重难点18 圆锥曲线必考压轴解答题全归类
【全国通用】
1、圆锥曲线必考压轴解答题全归类
平面解析几何是高考数学的重要考查内容，其中圆锥曲线是高考的重点、热点内容，属于高考的必考
内容之一，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量较大。从近三年的高考情况来
看，在解答题中的考查主要有三个方面：一是圆锥曲线通性通法的研究；二是圆锥曲线中的弦长、面积、
最值、定点、定值或定直线等问题的求解；三是圆锥曲线与其他知识的交汇问题，考查逻辑思维能力和数
学运算能力，试题难度较大，需要灵活求解。
圆锥曲线的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”，所有的圆锥曲线有关试题都是
围绕这些核心内容展开。
知识点
1 动点轨迹问题
1．求动点的轨迹方程的方法
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
(3)相关点法：用动点Q 的坐标x、y 表示相关点P 的坐标x0、y0，然后代入点P 的坐标(x0,y0)所满足的曲线
方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；
(4)参数法：当动点坐标x、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y 与某一参数t 得到方程，即为动
点的轨迹方程；
知识点
2 圆锥曲线中的弦长与中点弦问题
1．椭圆的弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m 交椭圆
+
=1 (a>b>0)于
，
两点，
则
或
.
2．椭圆的“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系
数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐
标和斜率的关系.
设
，
，代入椭圆方程
+
=1 (a>b>0)，得
，
①-②可得
+
=0，
设线段AB 的中点为
，当
时，有
+
=0.
因为
为弦AB 的中点，从而转化为中点
与直线AB 的斜率之间的关系，这就是处理弦中点
轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB 是椭圆
+
=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB 所在直线的斜率存在时，弦AB 的中点M 的坐标为
，则弦AB 所在直线的斜率为
，即
.
3．双曲线的弦长问题
(1)弦长公式：直线y=kx+b 与双曲线相交所得的弦长d
.
(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与
圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
(4)双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x 轴上还是在
y 轴上，双曲线的通径总等于
.
4．双曲线的“中点弦问题”
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类
问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将
转
化为能用韦达定理直接代换的
.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
5．抛物线的弦长问题
设直线与抛物线交于A
,B
两点，则|AB|=
=
或
|AB|=
=
(k 为直线的斜率，k≠0).
6．抛物线的焦点弦问题
抛物线
=2px(p>0)上一点A
与焦点F(
,0)的距离为|AF|=
，若MN 为抛物线
=2px(p>0)的
焦点弦，则焦点弦长为|MN|=
+
+p(
,
分别为M,N 的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A
,B
，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程
弦长公式
y2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)
知识点
3 圆锥曲线中最值或取值范围问题的解题策略
1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数
方法、不等式方法等进行求解.
2．解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
知识点
4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
1．圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题
以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想
方法来处理，具体操作流程如下：
(1)变量——选择合适的参变量；
(2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数；
(3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值.
一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使
得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸.
2．过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线 l 过定点问题
解法：设动直线方程（斜率存在）为y =kx +t，由题设条件将t 用k 表示为t =mk +n，得y =k (x +m)+n，
故动直线过定点(−m,n)；
(2)动曲线 C 过定点问题
解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3．求解定值问题的三个步骤
(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；
(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无
关；也可令系数等于零，得出定值；
(3)得出结论．
4．圆锥曲线中的定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨
迹，主要方法有：
(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；
(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；
(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
知识点
5 圆锥曲线中的探索性问题的解题策略
1. 圆锥曲线中的探索性问题
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成
立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对
参数的讨论.
【方法技巧与总结】
1．已知M，N 是椭圆C：
+
=1 (a>b>0)上的两点，点O 为坐标原点，且P 是M，N 的中点，则
.
2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则
.
3．若曲线为抛物线，P
为弦MN 的中点：
(开口向右)，
(开口向左)，
(开口向上)，
(开口向下).
【题型1 圆锥曲线的标准方程的求解】
【例1】（2026·安徽滁州·一模）已知椭圆Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为❑√5
5
．
(1)求Γ 的方程；
(2)若直线y = x +m与Γ交于A，B 两点，且| AB|< 8 ❑√10
9
，求m 的取值范围．
【变式1-1】（2026·四川广元·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1
，F2
，
过F2
作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|P F2)= ❑√2，S△PO F2=1.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过左焦点F1的直线l与双曲线C交于A，B两点，S△AB F2= 4
3
❑√10，求直线l的方程.
【变式1-2】（2026·吉林·三模）已知抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的焦点F 到直线y = x +2的距离为2❑√2.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)过点A (4,0)的直线l与抛物线C 交于M，N 两点，O为坐标原点，且△OMN的面积为16 ❑√3，求直线l的
方程.
【变式1-3】（2026·天津南开·一模）已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1
，F2
，
短轴长为2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且sin∠P F1 F2= 1
3
.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l：y =kx +m（k >0）与椭圆E交于点A，B，若椭圆E上存在点C使得四边形OACB为平行四边形.
且|AB)= ❑√3|OC)，求k的值.
【题型2 轨迹方程】
【例2】（2026·河南开封·一模）在直角坐标系xOy中，点P到y轴的距离等于点P到点F (2,0)的距离，记
动点P的轨迹为W ．
(1)求W 的方程；
(2)经过点F且斜率为1 的直线l交W 于A，B两点，求|AB)．
【变式2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A(0,1),B(0,−1)，直线AP 与
BP 相交于点P，且两直线的斜率之积为−1
2
．
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)直线l1: x−2 y +1=0与动点P 的轨迹交于C，D 两点，求弦长|CD|；
(3)若动点P 的轨迹为闭合曲线，点T (2,0)，动点P 的轨迹上存在不关于x 轴对称的两点M，N，使得
∠MTN恰好被x 轴平分，求△MTN面积的取值范围．
【变式2-2】（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点F(
1
4 ,0)，且与直线l: x =−1
4 相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)过点A (1,1)作倾斜角为α，β（αβ ≠0）的两条直线交轨迹C 于M，N 两点，若α + β =π
2
，求证：直线
MN 恒过定点．
【变式2-3】（2026·河南·模拟预测）已知C1(−2,0)，C2(2,0)，动点M 满足|M C1)−|M C2)=2，设M 的
轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)设直线l: y =kx +1与曲线C 有两个交点A，B，求k 的取值范围；
(3)设直线l
′: x =my +2
与曲线C 交于P，Q 两点，求证：
1
|PC2)
+
1
|QC2)
为定值．
【题型3 圆锥曲线的弦长与“中点弦”问题】
【例3】（2026·吉林长春·一模）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，右焦点F (1,0)..
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F且倾斜角为45
°的直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB).
【变式3-1】（2026·山东威海·一模）已知双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦距为2c，渐近线方程为
y =±2❑√2 x，右焦点F到直线x = a
2
c
的距离为8
3．
(1)求E的方程；
(2)已知直线x−my +3=0交E于B，C 两点，E的左顶点记为A，若AB//CF，求弦长|BC|．
【变式3-2】（2026·广东·模拟预测）已知抛物线E: y
2= 4 x的焦点为F，过点F作斜率为3 的直线l，且l与
E交于A ,B两点.
(1)求|AB)；
(2)求||FA)−|FB)).
【变式3-3】（2025·山西·模拟预测）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，且过点
P(−1, 3
2).
(1)求C的方程；
(2)设Q为C上一动点，当|PQ)+|QF)取得最大值时，求直线QF被C截得的弦长.
【题型4 斜率之和差商积问题】
【例4】（2026·青海西宁·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为
❑√3
2
，且| AB|= 4．
(1)求C 的方程；
(2)已知M，N 是直线x =1上的两点，且满足BM ⊥BN，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2．
（i）求k1⋅k2的值；
（ii）若直线AM与C 交于另外一点P，直线AN与C 交于另外一点Q，求点B 到直线PQ的距离的最大
值．
【变式4-1】（2026·江西吉安·一模）已知双曲线Γ : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为❑√6
2
，其焦点到渐
近线的距离为1，点P为圆O: x
2+ y
2=1上一动点.
(1)求双曲线Γ的标准方程；
(2)若过点P可以作双曲线Γ的两条切线l1，l2，且切点分别为A，B.
（ⅰ）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求k1⋅k2的值；
（ⅱ）设l1，l2分别交圆O于点M，N，试探究|PA)⋅|PN )
|PB)⋅|PM )是否为定值？若是，请求出这个定值；若不
是，请说明理由.
【变式4-2】（2026·贵州六盘水·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为2，且过点A(❑√2,
❑√6
2 )
．
(1)求椭圆C 的方程.
(2)设B 为椭圆C 的右顶点，过点P(1,0)的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点（异于点B）．
（ⅰ）记直线BM ,BN的斜率分别为k1,k2，证明：k1k2为定值.
（ⅱ）求△BMN的面积的取值范围.
【变式4-3】（2026·四川德阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1,（a＞b＞0）的
左、右顶点分别为A (−3,0),B (3,0)，F 为椭圆C 的右焦点，P 为椭圆C 上不同于A、B 的动点，若
k PA⋅k PB=−5
9
，直线PF 与椭圆C 的另一个交点为Q．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)求△PAQ面积的最大值；
(3)若P 在x 轴的上方，设直线AP、BQ 的斜率分别为k1、k2，是否存在常数λ，使得k1+ λ k2=0成立？若
存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【题型5 圆锥曲线中三角形的面积问题】
【例5】（2026·宁夏·一模）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的一个焦点与上、下顶点构成直角三角
形，以椭圆C的短轴为直径的圆与直线x + y −❑√2=0相切.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆C于P ,Q两点，设O为坐标原点，求△POQ的面积的最大值；
【变式5-1】（2026·浙江·一模）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F ,C上有一点P( p, y0)到焦点F的
距离为3，过焦点F作直线与抛物线交于A ,B两点，|AB)=6,O为坐标原点.
(1)求点F的坐标；
(2)求△OAB的面积.
【变式5-2】（2026·陕西榆林·二模）已知椭圆Γ: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (2,0)，过F的直线l与
Γ交于P ,Q两点，且当PQ ⊥x轴时，|PQ)=6．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)证明：1
|FP) +
1
|FQ)为定值；
(3)若点P在x轴上方，直线PE与圆E:(x +2)
2+ y
2=64
交于A 、B两点，点B在x轴上方，是否存在点P，
使得△PBF与△QEF的面积之比为5:3？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【变式5-3】（2026·四川成都·二模）设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A．已知
△AOF（O 为坐标原点）的面积为b
2
2
．
(1)求C的离心率；
(2)设B 为椭圆C上一动点，已知| AB|的最大值为2．
（i）求C的方程；
（ii）若B在第一象限内，连接BF，过A作BF的平行线交C于另一点D，记△ABD与△ABF的面积分别为
S1,S2
，求S1
S2
的最大值．
【题型6 圆锥曲线中的参数范围及最值】
【例6】（2026·天津红桥·一模）已知椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点围成的
三角形面积是1，离心率e =
❑√2
2
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l: y =kx +m与椭圆C交于不同两点A 、B，与圆x
2+ y
2= 2
3
相切于点M．
①证明：OA ⊥OB（O为坐标原点）；
②设λ=|AM )
|BM ) ，求实数λ的取值范围．
【变式6-1】（2025·海南海口·模拟预测）设A，B 两点的坐标分别为(−1,0)，(1,0)直线AM，BM 相交于
点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M 的轨迹方程C；
(2)若直线l 与C 交于P，Q 两点，且⃗OP⋅⃗OQ =0（点O 为坐标原点），求|PQ)的取值范围．
【变式6-2】（2026·湖南株洲·一模）已知抛物线E: x
2=2 y，圆F : x
2+( y −1)
2=1，点A(x0, y0)（其中
y0>2）为抛物线E上一动点，过点A作圆F的两条切线分别与x轴交于点B，C.
(1)判断抛物线E与圆F的交点个数，并说明理由；
(2)求|BC)的取值范围；
(3)求△ABC周长的最小值．
【变式6-3】（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1
，F2
，点
(❑√2,1)在椭圆上，且椭圆上满足P F1⊥P F2
的点P有且仅有2 个.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点（A在第一象限），与x轴，y轴分别交于点M，N，且⃗AM =3⃗AN；
点A关于x轴的对称点为D，直线DN与椭圆的另一个交点为E.
（ⅰ）记直线AN，DN的斜率分别为k1
，k2
，证明：k2
k1
为定值；
（ⅱ）求直线BE的斜率的最小值.
【题型7 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】
【例7】（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)，
F2(1,0)，点M 在C 上，M F2⊥x轴，且|M F2)= 3
2
．
(1)求C 的方程；
(2)过点P(4,0)的直线交C 于不同的两点A、B，AH ⊥M F2于点H，证明：直线HB 过定点．
【变式7-1】（2026·山东烟台·一模）已知双曲线C ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)经过点(2，3)，且离心率为
2．
(1)求C的方程；
(2)过C的右焦点且斜率不为0 的直线l与C交于A ,B两点，设M , N分别为C的左、右顶点，且直线
AM ,BN的斜率分别为k1,k2
，判断：k1
k2
是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．
【变式7-2】（2026·江苏盐城·二模）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点A(2,3)，F1, F2
分别为E的
左、右焦点，离心率为1
2
.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1 A F2的角平分线所在的直线l的方程；
(3)过点F2且斜率为k1的直线l1与椭圆E交于M , N两点，记直线AM , AN的斜率分别为k2,k3，是否存在
常数λ，使得k2+ k3−λ k1为定值？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.
【变式7-3】（2025·湖南岳阳·三模）已知抛物线E的顶点在坐标原点O处，对称轴为x轴，且过点
T (2,−4)，A，B是E上两个动点．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知C是E上一点，且E的焦点F为△ABC的重心，设C的横坐标为t，求t的取值范围；
(3)已知P为直线OT在第二象限内一点，直线PA，PB与抛物线E分别相切于A，B两点，设PA，PB与y
轴分别交于M，N两点，证明：直线AN与直线BM的交点在定直线上．
【题型8 圆锥曲线中的探索性问题】
【例8】（2026·陕西铜川·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)两个焦点与一个下顶点组成一个长为4
的等边三角形.设直线l: y =kx +2(k ∈R)与椭圆C 交于A ,B两点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)求△ABO的最大面积；
(3)在y 轴上是否存在一定点P，对任意k ∈R，使得直线PA , PB的斜率之和恒为0？若存在，求出点P 的
坐标；不存在，请说明理由.
【变式8-1】（2026·江西赣州·一模）已知抛物线C : x
2=2 y，过点P(0,2)作直线l与抛物线C相交于A ,B两
点，O为坐标原点.
(1)证明：OA ⊥OB；
(2)若存在异于点P的定点T，使得|⃗PA |⋅|⃗TB|=|⃗PB|⋅|⃗TA |恒成立，请求出点T的坐标，并求出
△TAB面积的最小值.
【变式8-2】（2025·天津河北·二模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的上、下顶点与一个焦点是等腰直
角三角形的三个顶点，且点(1,
❑√6
2 )
在椭圆上．
(1)求椭圆C 的离心率及标准方程；
(2)过点P(0,1)且斜率存在的动直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，问在y 轴上是否存在与点P 不同的定点
Q，使得|QA |
|QB| = S△APQ
S△BPQ
恒成立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2026·辽宁抚顺·一模）已知点P(1,1)在抛物线C : y
2=2 px ( p>0)上，直线l: x =−1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)点A，B在l上，且以AB为直径的圆过坐标原点O，若直线AP交C于另一点M，直线BP交C于另一点N
.
（i）证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标；
（ii）是否存在A ,B，使得△PMN的面积为△OAB面积的2 倍？若存在，求出|AB)的值；若不存在，说
明理由.
【题型9 圆锥曲线与其他知识交汇】
【例9】（2025·河北沧州·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (❑√3,0)，且C的离心率为
❑√3
2
，直线l与C有两个不同的交点M , N.
(1)求C的方程；
(2)若点F在直线l上，点P是线段MN的中点，O为坐标原点，若C上存在点Q，使得⃗OQ+2⃗OP =⃗0，求直
线l的斜率；
(3)若C在点M , N处的切线分别为l1,l2,l1与l2交于点T，点T在直线x = 4上.试判断：直线l是否过定点？若
是，则求出该定点；若不是，请说明理由.
【变式9-1】（2026·黑龙江吉林·一模）已知椭圆Γ: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，短轴长为2❑√3
．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)设A，B，C均为椭圆Γ上的动点．
（ⅰ）若直线AC、直线BC分别过Γ的左右焦点，记直线AC、AB、BC的斜率分别为k1，k2，k3，当k1
，k2，k3成等差数列时，求点C的坐标；
（ⅱ）若△ABC的重心是坐标原点O，证明：△ABC的面积是定值．
【变式9-2】（25-26 高二上·山西·月考）已知椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率是❑√3
2
，且过点
(1，
❑√3
2 )
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点T (t ,0)的直线l与C交于A ，B两点．
（i）若t = ❑√3，且直线l的倾斜角为π
4
，求线段AB的长；
（ii）若直线l的斜率不为0，t >0，是否存在点P(s,0)，使得⃗PA ⋅⃗PB为定值？若存在，求出s的最小值；
若不存在，请说明理由．
【变式9-3】（2025·山东潍坊·二模）双曲线C : x
2−y
2=a
2(a>0)的左、右顶点分别为A、A1，点A1到C
的渐近线的距离为
❑√2
2
．
(1)求C的方程；
(2)按照如下方式依次构造点An（n≥2且n∈N）：过点An−1作斜率为−2的直线交C于另一点Bn−1，设An
是点Bn−1
关于实轴的对称点，记点An
的坐标为(xn, yn)．
（i）证明：数列{xn−yn)、{xn+ yn)是等比数列，并求数列{xn)和{yn)的通项公式；
（ii）记△An A An+1的面积为S，△An A1 An+1的面积为T，求S
T
的最大值．
一、解答题
1．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y
2= 4 ❑√3 x
的焦点重
合，且椭圆C 的离心率为
❑√3
2
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆C 的左顶点A 且倾斜角为30°的直线交椭圆C 于另一点B，O 为坐标原点，求△OAB的面积.
2．（2026·四川内江·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)经过点(−2,❑√6)，其渐近线方程为
y =± ❑√2 x．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(1,−1)的直线l与双曲线C相交于A ,B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．
3．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为❑√3
2
，其左顶点为A，上顶点为
B，△AOB的面积是1，其中O 是原点，平行于AB的直线l 与C 交于M，N.
(1)求C 的方程；
(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l 的方程；若不
存在，请说明理由.
4．（2026·山西晋城·一模）已知椭圆E: x
2
2 + y
2=1的左、右焦点分别为F1, F2，上顶点为A，过点A的动
直线与E交于另一点B，过点F2且与AB 平行的直线与E交于P ,Q两点，直线AB 与PQ 不重合．
(1)当点F1在直线AB 上时，求|PQ)；
(2)记AB 的中点为M , PQ的中点为N，坐标原点为O，证明：M ,O , N三点共线．
5．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆C : x
2
8 + y
2
2 =1，O 为坐标原点，点A，B 分别在直线y =
❑√2
2 x与
y =−
❑√2
2 x上，P 是C 上一点，O、A、P、B 四点顺时针构成平行四边形OAPB.
(1)求|AB)的值；
(2)求平行四边形OAPB面积的最大值.
6．（2026·山东青岛·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于2，右焦点F
到其渐近线的距离等于❑√3．
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线l与双曲线C 交于A、B两点，以AB为直径的圆记作⊙M．求证：⊙M恒过某个定
点，并求出此定点的坐标；
7．（2026·陕西榆林·三模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为❑√3
2
，焦距为2❑√3
．
(1)求C 的方程；
(2)已知点B(
a
2 ,0)，若直线l 与C 交于E，F 两点，且BE⊥BF，|BE)=|BF)，求直线l 的方程．
8．（2026·上海金山·二模）已知抛物线Γ : y
2= 4 x的焦点为F，准线为l，点P(x0, y0)为抛物线上一动
点，点O为坐标原点．
(1)若|OP)=|PF)，求点P的坐标；
(2)若直线l0: y =kx + 4与抛物线Γ只有一个交点，求直线l0的方程；
(3)若x0>3，过点P作圆C :(x −1)
2+ y
2= 4
的两条切线，交准线l于A、B两点，求|AB)的取值范围．
9．（2026·天津河西·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为1
2
，且经过点(1, 3
2)
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 相切，过F 作直线l 的垂线，垂足为H，线段OH的长度是否是定
值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．
10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知椭圆G: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1, F2
，离心率为
❑√6
3
，点T为该椭圆的上顶点，且满足|T F2)= ❑√6.
(1)求椭圆G的方程；
(2)过点F2的直线l与椭圆G交于A ,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为2❑√6
3
，求直线l的方程.
11．（2026·内蒙古赤峰·一模）平面直角坐标系中，动点P 到点M (2,0)的距离与它到直线x =8的距离之比
为1
2
．
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点M 的直线l 与轨迹C 交于A，B 两点，且点A 在第一象限，点N (−2,0)，△AMN与△BMN的面积
之比为3
5
，求△ABN的内切圆半径．
12．（2026·河北廊坊·一模）已知F1
，F2
分别是双曲线C : y
2
a
2 −x
2
b
2 =1¿的上、下焦点，双曲线C的渐近线
方程是y =± 2❑√5
5
x，且F1到双曲线C的渐近线的距离是❑√5．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过F2
的直线l与C交于A ,B两点，其中A在第一象限，B关于原点对称的点为M，且⃗F1 A ⋅⃗F2 M = 4
，求直线l的方程．
13．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点E (0,1)，以C的长轴为直径的圆
与y轴上半轴交于F，且|EF)=1．
(1)求C的方程；
(2)若过点F的直线l与C交于M , N两点，满足直线EM , EN的斜率之和为2
3
，求△EMN的面积．
14．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方
程为y =± ❑√3 x，点P(1,1)在直线x =a上.
(1)求C的方程；
(2)过点P的直线与C相切于点B（异于点A），证明：∠AFP =∠PFB.
15．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线C : x
2=2 py ( p>0)，O为坐标原点，过点P(1, 1)作斜率
k (k <0)的直线l交抛物线C于A , B两点，其中A在第一象限，直线OP交抛物线C于另一点D，其中⃗
OD = 4⃗OP，直线OA与直线BD交于点M．
(1)求抛物线C的方程；
(2)记△MAD与△MOB的面积分别为S1,S2．
①当O , A , D , B四点共圆时，求直线l的方程；
②求S1
S2
的取值范围．
16．（2026·山东临沂·一模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1
，F2
，点P 是C 上的
一个动点，当△P F1 F2面积取得最大值4 ❑√3时，∠P F1 F2=60°．
(1)求C 的方程；
(2)过点E (3,0)的直线l 与C 交于A，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A1（A1与B 不重合）．
（ⅰ）求证：直线A1B过定点；
（ⅱ）求△E A1B面积的最大值．
17．（2026·山东枣庄·二模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，左，右顶点分别为A ,B
，并且C上的点到F的最大距离是最小距离的3 倍．
(1)求C的方程；
(2)若点M是C上异于A ,B的任意一点，直线AM与BM分别交直线x = 4于P ,Q两点．
（ⅰ）求⃗FP⋅⃗FQ；
（ⅱ）若直线MF交C于另一点N，设点M , N , P ,Q的纵坐标分别为m,n, p,q，求证：1
m + 1
n = 1
p + 1
q
．
18．（2026·宁夏银川·一模）已知抛物线C：y
2=2 px ( p>0)上的点N与焦点F的距离为2，点N到x轴的
距离也为2.
(1)求C的方程；
(2)过点F且斜率为3 的直线与C交于D，E两点，过点F且斜率为−3的直线与C交于G，H两点，求四边
形DHEG的面积；
(3)过点P(t ,0)且倾斜角为π
4
的直线与C交于A，B两点.点M (2t −a,t )，记直线MA，MB的斜率分别为
k1，k2，是否存在常数a，使得k1k2为常数？若存在，求出a及k1k2的值；若不存在，请说明理由.
19．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦点F到一条渐近线的距离为1，且
点P(2,1)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为−1的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（异于点P）．
①求直线AP、BP的斜率之和；
②若△PAB的外接圆圆心为M，试问在x轴上是否存在定点Q使|MQ)
2−|MP)
2为定值，若存在，求出Q点
坐标，若不存在，请说明理由．
