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大题培优 05 圆锥曲线
目录
【题型一】轨迹...................................................................................................................................................................1
【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹.................................................................................................................2
【题型三】直线所过定点不在坐标轴上...........................................................................................................................3
【题型四】面积比值范围型...............................................................................................................................................4
【题型五】非常规型四边形面积最值型...........................................................................................................................5
【题型六】“三定”型：圆过定点...................................................................................................................................6
【题型七】“三定”型：斜率和定...................................................................................................................................7
【题型八】“三定”型：斜率积定...................................................................................................................................8
【题型九】圆锥曲线切线型...............................................................................................................................................9
【题型十】“韦达定理”不能直接用.............................................................................................................................10
【题型十一】“非韦达”型：点带入型.........................................................................................................................11
【题型一】轨迹
求轨迹方程的常见方法有:
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的坐标 所满足
的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一参数 得到方程，
即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
1.（2024·重庆·模拟预测）已知点 和直线 ，点 到 的距离 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)不经过圆点 的直线 与点 的轨迹交于 ， 两点. 设直线 ， 的斜率分别为 ， ，记 ，
是否存在 值使得 的面积为定值，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
2.（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点 到定点 的距离比到定直线 的距离小 ，记
动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)点 为 上的两个动点，若 恰好为平行四边形 的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形 的面积为 ，求证： .
3.（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，点. 点 是平面内的动点.若以PF 为直
径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设点 ，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A
作 ，垂足为 H，求 的最大值.
【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹
1.（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系 中，重新定义两点 之间的“距离”
为 ，我们把到两定点 的“距离”之和为常数 的点
的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设 ，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 的左顶点为 ，过 作直线交
于 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．
2.（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点 的直线，直
线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线
都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆 是直线族 的包络曲线，求 满足的关系式；
(2)若点 不在直线族： 的任意一条直线上，求 的取值范围和
直线族 的包络曲线 ；
(3)在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点 ，若 三
点不共线，探究 是否成立？请说明理由.
3.（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点 对应的复数 满足 ，设点 的运动轨迹为 ．
点 对应的数是0．(1)证明 是一个双曲线并求其离心率 ；
(2)设 的右焦点为 ，其长半轴长为 ，点 到直线 的距离为 （点 在 的右支上），证明：
；
(3)设 的两条渐近线分别为 ，过 分别作 的平行线 分别交 于点 ，则平行四边
形 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
【题型三】直线所过定点不在坐标轴上
存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
1.已知点M是抛物线 的对称轴与准线的交点，过M作抛物线的一条切线，切点为P，且
满足 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过 作斜率为2的直线与抛物线C相交于点B，点 ，直线AT与BT分别交抛物线C
于点E，F，设直线EF的斜率为k，是否存在常数 ，使得 ？若存在，求出 值；若不存在，请说明
理由．
2.已知双曲线 ： （ ， ）的离心率为 ，点 到其左右焦点 ， 的距离的
差为2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)在直线 上存在一点 ，过 作两条相互垂直的直线均与双曲线 相切，求 的取值范围．
3.已知双曲线C： 上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为 ，E
在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过椭圆 上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且 ，是否存在m，n使得椭圆的离心率为 ？若存在，
求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.
【题型四】面积比值范围型
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
1.（2022·全国·高三专题练习） 是椭圆 的右焦点，其中 .点 、 分别
为椭圆 的左、右顶点，圆 过点 与坐标原点 ， 是椭圆上异于 、 的动点，且 的周长小于
.
(1)求 的标准方程；
(2)连接 与圆 交于点 ，若 与 交于点 ，求 的取值范围.
2.（2023下·福建福州·高三校考）如图，已知圆 的左顶点 ，过右焦点F的直
线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线 轴时， .(1)求椭圆C的方程；
(2)记 的面积分别为 ，求 的取值范围.
3.（2022·湖北黄冈·蕲春县第一高级中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分
别为 ，左、右焦点分别为 ，圆 ，椭圆 与圆 交于点 ，且
.
(1)求椭圆方程.
(2)若过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点，与圆 交于 两点，且 ，求 的取值
范围.
【题型五】非常规型四边形面积最值型
求非常规型四边形的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，对于非常规四边形，如果使用的面积公
式为 ，为此计算 ， 代入转化为 的函数求最大值.
1.（2023·全国·高三专题练习）已知圆 为坐标原点，点 在圆 上运动， 为过点 的圆
的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物线的焦点为 ，记焦点 的轨迹为 ．(1)求 的方程；
(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求四边形 面
积的取值范围．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 的左右焦点，以 为直径的圆和
椭圆 在第一象限的交点为 ，若三角形 的面积为1，其内切圆的半径为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知A是椭圆 的上顶点，过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，点 在第二象限，直线
分别与 轴交于 ，求四边形 面积的最大值．
3.（2023·全国·高三专题练习）如图．已知圆 ，圆 ．动圆 与这两个
圆均内切．
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)若 、 是曲线 上的两点， 是曲线C上位于直线 两侧的动点．若直线 的斜率为
，求四边形 面积的最大值．
【题型六】“三定”型：圆过定点
圆过定点思维：
1.可以根据特殊性，计算出定点，然后证明
2.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算
2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明。4.通过推导求出定点（计算推导难度较大）
1.已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆 上不同于 的一点，直线 ， 与直线 分别交于点 .试判断以 为直径的
圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
2.已知椭圆 经过点 ，且右焦点为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于两个不同的点 ， ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于
点 ，问以 为直径的圆是否过 轴上的定点，若是求出定点坐标，若不是说明理由．
3.已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦点 的直线与 交于 两点.当 轴时，
， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
【题型七】“三定”型：斜率和定
设抛物线 ，其上有不同的三点： ，
当 的斜率 满足：
① 时， 过定点
② 时， 过定点 或者
1.已知点F是椭圆 的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）已知 ， ，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线 ， 的斜率分
别为 ， ，若 ，求椭圆E的方程.
2..在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点 ，且与直线 相切，设动圆的圆心Q
的轨迹为曲线 .
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线 、 与曲线 相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为 、 的中点.设
与 的斜率依次为 、 ，若 ，求证：直线MN恒过定点.
3.已知右焦点为 的椭圆 经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过 的直线 与椭圆 分别交于 、 （不与 点重合），直线 、 分别与 轴交于 、
，是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
【题型八】“三定”型：斜率积定
x2 y2
给定椭圆 + =1（a>b>0），与椭圆上定点 ，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和
a2 b2
B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K,K,则有
1 2
①若 ，则直线 过定点
②若 ，则直线 过定点1.已知椭圆 经过点 ，其左焦点为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为 ，证明：直线PQ
过定点.
2.已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆 交于M，N两
点，M在N的左侧．
(1)若直线l的斜率 ，求原点O到直线l的距离；
(2)记直线AM，BN的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
3.．已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，原点O为 的重心；
①如果直线AB，OC的斜率都存在，求证： 为定值；
②试判断 的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
【题型九】圆锥曲线切线型
在利用椭圆（双曲线）的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为 与椭圆方程联立，由 进行求解；
（2）椭圆（双曲线） 在其上一点 的切线方程为 ，再应用此方程时，首先应证明直线 与椭圆（双曲线） 相切.
双曲线 的以 为切点的切线方程为
抛物线的切线：
（1）点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： ；
（2）点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： ．
1.已知椭圆E： 的焦距为 ，且经过点 ．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)过椭圆E的左焦点 作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的
切线，两切线交于点M，求 的最大值．
2.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为2， 上一点 到 距离之和为
6.
(1)求 的方程；
(2)设 在点 处的切线交 轴于点 ，证明： .
3.法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一
椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半
径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆 中，离心率 ，
左、右焦点分别是 、 ，上顶点为Q，且 ，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若
两切线斜率都存在且斜率之积为 ，求 面积的最大值.【题型十】“韦达定理”不能直接用
1.利用公式 ，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）可以利用公式 ，可消去
1.已知椭圆 的上下两个焦点分别为 ，过点 与 轴垂直的直线交椭圆
于 两点， 的面积为 ，椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两个不同的点，若存在
实数 ，使得 ，求 的取值范围.
2.在平面直角坐标系 中，动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ，
点M的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)直线l交曲线E于P，Q两点，交x轴于N点，交y轴于R点，若 ，若 ，
求点N的坐标．
3.已知椭圆 ，倾斜角为 的直线过椭圆的左焦点 和上顶点B，且
（其中A为右顶点）.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点 的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且 ，求实数m的取值范围.
【题型十一】“非韦达”型：点带入型1.已知 为椭圆 上的动点，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，点 满足 .
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）若 两点分别为椭圆 的左右顶点， 为椭圆 的左焦点，直线 与椭圆 交于点 ，直线
的斜率分别为 ，求 的取值范围.
2.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，上顶点 到右焦点的
距离为 .过点 作不垂直于 轴， 轴的直线 ，交椭圆 于 ， 两点， 为线段 的
中点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求实数 的取值范围；
（3）延长 交椭圆 于点 ，记 与 的面积分别为 ， ，若 ，求直线 的方程.
3.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆
上.（1）求椭圆 的方程；
（2）已知圆 ，连接 并延长交圆 于点 为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过
点 作椭圆长轴的垂线分别交椭圆 和圆 于点 （ 均在 轴上方）.连接 ，记 的斜率
为 ， 的斜率为 .
①求 的值；
②求证：直线 的交点在定直线上.
4.已知双曲线 ： ， ， ， ， ， 五
点中恰有三点在 上.
（1）求 的方程；
（2）设 是 上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点 ，使得 ,若
存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
