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专题06 圆锥曲线离心率培优归类
题型1 离心率基础思维
求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得
得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于
的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或
不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
1．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）已知
，
，以A，B 为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆
的离心率大于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知
为坐标原点，椭圆
：
的右顶点为
，以
为直径的圆与椭圆C 的三个公共点分别为
，M，N，若以
，M，A，N 为顶点的四边形是正方形，
则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，若以
为直
径的圆与以点
为圆心、
为半径的圆相切于点
，且点
在
上，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·山东青岛·期末）已知椭圆
：
的左焦点为
，焦距为
，圆
：
与椭圆
有四个交点，其中点
，
分别在第一、四象限，若
为等边三角形，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 定义法:第一定义型
1.椭圆第一定义：
双曲线第一定义：
2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。
（椭圆是减， 双曲线是结合左右两支判断加减）
1．（25-26 高三·江西赣州·阶段练习）已知
分别是椭圆
的左､右焦点，
是
上一点，若
，且
，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
是椭圆C：
的两个焦点，P 为C 上一点，若
的最大值为5，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北·模拟预测）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，点
（不在
上）为
轴上一点，线段
与
交于点
，
，
内切圆的直径为
，则椭圆
的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过
的直
线与
在第一象限交于点
，与
轴的负半轴交于点
，且
，
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 点差法与中点型
点差法与中点型，实质就是椭圆与双曲线的“第三定义”
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2)
⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2)
⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2 ；
1．（20-21 高三·全国·阶段练习）已知椭圆
，点
,
在椭圆上，直线
过原点
，
过点
且垂直于
的直线交椭圆于点
，过
点且垂直于
轴的直线交椭圆于点
,直线
交
于点
3
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，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·河南·模拟）已知双曲线
的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，过点
且斜率为k 的直线l 交E 的两条渐近线于A，B 两点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·江苏南京·阶段练习）斜率为1 的直线与双曲线
交于两点
，
点
是
上的一点，满足
，
，
的重心分别为
，
的外心为
．记直线
的斜率为
．若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）过第一象限内椭圆C：
上一点P 作三条直线，
，
，过原点并交C 于另一点A，
轴于点H，
交C 于另一点B，若直线AB 平分线段PH，
则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 焦点三角形与离心率
焦点三角形
（1）焦点三角形面积：
椭圆：
，双曲线：
2．顶角
4
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椭圆顶角在短轴顶点处最大。
3．与正余弦定理结合
设椭圆
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在
△PF1F2中，记
,
,
，则有
.
设双曲线
（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在
△PF1F2中，记
,
,
，则有
1．（25-26 高三上·山东济南·开学考试）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
的渐近线
上一点
满足
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
2．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线
的左，右焦点分别为
是双曲线
上一点，
为线段
的中点.若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
3．（24-25 高三·广东汕头·阶段练习）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，
为右顶点，
、
为上、下顶点，若在线段
上存在
（不含端点），使得
，则椭圆
的离心率的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·湖南湘西·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，离心率
为，
的右支上存在点
，满足
，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 齐次计算型
5
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只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不
等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
1．（24-25 高三·安徽芜湖·阶段练习）已知
，
是双曲线
的左、右焦点，点
A，B 在双曲线上，且满足
，
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·河南·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，P 为
上一点，满足
轴，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
3．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线
：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，满足
，直线
与
轴交于点
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东·二模）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
为
左支上一
点，满足
，
与
的右支交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 焦半径型
椭圆双曲线第二定义：动点
到定点
的距离与它到直线
的距离的比为常数
（即离心
率）.
1．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，过
作
的垂线与
在第一象限内交于点
，且
．设
的离心率为，则
（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直
线与
轴相交于
点，与双曲线
在第一象限部分的交点为
，且
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
3．（24-25 高三上·辽宁鞍山·期末）在双曲线
的右支上有一点
，过点
的直线
交
的两条渐近线于
两点（点
均在
轴的右侧）.若
，且
（
为坐标原
点），则双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·天津·期末）已知双曲线
为
的左顶点，抛物线
的
准线与
轴交于
．若在
的渐近线上存在点
，使得
，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7 离心率范围型
求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出
，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，结合
转化为
的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以
或
转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）.
1．（21-22 高二上·湖南邵阳·期末）设
为双曲线
与椭圆
的公共的左右焦点，它们在
第一象限内交于点
是以线段
为底边的等腰三角形，若椭圆
的离心率范围为
，则双曲
线
的离心率取值范围是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
2．（20-21 高三下·全国·阶段练习）已知直线
，若椭圆
上点到直线的距离
的最大值与最小值之和为
，则椭圆
的离心率范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·江西·二模）已知双曲线E:
,其左右顶点分别为
,
,P 在双曲线右支上运动,若
的角平分线交x 轴于D 点,
关于
的对称点为
,若仅存在2 个P 使直线
与E 仅有一个交点,则E 离
心率的范围为( )
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·湖南·阶段练习）已知直线
与圆
在第一象限有两个公共点，其中
为正实数，且
，则双曲线
的离心率的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 焦点弦与双余弦定理
焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1.
焦点四边形具有中心对称性质。
2.
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3.
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
8
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1．（24-25 高二上·四川泸州·期末）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，点
在
上，若
，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，
离心率为
，点P 在C 上，
，则
的外接圆与内切圆的半径之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山东威海·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线
与
的右支交于
两点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
4．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：
的焦点分别为
，
，过
的直线与
C 交于P，Q 两点，若
，
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 焦点弦与定比分点型
过圆锥曲线的焦点F 的弦AB 与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
1．（24-25 高三浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆
：
的两个焦点为
，
，过
的直
线与椭圆
相交于
，
两点，若
，
，则椭圆
的离心率为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·江苏盐城阶段练习）已知点
、
是椭圆
的左、右焦点，点M
为椭圆B 上一点，点
关于
的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若
，则椭圆B
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
3．（24-25 高二上·河北石家庄·期中）设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
过点
.若点
关于的对称点
恰好在椭圆
上，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·安徽阜阳·阶段练习）已知
是椭圆
的一个焦点，
是
的上顶点，
的延长线交
于点
，若
，则
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 焦点三角形双角型
设椭圆
（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在
△PF1F2 中，记
,
,
，则有
.[来源:学科网ZXXK]
设双曲线
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在
△PF1F2中，记
,
,
，则有
.
1．（23-24 高三·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，焦距为
10
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若直线
与椭圆的一个交点M 满足
，则该椭圆的离心率等于
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三下·四川成都·开学考试）已知
，
分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，
且
，设
，当
的范围为
时，双曲线C 离心率的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·江苏扬州·期末）设双曲线C：
的左、右焦点为
，
，左、
右顶点为
，
，P 为双曲线一条渐近线上一点，若
，则双曲线C 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·广东·阶段练习）记椭圆
的左、右焦点分别为
，其上存在
两点
构成的四边形
满足
，则
离心率的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 渐近线型离心率
双曲线渐近线性质：
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）一直线交双曲线
的渐近线于A.B 两点。A,B 的中点为M，则
.
（4）过双曲线
上任意一点P 做切线，分别角两渐近线于M,N 两点，O 为坐标原点则有如下
结论：
①OM·ON=a2+b2；②
；③
11
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1．（2025·新疆喀什·二模）已知
的顶点
分别为双曲线
的左、右焦点，
点
在
的右支上，且
与
的一条渐近线垂直，记
的离心率为，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（20-21 高二上·福建·期中）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
、
，过
的直线与
的两条渐近线分别交于
、
两点，若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（20-21 高三广东广州·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
过
作一条渐近线的垂线，垂足为点
，与另一渐近线交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．（2020·辽宁丹东·二模）已知
为双曲线
：
的一个焦点，过
作
的一条渐近
线的垂线，垂足为点
，与
的另一条渐近线交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
题型12 渐近线中点型离心率
对于渐近线型中点，可以从以下两方面来考虑：
1.一直线交双曲线
的渐近线于A.B 两点。A,B 的中点为M，则
.
2.直接计算。可以通过联立方程等计算对应坐标。
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，过点
的直线与双曲线
的两条渐近线相交于
两点，若线段
的中点是
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
12
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2．（20-21 高三四川内江·阶段练习）已知双曲线
：
，
，过点
的直线交
于
，
两点，
为
的中点，且直线
与
的一条渐近线垂直，则
的离心率为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
3．（20-21 高三上·安徽亳州·期末）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，
交另一条渐近线于
，且
为
的中点，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·甘肃兰州·阶段练习）已知双曲线
的右焦点为
，右顶点为
，
过点
且与
轴垂直的直线与
在第一象限交于点
，直线
与
的渐近线在第一象限交于点
，若
是
的中点，则
的离心率为 ．
.
题型13 共焦点椭圆与双曲线离心率
椭圆与双曲线共焦点
、
，它们的交点
对两公共焦点
、
的张角为
，椭圆与双曲
线的离心率分别为
、
，则
1．（24-25 高三下·山东·开学考试）已知
，
是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
，
的垂直平分线经过点
.若椭圆的离心率为
，双曲线的离心率为
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·湖南·期末）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，点
为椭圆
与双曲线
的交点，
且
，则当
取最大值时，
的值为（ ）.
13
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A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆
与双曲线
有相同的左、右焦点
，
，
为椭圆
与
双曲线
在第一象限内的一个公共点，设椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，
，且
，若
，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点为
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，点
为椭圆
与双曲线
的交点，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型14 焦点三角形四心：内心
双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x=a(−b< y<b, y≠0).
证明：设内切圆与
的切点分别为
，则由切线长定理可得
,因为
，
，所以
，所以点
的坐标为
，所以点
的横坐标为定值a.
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1．（24-25 高二下·江苏南京·期中）已知O 为坐标原点，离心率为3 的双曲线
左、
右焦点分别为
，过点
且倾斜角为锐角的直线l 与C 的右支交于M，N 两点．设△MF1F2与△NF1F2
的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ 的斜率分别是
，则
＝（）
A．－4
B．
C．4
D．
2．（2025 高二·全国·专题练习）如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
是椭圆上的点，
的内切圆的圆心为
，延长
，交
轴于点
，若
，则椭圆的离心率等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知点
在离心率为
的双曲线
上，
为双
曲线的两个焦点，且
，则
的内切圆半径与外接圆半径
之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河南·三模）设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为A，直线
交C 于另一点B，
的内切圆与
相切于点P，若
，则椭圆C 的离心率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型15 焦点三角形四心：重心
离心率(离心率范围)的求法
1.求离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，
15
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c 代换，求
的值．
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
1．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆
上有动点
在任意位置时，总存在椭圆上
的另外两点
，使
的重心为右焦点
，则椭圆
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆
的右焦点为
，上顶点为
，
直线：
交椭圆于
，
两点，若
恰好为
的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）已知椭圆
的上焦点为
，右顶
点为B，斜率为
的直线l 交椭圆
于
，
两点，若
恰好为
的重心，则椭圆
的离心率为
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·湖南·期中）已知双曲线
：
，
和
分别为实轴的右端点和虚
轴的上端点，过右焦点
的直线交
的右支于
，
两点.若存在直线使得点
为
的重心，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
故选：A.
题型16 切线型求离心率
圆的切线：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－
b)(y－b)＝r2.
同理，椭圆与双曲线的切线与切点弦统一方程为：
1．（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭圆
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上除顶点外的任意一点，椭圆
在点
点处的切线为直线，过
作直线的垂线，垂足
在圆
上，当
时，
，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图所示，内外两圈的
钢骨架是离心率相同的椭圆，由外层椭圆顶点向内层椭圆引切线
．设内层椭圆方程为
，则外层椭圆方程可设为
．若直线
与
的斜率
之积为
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南长沙·二模）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，过点
向圆
引切线交椭圆于点
（在
轴上方），若
的面积为
，则椭圆的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型17 小题大做与韦达定理型
韦达定理型解题思维：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
1．（2023·河北衡水·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆E 以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为
A，B，点P 为第一象限内椭圆上的一点，P 关于x 轴的对称点为Q，过P 作椭圆的切线，若
，且
的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E 的离心率为e，则
的值为 .
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2．（2023·云南昆明·一模）椭圆
：
的左，右焦点分别为
，
，上顶点为
，
离心率为
，直线
将
分成面积相等的两部分，则
的取值范围是 .
3．（23-24 高二下·广东揭阳·期末）已知椭圆
的左右焦点分别为
､
为
上且
不与顶点重合的任意一点，
为
的内心，
为坐标原点，记直线
的斜率分别为
，
，若
，则
的离心率为 .
4．（23-24 高二上·上海青浦·期末）已知椭圆
（
）的离心率为
，其上焦点
与抛
物线
的焦点重合．若过点
的直线交椭圆
于点
，过点
与直线
垂直的直线
交抛物
线
于点
（如图所示），则四边形
面积的最小值为 ．
结束
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