、B
'、C
'满足
∠A
'C
' B
' = 45°，∠A
' B
'C
' =60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，B B
'与C C
'的差为100；由B 点测得A
点的仰角为45°，则A、C 两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1）
（24-25 高一下·辽宁·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的
《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，
故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某
位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30
∘，沿直线前进80 米到达E点，此时看点C的
仰角为45°，若BC =3 AC，则楼高AB约为（ ）（√3≈1.732，结果保留2 位小数）
A．80.56 米
B．81.46 米
C．84.32 米
D．86.56 米
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
课后针对训练
9
1．（2025·四川成都·模拟预测）已知sin(α +2 β)=tan(α + β)
tan β
= 1
4 ，则sinα =（ ）
A．1
20
B．−1
20
C．3
20
D．−3
20
2．（2025·重庆·模拟预测）若 sin (α + β)= 4
5 ,cos(α −β)= 1
5，则tan α + tan β −4 tan α tan β =（ ）
A．4
25
B．1
C．2
D．4
3．（2025·广东佛山·一模）已知0<α <π，cos α
2 = √5
5 ，则tan(α −π
4)=（ ）
A．7
2
B．2
7
C．1
7
D．7
4．（2025·云南·一模）在△ABC中，若sin A +sin B = 5
4 ,cos A +cos B = 1
4 ，则sinC =（ ）
A．5
13
B．12
13
C．3
5
D．4
5
5．（2025·陕西西安·模拟预测）函数f ( x)=cos3 x−cos2 x，x∈(0,π)，若f ( x)有两个零点
x1, x2( x1< x2)，则（ ）
A．x1+ x2=π
B．2 x2=3 x1
C．cos x1+cos x2= 1
2
D．cos x1cos x2=−1
4
6．（2025·云南昭通·模拟预测）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c ,a=3,b=2√6,B =2 A，则
S△ABC =（ ）
A．3√2
B．5√2
C．3√2或5√2
D．6√6
7．（2025·安徽·模拟预测）已知角α满足
1−sin2α
sin2α +cos2α −1 = 1
2，则
tan 2α
tan(α +π
4 )
的值等于（ ）
A．9
4
B．4
9
C．4
3
D．3
4
8．（2025·湖北黄冈·一模）若−π
2 <α −β <π
2 ,cosα −2sin β =1,sinα +2cos β =−√2，则
cos(β +π
3 )=（ ）
A．√3
3
B．√6
3
C．√3
6
D．√6
6
9．（2025·广东珠海·模拟预测）设α ∈(0,π
2 )，β ∈(0,π
2 )，且tan α + tan β =
1
cos β ，则（ ）
10
A．3α −β =π
2
B．2α −β =π
2
C．3α + β =π
2
D．2α + β =π
2
10．（2025·甘肃嘉峪关·三模）【多选题】在锐角△ABC 中，设a=6,c =5，sin B = √7
4 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．b= 4
B．AC边上的高是15√7
8
C．△ABC 面积是15√7
4
D．△ABC 内切圆的面积是5
2 π
11．【多选题】（24-25 高三下·湖南长沙·月考）在锐角△ABC中，tan B =3 tanC，角A , B , C的对边分
别为a, b, c，则下列式子正确的是（ ）
A．a= 4 c cos B
B．√2ac≤b
2
C．B<π
3
D．tan A ⋅tan
2C ≥2
12．【多选题】（2025·甘肃·模拟预测）在锐角△ABC中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且
sin2 A +sin2B+sin2C = 1
3，△ABC的周长为12，面积为6，则（ ）
A．△ABC内切圆的半径为1
B．△ABC外接圆的半径为6
C．sin A +sin B+sinC = 1
4
D．acos A +bcosB+ccosC =2
13．【多选题】（2025·河南·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
2(a−bcosC)=c sin B，b=2c，BC边上的高为2，则（ ）
A．tan B =2
B．b=2√5
C．△ABC的周长为3+3√5
D．△ABC的面积为3
14．（2025·安徽·二模）已知函数f (x)=2sin xcos x +2√3cos
2 x−√3.
(1)求函数f (x)的对称轴方程；
(2)若f(
x0
2 )= 6
5，x0∈(−π,0)，求f(x0+π
6 )的值．
15．（2025·江苏南通·模拟预测）△ABC中，sin( A −C )
sinC
+2cos A =√2sin B．
(1)求角C；
(2)若角C 为锐角，M 是BC 边上的一点，CM =2 MB =2，AM =2√2，求△ABC的面积．
16．（2025·全国·模拟预测）已知P为△ABC内一点，PB = PC =1,∠APB ,∠BPC ,∠CPA成等差数列．
(1)若PA =1，求△ABC周长的最大值；
(2)若AP⊥BP ,tan ∠BAC = √3
2 ，求PA．
17．（24-25 高三上·湖南株洲·期末）如图，在等边三角形△ABC中，Q为边BC上一点，BQ =2CQ，点
M，N分别是边AB , AC上的动点（不包括端点），若∠MQN =120
∘，且设∠CNQ =θ.
11
(1)求证：不论θ为何值，QM
QN =2恒成立.
(2)当△BMQ和△CNQ的面积相等时，求tanθ的值.
18．（2024·山东菏泽·二模）已知在△ABC中，⃗CA ⋅⃗CB =−2,△ABC的面积为√3．
(1)求角C的度数；
(2)若BC =2, D , E是AB上的动点，且∠DCE始终等于30°，记∠CED =α．当DE取到最小值时，求α的
值．
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