培优专题01 三角函数与解三角形 6 大重难题型
💎题型01 三角函数化简及图象、性质问题
命题方向一 三角函数概念及三角恒等变换
命题方向二 三角函数的性质
命题方向三 三角函数的图象变换
💎题型02 三角形的中线、角平分线、垂线条件的应用
命题方向一 三角形的中线
命题方向二 三角形的角平分线
命题方向三 三角形的高线
💎题型03 解三角形中的求边、求角、求面积问题
命题方向一 利用正、余弦定理解三角形的边与角
命题方向二 与三角形的面积相关解三角形问题
💎题型04 三角形中的最值、范围问题
命题方向一 解三角形中涉及角度的最值（范围）
命题方向二 解三角形中涉及边长、代数式的最值（范围）
命题方向三 解三角形中涉及周长的最值（范围）
命题方向四 解三角形中涉及面积的最值、范围
💎题型05 几何图形中的解三角形
💎题型06 解三角形融合交汇问题
命题方向一 三角函数与复数的创新融合
命题方向二 三角函数与数列的创新融合
命题方向三 解三角形与平面向量融合
命题方向四 解三角形与三角函数融合
题型01 三角函数化简及图象、性质问题
抓关键·破难点
三角函数化简及图象、性质问题主要考查恒等变形和三角函数性质，解题时要熟练掌握三角恒等变换
公式，主要解题步骤：
第一步：通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)
（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α
2
，sin2α＝1－cos 2α
2
，
第二步：再通过辅助角公式“化一”，化为
第三步：辅助角公式：asin α＋bcos α ＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b
a.
第四步：最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将
x
v
j
+
看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题
（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。
刷经典·通方法
🎯命题方向一 三角函数概念及三角恒等变换
1 .（2026·浙江强基联盟·联考）设点
沿
的圆周按逆时针方向旋转角
后到点
．
（1）当
时，求
的值；
（2）若
，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用两角和的三角函数公式写出
点的坐标表达式，进而得到
的三角函数式并计算.
si (
n
)
y
A
x
B
w
j
+
+
=
1
15
,
4
4
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
2
2
:
1
O x
y
+
=
e
a
,
Q m n
π
4
a =
m
n
+
π 5π
,
4 4
a
é
ù
Îê
ú
ë
û
2
2
m
n
n
-
+
2
4
9
2, 8
é
ù
-
ê
ú
ë
û
Q
m
n
+
（2）利用
点在圆上的条件将
转化为关于
的表达式，再根据
的范围，利用三角函数和二
次函数的性质求取值范围.
【详解】（1）设射线
与x 正半轴的夹角为
，则
，
，
由三角函数定义可知
，
，
因为
，则
，
所以
．
（2）由题知
，
由
，
，可知初始位置，即
，
得
，
终边位置，即
，即
，
由（1）知
，所以
，所以当
，
取得最小值
，
所以n 的取值范围为
，
因为
在
上单调递增，
上单调递减，
所以当
时，
，
由
，
可知
时，
所以
的取值范围为
．
Q
2
2
m
n
n
-
+
n
a
OP
q
1
cos
4
q =
15
sin
4
q =
cos(
)
m
q
a
=
+
sin(
)
n
q
a
=
+
π
4
a =
π
π
π
π
cos
sin
2sin
2 cos
4
4
4
4
m
n
q
q
q
q
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
=
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
2
4
m
n
+
=
2
2
2
2
2
1
2
1
m
n
n
n
n
n
n
n
-
+
= -
-
+
= -
+
+
sin(
)
n
q
a
=
+
π 5π
,
4 4
a
é
ù
Îê
ú
ë
û
π
4
a =
π
π
π
30
2
sin(
)
sin
cos
2
cos
sin
1
2
4
4
4
8
15
1
4
2
4
2
n
q
q
q ×
´
=
+
=
+
=
+
×
+
=
<
´
5π
4
a =
5π
π
30
2
sin(
)
sin(
)
1
4
4
8
n
q
q
+
=
+
= -
+
= -
> -
π
π
3
2
q
<
<
7π
7π
12
4
q
a
<
+
<
3π
2
q
a
+
=
n
1
-
30
2
1,
8
é
ù
+
-
ê
ú
ë
û
2
2
1
y
n
n
= -
+ +
1
1, 4
n
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û
1
30
2
,
4
8
n
é
ù
+
Îê
ú
ë
û
1
4
n =
2
max
1
1
9
2
1
4
4
8
y
æ
ö
= - ´
+
+ =
ç
÷
è
ø
30
2
1
30
2
2
8
4
8
1
5
1
4
4
-
=
=
+
-
-
-
>
+
1
n = -
2
min
2
1
1
1
2
y
= - ´ -
+ -
+ = -
2
2
m
n
n
-
+
9
2, 8
é
ù
-
ê
ú
ë
û
2．（2025·河北保定模拟）已知函数
．
（1）求函数
的对称中心及对称轴方程；
（2）当
时，求函数
的最大值和最小值．
【答案】(1)对称中心为
，对称轴方程为：
；
(2)最大值为
，最小值为0．
【分析】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为
，利用正弦函数的对
称性，求解即可．
（2）当
时，
，可得
，即可得出函数的最值．
【详解】（1）
，
令
，解得
，
对称轴方程为：
．令
，解得
，
函数
的对称中心为
．
（2）当
时，
，
由正弦函数的性质可知，
的最大值为1，最小值为
，
函数
的最大值为
，最小值为0．
3．（2025·广东广州·一模）已知函数
，其中
．
（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；
（2）若
时，
的最小值为4，求
的值．
【答案】(1)
；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；
利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
2
π
sin
3cos cos 2
f x
x
x
x
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
f
x
7π
0, 12
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
f
x
π
π 1
,
12
2
2
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
¢
¢
ø
Z
π
π
3
2
k
x
k
=
+
Î Z
3
2
π
1
sin 2
6
2
f x
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
7π
0, 12
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
π
π
2
,π
6
6
x
é
ù
-
Î -
ê
ú
ë
û
π
1
sin 2
,1
6
2
x
æ
ö
é
ù
-
Î -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
2
sin
3cos sin
f x
x
x
x
=
+
1
cos2
3sin2
2
2
x
x
-
=
+
3
1
1
sin2
cos2
2
2
2
x
x
=
-
+
π
1
sin 2
6
2
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
π
π
2
π
6
2
x
k
k
-
=
+
ÎZ
π
π
3
2
k
x
k
=
+
Î Z
\
π
π
3
2
k
x
k
=
+
Î Z
π
2
π
6
x
k
k
¢
=
¢
-
ÎZ
π
π
12
2
k
x
k
¢
=
+
¢ÎZ
\
f
x
π
π 1
,
12
2
2
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
¢
¢
ø
Z
7π
0, 12
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
π
π
2
,π
6
6
x
é
ù
-
Î -
ê
ú
ë
û
π
sin 2
6
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
1
2
-
\
π
1
sin 2
6
2
f x
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
3
2
2
2cos
3sin2
1
=
+
- +
f x
x
x
m
R
xÎ
f
x
π
0, 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
f
x
m
π
π
π
π
, π
Z
3
6
k
k
k
é
ù
-
+
Î
ê
ú
ë
û
5
m =
（2）由已知找到
取最小值为4 时的
值，得到关于
的方程．
【详解】（1）
，
．
由
，
，求得
，
，
函数的单调递增区间为
．
（2）由
时，
，
，
，解得
．
🎯命题方向二 三角函数的性质
4. （2026·广东广州市天河区适应性训练·二模）已知函数
的周期为
，且
.
（1）求函数
的解析式；
（2）比较
与
的大小.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）首先根据周期求
，再根据对称性求
，求函数的解析式；
（2）代入函数解析式，结合诱导公式化简，再根据单调性比较大小.
【详解】（1）由条件可知，
，得
，
可知，函数
关于直线
对称，
所以
，得
,
因为
，所以
时，
，所以
；
f
x
x
m
π
cos2
3sin 2
2sin 2
6
f x
x
x
m
x
m
æ
ö
=
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
2π
π
2
T =
=
∴
π
π
π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
-
£
+
£
+
Z
kÎ
π
π
π
π
3
6
k
x
k
-
£
£
+
Z
kÎ
\
π
π
π
, π
Z
3
6
k
k
k
é
ù
-
+
Î
ê
ú
ë
û
π
0, 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
π
π 7π
2
,
6
6
6
x
é
ù
+
Îê
ú
ë
û
π
1
sin 2
,1
6
2
x
æ
ö
é
ù
+
Î -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
1
2
4
2
\-
´
+
=
m
5
m =
sin
f x
x
w
j
=
+
π
π,
0,
2
w
j
>
<
π
2π
2
3
f
f
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
y
f
x
=
11π
8
f æ
ö
ç
÷
è
ø
4π
7
f æ
ö
ç
÷
è
ø
π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
11π
4π
8
7
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
w
j
2π
π
w =
2
w =
π
2π
2
3
f
f
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
f x
π
2π
7π
2
3
2
12
x
+
=
=
7π
π
2
π,
Z
12
2
k
k
j
´
+
=
+
Î
2π
π,
Z
3
k
k
j = -
+
Î
π
2
j <
1
k =
π
3
j =
π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
（2）
，
，
在区间
单调递增，所以
，则
，
所以
.
5．（2025·辽宁鞍山·模拟）已知函数
．若函数
的相邻
两条对称轴间的距离为
．
(1)求
的值，并求函数
在
的值域；
(2)若函数
(
)
3
y
f x
q
=
+
-
（其中常数
）为奇函数，求
的值．
【答案】(1)1，
(2)
．
【分析】（1）由三角恒等变换化简后，利用正弦型函数的周期求出
，再由自变量的范围求出值域；
（2）根据函数为奇函数， 由诱导公式求解即可.
【详解】（1）
由题意可知，函数
的最小正周期
，所以
，
所以
．
，
，
．
所以，
在
的值域为
．
（2）函数
为奇函数，
令
得
，所以
，
因为
，所以
，
．
11π
11π
π
37π
π
π
sin 2
sin
sin 3π
sin
8
8
3
12
12
12
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
=
+
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
4π
4π
π
31π
10π
10π
sin 2
sin
sin π+
sin
7
7
3
21
21
21
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
=
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
sin
y
x
=
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
π
10π
sin
sin
12
21
<
π
10π
sin
sin
12
21
-
> -
11π
4π
8
7
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
π
π
( )
sin 2
2 3 cos
(
0)
6
12
f x
x
x
w
w
w
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
( )
f x
π
2
w
( )
f x
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û
π
0, 2
q
æ
ö
Î ç
÷
è
ø
q
1
3, 2
3
é
ù
+
+
ë
û
5 π
12
q =
w
2
π
π
π
π
sin 2
2 3cos
sin 2
3cos 2
3
6
12
6
6
f x
x
x
x
x
w
w
w
w
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
=
-
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
π
2sin 2
3
6
x
w
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
f
x
2π
π
2
T
w
=
=
1
w =
π
2sin 2
3
6
f x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
π
0, 3
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
π
π 5π
2
,
6
6
6
x
é
ù
+
Îê
ú
ë
û
π
1
sin 2
,1
6
2
x
æ
ö
é
ù
+
Î
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
f
x
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û
1
3, 2
3
é
ù
+
+
ë
û
π
3
2sin 2
2
6
y
f x
x
q
q
æ
ö
=
+
-
=
+
+
ç
÷
è
ø
0
x =
π
2
π,
Z
6
k
k
q +
=
Î
π
π ,
Z
2
12
k
k
q =
-
Î
π
0, 2
q
æ
ö
Î ç
÷
è
ø
1
k =
5 π
12
q =
🎯命题方向三 三角函数的图象变换
6.（2026·重庆第八中学3 月适应性测试）已知函数
2sin
0
6
f x
x
w
w
p
æ
ö
=
-
>
ç
÷
è
ø
的最小正周期为π．
（1）若
π
π
,
12 3
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
6
5
f a =
，求
π
cos
12
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的值；
（2）将函数
f x 的图象向右平移π
12 个单位，再向上平移1 个单位，得到的图象对应函数记为
g x ，求函
数
y
g x
=
在
π π
,
6 3
é
ù
-
ê
ú
ë
û
上的值域．
【答案】 （1）3 10
10
（2）
1,1
3
é
ù
-
+
ë
û
【分析】（1）先利用三角函数最小正周期公式
2
T
p
v
=
求出v ，得到
( )
f x 的解析式；再将
6
( )
5
f a =
代入，
结合角度范围，通过角度配凑与二倍角公式，将已知的正弦值转化为目标角的余弦值进行计算.
（2）根据三角函数图像平移 “左加右减、上加下减” 的规则，得到( )
g x 的解析式；再由给定的x 范围确定
整体角的范围，结合正弦函数的单调性与最值，求出( )
g x 在区间上的值域.
【详解】（1）Q函数
π
2sin
6
f x
x
w
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø的最小正周期为π，
2π
π
w
\
=
，解得
2
w =
， 即
π
2sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø，
6
5
f a =
Q
，
π
6
2sin 2
6
5
a
æ
ö
\
-
=
ç
÷
è
ø
，则
π
3
sin 2
6
5
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
π
π
,
12 3
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø
Q
，则
π
π
2
0,
6
2
a
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø
，
2
π
3
4
cos 2
1
6
5
5
a
æ
ö
æ
ö
\
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
π
π
cos 2
2cos
1
6
12
a
a
æ
ö
æ
ö
-
=
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Q
，
2
π
4
2cos
1
12
5
a
æ
ö
\
-
- =
ç
÷
è
ø
，
π
π
2
0,
6
2
a
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø
Q
，即
π
π
0,
12
4
a
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø
，∴
π
3 10
cos
12
10
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
.
（2）
π
2sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
Q
，
\
f x 的图象向右平移π
12 个单位后得到的函数为
π
π
2sin 2
12
6
y
x
é
ù
æ
ö
=
-
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
，即
π
2sin 2
3
y
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，
再向上平移1 个单位得到的图象对应函数为
π
2sin 2
1
3
y
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
π
2sin 2
1
3
g x
x
æ
ö
\
=
-
+
ç
÷
è
ø
，当
π π
,
6 3
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û 时，
π
2π π
2
,
3
3
3
x
é
ù
-
Î -
ê
ú
ë
û ，
令
π
2
3
t
x
=
-
，则
2π π
,
3
3
t
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，
则
sin
y
t
=
在区间
2π
π
,
3
2
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û 上单调递减，在区间
π π
,
2 3
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，
n
π
π
sin
sin
si
2
3
t
æ
ö
\
-
£
£
ç
÷
è
ø
则
3
1
sin
2
t
- £
£
，
π
3
1
sin 2
3
2
x
æ
ö
\- £
-
£
ç
÷
è
ø
，
π
1
2sin 2
1 1
3
3
x
æ
ö
\- £
-
+ £ +
ç
÷
è
ø
，
\函数
y
g x
=
在
π π
,
6 3
é
ù
-
ê
ú
ë
û
上的值域为
1,1
3
é
ù
-
+
ë
û ．
7．（2026·安徽皖江阶段测试）已知函数
的部分图象如图所示，图象与
轴的交点为
，且
在区间
上恰有一个极大值和一个极小值.
（1）求
的值及
的取值范围；
（2）若
是整数，将
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，求
的最大值.
【答案】(1)
，
；
(2)2
【分析】（1）将
代入解析式，求出
，并求出
，数形结合得到不等式，
求出
的取值范围；
（2）在（1）基础上，得到
，求出平移后的解析式，得到
，结合
求出最大值.
【详解】（1）将
代入解析式得
，
又
，故
，又
，
π
sin
0,
π
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
<
ç
÷
è
ø
y
3
0,
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
f
x
0, π
j
w
w
f
x
11π
24
g
x
π
1
π
8
2
8
h x
g x
g
x
æ
ö
æ
ö
=
-
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2π
3
j =
7
6
11
6 ,1
w
æ
ù
Îç
ú
è
û
3
0,
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
2π
3
j =
2π
2π
2π
,
π
3
3
3
x
w
w
æ
ö
+
Î
+
ç
÷
è
ø
w
2
w =
2
1
9
2 sin
4
8
h x
x
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
sin
1,1
x Î -
3
0,
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
3
sin
2
j =
π
π
2
j
<
<
2π
3
j =
0
w >
当
时，
，
因为
在区间
上恰有一个极大值和一个极小值，
故
，解得
；
（2）
是整数，又
，故
，
所以
，
的图象向右平移
个单位长度得到
，
所以
，
，
又
，故当
，即
时，
取得最大值，最大值为
.
8．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数
的最小正周期为
．
（1）求
的值；
（2）将函数
的图象先向左平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，
若
在区间
上有且仅有3 个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦的和角公式及倍角公式得
，再结合条件，即可求
解；
（2）根据条件得
，由
可得
或
，再结合
条件，即可求解.
【详解】（1）
，
又
的最小正周期为
，
，则
，所以
.
0, π
x Î
2π
2π
2π
,
π
3
3
3
x
w
w
æ
ö
+
Î
+
ç
÷
è
ø
f
x
0, π
2π
5π 7π
π
,
3
2
2
w
æ
ù
+
Îç
ú
è
û
11 17
,
6
6
w
æ
ù
Îç
ú
è
û
w
11 17
,
6
6
w
æ
ù
Îç
ú
è
û
2
w =
2π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
f
x
11π
24
11π
2π
π
sin 2
sin 2
12
3
4
g x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
π
1
π
π
π
1
π
π
sin 2
sin 2
8
2
8
4
4
2
8
4
h x
g x
g
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
+
=
-
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
2
2
π
1
9
sin 2
sin
cos 2
sin
2sin
sin
1
2 sin
2
4
8
x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
+
= -
+
=
+
- =
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
sin
1,1
x Î -
sin
1
x =
π
2 π,
Z
2
x
k
k
=
+
Î
2
1
9
2 sin
4
8
h x
x
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
2
1
9
2
1
2
4
8
æ
ö
´
+
-
=
ç
÷
è
ø
π
4sin
cos
3
0
3
f x
x
x
w
w
w
æ
ö
=
+
-
>
ç
÷
è
ø
π
w
f
x
π
6
y
g x
=
g
x
0, m
m
1
13π 7π
12
4
é
ö
÷
êë
ø
,
π
2sin 2
3
f x
x
w
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
2π
2sin 2
1
3
g x
x
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
0
g
x =
π
π,
Z
4
x
k
k
= -
+
Î
π
π,
Z
12
x
k
k
=
+
Î
2
π
4sin
cos
3
2sin
cos
2 3cos
3
3
f x
x
x
x
x
x
w
w
w
w
w
æ
ö
=
+
-
=
+
-
ç
÷
è
ø
π
sin2
3cos2
2sin 2
3
x
x
x
w
w
w
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
f
x
π
0
w >
2π
π
2
T
w
=
=
1
w =
（2）由（1）知
，所以
，
由
时，得到
，
所以
或
即
或
，
因为
在区间
上有且仅有3 个零点，
由
，令
，得
；令
，得
；
由
，令
，得
；
，得
；
所以
，
故
的取值范围是
.
题型02 三角形的中线、角平分线、垂线条件的应用
抓关键·破难点
一、中线问题
如图，△ABC 中，AD 为BC 的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD 长.
①倍长中线：如图，构造全等三角形，再用余弦定理即可；
π
2sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
2π
2sin 2
1
3
g x
x
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
0
g
x =
2π
1
sin 2
3
2
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
2π
π
2
2 π,
Z
3
6
x
k
k
+
=
+
Î
2π
5π
2
2 π,
Z
3
6
x
k
k
+
=
+
Î
π
π,
Z
4
x
k
k
= -
+
Î
π
π,
Z
12
x
k
k
=
+
Î
g
x
0, m
π
π,
Z
4
x
k
k
= -
+
Î
1
k =
3π
4
x =
2
k =
7π
4
x =
π
π,
Z
12
x
k
k
=
+
Î
0
k =
π
12
x =
1
k =
13π
12
x =
13π
7π
12
4
m
£
<
m
13π 7π
,
12
4
é
ö
÷
êë
ø
2
1
4
3
D
A
B
C
D
C
B
A
② 向量法：
1
= 2
AD
AB
AC
+
uuur
uuur
uuur
,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即cos
cos
0
ADB
ADC
+
=
∠
∠
；
注：若或将条件“AD 为BC 的中线”换为“ BD
CD
l
=
”则可以考虑方法②或方法③.
二、角平分线问题
△ABC 中，AD 平分∠BAC.
①角平分线定理：
D
AC
CD
AB
B
=
证法1（等面积法）
1
2
1
2
=
ABD
ACD
S
BD h
AB h
S
CD h
AC h
×
×
=
×
×
，得
D
AC
CD
AB
B
=
注：
1h 为A 到BC 的距离，
2h 为D 到AB,AC 的距离.
证法2（正弦定理）
如图，sin
3
sin 1
D
AB
B
=
∠
∠，sin
4
sin
2
C
CD
A
=
∠
∠
,而sin
1
sin
2,sin
3
sin
4
=
=
∠
∠
∠
∠
，整理得
D
AC
CD
AB
B
=
②等面积法
ABC
ABD
ADC
S
S
S
=
+
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
A
A
AB
AC
A
AB
AD
AC
AD
´
´
=
´
´
+
´
´
三、垂线问题
①等面积法：
sin
AD BC
AB AC
BAC
×
=
×
×
∠
②
sin
=
sin
AD
AB
ABD AC
ACD
=
×
×
∠
∠
③a
c COS B
b COS C
=
×
+
×
刷经典·通方法
🎯命题方向一 三角形的中线
1.（2026·江苏南通2 月检测）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯
定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三
边之半的平方和的两倍，即如果AD 是ABC
V
中BC 边上的中线，则
2
2
2
2
2
2
BC
AB
AC
AD
é
ù
æ
ö
+
=
+
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
.
（1）若在ABC
V
中，
5
AB =
，
3
AC =
，
π
3
BAC
Ð
=
，求此三角形BC 边上的中线长；
（2）请证明题干中的定理；
（3 ）如图
ABC
V
中，若AB
AC
>
，D 为BC 中点，
3
BD
DC
=
=
，
sin
3 sin
3 sin
a
A
b
B
b
A C
+
=
-
，
3 3
2
ABC
S
=
△
，求cos
DAC
Ð
的值.
【答案】（1）7
2
；（2）证明见解析；（3）1
2
-
【详解】（1）
如图所示，
由余弦定理得，
2
2
2
2
cos
BC
AC
AB
AB
AC
A
=
+
-
´
´
，
代值计算得到
2
2
2
π
5
3
2 5 3 cos 3
BC =
+
- ´ ´ ´
，求得
19
BC =
；
由于
2
2
2
2
2
2
BC
AB
AC
AD
é
ù
æ
ö
+
=
+
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，代值计算得
2
2
2
2
19
5
3
2
2
AD
é
ù
æ
ö
ê
ú
+
=
+ ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
，求得
7
2
AD =
（2）在
ABD
△
中，
2
2
2
2
cos
AB
AD
BD
AD
BD
ADB
=
+
-
´
Ð
；
在ACD
V
中，
2
2
2
2
cos
AC
AD
CD
AD CD
ADC
=
+
-
´
Ð
；
两式相加，且
1
cos
cos
,
2
ADB
ADC BD
CD
BC
Ð
= -
Ð
=
=
，得到
2
2
2
2
2
2
BC
AB
AC
AD
é
ù
æ
ö
+
=
+
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，则原式得证．
（3）由于
sin
3 sin
3 sin
a
A
b
B
b
A C
+
=
-
3 (sin
cos
sin
cos
)
3 sin
cos
3 sin
cos
b
A
C
C
A
b
A
C
b
C
A
=
-
=
-
则由正弦定理，得
2
2
3
3
cos
3
cos
a
b
ba
C
bc
A
+
=
-
，
即
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
a
b
c
b
c
a
a
b
ba
bc
ab
bc
+
-
+
-
+
=
´
-
´
，
去分母整理得到
2
2
2
3
3
2
b
c
a
+
=
，即
2
2
2
2
3
a
b
c
+
=
．
且
3
BD
DC
=
=
，则
6
BC
a
=
= ，则
2
2
24
b
c
+
=
．
由于
2
2
2
2
2
2
BC
AB
AC
AD
é
ù
æ
ö
+
=
+
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，且
3
BD
DC
=
=
，即
2
2
2
2
9
c
b
AD
é
ù
+
=
+
ë
û
联立解出
3
AD =
由于
3 3
2
ABC
S
=
△
，则
3 3
1
1
sin
3 3sin
4
2
2
ADC
S
AD
DC
ADC
ADC
=
=
´
´
Ð
=
´
´
Ð
V
，
解得
1
sin
2
ADC
Ð
=
，则
3
cos
2
ADC
Ð
=
（负数不满足）.
由余弦定理得到
2
2
2
2
cos
AC
DC
AD
AD
DC
ADC
=
+
-
´
Ð
，代值计算，
2
3
9
3
6 3
3
2
AC =
+ -
´
=
， 则
3
AC =
，
则
2
2
2
3
3
9
1
cos
2
2
2
3
3
AD
AC
DC
DAC
AD
AC
+
-
+ -
Ð
=
=
= -
´
´
´
．
2．（2026·山东济钢高级中学3 月检测）在ABC
V
中，角, ,
A B C的对边分别为, ,
a b c ，已知
2
2
2
2
2 3
tan
tan
b
A
C
a
b
c
+
=
-
-
.
（1）求C；
（2）若
3
c = ，D 为边AB 的中点，
1
CD= ，求a b
-
.
【答案】（1）2π
3
（2）
6
2
【分析】（1）先利用余弦定理将分母
2
2
2
a
b
c
-
-
转化为
2
cos
bc
A
-
，再将 tanA+tanC 化为正弦、余弦
形式，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角C.
（2）可利用中线长公式或在两个小三角形中分别应用余弦定理，结合（1）中求得的角 C，建立关于
,
a b
的方程，最终求出.
【详解】（1）因为
sin
sin
sin
cos
sin
cos
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
A C
B
A
C
C
A
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
+
+
=
=
=
+
2
2
2
2
2 3
tan
tan
b
A
C
a
b
c
=
+
=
-
-
2
2 3
3
3sin
2
cos
cos
sin
cos
b
b
B
bc
A
c
A
C
A
=
= -
= -
-
.
所以
1
3
cos
sin
C
C
= -
，故tan
3
C = -
，所以
2π
3
C =
.
（2）由于
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
4
4
CD
CA
CB
CB
CA
CB
CA
CB CA
=
=
=
+
=
+
=
+
+
×
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
2
2
1
2
cos
4 a
b
ab
C
=
+
+
故
2
2
4
2
cos
a
b
ab
C
=
+
+
，由余弦定理又有
2
2
2
2
9
3
2
cos
c
a
b
ab
C
=
=
=
+
-
，而
2π
1
cos
cos 3
2
C =
= -
，故有
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
cos
4
9
13
2
2
2
2
2
a
b
ab
C
a
b
ab
C
a
b
+
+
+
-
+
=
+
=
+
=
，
2
2
2
2
2
cos
2
cos
9
4
5
2
cos
2
2
2
2
2
a
b
ab
C
a
b
ab
C
ab
ab
C
+
-
+
+
= -
=
-
=
-
=
.
所以
2
2
2
13
5
3
6
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
ab
-
=
-
=
+
-
=
-
´
=
=
.
3．（2025·湖南长沙·二模）在
中，已知
，
，
．
（1）求
；
（2）设BC，AC 边上的两条中线AM，BN 相交于点P，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理先求得
，再结合正弦定理求解即可；
（2）设
，
，根据平面向量的线性运算可得
，
，进而结合平面向量
的数量积及运算律求解即可.
【详解】（1）由余弦定理得
，
则
．
由正弦定理得
，
则
，解得
．
（2）设
，
，则b 与c 的夹角为
，且
，
因为AM，BN 为中线，
ABC
V
2
AB =
5
AC =
60
BAC
Ð
=
°
sin
ACB
Ð
cos
MPN
Ð
57
19
4 91
91
19
BC =
AB
c
=
uuur
r
AC
b
=
uuur
r
1
2
AM
b
c
=
+
uuuur
r
r
1
2
BN
b
c
=
-
uuur
r
r
2
2
2
2
2
1
2
cos
2
5
2 2 5
19
2
BC
AB
AC
AB AC
BAC
=
+
-
×
×
Ð
=
+
- ´ ´ ´
=
19
BC =
sin
sin
AB
BC
ACB
BAC
=
Ð
Ð
2
19
sin
3
2
ACB =
Ð
in
19
57
s
ACB
Ð
=
AB
c
=
uuur
r
AC
b
=
uuur
r
60°
5,
2
b
c
=
=
r
r
所以有
，
，
于是
，则
，
，则
．
又
，
所以
．
4．（2025·河北张家口·一模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
.
（1）若
，求
；
（2）当BC 边上的中线最小时，求
的面积.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）先由题设结合倍角公式和正弦定理得
，接着由
即可结
合同角三角函数关系和两角和正弦公式即可依次求出
和
，从而由正弦定理即可求解c；
（2）先由（1）求出a，接着由
结合余弦定理和基本不等式即可依次求出
和
，再由正弦定理形式面积公式即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，故
，
又
，即
，
所以由正弦定理
，
1
2
AM
b
c
=
+
uuuur
r
r
1
1
2
2
BN
AN
AB
AC
AB
b
c
=
-
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
r
r
2
2
2
2
2
1
1
39
2
5
2
2 5 2 cos60
4
4
4
AM
b
c
b c
=
+
+
×
=
+
+ ´ ´ ´
° =
uuuur
r
r
r r
39
2
AM =
uuuur
2
2
2
2
2
1
1
21
5
2
5 2 cos60
4
4
4
BN
b
c
b c
=
+
- × =
´
+
- ´ ´
° =
uuur
r
r
r r
21
2
BN =
uuur
2
2
1
1
1 1
1
2
2
2 2
2
AM BN
b
c
b
c
b
b c
c
æ
ö
æ
ö
×
=
+
×
-
=
-
× -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuuur uuur
r
r
r
r
r
r r
r
2
2
1 1
1
5
5 2 cos60
2
3
2 2
2
æ
ö
=
´
-
´ ´ ´
°-
=
ç
÷
è
ø
3
4 91
cos
91
39
21
2
2
AM BN
MPN
AM BN
×
=
´
Ð
=
=
uuuur uuur
uuuur uuur
ABC
V
2π
3
A =
7sin 2
3 cos
B
b
B
=
13
cos
14
B =
c
ABC
V
5
c =
49 3
12
14 3
sin
sin
sin
3
a
b
c
A
B
C
=
=
=
13
cos
14
B =
sin A
sin C
2
2
1
4
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
49
3
bc £
7 3
6
AD ³
uuur
2π
3
A =
π
0, 3
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø
cos
0
B ¹
7sin 2
3 cos
B
b
B
=
14sin
cos
3 cos
B
B
b
B
=
14 3
sin
sin
sin
3
a
b
c
A
B
C
=
=
=
若
，则
，
则
，
所以
；
（2）由（1）得
，取
中点
，
则
为BC 边上的中线，
则
，
又由余弦定理得
，故
，
即
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即
，当且仅当
时等号成立，
所以BC 边上的中线最小值为
，此时
.
🎯命题方向二 三角形的角平分线
5．（2026·四川宜宾普通高中第二次诊断性测试）已知ABC
V
的内角A、B、C 的对边分别为a b c
、、，满足
sin
3 cos
0
a
B
b
A
+
=
．
（1））求A；
（2）设点D 为BC 上一点，AD 是ABC
V
的角平分线，且
3
b= 、
6
c = ，求AD 的长度．
【答案】(1)
2π
3
A =
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式中的边化为角，约去sinB 后得到关于角 A 的三角方程，结合 A
的取值范围求出角 A.
（2）根据角平分线性质或面积法，结合（1）中求得的角 A 与已知边长b,c，建立关于 AD 的方程，进而
求出 AD 的长度.
【详解】（1）已知
sin
3 cos
0
a
B
b
A
+
=
，
由正弦定理得
sin sin
3sin cos
sin
sin
3cos
0
A
B
B
A
B
A
A
+
=
+
=
，
0,π
BÎ
Q
，
sin
0
B
\
¹
，
sin
3 cos
0
A
A
\
+
=
，即sin
3 cos
A
A
= -
，
tan
3
A
\
= -
，又
0,π
AÎ
Q
，
2π
3
A
\
=
；
13
cos
14
B =
2
3 3
sin
1 cos
14
B
B
=
-
=
3
13
1
3 3
5 3
sin
sin
sin
cos
cos
sin
2
14
2
14
14
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
=
´
-
´
=
5
14 3
14 3
sin
3
5
14
3
3
c
C =
´
=
=
14 3
14 3
3
sin
7
3
3
2
a
A
=
=
´
=
BC
D
AD
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
4
4
4
4
4
4
4
2
4
AD
AB
AC
AB
AC
AB AC
c
b
bc
b
c
bc
æ
ö
=
+
=
+
+
´
=
+
+
´
´ -
=
+
-
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
g
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
2
2
2
2
49
2
3
b
c
bc
b c
bc
bc
=
+
+
³
+
=
49
3
bc £
7 3
3
b
c
=
=
2
1
1
49
49
49
2
49
2
4
4
3
12
AD
bc
æ
ö
=
-
³
- ´
=
ç
÷
è
ø
uuur
7 3
6
AD ³
uuur
7 3
3
b
c
=
=
7 3
6
1
1
49
3
49 3
sin
2
2
3
2
12
ABC
S
bc
A
=
=
´
´
=
V
（2）AD 是ABC
V
的角平分线，
由（1）知，
2π
3
A =
，则
π
3
BAD
DAC
Ð
= Ð
=
，因为
ABC
ABD
CAD
S
S
S
=
+
，
则1
2π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
bc
c
AD
b
AD
=
´
´
+
´
´
，因为
3
b= ，
6
c = ，即有18
6
3
AD
AD
=
+
，
故
2
AD=
．
6.（2026·宁夏青铜峡一模）在
中，内角
的对边分别是
，且
．
（1）求
的大小；
（2）若
，
为
的角平分线，且
，求
的面积．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先应用两角和正弦公式化简，再应用诱导公式计算得出余弦值即可求解角
；
（2）根据余弦定理计算，应用角平分线定理结合面积公式计算求解.
【详解】（1）由
得，
，所以
，
即
，因为
，所以
，
则
，所以
．
（2）
中，由余弦定理得
，即
①，
因为
为
的角平分线，所以
，即
②，
联立①②，解得
，所以
．
7．（2025·湖北武汉·三模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
，
，
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
sin2
cos sin
sin cos
A
B
C
B
C
+
= -
A
2 5
a =
AQ
ABC
V
1
=
AQ
ABC
V
2π
3
A =
5 3
4
A
sin2
cos sin
sin cos
A
B
C
B
C
+
= -
2sin cos
sin cos
cos sin
sin
A
A
B
C
B
C
B
C
-
=
+
=
+
2sin cos
sin π
A
A
A
-
=
-
2sin cos
sin
A
A
A
-
=
0, π
AÎ
sin
0
A ¹
1
cos
2
A = -
2π
3
A =
ABC
V
2
2
2
1
2 5
2
2
b
c
bc æ
ö
=
+
-
× -
ç
÷
è
ø
2
20
b
c
bc
+
-
=
AQ
ABC
V
1
3
1
3
1
3
1
1
2
2
2
2
2
2
bc
c
b
´
=
´ ´
+
´ ´
bc
c
b
=
+
5
bc =
1
1
3
5 3
sin
5
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
=
=
´ ´
=
V
ABC
V
A
B
C
a
b
c
7
cos
9
B =
4
a =
角
的角平分线交
于点
，且
．
（1）求
的长；
（2）求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用降幂公式求出
，再结合余弦定理求解即可；
（2）先求出
，
，利用等面积法
求出
，进而求解即可.
【详解】（1）由
，则
，
因为
，所以
，
所以
，则
，
又
是角
的角平分线，
则在
中，由余弦定理得
，即
.
（2）由（1）知
，则
，
由
，则
，
又
是角
的角平分线，由
，
则
，
则
，解得
，
所以
.
8．（2025·江西·三模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
（1）求A；
B
AC
D
3 2
BD=
CD
ABC
V
2
32 2
7
2 2
cos 2
3
B =
1
sin 2
3
B =
4 2
sin
9
B =
ABC
ABD
CBD
S
S
S
=
+
V
V
V
36
7
c =
7
cos
9
B =
2
7
1
1 cos
8
9
cos 2
2
2
9
B
B
+
+
=
=
=
7
cos
0
9
B =
>
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø
π
0,
2
4
B
æ
ö
Î ç
÷
è
ø
2 2
cos 2
3
B =
BD
B
BCD
△
2
2
2
2 2
2
cos
18 16
2 3 2
4
2
2
3
B
CD
BD
a
BD a
=
+
-
× ×
=
+
- ´
´ ´
=
2
CD=
2 2
cos 2
3
B =
2
1
sin
1 cos
2
2
3
B
B
=
-
=
7
cos
9
B =
2
4 2
sin
1 cos
9
B
B
=
-
=
BD
B
ABC
ABD
CBD
S
S
S
=
+
V
V
V
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
B
B
ac
B
c BD
a BD
=
×
×
+
×
×
1
1
1
1
1
4
3 2
3
4 2
9
4 3 2
2
2
3
2
c
c
´
´
=
´
´
+
´ ´
´
36
7
c =
1
1
36
sin
4
2
2
7
4 2
32 2
9
7
ABC
S
ac
B
´ ´
´
=
=
=
V
ABC
V
cos2
2 cos
cos
0
b
c
c
A
a
A
C
+
+
+
=
（2）若∠BAC 的角平分线AD 与边BC 交于点D，且
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式、和角的正弦公式化简即得.
（2）设
，利用正弦定理用
表示
，换元结合余弦定理求出范围，进而构造函
数并利用导数求出最小值.
【详解】（1）在
中，由
，得
，
由正弦定理得
，即
，
则
，而
，解得
，又
，
所以
.
（2）由（1）知
，设
，
在
中，由正弦定理得
，
，
则
，令
，
，
在
中，由余弦定理得
，
解得
，因此
，
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递减，
则
，所以
的最小值为
.
🎯命题方向三 三角形的高线
9. （2026·山东青岛一模调研）设
的内角A，B，C 所对的边分别为
，，，且有
．
（1）求角A；
（2）若BC 边上的高
，求
．
【答案】（1）
4
b
c
+
=
1
1
BD
DC
+
2π
3
A =
2 3
3
2π
, 0
3
ADB
q
q
Ð
=
<
<
q
,
BDCD
ABC
V
cos2
2 cos
cos
0
b
c
c
A
a
A
C
+
+
+
=
2
2 cos
2 cos cos
0
b
c
A
a
A
C
+
+
=
sin
2cos (sin cos
sin cos ) 0
B
A
C
A
A
C
+
+
=
sin
2cos sin(
) 0
B
A
A C
+
+
=
sin
2cos
sin
0
B
A
B
+
=
sin
0
B >
1
cos
2
A = -
0
π
A
<
<
2π
3
A =
π
3
BAD
CAD
Ð
= Ð
=
2π
, 0
3
ADB
q
q
Ð
=
<
<
,
ABD ACD
△
△
sin
sin
BD
AB
BAD
ADB
=
Ð
Ð
sin
sin
CD
AC
CAD
ADC
=
Ð
Ð
3
3
,
2sin
2sin
c
b
BD
CD
q
q
=
=
3
3
[
,
)
2sin
2
l
q
=
Î
+¥
(
) 4
a BD CD
b c
l
l
=
+
=
+
=
ABC
V
2
2
2
2
2
16
(
)
16
16
a
b
c
bc
b c
bc
bc
l =
=
+
+
=
+
-
=
-
<
1
1
l
- <
<
3
[
,1)
2
l Î
2
2
1
1
1
1
4
4
1
(16 16
)
4 (1
)
BD
DC
c
b
bc
l
l
l
l
l
l
l
+
=
+
=
=
=
-
-
2
(1
)
( )
f
l
l
l
=
-
2
1 3
0
( )
f l
l
-
=
<
¢
( )
f l
3
[
,1)
2
max
3
3
( )
(
)
2
8
f
f
l
=
=
1
1
BD
DC
+
2 3
3
ABC
V
a
b
c
π
2sin
6
b
c
B
a
+
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
3
4
h
a
=
cos
cos
B
C
π
3
A =
（2）
【分析】（1）利用三角形内角和、正弦定理和三角恒等变换化简可得.
（2）利用三角形面积公式和正弦定理可得
【详解】（1）由题意得：
，
则
，
有
，即
，因为
所以
．
（2）由
，则
，所以
，
有
，则
，
又
，则
．
10．（2025·广东模拟）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
（1）求
；
（2）设
，求
边上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理得
，结合同角三角函数平方关系即可求解；
（2）先求
，由正弦定理得
，进而得
，再由平方关系求
，利用两角和的正弦公
式求
，进而求解.
【详解】（1）由
和正弦定理，可得
，
因为
，所以
，
两边取平方，可得
，
解得
，因
，则得
；
（2）由（1）可得
.
由
和正弦定理，可得
，
，
1
cos
cos
8
B
C = -
.
π
sin
sin
2sin
6
sin
B
C
B
A
+
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
( 3sin
cos
)sin
sin
sin
cos
sin
cos
B
B
A
B
A
B
B
A
+
=
+
+
3sin
1 cos
A
A
= +
2sin
1
6
A
p
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
0, π
AÎ
π
3
A =
1
1
sin
2
2
ABC
S
ah
bc
A
=
=
V
2
3
3
8
4
a
bc
=
2
2
a
bc
=
2
sin
2sin
sin
A
B
C
=
3
sin
sin
8
B
C =
1
cos
cos(
)
sin
sin
cos
cos
2
A
B
C
B
C
B
C
= -
+
=
-
=
1
cos
cos
8
B
C = -
ABC
V
, ,
ABC
, ,
a b c
3
2 , sin
3 7 cos
a
c c
B
b
C
=
=
cosC
6
c=
AB
1
8
5 7
4
sin sin
3 7sin cos
C
B
B
C
=
sin C
3sin
2sin
A
C
=
sinA
cosA
sin
sin
B
A
C
=
+
sin
3 7 cos
c
B
b
C
=
sin sin
3 7sin cos
C
B
B
C
=
sin
0
B ¹
sin
3 7cos
C
C
=
2
2
2
sin
1 cos
63cos
C
C
C
= -
=
2
1
cos
64
C =
sin
3 7cos
0
C
C
=
>
1
cos
8
C =
2
2
1
3 7
sin
1 cos
1
8
8
C
C
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
3
2
a
c
=
3sin
2sin
A
C
=
2
7
sin
sin
3
4
A
C
=
=
又
，故
为锐角，则
.
所以
.
因
，则
.
边上的高为
.
11．（2025·海南三亚·一模）在锐角
中，角
所对的边分别为
，且
.
（1）求
；
（2）若
，求边
上的高
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角
；
（2）先根据余弦定理求出边
的值，再通过三角形面积公式求出边
上的高
.
【详解】（1）由正弦定理可得
，
因为
，所以
，
又因
为锐角三角形，
，所以
.
（2）由余弦定理
可知
又因
即
代入上式可得
则
的面积为
则
解得：
.
12．（2025·河南郑州·一模）记
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为
，已知
2
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
2sin
sin .
C
A
B
-
=
（1）求sin
;
C
2
3
a
c
c
=
<
A
2
2
7
3
cos
1 sin
1
4
4
A
A
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
7
1
3
3 7
5 7
sin
sin
sin cos
cos sin
4
8
4
8
16
B
A
C
A
C
A
C
=
+
=
+
=
´
+
´
=
6
c =
2
4
3
a
c
=
=
AB
5 7
5 7
sin
4
16
4
a
B =
´
=
ABC
V
, ,
ABC
, ,
a b c
3
2 sin
b
a
B
=
A
1,
7
b
c
a
=
+
=
BC
AD
π
3
3 21
7
A
bc
BC
AD
3sin
2sin sin
B
A
B
=
sin
0
B ¹
3
sin
2
A
=
ABC
V
π
0,
2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø
π
3
A =
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
2
2
2
2
2
2
π
7
2
cos
7
3
b
c
bc
b
c
bc
b
c
bc
=
+
-
=
+
-
=
-
+
=
1
b
c
=
+
1
b
c
-
=
6
bc =
ABC
V
1
1
3
3 3
sin
6
2
2
2
2
ABC
S
bc
A
=
=
´ ´
=
△
1
1
3 3
7
2
2
2
ABC
S
BC
AD
AD
=
´
=
´
´
=
△
3 3
3 21
7
7
AD =
=
, ,
a b c
（2）设
10
BC =
，求BC 边上的高.
【答案】(1) 3 10
10
(2)12
【分析】（1）先利用余弦定理求出
π
4
A =
，再由
2sin
sin
C
A
B
-
=
，结合平方关系可求sinC 的值；
（2）结合（1）可得
2 5
sin
sin
5
B
A
C
=
+
=
，再利用三角形面积相等可求得BC 边上的高.
【详解】（1）在
ABC
V
中，
2
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
Q
，
2
2
2
2
2
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
+
-
\
=
=
=
，
而A 为三角形内角，
π.
4
A
\ =
2sin
sin
C
A
B
-
=
Q
，
π
3π
2sin
sin
4
4
C
C
æ
ö
æ
ö
\
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
整理得
2
2 sin
cos
cos
sin
2
C
C
C
C
-
=
+
，得sin
3cos
C
C
=
，
又
2
2
sin
cos
1
C
C
+
= ，且sin
0
C >
，
3 10
sin
.
10
C
\
=
（2）由正弦定理得sin
sin
BC
AB
A
C
=
，得
10
3 10
sin
6 5
sin
10
2
2
BC
AB
C
A
=
´
=
´
=
，
由（1）得，
3 10
sin
,tan
0
10
C
C
=
>
，
10
cos
10
C =
，
2 5
sin
sin
sin cos
cos sin
5
B
A
C
A
C
A
C
\
=
+
=
+
=
，
设BC 边上的高为h，则
2 5
sin
6 5
12
5
h
AB
B
=
´
=
´
=
，
BC
\
边上的高为12.
题型03 解三角形中的求边、求角、求面积问题
抓关键·破难点
一、利用正、余弦定理解三角形边与角
利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的互化，解题的思路是：
第一步：选定理
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
第二步：巧转化
化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，
则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
第三步：得结论
利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利
用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
二、常用三角形的面积公式
（1）
；
（2）
；
（3）
（
为三角形内切圆半径）；
（4）
，即海伦公式，其中
为三角形的半周长。
刷经典·通方法
🎯命题方向一 利用正、余弦定理解三角形的边与角
1. （2026·河北邯郸模拟）在
中，内角
所对的边分别为
，已知
.
（1）求
；
（2）若
，
的面积为
，求：
①边长
的值；②
的值．
【答案】（1）
（2）①
；②
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得
，得到
，
即可求解；
1
2
S
ah
=
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
ac
B
bc
A
=
=
=
1 (
)
2
S
r a
b
c
=
+
+
r
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
-
-
-
1 (
)
2
p
a
b
c
=
+
+
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
sin
sin
2 3(
cos
)
a
B
b
A
c
a
B
+
=
-
A
2
sin
sin
3
B
C
=
ABC
V
3 3
2
a
cos(2
)
B
A
-
π
3
7
13
14
sin
3cos
A
A
=
tan
3
A =
（2）①由正弦定理得
，利用三角形的面积公式，列出方程，求得
的值，结合余弦定理，即可求
解；②利用正弦定理，求得
的值，结合三角函数的基本关系式和倍角公式，分别求得
的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理，可得
，
又因为
，
可得
，
所以
，即
因为
，可得
，所以
，即
，
又因为
，所以
.
（2）①因为
，由正弦定理得
，
所以
的面积为
又因为
的面积为
，可得
，解得
，则
，
由余弦定理得
，所以
；
②由正弦定理
，可得
，
因为
，可得
为锐角，所以
，
则
，
，
又因为
，所以
2
3
b
c
=
,b c
sin B
sin 2 ,cos2
B
B
sin
sin
2 3(
cos
)
a
B
b
A
c
a
B
+
=
-
sin
sin
sin
sin
2 3(sin
sin
cos
)
A
B
B
A
C
A
B
+
=
-
π
A
B
C
+
+
=
sin
sin[π
(
)]
sin(
)
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
A
B
=
-
+
=
+
=
+
2sin
sin
2
cos
3
sin
A
B
A
B =
sin
sin
3 cos
sin
A
B
A
B
=
(0,π)
BÎ
sin
0
B >
sin
3cos
A
A
=
tan
3
A =
(0,π)
AÎ
π
3
A =
2
sin
sin
3
B
C
=
2
3
b
c
=
ABC
V
2
1
1
2
π
3
sin
sin
2
2
3
3
6
S
bc
A
c c
c
=
=
´
´
=
ABC
V
3 3
2
2
3
3 3
6
2
c =
3
c =
2
b =
2
2
2
2
2
π
2
cos
2
3
2 2 3cos
7
3
a
b
c
bc
A
=
+
-
=
+
- ´ ´
=
7
a =
sin
sin
a
b
A
B
=
π
3
2sin
2
sin
21
3
2
sin
7
7
7
b
A
B
a
´
=
=
=
=
b
c
<
B
2
2
21
2 7
cos
1 sin
1 (
)
7
7
B
B
=
-
=
-
=
2 7
21
4 3
sin2
2sin
cos
2
7
7
7
B
B
B
=
= ´
´
=
2
2
2 7
1
cos2
2cos
1
2 (
)
1
7
7
B
B
=
- = ´
- =
π
3
A =
π
π
π
cos(2
)
cos(2
)
cos2 cos
sin 2 sin
3
3
3
B
A
B
B
B
-
=
-
=
+
.
2.（2026·河北唐山一模） 记
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
.
（1）证明：
；
（2）若
，求A.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【分析】（1）根据二倍角公式可得
，再结合正弦定理即可得结果；
（2）利用余弦定理结合（1）中结论可得
，代入
整理可得
，
进而分析求解.
【详解】（1）因为
，可得
，
整理可得
，由正弦定理可得
.
（2）因为
，即
，
则
，
又因为
，则
，可得
，
即
，可得
，
即
，可得
，
且
，则
，
可得
，解得
.
3. （2026·山东烟台诊断性测试）已知
的内角
的对边分别为
，
，
1
1
4 3
3
1
12
13
7
2
7
2
14
14
14
=
´
+
´
=
+
=
ABC
V
cos2
cos2
2cos2
A
B
C
+
=
2
2
2
2
a
b
c
+
=
sin
3
b
A
c =
2π
3
A =
2
2
2
sin
sin
2sin
A
B
C
+
=
cos
2
b
c
A
c
b
=
-
sin
3
b
A
c =
sin 2
6
1
π
A
æ
ö =
ç
÷
è
ø
-
+
cos2
cos2
2cos2
A
B
C
+
=
2
2
2
1
2sin
1
2sin
2 1
2sin
A
B
C
-
+ -
=
-
2
2
2
sin
sin
2sin
A
B
C
+
=
2
2
2
2
a
b
c
+
=
2
2
2
2
a
b
c
+
=
2
2
2
2
a
c
b
=
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
2
2
2
b
c
c
b
b
c
a
b
c
b
c
A
bc
bc
bc
c
b
+
-
-
+
-
-
=
=
=
=
-
sin
0
3
b
A
c =
>
3
sin
c
b
A
=
sin
cos
3
2sin
3
A
A
A =
-
2
2 3sin
cos
n
3
2si
A
A
A
=
-
3sin 2
1 cos2
3
A
A = -
-
co
3s
s2
2
in 2A
A = -
+
sin 2
6
1
π
A
æ
ö =
ç
÷
è
ø
-
+
0
π
A
<
<
π
π
13π
2
6
6
6
A
<
+
<
π
3π
2
6
2
A +
=
2π
3
A =
ABC
V
A B C
，，
a
b
c
，，
2
2
2
12
b
c
a
+
-
=
且
的面积为
．
（1）求
；
（2）若
为锐角三角形，
，求
的值．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解．
（2）由（1）知，
，而
，
，得
为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）由余弦定理得
，因为
，所以
.
由三角形面积公式得
，又因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）由（1）知，
，得
，而
，得
，又
，
得
为等边三角形，得
， 故
.
4. （2026·江苏南京市栖霞区名校联盟·一模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
的面积为S，
.
（1）证明：
；
（2）若
，求内角A 的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据题意结合面积公式可得
，运算求解即可；
（2）根据题意结合余弦定理可得
，即可得角A 的大小.
【详解】（1）在
中，
，
因为
，即
，
ABC
V
3 3
A
ABC
V
2 3
b =
a
c
+
π
3
A =
4 3
12
bc =
2 3
b =
π
3
A =
ABC
V
2
2
2
2
cos
b
c
a
bc
A
+
-
=
2
2
2
12
b
c
a
+
-
=
cos
6
bc
A =
1
sin
2
S
bc
A
=
3 3
S =
sin
6 3
bc
A =
sin
tan
3
cos
bc
A
A
bc
A
=
=
0,π
AÎ
π
3
A =
π
sin
6 3
3 =
bc
12
bc =
2 3
b =
2 3
c =
π
3
A =
ABC
V
2 3
a =
4 3
a
c
+
=
ABC
V
ABC
V
2
2
1
sin
2
S
b
c
A
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
2
b
c
=
7
a
c
=
120
A =
°
2
2
2
bc
b
c
=
-
1
cos
2
A = -
ABC
V
1
sin
2
S
bc
A
=
2
2
1
sin
2
S
b
c
A
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
2
2
1
1
sin
sin
2
2
bc
A
b
c
A
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
且
，则
，则
，即
，
又因为
，则
，即
.
（2）若
，则
，且
，
由余弦定理可得
，
且
，所以
.
🎯命题方向二 与三角形的面积相关解三角形问题
5.（2026·海南部分学校联合调研）已知
的内角
的对边分别为
，且
为锐角，
.
（1）求
；
（2）若
，求
的面积.
【答案】（1）
（2）2
详解】（1）已知
，由正弦定理可得
，
中，
，
，所以有
，即
，
由
为锐角，得
.
（2）已知
，
，由余弦定理
，有
，
即
，由
，解得
，
所以
的面积
.
6. （2026·山东德州一模）已知
为锐角三角形，
.
（1）求
；
（2）求
；
（3）若
外接圆的周长为
，求
的面积.
0
180
A
<
<
°
°
sin
0
A >
2
2
2
bc
b
c
=
-
2
0
b
c
b
c
-
+
=
0
b
c
+
>
2
0
b
c
-
=
2
b
c
=
7
a
c
=
2
2
7
a
c
=
2
b
c
=
2
2
2
2
2
2
2
4
7
1
cos
2
4
2
b
c
a
c
c
c
A
bc
c
+
-
+
-
=
=
= -
0
180
A
<
<
°
°
120
A =
°
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
C
2 sin
b
c
B
=
C
2,
10
a
c
=
=
ABC
V
π
4
【
2 sin
b
c
B
=
sin
2 sin
sin
B
C
B
=
ABC
V
0
π
B
<
<
sin
0
B ¹
2 sin
1
C =
2
sin
2
C =
C
π
4
C =
2,
10
a
c
=
=
π
4
C =
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
2
10
2
2
b
b
=
+
-
2
2
8
0
b
b
-
-
=
0
b >
4
b =
ABC
V
1
1
π
sin
2
4 sin
2
2
2
4
ABC
S
ab
C
=
=
´
´ ´
=
V
ABC
V
2
7 2
sin
,sin
10
10
A B
C
-
=
=
sin cos
A
B
tanA
ABC
V
5π
ABC
V
【答案】（1）
（2）
（3）7
【分析】（1）根据
，再结合条件，利用两角和差的正弦公式，即可求解；
（2）首先根据（1）的过程求得
与
的关系，再根据
，再根据两角和的正
切公式，即可求解；
（3）根据圆的周长公式求半径，再根据正弦定理求边长，最后代入三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为
， 所以
，
又
，所以
，
联立得
；
（2）因为
，且三角形为锐角三角形，所以
，
，
由（1）可得
，即
，
所以
，所以
，
解得
或
，因为角
为锐角，所以
，
（3）因为
外接圆的周长为
.即
.
由
，得
，
因为
，所以
，解得
，
由（2）可知
，且角
为锐角，所以
，
,
2 2
sin cos
5
A
B =
4
tan
3
A =
sin
sin
C
A
B
=
+
tan A
tan B
tan
tan
C
A
B
= -
+
7 2
sin
sin
10
C
A
B
=
+
=
7 2
sin cos
cos sin
10
A
B
A
B
+
=
2
sin
10
A
B
-
=
2
sin cos
cos sin
10
A
B
A
B
-
=
2 2
3 2
sin cos
,cos sin
5
10
A
B
A
B
=
=
7 2
sin
10
C =
2
cos
10
C =
tan
7
C =
tan
sin cos
4
tan
cos sin
3
A
A
B
B
A
B
=
=
4
tan
tan
3
A
B
=
2
4 tan
tan
tan
tan
3
tan
tan
7
4
tan tan
1
tan
1
3
B
B
A
B
C
A
B
A
B
B
+
+
= -
+
=
=
=
-
-
2
4tan
tan
3
0
B
B
-
- =
tan
1
B =
3
tan
4
B = -
B
4
tan
1,tan
3
B
A
=
=
ABC
V
2π
5π
R =
2
5
R =
4
tan
3
A =
4
sin
5
A =
2
sin
sin
a
c
R
A
C
=
=
5
4
7 2
5
10
a
c
=
=
7 2
4,
2
a
c
=
=
tan
1
B =
B
π
4
B =
2
sin
2
B =
所以
的面积为
7. （2026·江西赣州摸底考试）在
中，角
的对边分别为
，且
.
（1）若
，求
的值.
（2）若
内切圆的面积为
，求
的面积.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据正弦定理及两角和正弦公式得
，求得
，再根据两角和的正切
公式进行求解；
（2）根据三角形面积公式及内切圆半径公式，结合余弦定理，求得
，进而求得
的值，从
而求出
的面积.
【详解】（1）因为
，所以由正弦定理得
，
所以
，
所以
，
所以
在
中，因为
，所以有
，即得
，即
，
因为
，所以
，即得
，
，
所以
.
（2）
内切圆的面积为
，所以内切圆半径
，
又
，则有
，
由余弦定理得
ABC
V
1
1
2
sin
7
2
2
2
ac
B
ac
=
´
=
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
2
3sin
cos
c
a
C
C
b
-
-
=
tan
5 3
C=-
tanA
3 3 3,
a c
ABC
+ = +
△
的
π
ABC
V
3
4
3
2 3
+
π
sin
1
6
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
tan
3
B =
3
3
b =
+
3
2 ac
ABC
V
2
3sin
cos
c
a
C
C
b
-
-
=
2sin
sin
3sin
cos
sin
C
A
C
C
B
-
-
=
3sin
cos
sin
2sin
sin
C
C
B
C
B
C
-
=
-
+
3sin
cos
sin
2sin
sin cos
cos sin
C
C
B
C
B
C
B
C
-
=
-
-
3sin sin
2sin
cos sin
C
B
C
B
C
=
-
ABC
V
sin
0
C ¹
3sin
cos
2
B
B
+
=
π
2sin
2
6
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
π
sin
1
6
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
(0,π)
BÎ
π
π
6
2
B +
=
π
3
B =
tan
3
B =
tan
tan[π
(
)]
tan(
)
A
C
B
C
B
=
-
+
= -
+
tan
tan
1
tan tan
C
B
C
B
+
= - -
5 3
3
3
4
1
5 3
3
-
+
= -
=
+
´
ABC
V
π
1
r =
1
1
sin
2
2
ABC
S
ac
B
a
b
c
r
=
=
+
+
×
V
3
3
3 3
2 ac
b
=
+
+
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
2
(
)
3
a
c
ac
=
+
-
，
所以
，解得
或
（舍），
所以
，
则
.
8. （2026·江苏扬州市第一次调研） 记
的内角
的对边分别为
，已知
.
（1）求
的值；
（2）若
的面积为
，求
；
（3）若
，当角
最大时，求
的面积
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1 ）由正弦定理结合
得到
，推导出
；
（2 ）方法
：由三角形的面积可得
，结合正弦定理和三角恒等变换可得
，结合（1）可求
；
方法
：同方法1 可得
，结合（1）
，可得
，
进而可得
，结合（1）可得
，可求
；
（3）方法一：由余弦定理可得
，可得
，利用基本不等式可求
的最大值，
进而可求
；
方法二：结合（1）可得
，结合基本不等式求出
的最大值，进而可求
.
2
3
3 3
(3
3 3)
3
3
2
b
+
+
=
+
-
´
2
3 2 3
2 3 3 2 3
3 3 3 3
3
2 3
b
b
=
+
-
+
+
=
+
+
-
2
2 3
(3
3 3)(3
3)
0
b
b
+
-
+
+
=
3
3
b =
+
(3 3 3)
b = -
+
3
6
4 3
2 ac =
+
1
1
3
sin
3 2 3
2
2
2
ABC
S
ac
B
ac
´
=
=
=
+
V
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
2 cos
0
a
b
C
+
=
tan
3tan
C
B
+
ABC
V
2
6
c
B
2
b =
A
ABC
V
tan
3tan
0
C
B
+
=
45
B =
o
3
sin
sin(
)
A
B C
=
+
sin
cos
3sin
cos
0
C
B
B
C
+
=
tan
3tan
0
C
B
+
=
1
3 sin
a
B
c
=
2
2
3tan
tan
tan
3tan
1
B
C
B
B
=
-
+
B
2
3sin
sin
sin
A
B
C
=
sin
2sin
cos
A
B
C
= -
tan
3tan
C
B
= -
2
tan
6sin
C
B
= -
2
2
3tan
3tan
tan
3tan
1
B
B
B
B
-
=
-
+
B
2
2
2
2
c
b
a
-
=
1 3
cos
4
b
c
A
c
b
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
A
ABC
SV
2
tan
1
3tan
tan
A
B
B
=
+
A
ABC
SV
【详解】（1）
，由正弦定理可得：
，
，
，
两边同时除以
，可得：
.
（2）方法1：
，则
，
结合正弦定理得，
，
即
，
则
，
所以
，即
，
解得
，又
，所以
.
方法2：同方法可得
，
由（1）可得
，所以
，
即
，又
，
所以
，解得，
，
所以
.
（3）方法1：
，
，
，
，
，
当且仅当
时等号成立，此时
取到最大值
，
，
当
最大时，
.
2 cos
0
a
b
C
+
=
Q
sin
2sin
cos
0
A
B
C
+
=
sin(
)
2sin
cos
0
B
C
B
C
\
+
+
=
sin
cos
3sin
cos
0
C
B
B
C
\
+
=
cos
cos
B
C
tan
3tan
0
C
B
+
=
2
1
sin
2
6
ABC
c
S
ac
B
=
=
3 sin
a
B
c
=
3sin
sin
sin
A
B
C
=
3sin
sin(
)
3sin
sin
cos
3sin
cos
sin
sin
B
B
C
B
B
C
B
B
C
C
+
=
+
=
2
2
2
2
2
2
3sin
3sin
3tan
tan
1 3sin
cos
sin
cos
3sin
cos
tan
3tan
1
B
B
B
C
B
B
B
B
B
B
B
B
=
=
=
-
+
-
-
+
2
2
3tan
3tan
tan
3tan
1
B
B
B
B
-
=
-
+
2
tan
2tan
1
0
B
B
-
+ =
tan
1
B =
0,π
BÎ
π
4
B =
1
3sin
sin
sin
A
B
C
=
sin
2sin
cos
A
B
C
= -
6sin
cos
sin
sin
B
C
B
C
-
=
2
tan
6sin
C
B
= -
tan
3tan
C
B
= -
2
2
2
2
2
2
2sin
2tan
tan
2sin
sin
cos
tan
1
B
B
B
B
B
B
B
=
=
=
+
+
tan
1
B =
π
4
B =
2 cos
0
a
b
C
+
=
Q
2
2
2
2
0
2
a
b
c
a
b
ab
+
-
\ +
×
=
2
2
2
2
0
a
b
c
\
+
-
=
2
2
2
2
c
b
a
-
\
=
2
2
2
2
2
2
2
1 3
3
2
cos
2
2
4
2
c
b
b
c
b
c
a
b
c
A
bc
bc
c
b
-
+
-
+
-
æ
ö
\
=
=
=
+
³
ç
÷
è
ø
3
=
c
b
A
6
p
2
b =
Q
\
A
1
1
1
sin
2 2 3
3
2
2
2
ABC
S
bc
A
=
=
´ ´
´
=
△
方法2：由（1）知
，则
，
所以
，当且仅当
，即
时，取“=”，
此时
，则
，
.
题型04 三角形中的最值、范围问题
抓关键·破难点
一、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
b
c
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
)
(
)
(
)
(
（2）面积公式：
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S ABC
ab
C
bc
A
ac
B
=
=
=
1 (
)
4
2
abc
S ABC
a
b
c
r
R
=
=
+ +
×
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
A
bc
bc
a
c
b
c
bc
b
c
b
A
bc
c
b
a
cos
2
2
)
(
2
)
(
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
+
+
=
+
-
+
=
（4）基本不等式
①,a b
R+
Î
2
a
b
ab
+
³
②
2)
2
(
b
a
ab
+
£
(当且仅当
b
a =
时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角
C
B
A
、
、
有关的三角函数
①和差角公式：sin(
)
sin
cos
cos
sin
a
a
a
=
，cos(
)
cos
cos
sin
sin
a
a
a
=
m
②辅助角公式：
)
sin(
cos
sin
2
2
j
a
a
a
+
+
=
+
b
a
b
a
（其中
a
b
b
a
a
b
a
b
=
+
=
+
=
j
j
j
tan
cos
sin
2
2
2
2
，
，
）．
二、解题思路步骤
tan
3tan
0
C
B
+
=
tan
3tan
C
B
= -
2
tan
tan
2tan
2
tan
tan(
)
1
1
tan
tan
1 3tan
3tan
tan
B
C
B
A
B
C
B
C
B
B
B
+
= -
+
= -
=
=
-
+
+
1
3tan
2
n
2
3
3
ta
B
B
×
£
=
1
3tan
tan
B
B
=
3
tan
3
B =
π
6
A
B
=
=
2
a
b
=
=
1
sin
3
2
ABC
S
ab
C
=
=
△
（1）利用基本不等式：
bc
a
bc
c
b
bc
a
c
b
A
2
2
2
cos
2
2
2
2
2
-
-
+
=
-
+
=
，再利用
bc
c
b
2
³
+
及
a
c
b
>
+
，
求出
c
b +
的取值范围或者利用
bc
a
bc
bc
a
c
b
A
2
2
2
cos
2
2
2
2
-
³
-
+
=
（2）利用三角函数思想：
B
A
R
B
R
C
R
B
R
c
b
+
+
=
+
=
+
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
，结合辅助角公式及三
角函数求最值
刷经典·通方法
🎯命题方向一 解三角形中涉及角度的最值（范围）
1. （2026·山东淄博模拟）已知锐角
的三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且满足
.
（1）求角
；
（2）求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解；
（2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定
的范围，将
转换成
，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可.
【详解】（1）由正弦定理，
，
，
可得：
，
又
，
所以
，因为
，
化简可得：
，因为
是锐角三角形，
，故
；
ABC
V
A
B
C
a
b
c
2
cos
cos
sin
3
a
B
b
A
c
C
+
=
C
sin
sin
sin
A
B
C
+
+
π
3
C =
3
3 3 3
,
2
2
æ
ù
+
ç
ú
çè
û
A
sin
sin
sin
A
B
C
+
+
2π
3
sin
sin
3
2
A
A
æ
ö
+
-
+
ç
÷
è
ø
2 sin
a
R
A
=
2
sin
b
R
B
=
2 sin
c
R
C
=
cos
cos
2 (sin
cos
sin
cos
)
2 sin(
)
2 sin(π
)
a
B
b
A
R
A
B
B
A
R
A
B
R
C
+
=
+
=
+
=
-
2
cos
cos
sin
3
a
B
b
A
c
C
+
=
2
2 sin(π
)
2 sin
2 sin
sin
3
R
C
R
C
R
C
C
-
=
=
´
×
sin
0
C ¹
3
sin
2
C =
ABC
V
π
(0, )
2
CÎ
π
3
C =
（2）由
得
，即
，
因为
是锐角三角形，所以
，解得
，
由
得
，故
，
代入得：
，
因此
的取值范围为
.
2. （2026·甘肃省一模）如图，
中，角
的对边分别为
.
（1）求
；
（2）若
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）已知
，
，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和定理，
展开
后求解
；
π
3
C =
2π
3
A
B
+
=
2π
3
B
A
=
-
ABC
V
2π
π
0
3
2
π
0
2
B
A
A
<
=
-
<
<
<
π
π
6
2
A
<
<
2π
3
sin
sin
sin
sin
sin
3
2
A
B
C
A
A
æ
ö
+
+
=
+
-
+
ç
÷
è
ø
3
1
3
3
3
3
π
3
sin
cos
sin
sin
cos
3sin
2
2
2
2
2
2
6
2
A
A
A
A
A
A
æ
ö
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
π π
,
6 2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø
π
π 2π
,
6
3
3
A
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø
π
3
sin
,1
6
2
A
æ
ù
æ
ö
+
Îç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
3
3
π
3
3 3
3sin
2
6
2
2
A
+
æ
ö
<
+
+
£
ç
÷
è
ø
sin
sin
sin
A
B
C
+
+
3
3 3 3
,
2
2
æ
ù
+
ç
ú
çè
û
ABC
V
, ,
A B C
π
, , ,
,
3
3
a b c C
a
b
=
=
tanB
0
BC
CD
l
l
=
>
uuur
uuur
sin
sin
ADC
CAD
Ð
Ð
+
3
5
3 ,1
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
π
3
C =
3
a
b
=
sinA
tanB
（2）先根据向量关系得到角之间的关系，再利用三角函数的两角和公式化简
，最
后根据角的范围求出其取值范围.
详解】（1）因为
，所以
，又因为
，所以
，
化简得
，即
，解得
；
（2）因为
，所以
在
的延长线上，
如图，故
，
所以
.
因为
，所以
，
解得
，
所以
的取值范围为
.
3. （2026·江苏省南京市栖霞区名校联盟一模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，．已
知
，且
．
（1）当
，
时，求
，
的值；
（2）若角
为锐角，求
的取值范围．
sin
sin
ADC
CAD
Ð
Ð
+
【
3
a
b
=
sin
3
sin
A
a
B
b
=
=
π
3
C =
π
sin 3
3
sin
B
B
æ
ö
+
ç
÷
è
ø =
3
1
cos
sin
2
2
3
sin
B
B
B
+
=
3
5
2tan
2
B =
3
tan
5
B =
0
BC
CD
l
l
=
>
uuur
uuur
D
BC
π
3
ADC
CAD
Ð
Ð
+
=
π
sin
sin
sin
sin 3
ADC
CAD
ADC
ADC
æ
ö
Ð
+
Ð
=
Ð
+
- Ð
ç
÷
è
ø
3
1
1
3
sin
cos
sin
sin
cos
2
2
2
2
ADC
ADC
ADC
ADC
ADC
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
=
+
-
=
+
π
sin
3
ADC
æ
ö
=
Ð
+
ç
÷
è
ø
π
0, 3
ADC
æ
ö
Ð
Îç
÷
è
ø
π
π 2π
,
3
3
3
ADC
æ
ö
Ð
+
Îç
÷
è
ø
π
3
sin
,1
3
2
ADC
æ
ù
æ
ö
Ð
+
Îç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
sin
sin
ADC
CAD
Ð
Ð
+
3 ,1
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
ABC
V
A
B
C
a
b
c
sin
sin
sin
A
C
p
B p
+
=
ÎR
2
1
4
ac
b
=
5
4
p =
1
b =
a
c
B
p
【答案】（1）
，或
（2）
分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；
（2）根据余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）由题设及由正弦定理，由
，得
，
．
由
，解得
，或
（2）由余弦定理，
，
即
．
，
，
由题设知
，
．
4．（2026·山东青岛·高三上期末测试）已知
ABC
V
内角
,
,
A B C 的对边分别为
,
,
a b c ，
2
b
c a
c
=
+
．
（1）证明：
2
B
C
=
；
（2）求
2
sin
cos
sin
A
C
B
+
的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 2 3 .
【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和差角的正弦公式推理得证.
（2）由（1）的结论，利用和角的正弦及二倍角公式化简，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）在
ABC
V
中，由
2
(
)
b
c a
c
=
+
及余弦定理，得
2
2
2
2
2
cos
ac
c
b
a
c
ac
B
+
=
=
+
-
，
整理得
2 cos
c
a
c
B
=
-
，由正弦定理得sin
sin
2sin
cos
C
A
C
B
=
-
，
则sin
sin(
)
2sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin(
)
C
B
C
C
B
B
C
B
C
B
C
=
+
-
=
-
=
-
于是C
B
C
=
-
或
π
C
B
C
+
-
=
（不成立），所以
2
B
C
=
.
（2）由（1）知，
2
B
C
=
，
π
3
A
C
=
-
，
1,
1
4
a
c
=
=
1 ,
4
1.
a
c
=
=
6
2
2
p
<
<
【
sin
sin
sin
A
C
p
B
+
=
a
c
pb
+
=
5
4
a
c
\ +
=
5
4
1
4
a
c
ac
+
=
=
1
1
4
a
c
=
=
1
4
1
a
c
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
cos
(
)
2
2
cos
cos
2
2
b
a
c
ac
B
a
c
ac
ac
B
p b
b
b
B
=
+
-
=
+
-
-
=
-
-
2
3
1 cos
2
2
p
B
=
+
0
cos
1
B
<
<
Q
2
3 ,2
2
p
æ
ö
\
Îç
÷
è
ø
0
p >
6
2
2
p
\
<
<
则
2
sin
2
sin3
2
sin2 cos
cos2 sin
cos
sin
cos
sin2
cos
2sin
cos
A
C
C
C
C
C
C
B
C
C
C
C
C
+
+
=
+
=
+
2
2
2
2
2sin
cos
(2cos
1)sin
2
4cos
1
3
2cos
cos
2sin
cos
cos
2cos
2cos
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
+
-
-
=
+
=
+
=
+
，
由
0
2
π
0
π
3
π
C
C
<
<
<
-
<
，得
π
0
3
C
<
<
，1
cos
1
2
C
<
< ，
因此
2
sin
3
3
2cos
2 2cos
2 3
cos
sin
2cos
2cos
A
C
C
C
B
C
C
+
=
+
³
×
=
，
当且仅当
3
2cos
2cos
C
C
=
，即
3
cos
2
C =
时取等号，
所以
2
sin
cos
sin
A
C
B
+
的最小值为2 3 .
🎯命题方向二 解三角形中涉及边长、代数式的最值（范围）
5．（2026·河北邯郸·一模）ABC
V
的内角, ,
A B C的对边分别为, ,
a b c ，已知, ,
a b c 成等差数列，且sin
2
sin
3
A
B =
．
（1）求cosB；
（2）记ABC
V
外接圆的面积为S ，若
64π
S ³
，求b的取值范围．
【答案】（1）11
16
（2）
3 15,
é
+¥
ë
【分析】（1）由等差数列性质得2b
a
c
=
+
，结合正弦定理将sin
2
sin
3
A
B =
转化为边的关系，用余弦定理求
出cosB.
（2）由外接圆面积 S≥64π 得外接圆半径范围，再用正弦定理
2
sin
b
R
B =
求出b的取值范围.
【详解】（1）因为, ,
a b c 成等差数列，所以2b
a c
= + ，又sin
2
sin
3
A
B =
，所以
2
3
a
b =
．
设
2
a
x
=
，则
3 ,
4
b
x c
x
=
=
，则
2
2
2
2
2
2
2
4
16
9
11
cos
2
16
16
a
c
b
x
x
x
B
ac
x
+
-
+
-
=
=
=
．
（2）由（1）得
2
3 15
sin
1
cos
16
B
B
=
-
=
，
则ABC
V
外接圆的半径
3
8 15
2sin
15
3 15
8
b
x
R
x
B
=
=
=
，
则
2
2
64
π
π
64π
15
x
S
R
=
=
³
，则
2
15
x ³
，
15
x ³
，
则
3
b
x
=
的取值范围为
3 15,
é
+¥
ë
．
6.（2026·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学第一次联合模拟考试）在
中，角A，B，
ABC
V
C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求A 的大小；
（2）若
为锐角三角形，求
取值范围．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据正弦定理可得到
，进而得到
，即可求出A 的大小；
（2）根据三角形内角和为
，且
为锐角三角形，从而可得出
的取值范围，再将
转化为关于
的函数即可求解．
详解】（1）由
，
则根据正弦定理有
，即
，
又由余弦定理有
，得
，
所以在
中，得
；
（2）由
为锐角三角形，且
，
则有
，得
，即
，即
，
所以根据正弦定理有
．
7. （2026·江苏南京市中华中学模拟预测）
内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
.
（1）若
，
，求
的面积；
（2）若角
为钝角，求
的取值范围.
【答案】（1）
sin
sin
(
)sin
a
A
c
C
b
c
B
-
=
-
ABC
V
b
c
的
π
3
1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
-
2cos
1
A =
π
ABC
V
C
b
c
tanC
【
sin
sin
(
)sin
a
A
c
C
b
c
B
-
=
-
2
2
(
)
a
c
b
c b
-
=
-
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
-
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
2cos
1
A =
ABC
V
π
3
A =
ABC
V
π
3
A =
π
0
2
2π
π
0
3
2
C
C
<
<
<
-
<
π π
,
6 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø
3
tan
,
3
C
æ
ö
Î
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
1
0, 3
tanC Î
π
3
1
sin
cos
sin
sin
3
1
1
1
3
2
2
,2
sin
sin
sin
2
tan
2
2
C
C
C
b
B
c
C
C
C
C
æ
ö
+
+
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
=
=
=
×
+
Îç
÷
è
ø
ABC
V
的
A
B
C
a
b
c
2
2
2
(
2 )cos
0
2
a
b
c
c
b
A
b
+
-
-
+
=
4
a =
8
+
=
b
c
ABC
V
C
c
b
4 3
（2）
【分析】(1) 利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得
，利用余弦定理可得
，即可得；
(2) 利用正弦定理以及三角恒等变换可得
,即可得解；
【详解】（1）因为
，所以由余弦定理：
，
所以由正弦定理
，
又因为
，
所以
，因为
，所以
，
因为
，所以
，由余弦定理
，
因为
，
，所以
，所以
，
所以
的面积
.
（2）因为角
为钝角，所以
，所以
，
因为
，所以
，
代入
得
,
因为
，所以
，即
，
所以
的取值范围为
.
8. （2026·黑龙江齐齐哈尔一模）在锐角
中，角
所对的边分别是
，且
.
(2,
)
+¥
3
A
p
=
16
bc =
3
1
2tan
2
c
b
B
=
+
2
2
2
(
2 )cos
0
2
a
b
c
c
b
A
b
+
-
-
+
=
(
2 )cos
cos
0
c
b
A
a
C
-
+
=
(sin
2sin )cos
sin cos
0
C
B
A
A
C
-
+
=
sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin
C
A
A
C
A
C
B
B
p
+
=
+
=
-
=
sin (1 2cos )
0
B
A
-
=
0
B
p
<
<
1
cos
2
A =
0
A
p
<
<
3
A
p
=
2
2
16
b
c
bc
+
-
=
4
a =
8
+
=
b
c
2
3
16
b
c
bc
+
-
=
16
bc =
ABC
V
1
1
3
sin
16
4 3
2
2
2
S
bc
A
=
=
´
´
=
C
0
2
2
3
2
B
B
p
p
p
<
<
-
>
0
6
B
p
<
<
sin
sin
b
c
B
C
=
sin
sin
c
C
b
B
=
2
3
C
B
p
=
-
3
1
cos
sin
sin
3
1
2
2
sin
sin
2tan
2
B
B
c
C
b
B
B
B
+
=
=
=
+
3
0
tan
3
B
<
<
3
3
2tan
2
B >
2
c
b >
c
b
(2,
)
+¥
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
2 sin
π
6
a
c
b
C
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
（1）求
；
（2）求
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，结合三角形内角和公式和两角和的三角函数公式可求角
.
（2）利用余弦定理，结合（1）的结论，可求
的最大值.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
在
中，
，
代入整理可得
，
又
，则
，可得
，即
，
又
，则
，则
，可得
.
（2）由余弦定理可得
.
因为
为锐角三角形，且
，所以
，
，
所以
.
B
2
2
2
2
a
b
c
-
π
3
B =
1
-
B
2
2
2
2
a
b
c
-
π
2 sin
6
a
c
b
C
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
π
sin
sin
2sin
sin
3sin sin
sin cos
6
A
C
B
C
B
C
B
C
æ
ö
+
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
ABC
V
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
cos sin
sin
3sin sin
B
C
C
B
C
+
=
π
0, 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø
sin
0
C >
3sin
cos
1
B
B
-
=
π
1
sin
6
2
B
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø
π
π π
,
6
6 3
B
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø
π
π
6
6
B -
=
π
3
B =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
a
a
c
ac
B
a
b
c
c
-
+
-
-
=
2
2
2
2
2
a
a
c
ac
c
-
+
-
=
2
2
2
2
1
1
a
a
a
c
c
c
æ
ö
æ
ö
= -
+
×
-
= -
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ABC
V
π
3
B =
π π
,
6 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø
2π
3
A
C
=
-
sin
sin
a
A
c
C
=
2π
sin
3
sin
C
C
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
=
3
1
cos
sin
2
2
sin
C
C
C
+
=
3
1
2tan
2
C
=
+
由
，所以
，所以
，即
.
所以当
，即
时，即
为等边三角形时，
取得最大值
.
🎯命题方向三 解三角形中涉及周长的最值（范围）
9．（2026 安徽合肥“校集团”·一模)在锐角ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，.已知
2
a =
，
π
3
B =
.
（1）若1 cos
sin
sin
A
b
A
C
+
=
，求ABC
V
的面积；
（2）求ABC
V
的周长的取值范围.
【答案】（1）
3
（2）
3
3,6 2 3
+
+
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简已知等式，求出相应角及边长，再代入三角
形面积公式计算。
（2）用正弦定理将周长转化为三角函数形式，结合锐角三角形的角范围，求三角函数的取值范围，得到周
长范围。
【详解】（1）由正弦定理可得sin
sin
a
b
A
B
=
，即sin
sin
a
B
b
A
=
，
因为1 cos
sin
sin
A
b
A
C
+
=
，所以1
cos
sin
sin
3 sin
A
a
B
C
C
+
=
=
，
又
cos
cos
A
B C
=-
+
，即
1 cos
3sin
B C
C
-
+
=
，
展开可得
1
3
1
cos
sin
3sin
2
2
C
C
C
-
+
=
，即
3
1
sin
cos
1
2
2
C
C
+
= ，即
π
sin
1
6
C
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
又
0,π
CÎ
，所以
π
3
C =
，且
π
3
B =
，
所以ABC
V
为等边三角形，
则
1
1
3
sin
2
2
3
2
2
2
ABC
S
ab
C
=
=
´
´
´
=
V
.
（2）由正弦定理可得
3
2sin
sin
sin
sin
sin
A
B
a
b
c
B
C
A
A
+
+
+
=
+
=
2
3
2cos
3 1
cos
3
sin
3 cos
2
1
1
sin
sin
2sin
cos
2
2
A
A
A
A
A
A
A
A
´
+
+
+
=
=
+ =
+
3
1
tan 2
A
=
+ ，
π π
,
6 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø
3
tan
3
C >
3
1
1 ,2
2tan
2
2
C
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø
1 ,2
2
a
c
æ
ö
Îç
÷
è
ø
1
a
c =
a
c
=
ABC
2
2
2
2
a
b
c
-
1
-
又因为ABC
V
为锐角三角形，则
π
0
2
2
π
0
π
3
2
A
A
<
<
<
-
<
，解得π
π
6
2
A
<
<
，
则
π
tan
tan
,1
2
12
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
其中
π
π
π
3
1
tan
tan
2
3
12
3
4
1
3
-
æ
ö
=
-
=
=
-
ç
÷
+
è
ø
，
所以
1
3,4 2 3
b c
+ Î
+
+
，
所以ABC
V
的周长
3
3,6
2 3
a
b
c
+
+ Î
+
+
.
10．（2025·湖北武汉模拟）已知
分别为锐角
三个内角
的对边，且
.
（1）求
；
（2）若
；求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得；
（2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到
，再结合锐角范围和三角函数值域可得.
【详解】（1）
.
由正弦定理得
在
中，
代入上式化简得：
因为
，所以
，即
为锐角，
.
（2）由正弦定理得
所以
，
是锐角三角形，
，
, ,
a b c
ABC
V
, ,
ABC
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
A
3
a =
ABC
V
π
3
3
3 3,9ù
+
û
b c
+
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
Q
\
sin cos
3sin sin
sin
sin
0
A
C
A
C
B
C
+
-
-
=
ABC
V
π,
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
A
C
A
C
A
C
+
+
=
\
=
+
=
+
Q
3sin sin
cos sin
sin
0
A
C
A
C
C
-
-
=
sin
0
C ¹
3sin
cos
1
A
A
-
=
π
2sin
1
6
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
A
Q
π
3
A
\
=
2π
2
2 3,
sin
sin
sin
3
a
c
b
R
B
C
A
C
B
=
=
=
=
+
=
2π
2 sin
2 sin
2 3 sin
sin
2 3 sin
sin
3
b
c
R
B
R
C
B
C
B
B
é
ù
æ
ö
+
=
+
=
+
=
+
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
3
3
π
2 3
sin
cos
6sin
2
2
6
B
B
B
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ABC
QV
π
π
2π
π
0
,0
,0
2
2
3
2
B
C
B
\ <
<
<
<
<
-
<
，
即
，
所以
周长的取值范围为
.
11．（2025·湖南益阳·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
．
（1）若
，求A；
（2）若
是锐角三角形，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件通过三角函数公式得出角之间的关系，求出角
（2）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，然后化简表达式，最后根据角的范围求出边的和的范围，进
而得到三角形周长的范围.
【详解】（1）由
，可得
，即
，
∴
，则
或
（舍），
∴
，
当
，由
，可得
.
（2）由正弦定理可得
∴
，
易知
，可得
，因此
，
易知
在
上单调递增，所以
，
π
π
π
π
2π
,
6
2
3
6
3
B
B
\
<
<
\
<
+
<
3
π
sin
1,
3 3
6,
3
3 3
9
2
6
B
b
c
a
b
c
æ
ö
<
+
£
\
<
+
£
\ +
<
+
+
£
ç
÷
è
ø
ABC
V
3
3
3,9ù
+
û
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
1
a=
cos
cos
1
b
A
B
-
=
π
4
C =
ABC
V
ABC
V
π
4
A =
(2
2,3
3)
+
+
1
a=
cos
cos
b
A
a
B
a
-
=
sin
cos
sin
cos
sin
B
A
A
B
A
-
=
sin(
)
sin
B A
A
-
=
B
A
A
-
=
(
)
π
B A
A
-
+
=
2
B
A
=
π
4
C =
π
A
B
C
+
+
=
π
4
A =
1
sin
sin
sin
b
c
B
A
C
=
=
sin
sin
B
b
A
=
sin
sin
C
c
A
=
sin
sin
sin 2
sin
3
sin 2
sin3
sin
sin
sin
B
C
A
A
A
A
b
c
A
A
A
p
+
+
-
+
+
=
=
=
（
）
2sin
cos
sin
cos2
cos
sin 2
sin
A
A
A
A
A
A
A
+
+
=
2
2cos
cos2
2cos
A
A
A
=
+
+
2
2
1
5
4 cos
2 cos
1
4 cos
4
4
A
A
A
æ
ö
=
+
-
=
-
-
ç
÷
è
ø
π
0
2
π
0
2
1
π
0
3
2
A
B
A
C
A
<
<
<
=
<
<
=
<
π
π
6
4
A
<
<
2
3
cos
,
2
2
A
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
2
1
5
4 cos
4
4
A
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
2
3
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
1
2, 2
3
b
c
+
Î
+
+
可得周长范围为
.
🎯命题方向四 解三角形中涉及面积的最值、范围
12．（2025·广西模拟预测）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C所对的边分别为, ,
a b c ，已知
3 sin
2
cos
a
B
b
A
=
-
.
（1）求内角A 的大小；
（2）若
1
a= ，求
ABC
V
面积S 的最大值.
【答案】(1)
3
A
p
=
;
(2) 3
4
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用辅助角公式化简，结合特殊角即可求出角A；
（2）法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求最
值，注意定义域.
【详解】（1）由正弦定理有
3sin
sin
sin
(2
cos
)
A
B
B
A
=
-
，
因为
(0, )
B
p
Î
，所以sin
0
B ¹
，
故
3 sin
2
cos
A
A
=
-
，即
3 sin
cos
2
A
A
+
=
，即sin(
)
1
6
A
p
+
= ，
因为
(0, )
A
p
Î
，所以
7
(
,
)
6
6
6
A
p
p
p
+
Î
，
所以
6
2
A
p
p
+
=
，即
3
A
p
=
.
（2）法一：因为
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，即
2
2
1 b
c
bc
=
+
-
，
因为
2
2
2
b
c
bc
+
³
，所以
2
2
1
b
c
bc
bc
=
+
-
³
，即
1
bc £ （当且仅当
1
b
c
=
= 时取等），
故
1
3
3
sin
2
4
4
S
bc
A
bc
=
=
£
（当且仅当
1
b
c
=
= 时取等），
所以当
1
b
c
=
= 时，△ABC 面积S 有最大值，最大值为3
4
.
法二：由正弦定理有
1
2 3
sin
sin
sin
3
sin 3
b
c
a
B
C
A
p
=
=
=
=
，即
2 3 sin
3
b
B
=
，
2 3 sin
3
c
C
=
，
4
4
2
sin
sin
sin
sin(
)
3
3
3
3
1
1
sin 2
cos2
3
3
3
2
1
sin(2
)
3
6
3
bc
B
C
B
B
B
B
B
p
p
=
=
-
=
-
+
=
-
+
因为
2
(0,
)
3
B
p
Î
，所以
7
2
(
,
)
6
6
6
B
p
p
p
-
Î -
，
2
2 , 3
3
+
+
当2
6
2
B
p
p
-
=
，即
3
B
p
=
时，bc 有最大值，最大值为1，
max
max
1
3
(
)
sin
2
4
S
bc
A
=
=
.
13．（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a
b
c
，，，若
2
4sin
b
B
=
，且
2
2
3sin
sin
2
2
C
A+
=
.
（1）若a
c
=
，求b ；
（2）求△ABC 面积的最大值.
【答案】(1) 4 5
5
(2) 2
6
3
【分析】（1）应用二倍角正弦公式计算求解；
（2）应用已知条件化简再结合面积公式及基本不等式计算求解.
【详解】（1）若a
c
=
，则A
C
=
，所以sin
sin
A
C
=
，
所以
2
2
3sin
sin
2
2
A
A+
=
，即
2
4
sin
5
A =
，
因为
π
0, 2
A æ
ö
Îç
÷
è
ø
，所以
2
2 5
5
sin
,cos
1 sin
5
5
A
A
A
=
=
-
=
.
则
2
2 5
5
16
4sin
4sin
4sin2
8
5
5
5
b
B
A C
A
=
=
+
=
= ´
´
=
，
解得
4 5
5
b =
；
（2）
2
2
2
3sin
8sin
sin
2
2
C
B
A
b
+
=
=
，
有
2
2
2
2
3 sin
sin
8sin
2
b
C
b
A
B
+
=
，
故
2
2
2
2
3 sin
sin
8sin
2
c
B
a
B
B
+
=
有
2
2
3 sin
sin
8
2
c
B
a
B+
= ， 即
6
sin
8
ac
B £
，
sin
2 6
2
3
ac
B
S =
£
.
当且仅当
6
2
a
c
=
时等号成立 .
所以
ABC
V
面积的最大值为2
6
3
.
14．（2026·安徽·模拟预测）在
ABC
V
中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且
2 sin
2
sin
2sin
sin
a
A
b
c
B
c
C
B
=
-
+
-
．
（1）求A ；
（2）若
3
BD
DC
=
uuur
uuur ，
4
=
AD
，求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1)
π
3
A =
(2) 64 3
9
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；
（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得
ABC
V
面积的最大值即可.
【详解】（1）由
2 sin
2
sin
2sin
sin
a
A
b
c
B
c
C
B
=
-
+
-
及正弦定理得
2
2
2
2
a
b
c b
c
b c
=
-
+
-
，
化简可得
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
-
，即
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，因为
0, π
A Î
，故
π
3
A =
.
（2）因为
3
BD
DC
=
uuur
uuur ，则
3
AD
AB
AC
AD
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
，即4
3
AD
AC
AB
=
+
uuur
uuur
uuur ，
所以
2
2
2
2
16
3
9
6
AD
AC
AB
AC
AB
AC
AB
=
+
=
+
+
×
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
即
2
2
2
2
2
2
256
9
6
cos
9
3
2
9
3
9
b
c
bc
A
b
c
bc
b c
bc
bc
=
+
+
=
+
+
³
+
=
，
所以
256
9
bc £
，当且仅当
2
2
3
9
3
256
c
b
b
c
bc
=
+
+
=
时，
即当
16 3
9
b =
，
16 3
3
c =
时，等号成立，
故
1
π
3
3
256
64 3
sin
2
3
4
4
9
9
ABC
S
bc
bc
=
=
£
´
=
△
，
即
ABC
V
面积的最大值为64 3
9
.
15 （2026·广东汕头3 月调研）在
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．
且
．
（1）若D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
，求
面积的最大值；
（2）求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
ABC
V
sin
tan 2
2
cos
C
A
A
=
-
2
2
2
2
2
2
2
1
3
4
2
4
a
b
c
a b
c
é
ù
æ
ö
+
-
ê
ú
-
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
2
CD =
ABC
V
2
2
a
b
ab
+
3 3
2
2
2
10
2
3
a
b
ab
+
£
<
【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理可把题中第一个条件转化为
，根据余弦定理可将题
中第二个条件化简为
，根据向量的线性表示以及模长公式，即可余弦定理得
，进而根据二次方程的判别式求解
，即可根据面积公式求解，
（2）利用基本不等式，以及三角形的三边关系即可求解.
【详解】（1）由
可得
，即
,
故
，则
,
由正弦定理可得
，
由
可得
,
由于D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
，故
,
平方可得
,
故
，
由余弦定理可得
，故
，
则
，
将
代入上式可得
，
由于该关于
的一元二次方程有解，故
，故
，
由于
,当且仅当
取到等号.
故三角形面积的最大值为
，
2c
a
b
=
+
2
1
n
4
si
2
3
ab
C
c
=
2
2
2
6
3
6
2
3
a
b
c =
+
-
0
6
c
<
£
sin
tan 2
2
cos
C
A
A
=
-
2cos
sin
sin
2
2
2
cos
2cos
cos
2
2
C
C
A
C
C
A
×
=
-
×
sin
sin
1 cos
2
cos
C
A
C
A
=
+
-
sin
2
cos
sin
1
cos
C
A
A
C
×
-
=
×
+
2sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
sin
sin
C
A
A
C
A
C
A
A
C
A
B
=
+
+
=
+
+
=
+
2c
a
b
=
+
2
2
2
2
2
2
2
1
3
4
2
4
a
b
c
a b
c
é
ù
æ
ö
+
-
ê
ú
-
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
2
2
2
2
2
1
3
1
3
cos
sin
4
4
2
4
a b
ab
C
c
ab
C
c
é
ù
-
=
=
ë
û
2
CD =
1
2
3
3
CD
CB
CA
=
+
uuur
uuur
uuur
2
2
2
2
2
1
4
4
1
4
4
4
cos
9
9
9
9
9
9
CD
CB
CA
CB CA
a
b
ab
C
=
+
+
×
=
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
2
2
36
4
cos
4
a
b
C
ab
-
+
=
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
2
2
2
2
2
36
4
4
2
a
b
a
b
c
ab
ab
-
+
+
-
=
2
2
2
6
3
6
2
3
a
b
c =
+
-
2
b
c
a
=
-
2
2
24
22
36
0
9
c
c
a
a -
+
-
=
a
2
2
Δ
24
36 22
36
0
c
c
= -
-
-
³
0
6
c
<
£
2
3
3
3 3
6
4
4
2
1
sin
2
ABC
S
a
c
b
C
´
£
=
=
=
V
6
c =
3 3
2
（2）
，当且仅当
时取到等号，
，
又
，故
，故
，
因此
，综上可得
题型05 几何图形中的解三角形
抓关键·破难点
解三角形问题在高考中一般以三角形等平面多边形为载体，要求学生除了要熟练应用正弦定理、余弦
定理，还要对一些平面几何性质有一定的敏感度。对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利
用正弦定理与余弦定理求解。若图形中条件与结论不在一个三角形内：
【解题路径1】要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出
方程求解.
【解题路径2】根据图形分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边
角，逐步建立未知与已知的联系.
刷经典·通方法
1．（2026·浙江宁波3 月联考）在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，已知
3
c = ，
6
b= ，
3sin
cos
2
A
A
+
=
．
（1）求A；
（2）点D 在边BC 上，连接AD ，且
:
1:2
BD DC =
，记
ABD
△
和ACD
的内切圆半径分别为1r ，2r ，求1
2
r
r
+
的值．
【答案】】(1)
π
3
A =
(2) 1
2
15
7 3
2
r
r
-
+
=
【分析】（1）将
3sin
cos
2
A
A
+
=
利用辅助角公式化简为
π
2sin
2
6
A
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，结合A 的取值范围求
出角 A.
2
2
2
a
b
ab
+
³
a
b
=
2
2
2
a
b
ab
+
³
a
b
c
-
<
2
2
2
2
2
2
2
4
a
b
ab
a
b
ab
c
+
+
+
-
<
=
2
2
10
3
a
b
ab
+
<
2
2
10
3
a
b
ab
+
<
2
2
10
2
3
a
b
ab
+
£
<
（2）先由余弦定理求出 BC 边长，再根据 BD:DC=1:2 得到 BD，DC 的长度；利用三角形内切圆半径公
式
2S
r
a
b
c
=
+
+
，分别表示出1r ，
2r 最后计算1
2
r
r
+
的值.
【详解】（1）因为
3
1
π
3sin
cos
2
sin
cos
2sin
2
2
2
6
A
A
A
A
A
æ
ö
æ
ö
+
=
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即
π
sin
1
6
A
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，且0
π
A
<
<
，
则π
π
5π
6
6
6
A
<
+
<
，可得
π
π
6
2
A+
=
，所以
π
3
A =
.
（2）由（1）可知：
π
3
A =
，且
3
c = ，
6
b= ，
由余弦定理可得
2
2
2
1
2
cos
36
9
2 6 3
27
2
a
b
c
bc
A
=
+
-
=
+ - ´ ´ ´
=
，即
3 3
a =
，
则
2
2
2
a
c
b
+
=
，则
π
2
B =
，
且
1
3
2
BD
CD
=
=
，可得
2
2
2 3
AD
AB
BD
=
+
=
，
在ABD
中，则
1
1
1
3
3
3
3
2 3
2
2 r
´ ´
=
× ×
+
+
，解得1
3
3
2
r
-
=
；
在ACD
中，则
2
1
1
3 2 3
2 3
2 3
6
2
2 r
´ ´
=
×
×
+
+
，解得
2
3 2
3
r =
-
；
所以1
2
15
7 3
2
r
r
-
+
=
.
2. （2026·甘肃陇南康县第一中学等三校·一模）已知
中，
是角
所对的边，
.
（1）求角
的大小；
ABC
V
, ,
a b c
, ,
A B C
sin
sin
2
A
C
a
b
A
+
=
B
（2）已知
.
（i）如图①，在
的边
上分别取
两点，若
，求
长度的最小值；
（ii）如图②，
分别在边
上，
，求
面积的最小值.
【答案】（1）
；
（2）
.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用诱导公式及二倍角公式求解.
（2）①设
，在
中，利用余弦定理建立函数关系，再利用基本不等式求出最小值；②设
，在
中，利用正弦定理，结合相似三角形性质将
表示为
的三角函数，再列
出面积关系并求出最小值.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
而
，则
，即
，又
，
因此
，解得
，所以
.
（2）①由（1）知，
，而
，则
是正三角形，设
，
当
时，
与
重合，
为
的中点，
；当
时，
与
重合，
，
当
时，在
中，
，
由余弦定理，得
，
即
，因此
，当且仅当
时取等号，
而
，所以
长度的最小值
.
②设
，则
，
中，由正弦定理得
，
则
，在
中，
，
1
a
b
=
=
ABC
V
,
AB BC
,
D E
AD
DE
=
AD
,
,
D E F
,
,
AB BC AC
π
,
6
DE
EF
EDF
Ð
^
=
DEF
V
π
3
B =
3 3
56
BE
x
=
BDE
V
,
CF
m
CEF
q
=
Ð
=
CEF
△
m
q
ABC
V
sin
sin
2
A
C
a
b
A
+
=
sin
sin
sin
sin
2
A
C
A
B
A
+
=
sin
0
A >
π
sin
sin
2
B
B
-
=
cos
2sin
cos
2
2
2
B
B
B
=
π
0
2
2
B
<
<
1
sin 2
2
B =
π
2
6
B =
π
3
B =
π
3
B =
1
a
b
=
=
ABC
V
(0
1)
BE
x
x
=
£
£
0
x =
E
B
D
AB
1
2
AD =
1
x =
E
C
1
AD =
0
1
x
<
<
BDE
V
1
,
BD
AD DE
AD
= -
=
2
2
2
2
cos
BD
BE
DE
BD BE
B
+
-
=
×
2
2
2
(1
)
(1
)
AD
x
AD
AD
x
-
+
-
=
-
×
2
1
(
2)
2
3
2
2
x
x
x
x
x
AD
x
x
-
+
-
+
-
+
=
=
-
-
3
3
1
2
3
2 3
3
2
2
x
x
x
x
= - +
- =
-
+
-
³
-
-
-
2
3
x =
-
1
2 3
3
2
-
<
AD
2 3
3
-
π
,
(0
)
2
CF
m
CEF
q
q
=
Ð
=
<
<
2π
3
CFE
q
Ð
=
-
在
CEF
△
π
2π
sin
sin
sin(
)
3
3
EF
CF
CE
q
q
=
=
-
3
( 3cos
sin )
,
2sin
2sin
m
m
EF
CE
q
q
q
q
+
=
=
DEF
V
π
,
6
DE
EF
EDF
Ð
^
=
则
，
，又
，
于是
∽
，
，则
，
由
，得
，解得
，
因此
的面积
，其中锐角
由
确定，
而
，则当
时，
，
，
所以
面积的最小值为
.
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，已知
，
，
，且
（1）求BO 的长；
（2）若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，
，在
和
中分别应用余弦定理即可求解；
（2）由（1）知
，设
,
，
，在
和
中分别应用
正弦定理可得
，结合已知可得
，代入等式即可求解.
【详解】（1）设
，
，所以
，
，
在
中，
，
π
3
DFE
Ð
=
π
AFD
DFE
CFE
CEF
q
Ð
=
- Ð
+ Ð
=
= Ð
π
3
A
C
Ð
= Ð
=
ADF
△
CFE
△
2
AF
DF
CE
EF
=
=
( 3cos
sin )
2
sin
m
AF
CE
q
q
q
+
=
=
1
AF
CF
+
=
( 3cos
sin )
1
sin
m
m
q
q
q
+
+
=
sin
2sin
3 cos
m
q
q
q
=
+
DEF
V
2
2
2
2
1
3
3
3
3 3
(
)
2
2
2
2sin
8
sin
DEF
m
m
S
DE EF
EF
q
q
=
×
=
=
=
×
V
2
2
3 3
3 3
56sin (
)
8(2sin
3 cos )
q
j
q
q
=
=
+
+
j
3
tan
2
j =
π
2
j
q
j
j
<
+
<
+
π
2
q
j
+
=
max
[sin(
)]
1
q
j
+
=
min
3 3
(
)
56
DEF
S
=
V
DEF
V
3 3
56
60
AOD
Ð
=
o
3
AC =
6
BD =
AD
BC
=
π
7sin 2
8 7 cos
15
6
OCB
ODA
æ
ö
Ð
-
=
Ð
-
ç
÷
è
ø
cos
ODA
Ð
3
2
7
7
BO
m
=
CO
n
=
OBC
△
OAD
△
3
BO
DO
=
=
OCB
a
Ð
=
OAD
Ð
=
ODA
q
Ð
=
OBC
△
OAD
△
sin
sin
a
=
π
a
+
=
BO
m
=
CO
n
=
6
OD
m
=
-
3
OA
n
=
-
OBC
△
2
2
2
2
cos60
BC
m
n
mn
=
+
-
o
在
中，
，
因为
，解得
，所以BO 的长为
；
（2）由（1）知
，设
,
，
，
在
中，
，在
中，
，所以
，
若
，则
与
全等，所以
，
所以
，所以
，
不成立，所以
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
的值为
.
4．（2026·辽宁盘锦高三上期末检测）在四边形
中，
平分
．
（1）求
；
（2）当
取最大值时，求
．
【答案】(1)
(2)
=1
【分析】（1）解法一：将原式变形，再利用余弦定理并结合角的范围即可求出；
解法二：将原式变形，并利用正弦定理与余弦定理并结合角的范围化简求解．
OAD
△
2
2
2
6
3
2 6
3
cos60
AD
m
n
m
n
=
-
+
-
-
-
-
o
BC
AD
=
3
m =
3
3
BO
DO
=
=
OCB
a
Ð
=
OAD
Ð
=
ODA
q
Ð
=
OBC
△
sin
sin 60
BO
BC
a =
o
OAD
△
sin
sin 60
DO
AD
=
o
sin
sin
a
=
a
=
OBC
△
OAD
△
3
2
CO
AO
=
=
π
6
q =
π
2
a
=
=
π
7sin 2
8 7 cos
15
6
a
q
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø
π
a
+
=
π
π
π
π
π
sin 2
sin 2 π
sin 2
sin
2
cos2
6
6
3
6
2
a
q
q
q
é
ù
æ
ö
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
=
-
-
=
+
-
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
ë
û
è
ø
è
ø
ë
û
7cos2
8 7 cos
15
q
q
=
-
2
7 2cos
1
8 7 cos
15
q
q
-
=
-
2
7cos
4 7 cos
4
0
q
q
-
+
=
2 7
cos
7
q =
cos
ODA
Ð
2
7
7
ABCD
1
BC
AC
CD
AC
=
=
，
，
2
2
2
2
3
AB
AC
BC
BCD
AC
BC
AC
+
-
Ð
=
-
，
ACB
Ð
BD
AB
AC
π
6
ACB
Ð
=
AC
（2）利用余弦定理将两边的平方用
表示出来，再利用均值不等式确定取得最大值时
的大小.
【详解】（1）解法一 ：因为
，
所以
，则
，
在
中，由余弦定理得
因为
，所以
．
解法二 ：因为
，所以
，
在
中，由正弦定理和余弦定理得
，
所以
，
因为
，代入上式整理得
，
由题意可得
，
所以
，
因为
，所以
．
（2）由（1）可得
，因为
平分
，所以
，
因为
，则在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
此时
取最大值，即
取最大值，
故当
取最大值时，
．
5．（2025·山东·模拟预测）在四边形
中，
，
，
，
．
CD
CD
2
2
2
2
3
AB
AC
BC
AC
BC
AC
+
-
=
-
2
2
2
2
2
3
AB
AC
BC
AC
BC AC
+
-
=
-
×
2
2
2
3
BC
AC
AB
BC AC
+
-
=
×
ABC
V
2
2
2
3
3
cos
,
2
2
2
BC
AC
AB
BC AC
ACB
BC AC
BC AC
+
-
×
Ð
=
=
=
×
×
0,π
ACB
Ð
Î
π
6
ACB
Ð
=
2
2
2
2
3
AB
AC
BC
AC
BC
AC
+
-
=
-
2
2
2
2
3
2
2
AB
AC
BC
AC
BC
AC AB
AB
+
-
-
=
×
ABC
V
2sin
3sin
cos
2sin
ABC
BAC
BAC
ACB
Ð
-
Ð
Ð
=
Ð
2sin
cos
2sin
3sin
ACB
BAC
ABC
BAC
Ð
Ð
=
Ð
-
Ð
sin
sin
ABC
ACB
BAC
Ð
=
Ð
+ Ð
2cos
sin
3sin
ACB
BAC
BAC
Ð
Ð
=
Ð
sin
0
BAC
Ð
¹
3
cos
2
ACB
Ð
=
0,π
ACB
Ð
Î
π
6
ACB
Ð
=
π
6
ACB
Ð
=
AC
BCD
Ð
π
3
BCD
Ð
=
1,
BC
AC
CD
=
=
BCD
△
2
2
2
2
2
cos
1
BD
BC
CD
BC CD
BCD
CD
CD
=
+
-
×
Ð
= +
-
ABC
V
2
2
2
2
2
2
·
cos
1
3
1
3
AB
BC
AC
BC AC
ACB
AC
AC
CD
CD
=
+
-
Ð
= +
-
= +
-
2
2
2
2
1
1
3
BD
CD
CD
AB
CD
CD
+
-
=
+
-
2
3
1
1
1
3
CD
CD
CD
-
= +
+
-
3
1
3
1
1
1
1
1
3
2
3
CD
CD
CD
CD
-
-
= +
£ +
+
-
×
-
2
3
=
+
1
CD =
2
2
BD
AB
BD
AB
BD
AB
1
AC
CD
=
=
ABCD
2
2
2
AB
BC
AC
AC BC
=
+
-
×
2
3
AB
BC
=
3
3
AC =
+
π
2
BAC
ACD
ACB
CAD
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
（1）求
的周长
（2）求四边形
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理结合
的取值范围可得出角
的值，结合
及正弦定理
可求得
的值，然后利用正弦定理可求得
、
的长，即可得出
的周长；
（2）根据已知条件分析可知四边形
为等腰梯形，
，即可得出梯形
的面积.
【详解】（1）因为
，
所以
因为
，所以
．
又因为
，所以
，
所以
，
因为
，故
，所以
，
，
且
，
由正弦定理
，所以
，
则
，
故
，
所以
的周长为
.
（2）连接
，
因为
，
，
，
ABC
V
ABCD
3
3 2
3 3
+
+
6
3 3
+
ACB
Ð
ACB
Ð
2
3
AB
BC
=
BAC
Ð
BC
AB
ABC
V
ABCD
AC
BD
^
ABCD
2
2
2
2
2
2
cos
AB
BC
AC
AC BC
ACB
BC
AC
AC BC
=
+
-
×
Ð
=
+
-
×
1
cos
2
ACB
Ð
=
0,π
ACB
Ð
Î
π
3
ACB
Ð
=
2
3
AB
BC
=
2sin
3sin
ACB
BAC
Ð
=
Ð
2
2
3
2
sin
sin
2
2
3
3
BAC
ACB
Ð
=
Ð
=
´
=
2
3
BC
AB
AB
=
<
BAC
ACB
Ð
< Ð
π
4
BAC
Ð
=
5π
12
ABC
Ð
=
5π
π
π
π
π
π
π
sin
sin
sin
sin
cos
cos
sin
12
4
6
4
6
4
6
ABC
æ
ö
Ð
=
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
2
1
2
3
2
6
2
2
2
2
4
+
=
´
+
´
=
sin
sin
AC
BC
ABC
BAC
=
Ð
Ð
3
3
6
2
2
4
2
BC
+
=
+
3
6
2
3 2
6
4
4
2 3
2
2
6
2
6
2
BC
+
+
=
´
=
´
=
+
+
3
3
2 3
3 2
2
2
AB
BC
=
=
´
=
ABC
V
3
3 2
3 3
AB
AC
BC
+
+
=
+
+
BD
π
2
BAC
ACD
ACB
CAD
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
π
4
BAC
Ð
=
π
3
ACB
Ð
=
所以
，
，所以
，且
，
所以四边形
为等腰梯形，所以，
，
则
，
又因为
，即
，设
，
所以四边形
的面积
.
6．（2026·河北秦皇岛模拟）如图，在四边形
中，
，
，
是等边三角形．
（1）若
，求
的面积；
（2）若
，求
的面积；
（3）求
的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
.
(3)
．
【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边
的边长.从而得到面积.，
（2）在
中用余弦定理得到
得余弦及正弦值，从而得到
的余弦值，进而求出
的面积.
（3）由（2）知，可设出
，通过正余弦定理在
表示出
，表示出
，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问.
【详解】（1）在
中，由余弦定理可得:
π
4
ACD
Ð
=
π
6
CAD
Ð
=
//
CD AB
5π
12
DAB
CBA
Ð
= Ð
=
ABCD
π
4
BDC
ACD
Ð
= Ð
=
3
3
BD
AC
=
=
+
π
2
ACD
BDC
Ð
+ Ð
=
BD
AC
^
AC BD O
=
I
ABCD
1
1
2
2
ABD
BCD
S
S
S
BD
OA
OC
BD AC
=
+
=
×
+
=
×
V
V
2
1 3
3
6
3 3
2
=
+
=
+
ABCD
2
AD =
3
CD =
ABC
V
60
ADC
Ð
=
°
ABC
V
2
BC =
BCD
△
BCD
△
7 3
4
3 7
9 3
8
+
9 3
3
4
+
ABC
V
ACD
V
ACD
Ð
BCD
Ð
BCD
V
ACD=θ
Ð
ACD
V
AC cosθ
×
1
sin
60
2
S
BC CD
q
=
×
Ð
+
o
ACD
V
，则
．
因为
是等边三角形，所以
的面积
．
（2）在
中，由余弦定理可得
，
则
，故
，
因为
是等边三角形，所以
，所以
，
则
的面积为
，
（3）设
，
，
在
中，由正弦定理可得
，则
，
由余弦定理可得
，
，
则
，
所以
的面积：
，
因为
，
，
所以
，
当
时，
取得最大值
，即
的面积的最大值为
．
题型06 解三角形融合交汇问题
抓关键·破难点
一、解三角形与平面向量的综合题
（1）通常可将向量关系通过基底分解或坐标运算，转化为边与角的关系，再利用正弦、余
弦定理求解；或反过来，用三角形的边、角表示向量，通过向量的模、数量积等工具处理长度、
角度与垂直、平行等问题。
（2）解题时要根据已知条件选择合适的切入点，注意数形结合，理清向量与三角形元素之
间的对应关系，合理运用运算律和公式，逐步推导得出结论。
2
2
2
2
cos
7
AC
AD
CD
AD CD
ADC
=
+
-
×
Ð
=
7
AC =
ABC
V
ABC
V
2
3
7 3
4
4
S
AC
=
=
ACD
V
2
2
2
2
cos
AD
AC
CD
AC CD
ACD
=
+
-
×
Ð
2
2
2
3
cos
2
4
AC
CD
AD
ACD
AC CD
+
-
Ð
=
=
×
7
sin
4
ACD
Ð
=
ABC
V
60
ACB
Ð
=
°
sin
sin
60
BCD
ACD
Ð
=
Ð
+
°
7
3 3
sin
cos60
cos
sin 60
8
ACD
ACD
+
=
Ð
°+
Ð
° =
BCD
△
1
1
7
3 3
3 7
9 3
sin
2 3
2
2
8
8
BC CD
BCD
+
+
×
Ð
=
´ ´ ´
=
ACD
q
Ð
=
ADC
a
Ð
=
ACD
V
sin
sin
AD
AC
q
a
=
sin
2sin
AC
q
a
=
2
2
2
2
cos
13 12cos
AC
AD
CD
AD CD
a
a
=
+
-
×
=
-
2
2
2
2
cos
AD
AC
CD
AC CD
q
=
+
-
×
2
5
18 12cos
cos
3
2cos
6
6
AC
AC
a
q
a
+
-
=
=
=
-
BCD
△
1
3
3
3 3
sin
sin
60
sin
cos
2
2
4
4
S
BC CD
BCD
AC
AC
AC
q
q
q
=
×
Ð
=
+
° =
+
sin
2sin
AC
q
a
=
cos
3
2cos
AC
q
a
=
-
3
3 3
9 3
9 3
sin
cos
3sin
60
2
2
4
4
S
a
a
a
=
-
+
=
-
° +
150
a =
°
S
9 3
3
4
+
BCD
△
9 3
3
4
+
二、三角函数与解三角形的融合问题
刷经典·通方法
🎯命题方向一 三角函数与复数的创新融合
1.(2026·山东菏泽一模)已知复数
1
1
3i
z = +
，
2
sin
icos
z
x
x x
=
+
ÎR .
（1）当
π
3
x =
时，求
1
2
z
z ；
（2）设
1
2
z
z z
=
，记
Im
f x
z
=
（Imz 表示复数z 的虚部）.将
f x 图象上所有点的横坐标扩大为原来的
2 倍（纵坐标不变）得到函数
g x 的图象，求
g x 的单调递增区间.
【答案】（1）3
i
+ ；
（2）
4π
2π
4 π,
4 π ,
3
3
k
k
k
é
ù
-
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z.
【分析】（1）将
3
p 代入求得
2z ，利用复数的除法运算法则，分子分母同乘分母的共轭复数进行化简求解。
(2) 先根据复数乘法运算求出z ，进而得到
( )
f x ，通过图象变换得到( )
g x ，最后利用正弦函数的单调性求
其单调递增区间。
【详解】（1）当
π
3
x =
时，
2
3
1i
2
2
z =
+
所以
1
2
3
1
3
1
1
3i
i
1
3i
i
2
2
2
2
1
3i
3
i
1
3
1
3
1
3
1
i
i
i
2
2
2
2
2
2
z
z
æ
ö
æ
ö
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
=
=
=
=
+
æ
öæ
ö
+
+
-
ç
֍
÷
è
øè
ø
.
（2）因为
1
2
z
z z
=
，所以
1
3i
sin
icos
z
x
x
=
+
+
sin
3cos
3sin
cos
i
x
x
x
x
=
-
+
+
，
所以
π
3sin
cos
2sin
6
f x
x
x
x
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
将
f x 图象上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍（纵坐标不变）得
1
π
2sin 2
6
g x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，
令
π
1
π
π
2 π
2 π,
2
2
6
2
k
x
k
k
-
+
£
+
£
+
ÎZ ，解得
4π
2π
4 π
4 π,
3
3
k
x
k
k
-
+
£
£
+
ÎZ ，
所以
g x 的单调递增区间是
4π
2π
4 π,
4 π ,
3
3
k
k
k
é
ù
-
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z
🎯命题方向二 三角函数与数列的创新融合
2．(2026·山西大学附属中学3 月诊断)已知函数
sin 2
f x
x j
=
+
，
0
j
p
Î ，
．
（1）若函数
( )
y
f x
=
是偶函数，求实数j 的值．
（2）若
π
3
j =
，将方程
( )
1
f x =
的所有正数解从小到大排列，构成数列
n
x
，其前n 项和为
n
S ，求
24
S 的值．
【答案】(1) π
2
(2)278π
【分析】（1）根据偶函数性质
(
)
( )
f
x
f
x
-
= -
，结合正弦函数的对称性，得到相位j 满足的条件，再由
0
j
p
Î ，
确定j 的值.
（2）将
3
p
j =
代入，解方程
( )
1
f
x =
得到正数解的通项公式，将其整理为等差数列形式，再利用等差数
列求和公式求前n项和.
【详解】（1）因为函数
y
f
x
=
是偶函数，所以
f
x
f
x
-
=
，
sin
2
sin
2
x
x
j
j
-
+
=
+
，整理可得
sin2 cos
0
x
j =
，所以cos
0
j =
，
因为
0 , π
j Î
，所以
π
2
j =
.
（2）由
π
sin 2
1
3
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
得
π
π
2
2 π,
3
2
x
k
k
+
=
+
ÎZ ，
解得
π
π,
12
x
k
k
=
+
ÎZ ，
从小到大排列为：π
π
π
,π
,2π+
,
12
12
12
+
L，所以
π
1 π
12
nx
n
=
+
-
，
24
1
2
24
π
24
0 1 2
23 π
278π
12
S
x
x
x
=
+
+
+
=
´
+
+ + +
+
=
L
L
.
🎯命题方向三 解三角形与平面向量融合
3. （2026·福建泉州毕业班质量检测一）
的内角
所对的边分别为
，其面积为
. 已知
.
（1）求
；
（2）点
满足
，且
，求
.
【答案】（1）
（2）
.
【分析】（1）根据三角形面积公式及向量的数量积求解即可.
（2）求出向量
，对
进行平方可得到
，将对应向量代入化简可得
，结
合余弦定理求出
，代入求值即可
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
，即
，
因为
，
，所以
，
又因为
，所以
.
（2）因为
，
.
因为
，所以
，则
，
即
.
整理得
，即
，也即
.
因为
，所以
，即
.
在
中，由余弦定理知，
，
所以
.
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
S
2
3
0
S
AB AC
+
×
=
uuur uuur
A
D
4
1
3
3
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
2
CD
AD
=
2
2
2
b
c
a
+
2π
3
A =
5
7
CD
uuur
2
CD
AD
=
2
2
4
CD
AD
=
uuur
uuur
2
b
c
=
a
.
1
sin
2
S
bc
A
=
cos
cos
AB AC
AB
AC
A
cb
A
×
=
×
=
uuur uuur
uuur
uuur
2
3
0
S
AB AC
+
×
=
uuur uuur
2
3
0
1
sin
cos
2 bc
A
cb
A
+
=
´
sin
3
cos
0
bc
A
bc
A
+
=
0
bc ¹
cos
0
A ¹
tan
3
A = -
0
π
A
<
<
2π
3
A =
4
1
3
3
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
4
1
4
2
3
3
3
3
CD
AD
AC
AB
AC
AC
AB
AC
=
-
=
+
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
CD
AD
=
2
CD
AD
=
uuur
uuur
2
2
4
CD
AD
=
uuur
uuur
2
2
4
2
4
1
4
3
3
3
3
AB
AC
AB
AC
æ
ö
æ
ö
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
2
0
AB
AB AC
+
×
=
uuur
uuur uuur
2
cos
0
c
c b
A
+ ×
=
1
0
2
c c
b
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
0
c ¹
1
0
2
c
b
-
=
2
b
c
=
ABC
V
2
2
2
2
2
2
1
2
cos
2
2 2
7
2
a
b
c
bc
A
c
c
c c
c
æ
ö
=
+
-
=
+
- ×
× × -
=
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
5
7
7
c
b
c
c
c
a
+
+
=
=
4．（2026·江西吉安·模拟）在
中，
，
，
分别是角
，
，
的对边，已知向量
，
，且
.
（1）求角
的大小；
（2）若
，求
的周长的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的应用，结合考查了两向量平行，属于一般题.
第二问属于典型的已知三角形一角和该角所对边的问题，可以利用圆中弦所对圆周角相等的这个几何性质
求出三角形边长范围.
【详解】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角
的大小；
（2）根据余弦定理求出
的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围.
【详解】（1）由
得
，
由正弦定理
，得
，
即
，因为在三角形中
，则
，
又
，故
；
（2）在
中，因
，
，由余弦定理得
，
即
，当且仅当
时取等号，解得
，
又由三角形性质得
，故
，则
，
即
的周长的取值范围为
.
5．（2026·江西丰城中学·一模）设向量
3sin ,sin
cos
m
x
x
x
=
+
r
，
2cos ,sin
cos
n
x
x
x
=
-
r
，
f x
mn
= ×r r
．
（1）求
f x 的单调递减区间；
（2）在锐角ABC
V
中，角A B C
，，所对的边分别为a b c
，，，若1
f A = ，
2
a =
，
6
sin
sin
2
B
C
+
=
，求ABC
V
的面积.
【答案】 (1)
π
5π
π
, π
3
6
k
k
k
é
ù
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z
(2)10
5
3
-
【分析】（1）先计算向量数量积，通过三角恒等变换将
( )
f
x 化简为
sin
A
x
v
j
+
形式，再根据正弦函
ABC
a
b
c
A
B
C
(2cos ,
)
m
C b
=
-
r
(1, cos
cos )
n
a
C c
A
=
+
r
//
m
n
r
r
C
3
c =
ABC
2
3
C
p
Ð
=
2 3, 2
3ù
+
û
C
a
b
+
//
m
n
r
r
2
2 cos
2 cos cos
a
C
c
A
C
b
+
= -
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
2cos (sin
cos
sin
cos )
sin
C
A
C
C
A
B
+
= -
2cos
sin(
)
sin
C
A C
B
+
= -
sin(
)
sin
0
A C
B
+
=
¹
1
cos
2
C = -
(0, )
C
p
Ð Î
2
3
C
p
Ð
=
ABC
3
c =
2
3
C
p
Ð
=
2
2
2
3
c
a
b
ab
=
+
+
=
2
2
(
)
3
3
2
a
b
a
b
ab
+
æ
ö
+
=
+
£
+ ç
÷
è
ø
a
b
=
2
a
b
+
£
3
a
b
c
+
>
=
3
2
a
b
<
+
£
2 3
2
3
a
b
c
<
+
+
£
+
ABC
2 3, 2
3ù
+
û
数单调性求单调递减区间.
（2）由
(
)
1
f
A =
求出角A，结合正弦定理将sin
sin
A
C
+
转化为边的关系，再用余弦定理求出bc ，最后
代入三角形面积公式计算.
【详解】（1）由题意得
( )
2
3 sin
cos
(sin
cos
)(sin
cos
)
f
x
m n
x
x
x
x
x
x
=
×
=
+
+
-
r
r
3 sin 2
cos 2
x
x
=
-
2sin(2
)
6
x
p
=
-
，
令
π
π
3π
2 π
2
2 π
Z
2
6
2
k
x
k
k
+
£
-
£
+
Î
，解得
π
5π
π+
π
Z
3
6
k
x
k
k
£
£
+
Î
，
所以
( )
f x 的单调递增区间为
π
5π
π
, π
Z
3
6
k
k
k
é
ù
+
+
Î
ê
ú
ë
û
.
（2）因为ABC
V
为锐角三角形，由1
f A = 得
π
2sin 2
1
6
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
由
π
0, 2
A
æ
ö
Î ç
÷
è
ø 可得
π
π 5π
2
,
6
6
6
A
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø ，所以
π
π
2
6
6
A-
=
，故
π
6
A =
，
在ABC
V
中，由正弦定理得
2
4
sin
a
R
A =
=
，所以
(sin
sin
)
2
6
sin
a
b
c
B
C
A
+
=
+
=
，
所以
2
2
2
24
b
c
bc
+
+
=
①，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
c
a
bc
A
+
-
=
，得
2
2
3
4
b
c
bc
+
-
=
②，
由①②解得
20(2
3)
bc =
-
，
所以ABC
V
的面积为
1
sin
10 5 3
2
ABC
S
bc
A
=
=
-
V
.
🎯命题方向四 解三角形与三角函数融合
6．（2026·四川南充高三期末检测）已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求函数
的解析式及对称中心；
（2）在锐角
中，角
的对边分别为
，若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
π
π
2sin
(
0,
)
2
2
f x
x
w
j
w
j
=
+
>
-
<
<
f
x
ABC
V
, ,
ABC
, ,
a b c
3,
4
f C
c
=
=
ABC
V
π
2sin(2
)
3
f x
x
=
-
π
π
(
,0),
Z
6
2
k
k
+
Î
(4 3
4,12]
+
【分析】（1）由
的图象，求得
，得到
，得到
，再由
，即
，求得
，即可函数
的解析式及对称中心；
（2）由
，求得
，由正弦定理得
，得到
，化简得到
的周长为
，结合
为锐角三角形，得到
，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
的图象，可得
，
可得
，所以
，所以
，
又由
，即
，
解得
，即
，
因为
，所以
，
所以函数
的解析式为
；
令
，可得
，
所以
的对称中心为
.
（2）解：因为
，可得
，即
，
因为
，可得
，所以
，所以
，
又因为
，由正弦定理可得
，则
，
所以
的周长为
因为
，可得
，
所以
，
因为
为锐角三角形，可得
，可得
，可得
，
则
，可得
，
f
x
π
T =
2
w =
2 sin 2
f
x
x
j
=
+
5π
(
)
2
12
f
=
5π
sin(
)
1
6
j
+
=
π
3
j = -
f
x
3
f C =
π
3
C =
8
2
3
R =
8
8
sin
,
sin
3
3
b
B a
A
=
=
ABC
V
π
8sin(
)
4
6
l
A
=
+
+
ABC
V
π
π
6
2
A
<
<
f
x
3
5π
π
3π
(
)
4
12
3
4
T =
- -
=
π
T =
2π
2
T
w =
=
2 sin 2
f
x
x
j
=
+
5π
5π
(
)
2sin(2
)
2
12
12
f
j
=
´
+
=
5π
sin(
)
1
6
j
+
=
5π
π
2 ,
Z
6
2
k k
j
+
=
+
Î
π
2 ,
Z
3
k k
j = -
+
Î
π
π
2
2
j
-
<
<
π
3
j = -
f
x
π
2sin(2
)
3
f x
x
=
-
π
π,
Z
x
k
k
-
=
Î
2
3
π
π ,
Z
6
2
k
x
k
=
+
Î
f
x
π
π
(
,0),
Z
6
2
k
k
+
Î
3
f C =
π
2sin(2
)
3
3
f x
C
=
-
=
π
3
sin(2
)
3
2
C -
=
π
(0, )
2
CÎ
π
π 2π
2
(
,
)
3
3
3
C -
Î -
π
π
2
3
3
C -
=
π
3
C =
4
c =
4
8
2
π
3
sin 3
R =
=
8
8
sin
,
sin
3
3
b
B a
A
=
=
ABC
V
8
8
8
sin
sin
4
sin
sin
4
3
3
3
l
a
b
c
B
A
B
A
=
+
+
=
+
+
=
+
+
2π
3
A
B
+
=
2π
3
B
A
=
-
8
2π
π
[sin(
)
sin
]
4
8sin(
)
4
3
6
3
l
A
A
A
=
-
+
+
=
+
+
ABC
V
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
<
<
<
-
<
π
π
6
2
A
<
<
π
π
2π
3
6
3
A
<
+
<
π
3
sin(
)
(
,1]
6
2
A+
Î
π
8sin(
)
4
(4 3
4,12]
6
A+
+ Î
+
所以
的周长为
.
7．（2026·陕西安康阶段检测）已知
的三个内角
所对的边分别为
，且
，
，设
，
的周长为
.
(1)当
时，求
的值；
(2)求函数
的解析式及最大值.
【答案】(1)
(2)
，其中
；最大值为
【分析】（1）根据题意，由正弦定理得
，求得
，进而求得
的长，得到三角形的周长；
（2）由
，根据正弦定理得到
，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由
，
可得
，即
，
设三角形
的外接圆半径是
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，又
又由
，解得
，
所以三角形
的周长为
.
（2）解：由
，且
，可得
，
可得
，
所以
，
由
，所以当
，即
时，
取到最大值
.
8．（2026·黑龙江哈尔滨模拟检测）已知函数
的最小正周期为
.
ABC
V
(4 3
4,12]
+
ABC
V
, ,
ABC
, ,
a b c
π
3
A =
2
2
cos
cos
3
2
2
2
C
B
b
c
b
c
+
+
=
+
B
x
=
ABC
V
y
π
4
x =
y
y
f
x
=
3 2
2 3
6
+
+
π
4 3sin
2 3
6
f x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
2π
0
3
x
<
<
6 3
2
sin sin
sin sin
2 sin
2 3
R
B
C
C
B
R
A
+
=
=
2
R =
, ,
a b c
B
x
=
2
4 3sin
2 3, 0
6
π
π
3
y
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
+
<
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
cos
cos
3
2
2
2
C
B
b
c
b
c
+
+
=
+
1 cos
1 cos
3
2
2
2
C
B
b
c
b
c
+
+
+
×
+ ×
=
+
cos
cos
2 3
b
C
c
B
×
+ ×
=
ABC
R
2
sin cos
sin
cos
2 sin(
)
2 sin
2 3
R
B
C
C
B
R
B
C
R
A
+
=
+
=
=
3
sin
2
A =
2
R =
6
2
sin
sin
3
4
4
C
p
p
+
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
4
3
2
6
2
2
2
4
a
b
c
=
=
=
+
2 3,
2 2,
6
2
a
b
c
=
=
=
+
ABC
2 2
2 3
2
6
3 2
2 3
6
y =
+
+
+
=
+
+
B
x
=
π
3
A =
π
2π
π
3
3
C
x
x
=
-
-
=
-
2π
4sin ,
4sin(
)
3
b
x c
x
=
=
-
2
3
1
4sin
4sin
2 3
4sin
4(
cos
sin )
2 3
3
π
2
2
y
f
x
x
x
x
x
x
æ
ö
=
=
+
-
+
=
+
+
+
ç
÷
è
ø
π
π
2
6sin
2 3 cos
4 3sin
2 3, 0
6
3
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
+
<
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
π
π
2
5
(0,
)
(
,
)
3
6
6
π
π
6
x
x
Î
+
Î
π
π
6
2
x +
=
π
3
x =
y
f
x
=
6 3
2
( )
2
3 sin
cos
2 cos
, (
0)
f x
x
x
x
w
w
w
w
=
+
>
π
（1）求
的值；
（2）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.c 为
在
上的最大值，再从条件①、
条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求
的取值范围.条件①：
；
条件②：
；条件③：
的面积为S，且
.注：如果选择
多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【答案】(1)1
(2)
【分析】利用三角恒等变换整理可得
，结合最小正周期分析求解；
以
为整体，结合正弦函数最值可得
.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得
，利
用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得
，结合正弦函数分析求解；若选条件②：
利用正弦定理结合三角恒等变换可得
，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得
，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得
，利用
正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得
，结合正弦函数分析求解.
【详解】（1）由题意可知：
，
因为函数
的最小正周期为
，且
，所以
.
（2）由（1）可知：
，
因为
，则
，
可知当
，即
时，
取到最大值3，即
.
若条件①：因为
，
由正弦定理可得
，
又因为
，
可得
，且
，则
，
可得
，所以
，
w
ABC
V
( )
f
x
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
a b
-
cos
cos
2 cos
a
B b
A
c
C
+
=
2 sin
cos
sin 2
3
a
A
B
b
A
a
+
=
ABC
V
2
2
2
3
4
a
b
c
S
+
-
=
3, 3
-
π
( )
2sin 2
1
6
f x
x
w
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
π
2
6
x+
3
c=
π
3
C =
π
2 3sin
3
a
b
A
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø
π
3
C =
π
2 3sin
3
a
b
A
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø
π
3
C =
π
2 3sin
3
a
b
A
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø
2
π
( )
2 3 sin
cos
2cos
3 sin 2
cos 2
1
2sin 2
1
6
f x
x
x
x
x
x
x
w
w
w
w
w
w
æ
ö
=
+
=
+
+ =
+
+
ç
÷
è
ø
( )
f
x
π
0
w >
2π
1
2π
w =
=
π
( )
2sin 2
1
6
f x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
π
π 7π
2
,
6
6
6
x
é
ù
+
Î ê
ú
ë
û
π
π
2
6
2
x+
=
π
6
x =
( )
f
x
3
c=
cos
cos
2 cos
a
B b
A
c
C
+
=
sin cos
sin cos
2sin cos
A
B
B
A
C
C
+
=
sin
cos
sin
cos
sin
sin
A
B
B
A
A
B
C
+
=
+
=
sin
2sin cos
C
C
C
=
π
0,
2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø
sin
0
C ¹
1
cos
2
C =
π
3
C =
由正弦定理可得
，可得
，
则
，
因为
锐角三角形，则
，解得
，
可得
，则
，可得
所以
的取值范围为
；
若条件②；因为
，
由正弦定理可得：
，
则
，
因为
，则
，可得
，
即
，且
，所以
，
由正弦定理可得
，可得
，
则
，
因为
锐角三角形，则
，解得
，
可得
，则
，可得
3
2 3
sin
sin
sin
3
2
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
2 3 sin
,
2 3 sin
a
A b
B
=
=
π
2 3sin
2 3sin
2 3sin
2 3sin
3
a
b
A
B
A
A
æ
ö
-
=
-
=
-
+
ç
÷
è
ø
1
3
2 3sin
2 3
sin
cos
2
2
A
A
A
æ
ö
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
3sin
3cos
2 3sin
3
A
A
A
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
ABC
V
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
<
<
<
-
<
π
π
6
2
A
<
<
π
π
π
6
3
6
A
-
<
-
<
1
π
1
sin
2
3
2
A
æ
ö
-
<
-
<
ç
÷
è
ø
3
3
b
a
-
<
-
<
a b
-
3, 3
-
2 sin
cos
sin 2
3
a
A
B
b
A
a
+
=
2
2 sin
cos
sin
sin 2
3 sin
A
B
B
A
A
+
=
2
2 sin
cos
2 sin
sin
cos
3 sin
A
B
B
A
A
A
+
=
π
0,
2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø
sin
0
A¹
2sin cos
2sin cos
2sin
2sin
3
A
B
B
A
A B
C
+
=
+
=
=
3
sin
2
C =
π
0,
2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø
π
3
C =
3
2 3
sin
sin
sin
3
2
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
2 3 sin
,
2 3 sin
a
A b
B
=
=
π
2 3sin
2 3sin
2 3sin
2 3sin
3
a
b
A
B
A
A
æ
ö
-
=
-
=
-
+
ç
÷
è
ø
1
3
2 3sin
2 3
sin
cos
2
2
A
A
A
æ
ö
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
3sin
3cos
2 3sin
3
A
A
A
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
ABC
V
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
<
<
<
-
<
π
π
6
2
A
<
<
π
π
π
6
3
6
A
-
<
-
<
1
π
1
sin
2
3
2
A
æ
ö
-
<
-
<
ç
÷
è
ø
3
3
b
a
-
<
-
<
所以
的取值范围为
；
若选③：因为
，则
，
整理得
，且
，所以
，
由正弦定理可得
，可得
，
则
，
因为
锐角三角形，则
，解得
，
可得
，则
，可得
所以
的取值范围为
.
a b
-
3, 3
-
2
2
2
3
4
a
b
c
S
+
-
=
1
3
2
cos
sin
2
4
ab
C
ab
C
´
=
tan
3
C =
π
0,
2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø
π
3
C =
3
2 3
sin
sin
sin
3
2
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
2 3 sin
,
2 3 sin
a
A b
B
=
=
π
2 3sin
2 3sin
2 3sin
2 3sin
3
a
b
A
B
A
A
æ
ö
-
=
-
=
-
+
ç
÷
è
ø
1
3
2 3sin
2 3
sin
cos
2
2
A
A
A
æ
ö
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
3sin
3cos
2 3sin
3
A
A
A
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
ABC
V
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
<
<
<
-
<
π
π
6
2
A
<
<
π
π
π
6
3
6
A
-
<
-
<
1
π
1
sin
2
3
2
A
æ
ö
-
<
-
<
ç
÷
è
ø
3
3
b
a
-
<
-
<
a b
-
3, 3
-
