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2025 二轮复习专项训练28
定点、定值问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题
是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较
大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、定点问题
求解定点问题常用的方法
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一
般性证明．
(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到
定点坐标．
(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．
二、定值问题
求圆锥曲线中定值问题常用的方法
(1)引出变量法：其解题流程为
→
↓
→
↓
→
(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
一、单选题
1．（22-23 高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线
过点
，动点
M，N 为C 上的两点，且直线AM 与AN 的斜率之和为0，直线l 的斜率为
，且过C 的焦
点F，l 把
分成面积相等的两部分，则直线MN 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高二上·山东济宁·期末）已知双曲线
，抛物线
1
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的焦点为
，抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，若
为正三角形，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（22-23 高三上·山东东营·期末）已知椭圆
与直线
交于
两点，记直线与
轴的交点为
，点
关于原点对称，若
，则
（ ）
A．
B．椭圆
过
个定点
C．存在实数
，使得
D．
4．（2023·江苏·二模）已知椭圆
，点
为右焦点，直线
与椭圆交
于
两点，直线
与椭圆交于另一点
，则（ ）
A．
周长为定值
B．直线
与
的斜率乘积为定值
C．线段
的长度存在最小值
D．该椭圆离心率为
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角的正切值
为
.若直线
（
且
）与双曲线交于A，B 两点，直线
，
的
2
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斜率的倒数和为
，则直线
恒经过的定点为 .
6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，
为
上的两个动点，且直线
与
斜率之积为
（
为坐标原点），则椭圆
的
短轴长为 ，
.
四、解答题
7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端
点为顶点的四边形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于
不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
8．（23-24 高三上·上海闵行·期中）已知双曲线
：
的离心率为
，
点
在双曲线
上．过
的左焦点F 作直线交
的左支于A、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（22-23 高二上·北京丰台·期末）设圆
，直线
，
为上的动
3
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点．过点
作圆
的两条切线
，切点为
，给出下列四个结论：
①当四边形
为正方形时，点
的坐标为
②
的取值范围为
③当
为等边三角形时，点
坐标为
④直线
恒过定点
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（21-22 高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l 与抛物线
交于不同的两点A，B，O
为坐标原点，若直线
的斜率之积为
，则直线l 恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上（异
于顶点），
（点
为坐标原点），过点
作直线
的垂线与
轴交于点
，
则
（ ）
A．6
B．
C．4
D．
4．（22-23 高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线
：
，点P 为曲线
在第三象
限一个动点，以下两个命题，则（ ）
①点P 到双曲线两条渐近线的距离为
，
，则
为定值.
②已知A、B 是双曲线上关于原点对称不同于P 的两个点，若PA、PB 的斜率存在且分别为
，
，则
为定值.
4
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A．①真②真
B．①假②真
C．①真②假
D．①假②假
二、多选题
5．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知
是抛物线
的焦点，
是
上的两点，
为原点，则（ ）
A．若
垂直
的准线于点
，且
，则四边形
的周长为
B．若
，则
的面积为
C．若直线
过点
，则
的最小值为
D．若
，则直线
恒过定点
6．（22-23 高二下·浙江·开学考试）设
为双曲线
：
上一动点，
，
为上、
下焦点，
为原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点
，则
最小值为7
B．若过点
的直线交
于
两点（
与
均不重合），则
C．若点
，
在双曲线
的上支，则
最小值为
D．过
的直线交
于
、
不同两点，若
，则有4 条
7．（22-23 高二上·湖南衡阳·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫
做“阿基米德三角形”.如图
是抛物线
的阿基米德三角形，弦AB
经过焦点F，又BC，AD 均垂直于准线l，且C，D 为垂足，则下列说法正确的有（ ）
5
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A．以AB 为直径的圆必与准线l 相切于M 点
B．
为定值4
C．
为定值
D．
有最小值
8．（22-23 高三上·广东云浮·阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
左、右顶点分别是
，点
是椭圆
上异于
的任意一点，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．若
的面积为
，则点
的横坐
标为
C．存在点
满足
D．直线
与直线
的斜率之积为
三、填空题
9．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C：
，圆E：
，直线
OA，OB 分别交抛物线于A，B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积等于
，则直线
AB 被圆E 所截的弦长最小值为 ．
6
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10．（22-23 高二上·山东枣庄·期末）设椭圆
的上顶点为
，且长轴长为
，过
任作两条互相垂直的直线分别交椭圆
于
，
两点，则直线
过定点 ．
11．（2022 高三·全国·专题练习）已知椭圆
左顶点为
，
为椭圆
上两动
点，直线
交
于
，直线
交
于
，直线
的斜率分别为
且
，
（
是非零实数），求
.
12．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知
为双曲线
上一点，以
为切点的切线为
，直线与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，则
（
为坐标原点）的面积为
．
四、解答题
13．（2024·浙江杭州·二模）已知
是椭圆
的左，右顶点，点
与椭圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点
的坐标.
(2)过点
作直线交椭圆
于
两点（与
不重合），连接
，
交于点
.
（ⅰ）证明：点
在定直线上；
（ⅱ）是否存在点
使得
，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
14．（2023·江苏南通·一模）已知双曲线
的左顶点为
，过左焦
7
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点
的直线与
交于
两点.当
轴时，
，
的面积为3.
(1)求
的方程；
(2)证明：以
为直径的圆经过定点.
15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆
的左、右焦点为
，
，离
心率为
．点P 是椭圆C 上不同于顶点的任意一点，射线
、
分别与椭圆C 交于点
A、B，
的周长为8．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若
，
，求证：
为定值．
16．（23-24 高二上·浙江·期中）已知双曲线
的右焦点
，离心
率为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点
直线与双曲线交于
两点，设直线
的斜率分别为
，
求证：
为定值.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（21-22 高二下·四川遂宁·阶段练习）点
，
是曲线C：
的左右焦点，过
作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B 和C，D；线段AB，CD 的中点分别为M，
8
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N，直线
与x 轴垂直且点G 在C 上.若以G 为圆心的圆与直线MN 恒有公共点，则圆面积
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高二下·贵州贵阳·期末）抛物线
的焦点为
，其准线与
轴的交点为
，
过点
作直线与此抛物线交于
，
两点，若
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、多选题
3．（2023·安徽·三模）已知抛物线
的焦点为
，准线为，
、
是
上异于点
的两点（
为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）
A．若
、
、
三点共线，则
的最小值为
B．若
，则
的面积为
C．若
，则直线
过定点
D．若
，过
的中点
作
于点
，则
的最小值为
4．（22-23 高三下·广东清远·阶段练习）已知
是抛物线
的焦点，点
在抛物线
上，过点
的两条互相垂直的直线，
分别与抛物线
交于
，
和
，
，过点
分别作，
的垂线，垂足分别为
，
，则（ ）
A．四边形
面积的最大值为2
B．四边形
周长的最大值为
9
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C．
为定值
D．四边形
面积的最小值为32
三、填空题
5．（2023·辽宁大连·三模）已知
为坐标原点，
是双曲线
的左右焦点，双曲线
､
上一点
满足
，且
，则双曲线
的渐近线方程为 .点A 是双曲线
上一定点，过点
的动直线与双曲线
交于
两点，
为定值
，则当
时实数
的值为 .
6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆
与双曲线
有公共焦点
，
，椭圆的离心率为
，双曲
线的离心率为
，点
为两曲线的一个公共点，且
，则
；
为
的内心，
三点共线，且
，
轴上点
满足
，
，则
的最小值为 ．
四、解答题
10
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7．（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆
的焦距为2，且经过点
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)经过椭圆右焦点F 且斜率为
的动直线l 与椭圆交于A、B 两点，试问x 轴上是否
存在异于点F 的定点T，使
恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存
在，说明理由．
8．（2023·重庆·一模）已知双曲线E：
的离心率为2，左、右焦点分
别为
，点
为双曲线E 右支上异于其顶点的动点，过点A 作圆C：
的一条切线AM，切点为M，且
．
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)设直线
与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为
，直线 AD， BD 分别与
圆C 相交，交点分别为异于点D 的点P，Q．判断弦PQ 是否过定点，如果过定点，求出定
点，如果不过定点，说明理由．
9．（24-25 高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆
与椭圆
：
有相同的焦点，且经
11
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过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆
的右焦点为
，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆
交于不同的
，
两点，
且直线
和
的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过
轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求
面积的最大值.
10．（23-24 高二上·江苏盐城·阶段练习）已知
，M 为平面上一动点，
且满足
，记动点M 的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E 的方程；
(2)若，过点的动直线交曲线E 于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP 与直线BQ 的斜率分
别记为，，求证：为定值，并求出定值.
12
