培优冲刺10直线、圆与圆锥曲线压轴小题归类（解析版）_数学_二轮复习_2024年_2024年高考数学第三次模拟资源精选_资料_模块三查漏补缺

培优冲刺 10 直线、圆与圆锥曲线压轴小题归类
目录
题型一：含参双动直线...................................................................................................................................................................1
题型二：直线系与方程...................................................................................................................................................................4
题型三：圆：定角............................................................................................................................................................................6
题型四：圆：切点弦........................................................................................................................................................................8
题型五：圆综合..............................................................................................................................................................................10
题型六：离心率：第一定义型...................................................................................................................................................12
题型七：离心率：焦半径型........................................................................................................................................................15
题型八：离心率：第三定义型...................................................................................................................................................16
题型九：离心率：双三角形双余弦定理型............................................................................................................................19
题型十：离心率：重心型............................................................................................................................................................22
题型十一：离心率：内心型（角平分线）............................................................................................................................24
题型十二：离心率：共焦点椭圆双曲线型............................................................................................................................26
题型十三：离心率：双曲线渐近线型.....................................................................................................................................28
题型十四：离心率：求参数........................................................................................................................................................30
题型十五：抛物线：定义型最值转化.....................................................................................................................................32
题型十六：抛物线焦点弦：梯形转化型.................................................................................................................................35
题型十七：抛物线焦点弦极坐标公式应用............................................................................................................................37
题型十八：抛物线切线型............................................................................................................................................................40
题型一：含参双动直线
1. 直线含参。
一般情况下，过定点
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
1. 每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
2. 两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线
是否互相“动态垂直”。
3. 如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
4. 如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值
求解计算
1.（2024上·河北承德·高三统考）已知直线 与 交于点 ，则
的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 得点 为圆上动点，用三角换元求 的最大值.
【详解】由题意可得直线 恒过坐标原点 ，直线 恒过定点 ，
且 ，所以 ，
所以 与 的交点 在以 为直径的圆上，则点 的坐标 满足 （不含点 ）．
可设 ， 且 ，
则 ，
所以当 时， 的最大值为 ．
故选：D
2.（2024上·北京·高按清华附中校考）已知直线 恒过定点A，直线 恒过定点
B，且直线 与 交于点P，则点P到点 的距离的最大值为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点 的距离的最大值等于点P到
圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和
【详解】设
由直线 ，可得
由直线 ，可得 ，
因为直线 与直线 满足 ，
所以 ，
所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点 的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之
和即点P到线段AB中点距离与半径之和，
由 ， ，得AB中点为 ，半径为1，
所以点P到点 的距离的最大值为 ，
故选：A
3.（2024·全国·高三专题练习）已知直线 与直线 相交于点
，则 到直线 的距离 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解法一：求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，
即可求得答案；
解法二：求出两直线的交点坐标，利用点到直线的距离公式求出P到直线 的距离的表达式，结合
不等式知识，即可求得答案.
【详解】解法一：直线 整理可得， ，
即直线 恒过 ，同理可得 恒过 ，又 ， 直线 和 互相
垂直，两条直线的交点 在以 ， 为直径的圆上，即 的轨迹方程为 ，（去掉 ，
（这是因为 不能表示直线 ， 不能表示直线 ，）
设该圆心为 ，则 ，则 ，
由于 垂直于直线 ，故M到 的距离即为 ，而 ，
即 ，而当 时，点 的坐标为 ，不符合题意。故 的取值范围是 ，故选：
A．
解法二：联立两条直线的方程 ，
解得交点 的坐标为 ，
∴ ，
由 ，故得 的取值范围是 ,故选：A．
4.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线
， 的交点为P，过点O分别向直线 ， 引垂线，垂足分别为M，
N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】由 、 的方程可得它们都过定点 ， ，然后可得四边形OMPN为矩形，且 ，
然后可求出答案.
【详解】将直线 的方程变形得 ，由 ，得 ，则直线 过定点 ，同理
可知，直线 过定点 ， 所以，直线 和直线 的交点P的坐标为 ，
易知，直线 ，如图所示，
易知，四边形OMPN为矩形，且 ，设 ， ，则 ，
四边形OMPN的面积为 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为 ，故选：D题型二：直线系与方程
直线系：
过Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0的交点的直线可设：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0.
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
(1) 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如 ，不含想
(2) 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如 ，不含
(3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如 与 平行
1.（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，设 ， 为不同的两点，直线l的方
程为 ，设 ．有下列三个说法：
①存在实数 ，使点N在直线l上；
②若 ，则过MN两点的直线与直线l平行；
③若 ，则直线l经过线段MN的中点．
上述所有正确说法的序号是 ．
【答案】②③
【分析】根据点的坐标是否适合直线方程可判断①，③；判断两直线的斜率是否相等，并判断直线是否重
合可判断②；
【详解】对于①，因为 ，所以 ，
所以点 不可能在直线l上，错误．
对于②，因为 ，所以 ，所以 ，
若 ，则 ，不合题意，故 ，
所以 ，所以直线MN的方程为 ，即 ，
又 ，所以过M、N两点的直线与直线l平行，正确．
对于③，因为 ，所以 ，
所以 ，即 在直线 上，
所以直线l经过线段MN的中点 ，正确．
综上所述，正确的有②③，
故答案为：②③
2.（2023上·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考）已知点 ，直线 ，且点 不在直
线 上，则点 到直线 的距离 ；类比有：当点 在函数 图像上时，距
离公式变为 ，根据该公式可求 的最小值是
【答案】4
【分析】依题意可得， ，令，则 表示半圆上的点到直线 和 的距
离之和，设为d，则 ，再结合图象进行求解.
【详解】解：依题意可得，
，
令 ，则 ，
该方程表示以 为圆心，以1为半径的半圆，
依题意 表示该半圆上的点到直线 的距离，
表示该半圆上的点到直线 的距离，
则 表示半圆上的点到直线 和 的距离之和，设为
d，
则 ，
如图所示：
结合图象，当点P运动到点 时，此时d取得取小值，
则 ，
则 的最小值为 .
故答案为：4.
3.（2022·四川绵阳·统考一模）设 为两个不同的点,直线l:ax+by+c=0, .有下
列命题：
①不论 为何值,点N都不在直线l上；
②若直线l垂直平分线段MN,则 =1；
③若 =-1,则直线l经过线段MN的中点；
④若 >1,则点M、N在直线l的同侧且l与线段MN的延长线相交.
其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）.
【答案】①③④
【详解】试题分析：①因为 中， ，所以点 不在直线 上，本选项正确；
②当 时，根据 ，得到 ，化简得 ，即直线 的斜率为 ，
又直线 的斜率为 ，①知点 不在直线 上，得到直线 与直线 平行，
当 时，根据 ，得到 ，化简得： ，直线 与直线 的斜率不存
在，都与 轴平行，①知点 不在直线 上，得到直线 与直线 平行，综上，当 时，直线
与直线 平行，本选项错误；
③当 时， ，化简得： ，而线段 的中点
坐标为 ，所以直线 经过线段 的中点，本选项正确；
④当 时， ，即 ，所以点 在直线 的同
侧，且 ，得到点 到直线 的距离不等，所以延长线于直线 相交，本
选项正确，所以命题正确的是①③④，故填：①③④.
题型三：圆：定角
1.在平面直角坐标系 中， 为直线 ： 上在第一象限内的点， ，以 为直径的圆 与
直线 交于另一点 .若 ，则点 的横坐标的取值范围为______________.
【答案】 ．
【解析】由直径所对的圆周角为 可求得直线 的方程，进而解得 点的坐标，设出 点的坐标，再利
用向量的数量积即可求出点 的横坐标的取值范围.
【详解】解：如图所示：点 在以 为直径的圆上， ，即 ，
，又 均在直线 ， ， ，又 ， ： ，
联立： ， 解得： ， ；设 ，则 ， ，
，又 ， ，
即 ，解得： 或 （舍去），
故 点的横坐标取值范围为： .故答案为： .
2.（2023·四川省通江中学高三阶段练习）在平面直角坐标系 中，若圆 ： 上存在
两点 、 满足： ，则实数 的最大值是______.
【答案】
【解析】根据题意，圆C的圆心为 ，在直线 上，当圆心距离x轴的距离越远， 越小，结
合图像可知当 时，圆心C在x轴上方，若 、 为圆的切线且 ，此时a取得最大值，
可得 ，即 ，解可得a的值，即可得答案.
【详解】由题得，圆C的圆心为 ，在直线 上，当圆心距离x轴的距离越远， 越小，
如图所示：当 时，圆心C在x轴上方，若 、 为圆的切线且 ，此时a取得最大值，
此时 ，有 ，即 ，解可得 ，
故答案为： .
3.（2023·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知圆C满足：圆心在 轴上，且与圆
相外切.设圆C与 轴的交点为M，N，若圆心C在 轴上运动时，在 轴正半轴上总存在定
点 ，使得 为定值，则点 的纵坐标为_________.【答案】
【分析】设C（c，0），P（0，p），（p＞0），圆C半径为r，用c、p、r表示∠OPM，∠OPN的正切值，
再利用两角差的正切公式表示∠MPN的正切值，分析该值为定值的条件可确定P的坐标．
【详解】解：如图，设C（c，0），P（0，p），（p＞0）圆C半径为r，则OM＝c﹣r，ON＝c+r，OP＝
p，∴tan∠OPM＝ ，tan∠OPN＝ ，∴tan∠MPN＝tan（∠OPN﹣∠OPM）＝
＝ ，
由两圆外切可知，r+1＝ ，得c2＝r2+2r﹣3，∴tan∠MPN＝ ＝ ，
∵上式为与 无关的定值，∴p2﹣3＝0，∴p＝ ．故答案为：
题型四：圆：切点弦
切点弦方程求解，可以有如下两种思路
1.公共弦法：过圆 外一点作圆的切线 ，则切点 与 四点共圆，线段 就是圆的一条直径．两
圆方程相减可得公共弦所在直线方程．
2二级结论法： 外一点 做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：
1.（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆M： ，直线
l： ，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当 最小时，
直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得 ，说明要使 最小，则需 最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联
立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．
【详解】解：因为圆 ，即为 ，
所以圆心 ，半径 ． ．
要使 最小，则需 最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ，即 ．则以PM为直径的圆O的方程为 ．
直线AB为圆M与圆O公共弦所在直线，联立
相减可得直线AB的方程为 ．故选：A．
2.（2023春·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆
，直线 与圆 相切，与圆 相交于 两点，分别以点 为切点作圆
的切线 ．设直线 的交点为 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．7 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得切点弦 的方程为 ，进而根据其与圆 相切得
，即 ，进而根据二次函数性质得 最小值.
【详解】解：设点 ， ， ， ，因为分别以点 为切点作圆 的切线
．设直线 的交点为 ，所以 ，则 ，即 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，即 是方程 的解，
所以点 在直线 上，同理可得 在直线 上，
所以切点弦 的方程为 ，因为直线 与圆 相切，
所以 ，解得 ，即
所以 ，
所以当 时，直线 方程为 ，此时 所以 的最小值为 .故选：D
3．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）若 是直线 上一动点，过 作圆
的两条切线，切点分别为 ，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】由题意可得当 取最小值时， 的值最小，求得圆心 到直线 的距离即得
，即可得 .
【详解】如下图所示，易知 且 垂直平分 ，所以 ，
且 ，由勾股定理可得 ，
所以 ，
即 取最小值时， 取得最小值；
易知 为圆心 到直线 的距离，
即 ，所以 .
故选：A
题型五：圆综合
1.（2023·黑龙江·一模）设 ，则 的最小值为
A．4 B．16 C．5 D．25
【答案】B
【分析】将原问题转化为两点之间的距离问题，然后数形结合求解最小值即可.
【详解】 表示点P(3-4y，4+3y)、Q(cosx，-sinx)两点距离的平方，
由 得点P的轨迹方程为 ，由 得点Q的轨迹方程为 ，
则 ， ，即 的最小值为16.
2.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知 为圆 上两点，点 ，且
， ，则 面积的最大值为______.
【答案】
【解析】由 ， 可得 ，在圆 中可得 ，从而有
，即可求出点 的轨迹，然后就可得出 面积的最大值.
【详解】因为 ， 所以 ，且 是 的中点所以因为 所以 ，即
设点 ，则有 化简得：
即点 的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆。因为 ，且直线 经过点
所以点 到直线 的距离的最大值就为半径 。所以 面积的最大值为
故答案为：
3.（2022山东·薛城区教育局教学研究室高三模拟）已知圆 ， 为圆 外的动点，
过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，使 取得最小值的点 称为圆 的萌点，则圆 的
萌点的轨迹方程为_______.
【答案】 .
【分析】根据圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得 ，再利用切线长公式、
同角三角函数基本关系、结合基本不等式，即可得到答案；
【详解】
当且仅当 时等号成立.
由 在圆 外知 的取值范围是 ，所以 能成立，
故 的最小值为 .
由 知，萌点 的轨迹为圆，方程为 .
故答案为：
4.（2022·江苏·高三专题练习）已知圆 与 轴交于点 、 ，过圆上动点 ( 不与 、 重
合)作圆 的切线 ，过点 、 分别作 轴的垂线，与切线 分别交于点 ，直线 与 交于点 ，
关于 的对称点为 ，则点 的轨迹方程为_______
【答案】
【分析】相关点法求轨迹方程：设 ，先根据条件，求出 ， 两点的坐标，再联立直线 和
求出交点 ，根据 ， 两点关于 对称，确定用 ， 表示点 的坐标，再由点 在圆上，列方程整
理即可.【详解】
依题意作图，有 ， ，设 ( )， .
过点 的圆 的切线 的方程为 ，
所以 ， .联立 解得 ，所以点 .
又点 ， 关于点 对称，所以 ，即 ，
又点 在圆 上，所以 ，
把 代入整理得， ，又 ，所以点 的轨迹方程 ( ).
故答案为： ( ).
题型六：离心率：第一定义型
求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
2、齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于 的一元二次方程或不
等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
1.椭圆 的左右焦点分别为 ､ ，直线 与 交于A､ 两点，若， ，当 时， 的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合题干条件得到 ，表达出 ， ，利用椭圆定义得到
关系，结合 的范围求出离心率的最小值.
【详解】连接 ，由题知点A､ 关于原点对称， ， ， ，则
， ，又 ，即 ，
，由 得 ，所以 ，D
正确.
故选：D
2.（2023春·山西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的
左､右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线 的右支相交于点 ，过点 作 ，
垂足分别为 ，且 为线段 的中点， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件证明 为线段 的中点，由此可得 ，结合双曲线的定义可得
，由勾股定理可得 的关系，由此可求曲线 的离心率.
【详解】因为 ， 为双曲线 的左､右焦点，所以 ，因为
所以 ，又 为线段 的中点，所以 为线段 的中点，且 ，
又 为线段 的中点，所以 ，在 中， ， ，
所以 ，所以 ，因为点 在双曲线的右支上，
所以 ，故 ，在 中， ， ， ，
由勾股定理可得： ，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，故 ，所以 ，故选：D.
3.（江苏省常州市第一中学2022-2023年高三上学期数学试题）设椭圆 的左右焦点分别为 ，
，焦距为 ，点 在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且 恒成立，则椭圆
的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点 在椭圆的内部，以及 列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取
值范围.
【详解】因为点 在椭圆的内部，所以 ①，而 ②，，由①②得 ，即
.所以 .
因为 ，而 ，所以 ，即 ，由三
角形的性质可得 ，因为 是椭圆 上的动点，且 恒成立，所以
，所以 ，即 ，所以椭圆离心率的取值范围是 .
故选：A
4.（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
过 的直线与 的左支分别交于 两点，且 ，若点 为 的中点， ，则 的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】由条件结合双曲线定义列出关于 的齐次方程，由此可求 的离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为 ， 则 ，因为 ，所以 ，
由双曲线定义可得 ，所以
因为点 为 的中点， ，所以 ，即所以 ，所以 ，所以离心率 ，故选：A.
题型七：离心率：焦半径型
椭圆焦半径
焦半径范围： (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)
双曲线焦半径
动点 到同侧焦点 的距离最小值为：
1.（江苏省启东中学 2023学年高三数学试题）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，离心率为 ，若椭圆上存在点 ，使得 ，则该离心率 的取值范围是________．
【答案】 .
由题意可得：|PF|=e|PF|，又|PF|+|PF|=2a，所以|PF|(1+e)=2a ，
1 2 1 2 2
由于a-c≤|PF|≤a+c，所以(a+c)(1+e)≥2a ①，且(a-c)(1+e)≤2a ②，
2
①式两边除以a，得(1+e)(1+e)≥2，解得e≥ ②式两边除以a，得(1-e)(1+e)≤2，恒成立，
所以离心率e的取值范围是 .
2.（2022-2023学年江西省上饶中学高三下学期第一次月）已知 ， 分别为双曲线
的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若 的最小值为 ，则该双曲线
的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，则 ，根据双曲线的定义 ，再利用基本不等式求出 的最小
值，从而得到 ，即可求出离心率的取值范围.
【详解】解：设 ，则 ，由双曲线的定义知 ，
∴ ， ，当且仅当 ，即 时，
等号成立，
∴当 的最小值为 时， ， ，此时 ，解得 ，又 ，∴．
故选：C．
3.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2021-2022学年高三上学期考
试数学试题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在一点 使得
，则该椭圆的离心率 的取值范围是______．
【答案】
【详解】根据焦半径公式，化简 得 ，解得 ，根据椭圆横坐标的取值范围，
得 ，不等式同时除以 化为 .解得 .即离心率的取值范围
为 .
4.（2023秋·广东深圳·高三校考）设 ， 是双曲线 的左右焦点，若双曲线上存在
点P满足 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设 ，先由双曲线的定义 ，再利用余弦定理
，由题意 可得 ，最后再用 可得 、
的不等关系，可得离心率.
【详解】由题，取点 为右支上的点，设 ，
根据双曲线的定义知： ，
在三角形 中，由余弦定理可得： ，
又因为 可得 ，即 ，
又因为 ， 所以
即 ， .
故选： .
题型八：离心率：第三定义型
（1）椭圆
1. 是椭圆 上两点， 为 中点，则 （可用点差法快速证明）
结论拓展
已知直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点， 为 的中点， 为坐标原
点，则 .
如果是焦点在y轴上，则是
2. 是双曲线 上两点， 为 中点，则 （可用点差法快速
证明）
结论拓展
已知直线 ： 与双曲线 相交于 ， 两点， 为 的中点， 为坐标原
点，则 .
如果是焦点在y轴上，则是
1.（陕西省渭南市富平县2023届高三下学期二模理科数学试题）已知点 在椭圆 上，
是椭圆的左焦点，线段 的中点在圆 上．记直线 的斜率为 ，若 ，则椭圆离
心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 的中点为 ，由题意得 ，设 ，则 ，在 中，利用余弦
定理，即可求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】
设 的中点为 ，连接 ，因为点 在 上， ，所以 ， ，
设 ，则 ，所以 ， ，在 中，由余弦定理得
，所以 ，所以 ，
离心率 ，故选：D.2.（2022·新疆喀什·高十三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考开学考试）过双曲线
的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，且FM的中点A在双曲线上，则双曲线离心率e等于（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知 的斜率，表示出直线 方程，求出 的坐标进而
求得A点坐标，代入双曲线方程整理求得 和 的关系式，进而求得离心率．
【详解】：
由题意设 相应的渐近线： ，
则根据直线 的斜率为 ，则 的方程为 ，
联立双曲线渐近线方程 求出 ，
则 ， ，则 的中点 ，
把中点坐标代入双曲线方程 中，即 ，
整理得 ，即 ，求得 ，即离心率为 ，
故答案为： ．
3.（山西省临汾市2022届高三二模数学试题）已知点 是椭圆 上一点， 与椭圆
上、下顶点连线的斜率之积为 ，则 的离心率为_________.
【答案】
【分析】设点 ，则 ，可得出 ，利用斜率公式结合已知条件可得出 ，再
利用离心率公式 可求得椭圆 的离心率的值.
【详解】设点 ，则 ，则 ，则 ，
椭圆 的上、下顶点坐标分别为 、 ，
所以，由已知可得 ，可得 ，
所以， .故答案为： .
4.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作双曲
线 的一条渐近线的垂线 ，垂足为 ，直线 与双曲线 的左支交于 点 ，且 恰为线段 的中点，
则双曲线 的离心率为 （ ）A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用中位线关系求得 ，再利用双曲线的定义，表示 的三边，最后根据勾股定
理求双曲线的离心率.
【详解】连结 ，因为点 分别为 和 的中点，所以 ，且
设点 到一条渐近线 的距离 ，所以
，又 ，所以 ， 中，满足 ，整理为：
，
双曲线的离心率 .故选：D
题型九：离心率：双三角形双余弦定理型
焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：
可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率
1.（广东省佛山市2022-2023学年高三教学质量检测数学试题）已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线
与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可表示出 、 、 ，在在 和 中利用余弦定理，再根据
，得到方程，解得.
【详解】解： ， ，在 和 中利用余弦定理可得
。
即
化简可得 同除 得： 解得 或 （舍去）故选：
2.（东北三省三校2023届高三联合模拟考试数学试题）椭圆 的左焦点为点 ，过
原点 的直线与椭圆交于 ， 两点，若 ， ， ，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性，得到
，分别在 和 ，利用余弦定理列出方程组，求得 ，结
合离心率的定义，即可求解.
【详解】解：设 为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，令
，在 中， ，
则 ，即
在 中， ，则 ，
即 ，联立方程组 ，解得 ，因为 ，所以椭圆的离心率为 .故选：B.
3.已知椭圆 =1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且 ·
≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0， ] B．（0， ] C． ，1) D． ，1)
【答案】B
【分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知 ，
利用余弦定理求出 ，结合平面向量的数量积计算即可.
【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则 ，
因为点A、B关于原点对称，所以四边形 为平行四边形，由 ，得， ，
在 中， ，所以
，
由 ，得 ，整理，得 ，又 ，
所以 .故选：B
4.如图，椭圆M： 的左、右焦点分别为 ， ，两平行直线 ， 分别过 ， 交M
于A，B、C，D四点，且 ， ，则M的离心率为___．
【答案】
【分析】设 ，根据椭圆定义、对称性得到 、 、 、 ，再利用勾股定理得到参数的齐次方程，进而求离心率.
【详解】设 ，则 ，故 ．
由椭圆的对称性知： ，连接 ，则 ．
又 ， ，所以 ，
在Rt 中 ，即 ，解得 ，则 ，
．
在 中 ，即 ＋ ，得 ，所以M的离心率
．
故答案为：
题型十：离心率：重心型
1.（2023春·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知点 为双曲线 的虚轴的
上顶点， 为双曲线的右焦点，存在斜率为 的直线交双曲线于点 两点，且 的重心为点
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】联立直线与双曲线方程，得 和 ，根据三角形重心坐标公式列式，得到 ，结
合 ，可求出离心率.
【详解】 ，设 ，
设斜率为 的直线为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
， ，即 ，
设 ， ，则 ，
，因为 的重心为点 ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
消去 得 ，得 ，得 ，
得 ，得 ，得 ，得 ， .故选：A
2.已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点 和点 ，直线
交椭圆于 两点，若 恰好为 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题设 ，利用 为 的重心，求出线段 的中点为 ，将B代入直
线方程得 ，再利用点差法可得 ，结合 ，可求出 ，进而求出离心率.
【详解】由题设 ，则线段 的中点为 ，
由三角形重心的性质知 ，即 ，解得：
即 代入直线 ，得 ①.
又B为线段 的中点，则 ，
又 为椭圆上两点， ，
以上两式相减得 ，
所以 ，化简得 ②
由①②及 ，解得： ，即离心率 . 故选：C.
3.（2023·全国·高三专题练习）设双曲线 的右焦点为 ， ，若直线 与
的右支交于 两点，且 为 的重心，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设点 为 的中点，根据 为 的重心，求得 ，由直线 与 的右支交于 两点，得到 ，求得 ，再由 时，证得 四点共线不满足题意，
即可求得双曲线 的离心率的取值范围.
【详解】由题意，双曲线 的右焦点为 ，且 ，
设点 为 的中点，因为 为 的重心，所以 ，
即 ，解得 ，即 ，
因为直线 与 的右支交于 两点，则满足 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
当离心率为 时，即 时，可得 ，此时 ，
设 ，可得 ，
又由 ，两式相减可得 ，即直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，此时 四点共线，此时不满足题意，
综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为 .故选：A.
题型十一：离心率：内心型（角平分线）
1.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，
为 的内心，且 ，若椭圆的离心率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 内切圆的半径为 ，根据题意化简得到 ，代入数据计算得到答案.
【详解】设 内切圆的半径为
则 ， ， ·
∵ ，∴
整理得 .∵ 为椭圆上的点，∴ ，解得 .
故选：
2.（2023秋·河南郑州·高三郑州市第一〇六高级中学校考）已知点P是双曲线 （a0，b0）右支上一点，F、F 是双曲线的左、右焦点，M是△PFF 的内心，若 成立，则双曲
1 2 1 2
线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设圆 与 的三边 ， ， 分别相切于点E，F，G，连接ME，MF，MG，易得
， ， ，设r为圆M的半径，分别计算 、 和 ，由
可得 ，再结合双曲线的定义 ，可得出 ，
最后求得离心率即可.
【详解】
如图，设圆M与 的三边 分别相切于点E，F，G，连接ME，MF，MG，则
，设r为 内切圆M的半径，
，
，化简得： ，
由双曲线的定义可得： ，∴离心率 故选：D.
3..已知椭圆C： 1（a b 0）的左、右焦点分别为F，F，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的
1 2
动点，设I，G分别为△PFF 的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离
1 2
心率为_____.
【答案】
【解析】首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不
随着点P的运动而变化，可得：GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为 y，再利用等面积法列式解
0
方程可得： .
【详解】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，
内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，
由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，
设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：设P在第一象限，坐标为：（x，y）连接PO，则重心G在PO上，
0 0
连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，
可得重心G（ ， ）所以I的横坐标也为 ，|ON| ，由内切圆的性质可得，PG=PA，FQ=FN，
1 1
NF =AF，
2 2
所以PF﹣PF=（PG+QF）﹣（PA+AF）=FN﹣NF
1 2 1 2 1 2
=（FO+ON）﹣（OF﹣ON）=2ON ，而PF+PF=2a，所以PF=a ，PF=a ，
1 2 1 2 1 2
由角平分线的性质可得 ，所以可得OM ，所以可得MN=ON﹣OM
，所以ME=OE﹣OM=x ，所以 ，即IN
0
PE y， （PF+FF+PF） IN ，即 （2a+2c） ，
0 1 1 2 2
所以整理为： ，故答案为： .
题型十二：离心率：共焦点椭圆双曲线型
椭圆与双曲线共焦点 、 ，它们的交点 对两公共焦点 、 的张角为 ，椭圆与双曲线的
离心率分别为 、 ，则．
1.（2023·高三课时练习）椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们的交点为 ，且 .若椭圆的离心率
为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理、离心率公式即可求解.
【详解】不妨设P为第一象限的点，在椭圆中： ① ,在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,在 中由余弦定理得：
即 即
椭圆的离心率 ， 双曲线的离心率 ，故选：B
2.（2023秋·高三联考）已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，其中 为右焦点，两曲线在第一象
限的交点为 ，离心率分别为 ， ．若线段 的中垂线经过点 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，焦距为 ，利用中垂线可得到 ，利
用椭圆和双曲线的定义可得到 ，即可求得答案
【详解】设椭圆 的长半轴长为 ，双曲线 的实半轴长为 ，焦距为 ，
因为线段 的中垂线经过点 ，所以 是以 为底边的等腰三角形，
则 ，
由椭圆和双曲线的定义可得 ，
两式相加得 ，两边同时除以 得 ，
所以 ，故选：B
3.（2023·全国·高三模拟）已知椭圆 ： 与双曲线 ： （ ， ）
具有共同的焦点 ， ，离心率分别为 ， ，且 .点 是椭圆 和双曲线 的一个交点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， .根据圆锥曲线定义与勾股定理可得 ，从而可得 ，结合，可得结果.
【详解】设 ， .在椭圆 中， ，
所以 .在双曲线 中， ，
所以 ，所以 ，即 ，得 ，即 .
因为 ，所以 ，解得 .故选：C
.4.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 与双曲线 的焦点相同，离心率分别为 ， ，且满足
， ， 是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】设 ， ，利用余弦定理可得 ，再分别利用椭圆与双
曲线的定义可得 ，可得 ，结合 ，解方程即可得答案.
【详解】设 ， ，在椭圆 ： 中，
，
， 在双曲线 ： 中，
， 即 ，则
所以 ，又因为 ，所以 ，
解得 ，故选：C.
题型十三：离心率：双曲线渐近线型
与双曲线 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 ．焦点到渐近线的距离为： ；
渐近线求法结论：可直接令方程 等号右边的常数为0，化简解得
1.（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）若双曲线 的一条渐近线的倾斜角
是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出两渐近线的倾斜角，得到渐近线方程，得到 ，求出离心率.
【详解】因为一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，且这两条渐近线倾斜角的和等于 ，
所以渐近线的倾斜角分别为 ，故渐近线方程为 ，
故 ， ，故离心率为 .
故选：B.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 （ ， ）与直线 无公共点，则双曲线
的离心率的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的几何性质可知：双曲线与 没有公共点，则 ，即可求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为： ，若双曲线 （ ， ）与直线 无公共点，
则应有 ，所以离心率 ，
故选：D
3.（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线 ： 的左､右焦点分别为 ，
，平面内一点 满足 ， 的面积为 ，点 为线段 的中点，直线 为双曲
线的一条渐近线，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． 或 C． D．2
【答案】B
【分析】先求 边长，然后根据相似三角形求 边长，再由面积得a、b、c的齐次式，然后可
求.
【详解】由题意，可得图象如图所示，因为 ， 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，所以 ，因为焦点 到渐近线 的距离 ，所以
，又因为 ， ，
所以 ，所以 ， ，所以 ，所以，
所以 ，解得 或 ，
故 或 .故选：B.
4.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ，
过 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A、B两点，A是 的中点，且 ，则双曲线C的
离心率 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得 ，设 ， ， ， ，由点 在渐近线 上，求得 点坐标，
再由 为 的中点，得到 点坐标，把 代入渐近线 ，即可求得 的离心率．
【详解】 A是 的中点， 为△ 的中位线， ，所以 ，所以 ．
设 ， ， ， ， 点 在渐近线 上， ，得 ．
又 为 的中点， ， 在渐近线 上， ，得 ，则双曲线的
离心率 ．故选：B
题型十四：离心率：求参数
1.（2023秋·高三专题练习）已知 分别为双曲线 的左、右顶点， 为双曲线上一点，
且 为等腰三角形，若双曲线的离心率为 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．30°或120°【答案】D
【分析】根据题意可得 ，再设 ，分 与 两种情况分别列式
求解即可.
【详解】双曲线的离心率为 ,则 ，双曲线方程为 ，
若 ，设 ，则 ，两式相加有 ，即
，由图 ，故 ，
∴ ，所以∠PBx=60°,∴∠ABP=120°；
若 ，设 ，则 ，两式相加有 ，即
，由图 ，故 ，
∴ ，所以∠PAB=120°,∴∠ABP=30°.
故选：D
2.（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中阶段练习）已知方程 的三个实根可分别作为一
椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的离心率为 ，可得 ，所以 ，
根据方程 另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故 有
两个分别属于 和 的零点，故有 且 ，即 且 ，运用线性规
划知识可求得 .
【详解】令 ，由于抛物线的离心率为 ，可得 ，故 ，
所以 ，令 ，
因为方程 另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，
所以 有两个分别属于 和 的零点，故有 且 ，即
x2y2且 ，则问题转化为在条件 下，求 x2y2的取值范围，作出可行域如
图：
联立 ，解得 ，所以 ，
xy10 x2
 
2xy30 y1 M(2,1)
因为x2y2
表示点(x,y)与原点之间的距离的平方，由图可知，点M(2,1)为最优解，所以
x2y2 (2)215，
所以a2b2的取值范围是(5,).故选：D
3.（2023·甘肃·统考二模）若直线l 和直线l 相交于一点，将直线l 绕该点依逆时针旋转到与l 第一次重合时
1 2 1 2
k k
所转的角为 ，则角 就叫做 到 的角，tan 2 1 ，其中 分别是 的斜率，已知双曲线 ：
  l 1 l 2 1k 1 k 2 k 1 ,k 2 l 1 ,l 2 E
x2 y2 a2
 1(a0,b0)的右焦点为 ， 是右顶点， 是直线x 上的一点， 是双曲线的离心率，
a2 b2 F A P c e
APF ，则tan的最大值为（ ）
1 e e e
A． B． C． D．
e 1e 2 1e 2
【答案】C
k k a2 
【分析】设 的斜率为 ，故tan 2 1 ，由对称性可设P ,y y0 ，令
PA,PF k ,k 1kk  c 
1 2 1 2
a2 a2
m a,n c，结合基本不等式可求解.
c c
k k
【详解】解：设 的斜率为 ，由题意可知：tan 2 1 ，
PA,PF k ,k 1kk
1 2 1 2
y y
不妨设P


a2
,y

 y0，当 时由对称性可知结果一致，则：
k
1

a2 a
,k
2

a2 c ，
 c  y0 c c
y y

n m mn
令 ，则tan  ，当 取得最小值时满足题意，
a2 a2 y y mn mn
m a,n c 1  y y
c c n m y y
mn
很明显 ，则 y2 mn，当且仅当 时等号成立，
y0,mnca0 y y mn
mn ca e
tan  
此时： 2 mn a2 a2  2 1e .故选:C.
2  a c
 c  c 
x2 y2
4.（2023全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线C:  1(a0,b0)的离心率为 ，其中一条渐近线的
a2 b2 e2 5 3e2
倾斜角 的取值范围是 , ，其斜率为 ，则 的取值范围是
  3 6  k k
A．(4,2 3) B．[4, 3)
C．(4, 3] D．(4,2 3]
【答案】D
【解析】由题意，可得 3 b a  3 3 ，即k      3, 3 3    ，转化 3 k e2  3    k 1 k    ，分析单调性，即
得解
b 2 b 5 b 3
【详解】双曲线 渐近线方程为y x，所以tan  tan ，即 3  ，所以
C a 3 a 6 a 3
 3
k 3, ，
 
3
 
a2 b2
则 3e2 a2 1k2  1，记 1，
 3  3  3k  f(k)k
k k k  k k
 3  3 4 3
则 在 单调递增，在1, 单调递减，且 ， f( 3) f   .
f(k) ( 3,1)   3   f(1)2   3   3
3e2
所以 (4,2 3]，故选：D
k
题型十五：抛物线：定义型最值转化
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x，y)、B(x，y)，AB的中点E，准线为l.
1 1 2 2
(1) 焦半径问题：
①焦半径：|AF|＝|AD|＝x＋，|BF|＝|BC|＝x＋ (随焦点位置变动而改变)；
1 2
②焦点弦：|AB|＝x＋x＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)
1 2
③＋＝；
p p
焦半径公式得： AF  ， BF  ，
1cos 1cos
(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x·x＝，y·y＝－p2 (随焦点动而变)； 图4
1 2 1 2
(3)其他结论：①S ＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．
△OAB
1.已知点
P
为抛物线y2 4x上的动点，设点
P
到l
2
:x1的距离为d
1
，到直线xy40的距离为d
2
，则
d d 的最小值是（ ）
1 2
5 5 2
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】B
【分析】直线l
2
:x1为抛物线y2 4x的准线，点
P
到准线的距离等于点
P
到焦点F 的距离，过焦点F 作
直线xy40的垂线，此时d d 最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
1 2
【详解】直线l
2
:x1为抛物线y2 4x的准线，点
P
到准线的距离等于点
P
到焦点F 的距离，过焦点F 作
直线xy40的垂线，
如下图所示，此时d
1
d
2
最小，为点F 到直线xy40的距离.，则 ．故选：B．
104 5 2
d d  
 F1,0 1 2 2 2
2.P 是抛物线y2 8x上的动点， P 到y轴的距离为d 1 ，到圆C:(x3)2(y3)2 4上动点Q的距离为d 2 ，
则d d 的最小值为________．
1 2
【答案】 344##4 34
【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把d d 的最小值转化为 FC 减去圆的半径，再减去抛物线
1 2
焦点到原点的距离即可得答案.
【详解】圆C:(x3)2(y3)2 4的圆心为C(3,3)，半径r2，
抛物线y2 8x的焦点F(2,0)，
因为 是抛物线y2 8x上的动点， 到y轴的距离为d ，到圆C:(x3)2(y3)2 4上动点Q的距离为d ，
P P 1 2
所以要使d
1
d
2
最小，即
P
到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，
连接 ，则d d 的最小值为 FC 减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
FC 1 2
即 (32)2(30)2 22 344，所以d d 的最小值为 344，故答案为： 344
1 2
3.设
P
是抛物线y2 4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点
P
到点A－1,1 的距离与点
P
到直线
x－1的距离之和的最小值为M，若B3,2，记 PB  PF 的最小值为N，则M N ____．
【答案】 54##4 5
【分析】当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线x－1的距离之和最小，由两点间的距离公
式可得M，当P、B、F三点共线时， PB  PF 最小，由点到直线距离公式可得.【详解】如图所示， 过点 作 垂直于直线 ，垂足为点 ，
P PG x－1 G
由抛物线的定义可得 PG =PF ，所以点
P
到直线x－1的距离为 PG ，所以
PA  PG  PA  PF  AF  5，
当且仅当 三点共线时， 取到最小值，即 ．
A、P、F PA  PG M  5
如图所示，过点
P
作直线PH 垂直于直线x－1，垂足为点
H
，由抛物线的定义可得 PH  PF ,
点
B
到直线x－1的距离为
d 4
，所以 PB  PF  PB  PH 4，
当且仅当B、P、H 三点共线时，等号成立，即N 4，因此M N  54．故答案为： 54
4.点M20,40，抛物线y2 2pxp0 的焦点为
F
，若对于抛物线上的任意点
P
， PM  PF 的最小值为
41，则p的值等于______.
【答案】42或22
【分析】当点M20,40在抛物线的内部时，得到当M,P,D三点共线时，此时 PM  PF 的距离最小，即
可求解；当点M20,40在抛物线的外部时，当P,M,F 三点共线时， PM  PF 的距离最小，即可求解.
【详解】由题意，（1）当点M20,40在抛物线的内部或曲线上时，则满足402 2p20，解得p40，
过点 点作抛物线的准线的垂线，垂足为 ，根据抛物线的定义，可得 PF  PD ，
P D
所以 PM  PF  PM  PD ,
当M,P,D三点共线时，此时 PM  PF 的距离最小，且最小值为 ，
41
p
可得20 41，解得 ；
2 p42
（2）当点M20,40在抛物线的外部时，则满足402 2p20，解得p40，
如图所示，
当P,M,F 三点共线时， PM  PF 的距离最小，且最小值为 ，
41
p
即 402(20 )2 41，解得 或 （舍去），
2 p22 p58
综上所述，实数p的值等于42或22.
故答案为42或22.题型十六：抛物线焦点弦：梯形转化型
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|
AB|＝x＋x＋p，
1 2
若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
（2）本题还运用到点差法，设而不求，利用抛物线方程作差有效地简化了计算量，从而到达所需的变量
等式，此方法在椭圆和双曲线中也广泛运用.
1.过抛物线y2 2px(p0)的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交
x轴于点M，若 AB 4，则线段FM的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
y y x x
【解析】先设点 A(x,y ) ，点 B(x ,y ) ，则 AB x x  p，再把 的中点坐标( 1 2, 1 2)和斜率
1 1 2 2 1 2 AB 2 2
k 表示出来，
AB
进一步可以求出线段AB的中垂线的方程，只需令y0，则M 的横坐标x
M
，故可计算出线段FM的长度
p
为 FM  x  .
M 2
【详解】设A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，由抛物线性质可知 AB x
1
x
2
 p4. y
1
2 2px
1
,y
2
2 2px
2
(y y )(y y ) 2p
y2y2 2px 2px ，由题可知 x  x .  1 x 2 x 1 2 2p，即k AB  y y 设线段AB的中垂线的
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 y y
斜率为
k
，则k
0

k
 1
2p
2 .所以AB的中垂线方程为：y y 1 
2
y 2  y 1
2

p
y 2(x x 1 
2
x 2)
0 AB
x x p x x p x x  p 4
令 ，则 的横坐标x  p 1 2 则 FM  x   p 1 2   1 2  2
y0 M M 2 M 2 2 2 2 2
所以线段FM的长度为2.故选：B.
2.（河南省创新发展联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底考试）已知A,B是抛物线y2 6x上的两点，
且 AB 11，则线段AB的中点到y轴的距离的最小值为（ ）．
7 9
A． B． C． D．
2 4 2 5
【答案】B
【分析】过A,B作准线的垂线，设AB的中点为E，过E作y轴的垂线，根据梯形中位线和抛物线的定义
1 1
可知 EG   AF  BF 3  AB 3 ，由此可求得最小值.
2 2 3  3
【详解】由抛物线方程知其焦点为F ,0，准线为l:x ；
 2  2
分别过A,B作准线的垂线，垂足分别为C,D，AC与BD分别交y轴于M,N，
则 ， ．
3 3 3 3
AM  AC   AF  BN  BD   BF 
2 2 2 2
设AB的中点为E，过E作y轴的垂线，垂足为G，
EG 
1
 AM  BN 
1
 BD 
3
 AC 
3

1
 AF  BF 3
1
 AB 3 （当且仅当 三点
2 2 2 2 2 2 4 A,B,F
共线时，等号成立）线段AB的中点到 y 轴的距离的最小值为4．故选：B.
3.（多选）已知抛物线y2 2px p0 的焦点
F
到准线的距离为4，直线l过点
F
且与抛物线交于Ax
1
,y
1
 ，
Bx
2
,y
2
 两点，若Mm,2 是线段AB的中点，则（ ）
A．p4 B．抛物线的方程为y2 16x
C．直线l的方程为y2x4 D． AB=10
【答案】ACD
【分析】由焦点到准线的距离可求得p4，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点
坐标计算公式可求得直线l的斜率，从而求得l的方程，可判断C正确；y
1
y
2
2x
1
x
2
84，所以
x x 6从而 AB  AF  BF x x 410判断D正确.
1 2 1 2
【详解】因为焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p4，故A正确
故抛物线的方程为y2 8x，焦点F2,0 ，故B错误
则y2 8x ，y2 8x ．
1 1 2 2
又Mm,2 是AB的中点，则y
1
y
2
4，所以y
1
2y
2
2 8x
1
8x
2
，
y y 8
即 1 2  2，所以直线 的方程为 ．故C正确
x x y y l y2x4
1 2 1 2
由y y 2x x 84  x x 6，
1 2 1 2 1 2
得 AB  AF  BF x x 410．故D正确
1 2
故选：ACD．
4.（湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年考试数学试题）设抛物线y2 4x的焦点为F ，过F 的直线l交
3
抛物线于 两点，过 的中点 作 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点 ，若 PF  ，则直线
A,B AB M y P 2 l
的方程为__________．
【答案】 2xy 2 0
【详解】分析：求出抛物线焦点为F1,0 ，准线为l:x1，设Ax
1
,y
1
,Bx
2
,y
2
 ，直线AB方程为
ykx1
，由AB与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系算出
P
的坐标，根3
据 PF  ，利用两点间的距离公式解出 ，进而得到结论.
2 k2 2
详解： 抛物线方程为 ， 抛物线焦点为 ，准线为 ，
y2 4x  F1,0 l:x1

设Ax
1
,y
1
,Bx
2
,y
2
 ，因为
P
在第一象限，所以直线AB的斜率k 0，设直线AB方程为ykx1 ，
2k24
代入抛物线方程消去
y
，得k2x2  2k24  xk2 0，x
1
x
2

k2
,x
1
x
2
1，
1
 过 AB 的中点 M 作准线的垂线与抛物线交于点 P ，设 P 点的坐标为x 0 ,y 0 ，可得y 0  2 y 1 y 2  ，
2k24 4
 y 1 kx 1 1,y 2 kx 2 1，y 1 y 2 kx 1 x 2 2k k k2 2k  k ，
2 1  1 2 3  1  2 4 3
得到y 0  k ,x 0  k2 ，可得P k2 , k   ，  PF  2 ，   1 k2    k2  2 ，解之得 k2 2 ，
所以k  2，直线方程为y 2x1 ，即 2xy 2 0,，故答案为 2xy 2 0.
5.（内蒙古赤峰二中2023届高三上学期第三次月考数学试题）抛物线y2 2pxp 0
的焦点为F ，已知
点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB60.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，
MN
垂足为N，则 的最大值为__________．
AB
【答案】1
【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=
（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．
【详解】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|。在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|
BP|=a+b．
由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab。配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，
ab 3 1
又∵ab≤（ ） 2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣ （a+b）2= （a+b）2
2 4 4
MN MN
1
得到|AB|≥ （a+b）．∴ ≤1，即 的最大值为1．故答案为：1．
AB AB
2题型十七：抛物线焦点弦极坐标公式应用
设AB是过抛物线y2 2px p0 的焦点
F
的弦，若Ax
1
,y
1
 ，Bx
2
,y
2
 ，则：
p p
若点 在第一象限，点 在第四象限，则 AF  ， BF  ，
A B 1cos 1cos
2p
弦长 AB x x  p ，（ 为直线 的倾斜角）；
1 2 sin2  AB
1.如图，过抛物线y2 2px(p0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若△ACF与VBDF面积之和的
最小值为32，则抛物线的方程为___________．
【答案】y2 8x

【分析】设直线AB的倾斜角为锐角 ，则直线CD的倾斜角为 ，利用焦半径公式分别求出 AF 、
 2
BF 、CF 、 DF ，并求出△ACF与
VBDF
面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾函数的单调性
求出两个三角形面积之和的最小值，求出p的值，于是得出抛物线的方程．

【详解】解：设直线AB的倾斜角为锐角 ，则直线CD的倾斜角为 ，
 2
p p
CF  
由焦半径公式得： p ， p ，   1sin，
AF  BF  1cos 
1cos 1cos  2
p p
DF  
  1sin，
1cos 
 21 p2 p2
△ACF
的面积为：S
ACF

2
AF CF 
21cos1sin  22sin2cos2sincos
p2 p2 p2
   ，
12sincos2sincos1 (sincos)22sincos1 (1sincos)2
p2  
同理可得 VBDF 的面积为：S BDF  (1sincos)2 ，令t sincos 2sin   4   1，1，
p2 p2
2p2 1t2
则 与 面积之和为：   ，
△ACF VBDF (1t)2 (1t)2 (1t2)2
2p2 1t2
2p2x 2p2
 
再令 ，则 与 面积之和为： (1t2)2 (2x)2 4 ，
xt211，2 x 4
△ACF VBDF x
由双勾函数的单调性可知，当x1时，△ACF与VBDF面积之和取到最小值，
即2p2 32，由于p0，得p4，因此，抛物线的方程为y2 8x．故答案为：y2 8x．
π
2.若过抛物线 的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角 ，点A在x轴上方，
y2x 4
则 FA 的取值范围是______．
1 2
【答案】( ,1 ]
4 2
【分析】根据给定条件，利用点A的横坐标及cos表示 FA ，再利用抛物线定义结合的范围求解作答.
1 1 π
【详解】抛物线 的焦点F( ,0)，准线方程为x ，AFx[ ,π)，如图，
y2x 4 4 4
1 1
设点A的横坐标是 ，则有|FA|cosx  ，由抛物线定义知|FA|x  ，
x 0 4 0 4
0
1 π 2
于是得|FA| ，而函数 在[ ,π)上单调递减，即1cos ，
2(1cos) ycos 4 2
1 1 2 1 2
因此 ，即有  1 ，所以 的取值范围是( ,1 ].
2 22(1cos)4 4 2(1cos) 2 FA 4 2
1 2
故答案为：( ,1 ]
4 2
1 1
 8
3.已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线与 两点，且 ，则拋
y2 2px(p0) P,Q PF FQ
F F
物线的准线方程为________.
1
【答案】x
8
【分析】根据题意作出图形，设直线PQ与x轴的夹角为，不妨设|PF||QF|，设抛物线的准线与x轴的交点为E，过点P作准线与x轴的垂线，垂足分别为P,H，过点Q分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为
Q,G，进一步可以得到|PF||PP||EH ||EF||FH| p|PF|cos，进而求出|PF|，同理求出|QF|，
最后解得答案.

【详解】设直线 与 轴的夹角为(0 )，根据抛物线的对称性，不妨设 ，如图所示.设
PQ x 2 |PF||QF|
抛物线的准线与x轴的交点为E，过点P作准线与x轴的垂线，垂足分别为P,H，
过点Q分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为Q,G.
p
由抛物线的定义可知，|PF||PP||EH ||EF||FH | p|PF|cos|PF| ，
1cos
p
同理：|QF||QQ||EG||EF||GF| p|QF|cos|QF| ,
1cos
1 1 1cos 1cos 2 1 1
于是，     8 p ，则抛物线的准线方程为：x .
|PF| |QF| p p p 4 8
1
故答案为：x .
8
题型十八：抛物线切线型
（1）点P  x,y  是抛物线y2 2mxm0上一点，则抛物线过点P的切线方程是：y ymx x；
0 0 0 0
（2）点P  x,y  是抛物线x2 2mym0上一点，则抛物线过点P的切线方程是：x xmy y．
0 0 0 0
1.（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三学期联考理科数学试题）已知F为抛物线C：y2 4x
的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为l 和l ，若l
1 2 1
PF 2 16
和 交于点P，则  的最小值为______．
l 4 AB
2
【答案】4
【分析】设直线l：xmy1，利用韦达定理求得 AB ，设l
1
:yy
1
kxx
1
k 0 ，利用判别式求得直PF 2 16 4m24 16
线的方程，进而得到 的坐标，从而可得    ，再利用基本不等式即得.
4 AB 4 4m24
P
【详解】由题可知F(1,0)，设直线l：xmy1，直线l:xmy1与y2 4x联立消x，得y24my40，
设Ax,y  ，Bx ,y  ，则y y 4m，y y 4，∴ AB x x 2my y 44m24，设
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
yy kxx 
1 1 4 4
l 1 :yy 1 kxx 1 k 0 ，由 y2 4x ，可得y2 k y k y 1 4x 1 0，
∴     k 4   2 4   k 4 y 1 4x 1    0，又 y2 4x ，∴k  y 2 ，∴l 1 :yy 1  y 2 xx 1  ，即 y y2x2x ，
1 1 1 1 1 1
1 1
同理可得
l 2 : y 2 y2x2x 2
，所以可得x
P

4
y
1
y
2
1,y
P

2
y
1
y
2
2m，即P1,2m，∴
PF  4m24，
PF 2 16 4m24 16 4
∴    m21 4，当且仅当m21 4 ，即 取等号.
4 AB 4 4m24 m21 m21 m1
故答案为：4.
2.（四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期第三次质量检测数学试题）过点M1,m
作抛物线
C:y2 2px,p0 的两条切线，切点分别为Ax
1
,y
1
 和Bx
2
,y
2
 ，又直线AB经过抛物线C的焦点
F
，那
y y
1 2
么 =______.
k k
MA MB
【答案】4
【分析】由题意，利用两种方法化简所求代数式，
方法一：设出过M 与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则0，可得方程
p
，根据题意，结合韦达定理，可得k k  ，同样的思路，设出过焦点的直线 ，
2k22km p0 MA MB 2 AB
联立方程，结合韦达定理，可得y y p2，故可得第一种所求代数式的表示；
1 2
p2
方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得k k  ，结合方法一中 ，可得第二种
MA MB y y y y p2
1 2 1 2
所求代数式的表示；
综上建立方程，求得p的值，进而求得答案.
【详解】由题意，显然过点M1,m 作抛物线C:y2 2px的切线的斜率存在，设该斜率为k，
则该切线方程为ymkx1
，即ykxkm，
y=kx+k+m
联立 y2=2px ，消去 y 可得 k2x2  2k22km2p  xk22kmm2 0 ，
由于切线与抛物线只有唯一交点，则  2k22km2p 2 4k2 k22kmm2 0，
整理可得2k22km p0，
p
由题意，可知 为方程 的两个根，则k k  ，
k ,k 2k22km p0 MA MB 2
MA MB
 p
x=ny+
由题意，设直线 的方程为 p，联立可得 2 ，消去 可得 ，由题意可知
AB xny 2  y2=2px x y22pny p2 0
y y p2
1 2  2p
k k p
y ,y y y p2 MA MB  2 y2 2px,p0
1 2 1 2y y p2
1 2  2p
为该方程的两个根，则 ，故k k p ，由抛物线方程 ，可得函
y ,y y y p2 MA MB  2 y2 2px,p0
1 2 1 2
1 1 p 1 1 p
y   2p y   2p
数 与函数 ，则 与 不妨设
y 2px y 2px 2 2px 2px 2 2px 2px
p p
k  
Ax,y  在第一象限，则 x 0,y 0 ，即 y  2px ，且 MA 2px y ，由设 Ax,y  在第一象限，则
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
p p p2
Bx,y  在第四象限，即 x 0,y 0 ，可得 y  2px ，且 k MB  2px  y ，故k MA k MB  y y ，由
1 2 2 2 2 2 2 2 1 2
y y y y y y 2
1 2  1 2  1 2  p2
，则k k p2 p2 ，综上可得 ，解得 ，故 y y .故答案为：
MA MB 1 2 4
y y p2 y y 2p p2 p=2 k k
1 2 1 2 MA MB
4.
3..（上海市控江中学2022-2023学年高三数学试题）已知Ma,3 是抛物线C：x2 2pyp0
上一点，且
位于第一象限，点M 到抛物线C的焦点
F
的距离为4，过点P4,2
向抛物线C作两条切线，切点分别为
 
A，B，则AFBF （ ）
A．1 B．1 C．16 D．12
【答案】B
【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2  ，然后求出A  FB  F并化简，然
后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.
p
【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线y p 的距离为4，则3 4 p2，即
2 2
抛物线C:x2 4y，则F0,1 .
   
设Ax,y ,Bx ,y ，则AFBF FAFBx,y 1x ,y 1
1 1 2 2 1 1 2 2
xx 2 1 xx 2 1 3
xx y y y y 1xx  1 2   x2x2 1 1 2  x x 2 xx 1.
1 2 1 2 1 2 1 2 16 4 1 2 16 4 1 2 2 1 2
x2 1 1 1
由y  y x，则k  x,k  x ，所以
4 2 AP 2 1 BP 2 2
x
l :yy  1xx xx2y2y x2 0xx2y2y 0，
AP 1 2 1 1 1 1 1 1
x
l :yy  2xx x x2y2y x2 0x x2y2y 0，
BP 2 2 2 2 2 2 2 2x 4222y 0 4x 2y 40
因为点 在这两条直线上，所以 1 1  1 1 ，于是点A,B都在直线
P4,2 x 4222y 0 4x 2y 40
1 1 2 2
4x2y40上，即l :y2x2，代入抛物线方程并化简得：x28x80，由根与系数的关系可知
AB
x x xx 8.
1 2 1 2
  82 1 3
于是AFBF   82 81=1.
16 4 2
故选：B.