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2025 二轮复习专项训练29
证明、探究性问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，证明问题和探究
性问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题
难度较大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、证明问题
圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系
二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系．
二、探究性问题
存在性问题的求解策略
解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确
则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
一、单选题
1．（24-25 高三上·湖南衡阳·开学考试）椭圆
，若椭圆上存在不同的两点
关于直线
对称，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·四川凉山·三模）已知曲线C：y2＝2px（p＞0），过它的焦点F 作直线交曲线C
于M、N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点P，可证明
是一个定值m，则m＝（
）
A．
B．1
C．2
D．
二、多选题
1
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3．（24-25 高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆
，
分别为椭圆左右焦点，点
，
为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点
使得
B．
的最大值为5
C．若直线
与椭圆交于
两点（均不同于点
），则直线
和直线
的斜率
之积为
D．△
内切圆面积的最大值为
4．（23-24 高二上·湖北·期末）设抛物线E：
的焦点为F，从点F 发出的光
线经过E 上的点(不同于E 的顶点)反射，可证明反射光线平行于E 的对称轴，这种特点称
为抛物线的光学性质．过E 上的动点A 向准线l 作垂线，垂足为B，过点A 的直线m 与E
相切，设m 交l 于点C，连接CF，FB，FB 交AC 于点D，则以下结论正确的是（ ）
A．m 平分
B．
C．
与
的面积之比为定值
D．点D 在定直线上
三、填空题
5．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆
上存在关于直线
对
称的点，则
的取值范围是 .
6．（21-22 高三上·北京·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界
光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过
这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数
（
且
）的点的轨迹是圆，后人
将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆
，
、
为椭圆
长轴的端点，
2
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、
为椭圆
短轴的端点，动点
满足
，
的面积的最大值为，
的面积的最小值为，则椭圆
的离心率为 .
四、解答题
7．（24-25 高二上·河北唐山·期中）已知双曲线
的离心率为√2，
实轴长为2.
(1)求双曲线C 的标准方程
(2)设直线l:y= kx+1 与双曲线C 交于A，B 两点，是否存在k 满足
（其中O 为坐
标原点） 若存在，求出k 的值； 若不存在，说明理由.
8．（24-25 高二上·安徽黄山·期中）若椭圆：
上的两个点
满足
，则称M，N 为该椭圆的一个“共轭点对”，
点M，N 互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点
，总有两个共轭点
.已知椭圆
，点
是椭圆
上一动点，点
的两个共轭点分别记为
.
(1)当点
坐标为
时，求
；
(2)当直线
斜率存在时，记其斜率分别为
，其中
，求
的最小值；
(3)证明：
的面积为定值.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（24-25 高二上·山东德州·期中）已知椭圆
上存在两点
、
3
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关于直线
对称.若椭圆离心率为
，则
的中点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三上·北京·阶段练习）十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中
证明，方程
表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质.若从
椭圆上任意一点
（异于
两点）向长轴
引垂线，垂足为
，记
，则
（ ）
A．方程
表示的椭圆的焦点落在
轴上
B．
C．
的值与
点在椭圆上的位置有关
D．M 越来越小，椭圆越来越扁
二、多选题
3．（23-24 高二下·湖南·期末）已知抛物线
，直线过
的焦点
，且与
交于
两点，则（ ）
A．
的准线方程为
B．线段
的长度的最小值为4
C．存在唯一直线，使得
为线段
的中点
D．以线段
为直径的圆与
的准线相切
三、填空题
4．（23-24 高三上·山东聊城·期末）椭圆
：
的左右焦点分别为
，
，
为坐
标原点，给出以下四个命题：
①过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，则
的周长为12；
4
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②椭圆
上存在点
，使得
；
③椭圆
的离心率为
；
④
为椭圆
：
上一点，
为圆
上一点，则点
，
的最大距离为4.
其中正确的序号有 .
四、解答题
5．（24-25 高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系
中，已知直线过抛物线
的焦点
，与
交于
两点.
(1)若线段
中点的横坐标为2，线段
的长为6，求抛物线的方程；
(2)在
轴上是否存在一定点
，使得直线
和直线
的斜率之积为定值？若存在，求点
的坐标；若不存在，说明理由.
6．（24-25 高二上·吉林·期中）已知
分别为椭圆
的左右焦点
､
，
分别为椭圆
的左右顶点，
､
P(x0, y0)为椭圆
上的动点，过动点P(x0, y0)作椭圆
的切线.分别与直线
和
相交于
两点，四边形
的对角线
相交于
点
，记动点
的轨迹为
.
(1)证明：椭圆
在
点处的切线方程为
.
(2)求动点
的轨迹
的方程.
(3)过点
作斜率不为
的直线与
相交于点
，直线
与
的交点为
，判断
点
是否在定直线上.
7．（24-25 高二上·江苏常州·期中）如图，已知抛物线C：
（
）的焦点F，
且经过点
，
．
5
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(1)求A 点的坐标；
(2)直线l 交抛物线C 于M，N 两点，过点A 作
于D，且
，证明：存在定
点Q，使得DQ 为定值．
8．（24-25 高二上·河北沧州·期中）已知椭圆
经过点A (−2,0)与点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线与椭圆
交于异于
的
，
两点，且
.
①证明：直线过定点；
②求
的面积的最大值.
【能力提升训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·上海·期中）如图所示，由椭圆
和椭圆
组合而成的曲线
，由图形特点，这里称曲线
为“猫眼曲线”.
特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”.
(1)已知猫眼曲线
满足a，b，t 成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；
6
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(2)在曲线
中，若
，
，
，斜率为
的直线l 不经过坐标原点，且l 与
椭圆
相交所得弦的中点为M，与椭圆
相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON
的斜率之比
为定值；
(3)在（2）的条件下，若直线l 的斜率
，且l 与椭圆
相切，与椭圆
相交于A，B
两点，Q 为椭圆
上异于A，B 的任意一点，求
面积的最大值.
2．（24-25 高二上·吉林延边·阶段练习）已知椭圆C：
经过点
，
且焦距与长半轴相等，
(1)求椭圆C 的标准方程
(2)点
（
）与
上的点之间的距离的最大值为6．过点
且斜率不为0 的直线
交
于
，
两点（点
在点
的右侧），点
关于
轴的对称点为
．
①证明：直线
过定点；
②已知
为坐标原点，求
面积的取值范围．
3．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）如图，已知抛物线
的焦点为
，斜率为
的直线经过
且交
于
两点（
在第一象限）.
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(1)求
的坐标与
的长；
(2)设
，如下构造
：直线
分别与
交于
，证
明：
（ⅰ）
的纵坐标
是等差数列
；
（ⅱ）
.
4．（23-24 高二下·内蒙古·期末）已知椭圆
的两个焦点是
、
，点
在椭
圆
上，且
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知
为坐标原点，直线与椭圆
交于
、
两点，且
，证明：直线与圆
相切．
5．（24-25 高三上·上海杨浦·开学考试）中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富
园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.
如图1 所示的一种椭圆洞窗，由椭圆
和圆
组成，
，
是椭圆的两个焦点，圆
以
线段
为直径，
(1)设计如图所示的洞窗，椭圆
的离心率应满足怎样的范围？
(2)经测量椭圆的长轴为4 分米，焦距为2 分米.
8
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（i）从
射出的任意一束光线
照在左侧距椭圆中心4 分米的竖直墙壁上，如图2 所示.
建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B 为切点，然后用量角器探究猜测
是定值，请帮他们证明上述猜想.
（
ii ）
建模小组的同学想设计一个如图3 的四边形装饰，满足：点
是
上的一个动点，
P，Q 关于原点对称，过
和
分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰
面积的
取值范围.
6．（24-25 高三上·广西贵港·开学考试）已知平面内一动点
到点
的距离与点
到
定直线
的距离之比为
，记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程.
(2)在直线
上有一点
，过点
的直线与曲线
相交于
两点.设
，证明：
只与
有关.
7．（24-25 高三上·云南德宏·阶段练习）在平面直角坐标系
中，
，
，
是平面内的动点，且
内切圆的圆心在直线
上.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)过点
作三条不同的直线，
，
，且
轴，
与
交于
，
两点，
与
交于
，
两点，
，
都在第一象限，直线
，
与分别交于点
，
，证明：
为定值.
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8．（24-25 高三上·广西南宁·开学考试）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点
，
，
为C 的左、右顶点，M，N 为C 上不同于
，
的两动点，若直线
的斜率与直线
的斜率的比值恒为常数
，按下面方法构造数列{bn}：C 的短半轴
长为
时，直线MN 与x 轴交于点
.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)证明：数列{bn}是等比数列；
(3)设顶点
到直线MN 的最大距离为d，证明
.
9．（24-25 高二上·江苏·期中）已知双曲线
的左、右焦点分别为
.
(1)若直线
与双曲线
交于P，Q 两点，求线段
的长；
(2)若双曲线
上存在两点
，
，满足
，求直线
的斜率.
10．（24-25 高三上·广西·阶段练习）若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，
则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.
(1)证明：椭圆
为“质朴椭圆”.
(2)是否存在实数
，使得椭圆
为“质朴椭圆”？若存在，求
的值；
若不存在，说明理由.
(3)设斜率为
的直线经过椭圆
的右焦点，且与
交于
，
两点，
，试问
是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.
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11．（24-25 高二上·江苏盐城·期中）已知点
在椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上，右
准线方程为
，过右焦点
作垂直于
轴的直线交椭圆
于
，
两点.
(1)求以
为直径圆的方程；
(2)以椭圆
上
、
两点为直径端点作圆
，圆心
恰好在直线
上，再过点
作
的
垂线，试问直线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由.
12．（2024·广东·三模）已知抛物线
：
，过点
的直线l 交C 于P，Q
两点，当PQ 与x 轴平行时，
的面积为16，其中O 为坐标原点.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，
，
（
）为抛物线
上任意三点，记
面积为
，分别在点A、B、C 处作抛物线
的切线、
、
，与
的交点为D，
与
的交点为E，
与
的交点为F，记
面积为
，是否存在实数
，使得
？
若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由.
11
