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重难点16 抛物线性质及应用 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：近三年高考中抛物线考察以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中作为第二问或与椭圆、 双曲 线结合出现在解析几何大题中，是解析几何的必考点，抛物线作为圆锥曲线的核心考点之一，考察呈现题 型稳定、难度中等偏上、侧重性质综合应用的特点，且常与其他知识结合考查综合能力。。 近三年高考摒弃复杂计算，更注重抛物线定义的转化思想，所有难题均可通过定义将 “焦点距离” 转化 为 “准线距离” 简化求解，避免硬算。 预测2026 年：抛物线作为圆锥曲线的核心必考点，考察将延续基础题型稳定、综合题型创新的特点，同 时强化跨模块融合与数学思想的考查。 考向01 定义与轨迹1：定义 抛物线定义 (1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F 不在直线l 上，PM⊥l 于M. (2)抛物线的标准方程与几何性质 标准方 程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方 程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方 向 向右 向左 向上 向下 1．（2025 高三·全国·专题练习）函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·一模）设 为抛物线 的焦点，点 在 上，且在第一象限，若 ，则 直线 的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 高二上·天津西青·期末）若抛物线 上的点 到其焦点的距离为9，则点 的坐标为 （ ） A． B． C． D． 4．（25-26 高三下·四川成都·开学考试）某卫星接收天线的截面可近似看作抛物线 的一部分， 信号接收焦点位于抛物线的焦点F 处．若抛物线上的信号接收点M 到直线 的距离为9，则焦点F 到 点M 的距离 （ ） A．8 B．7 C．6 D．5 考向02 定义与轨迹2：轨迹 抛物线型的轨迹，从以下几方面入手： 1.到定点距离 = 到定直线距离（这是抛物线定义，高考最常考） 2.求轨迹的方程化简后是： y2=2px，x2=2py，或它们的平移形式：(y−y0)2=2p(x−x0), (x−x0)2=2p(y−y0) 3.动点满足焦半径、焦点弦、切线、切点弦的某种性质，最后化简出来是抛物线。 5．（25-26 高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系 中， ，记一点 到直线 的距离为 ，已知 ，记 的轨迹为 ，则下列命题错误的为（） A．当 时， 是两条直线 B．当 时， 是圆 C．当 时， 是抛物线 D．当 时， 不存在 6．（2026·湖南永州·一模）已知 分别为 内角 的对边，若 ， ，动点 满足 的大小与 的大小相等，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．2 7．（25-26 高二上·上海松江·期末）已知点P 在正方体 的表面上，P 到三个平面 、 、 中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相 等，则满足条件的点P 的个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（25-26 全国专题练习）已知点 满足 ， ，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 考向03 定义与轨迹3：“焦准”互化应用 抛物线“焦准”互化： 1. 思维：遇到抛物线，涉及到“焦点（或者到点距离） + 距离”，则思考“焦准”互化。 2. 2.抛物线上任意一点 P 到焦点 F 的距离 = 到准线 l 的距离：∣PF∣=d(P,l)这就是焦准互化。 3.看到焦点就想准线，看到距离就想转化，涉及到焦半径就变坐标，焦点弦用坐标公式或 者极坐标角度公式。 9．（2025 江西模拟预测）设点 为抛物线C： 上任意一点，P 为直线： 上一动点，则 的最小值为（ ） A．3 B． C．2 D． 10．（25-26 高二上·福建福州·期末）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上的动点，点 ， 则 取最小值时，直线 的斜率为（ ） A． B． C． D． 11．（24-25 高三上·贵州遵义·月考）已知 ，向量 满足 ，抛物线 的焦点为F，点P 在抛物线上，则 的最小值为（ ） A．4 B． C．3 D． 12．（24-25 高二上·福建龙岩·期末）已知抛物线C： 的焦点为F，过点 作直线l； 的垂线，垂足为B，点P 是抛物线C 上的动点，则 的最小值为（ ） A． B． C．14 D． 考向04 定义与轨迹4：焦半径转化型 抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，结合极坐标知识中的圆锥曲线同一方 程，可得焦半径如下简洁公式： 焦半径公式： ， ， 13．（25-26 高三 安徽模拟预测）已知A，B 是抛物线 （ ）上不同两点，点F 是抛物线的焦 点，且 （O 为坐标原点）的重心恰为F，若 ，则 （ ） A．8 B． C． D． 14．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）设 是抛物线 的焦点， ， 是 上不同于 的顶 点的两点，以 和 为切点的两条切线相交于点 ，若 ，则 （ ） A．1 B． C．2 D． 15．（23-24 高三下·贵州贵阳·月考）过点 且倾斜角为 的直线交曲线 于 两点（点 在点 的上方）， 为 的焦点，则 （ ） A．4 B． C．2 D． 16．（2026·重庆·模拟预测）若A，B，C 均在抛物线 上，直线 与此抛物线交于M，N 两 点，弦MN 中点为 的重心，则 （ ） A．12 B．15 C．18 D．24 考向05 焦点弦1： ＋＝。 抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 的中点E，准线为l. 焦半径：＋＝。 焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α 为直线AB 的倾斜角) 1．（25-26 高二上·海南省直辖县级单位·月考）设 为抛物线 的焦点，过点 且倾斜角为 的 直线交 于 两点， （ ） A．12 B．10 C．9 D．6 2．（2025 河北承德模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，其通径长为8，动直线过点 且与抛物线交于 两点， 的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（2025 高三·全国·专题练习）已知抛物线 的焦点是 ，直线 均过焦点 且互相垂直，则 的值是（ ）. A． B． C． D． 4．（23-24 高三上·山东青岛·期末）已知点F 是抛物线 的焦点，过点 的直线l 与 曲线E 交于点A，B，若 的最小值为14，则E 的准线方程为（ ） A． B． C． D． 考向06 焦点弦2：梯形转化 抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 的中点E，准线为l. ①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α 为直线AB 的倾斜角)； 5．（25-26 北京海淀练习）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 ， 两点，若 ，则 （ ） A．12 B．10.5 C．9 D．7.5 6．（25-26 重庆模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为， 、 是 上异于坐标原点的 两点，若 ，过 的中点 作的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 7．（25-26 高二上·重庆·期末）如图，过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于 两点，且与 圆 交于 两点，则 的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 8．（24-25 高三全国专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，圆 ．如图，过点 的直线与抛物线和圆的交点依次为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 考向07 焦点弦3：焦点弦定比值 过抛物线的焦点F 的弦AB 与对称轴的夹角为 |AB|＝x1＋x2＋p＝ 9．（25-26 高二上·广东梅州·期末）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线C 交于点 ，若 ，则 （ ） A． B． C．12 D． 10．（25-26 高三湖南练习末）已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线于 两点（其中 在第 一象限），且满足 ，下列说法错误的是（ ） A．直线 的倾斜角为 B． C． D． 11．（25-26 高三上·四川眉山·月考）设抛物线 的焦点为 ，过点 作直线交抛物线于A，B 两 点，已知 ，则 （ ） A． B．4 C． D．3 12．（24-25 高二上·湖北·月考）直线/经过抛物线C： （ ）的焦点F，与抛物线C 相交于A， B 两点，与y 轴相交于点M.若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 考向08 焦点弦4：面积型 已知AB 为抛物线的焦点弦， 。 13．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，若 的面积是 的面积的两倍，则 （ ） A．2 B． C． D． 14．（23-24 高三广东模拟预测）已知抛物线C： （ ）的焦点为F，直线l 与C 相交于A、B 两点，与y 轴相交于点E．已知 ， ，若 的面积是 面积的2 倍，则抛物线C 的 方程为（ ） A． B． C． D． 15．（2021·山西太原·一模）已知过抛物线 的焦点 的直线与该抛物线相交于 两 点，若 的面积与 （ 为坐标原点）的面积之比是2，则 （ ） A． B． C． D． 16．（2025·全国 模拟预测）过抛物线 的焦点任作一直线交抛物线于 两点，O 为坐标原 点，则 的面积的最小值为 A．2 B． C．4 D．8 考向09 综合1：切线 抛物线切线有如下结论与性质： 1.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 3.点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P 的切线方程是： 1．（25-26 高三上·河北衡水·月考）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反 射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线 上的 一点 （异于原点 ）作 的切线，过 作的平行线交 （ 为 的焦点）于点 ，若 ，则 （ ） A． B．1 C．2 D． 2．（2024·河北邢台·二模）设 ， ， ， 为抛物线 上不同的四点，点 ， 关于该抛物线的 对称轴对称， 平行于该抛物线在点 处的切线，设点 到直线 和直线 的距离分别为 ， ， 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江温州·模拟预测）已知P 为直线 上一动点，过点P 作抛物线 的两条切 线，切点记为A，B，则原点到直线 距离的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 4．（22-23 全国专题练习）已知点P 在抛物线 上，过点P 作抛物线 的切线， ，切点分别为M，N，若 ，且 ，则C 的准线方程为（ ） A． B． C． D． 考向10 综合2：抛物线与圆 抛物线与圆的综合题型，多从以下几方面入手： 1.圆外一点与圆上一点距离，多转化为与圆心的距离 2.抛物线上点与焦点（或者准线）距离，多转化为与准线（或焦点）的距离。 3.利用圆的方程与抛物线的方程，可以设点坐标计算。 5．（25-26 高三浙江模拟预测）设圆 位于抛物线 与直线 所组成的封闭区域（包含边界） 内，则圆 的半径能取到的最大值为_______________. 6．（24-25 高三山西模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，圆 ，过圆 的圆心的直线与抛物线 交于点 ，与圆 交于点 ，其中 在第一 象限，若 ，则直线的斜率为____________． 7．（·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知抛物线 ，圆 ，直线 自上而 下顺次与上述两曲线交于点 ，则 的值是__________． 8．（23-24 高三上·浙江·月考）已知抛物线 的焦点为 ，圆 与抛物线相切于点 ，与 轴相切于 点 ，则 ______． 考向11 综合3：将军饮马型 抛物线型将军饮马型，大多数需要借助联立方程韦达定理+基本不等式来转化求解。 9．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与 相交于 ， 两点，则 的最小值为（ ） A． B．4 C． D．3 10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知点 为抛物线 的焦点，过 的直线与 交于 两点， 则 的最小值为（ ） A． B．4 C． D．6 11．（24-25 高二上·浙江金华·月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现： 平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字 命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点 分别是抛物线 和 上的 动点，若抛物线 的焦点为 ，则 的最小值为（ ） A．6 B． C． D．5 12．（24-25 高二上·河北保定·月考）已知点 ､ 分别是抛物线 和圆 上的 动点，若抛物线 的焦点为 ，则当 取得最小值时点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 考向12 综合4：阿基米德三角形 设抛物线的一条焦点弦为 AB，过 A、B 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 P， 由点 P 和焦点弦 AB 围成的△PAB，称为抛物线的阿基米德三角形。 要注意，AB 必须是抛物线的焦点弦，若 AB 为普通弦，围成的三角形并非阿基米德三角 形。以标准抛物线y2=2px(p>0)为例） 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p/2,0)，焦点弦AB，切线PA、PB 交于P(x0,y)，以下为必 记性质： 性质 1：切线交点 P 的位置特征 点 P 必在抛物线的准线x=−P/2 上.结论延伸：若点 P 在准线上，则以 P 为切线交点的切 点弦 AB 必为抛物线的焦点弦。 性质 2：阿基米德三角形的垂直关系 PA⊥PB，且PF⊥AB（PF 是阿基米德三角形的高，也是 AB 的中垂线）。 性质 3：阿基米德三角形的面积公式 S△PAB= .。 推论：当AB 为通径时，阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2。 性质 4：焦点 F 的位置特征 焦点 F 是阿基米德三角形△PAB 的垂心（三条高线的交点），且∣PF∣=∣AB∣/2（由直 角三角形斜边中线性质推导）。 13．（多选）（2025·河南信阳·一模）阿基米德（公元前287 年—公元前212 年）是古希腊伟大的物理学 家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成 的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线 上两个不同点A，B 横坐标分别为 ， ，以A， B 为切点的切线交于P 点.关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ） A．若 过抛物线的焦点，则 点一定在抛物线的准线上 B．若 为正三角形，则其面积为 C．若 ，则 的面积的最小值为 D．一般情况下， 的面积 14．（多选）（2025 四川模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米 德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线 （ ），弦 过焦点 ， 为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ） A．点 在抛物线 （ ）的准线 上 B．存在点 ，使得 C． D． 面积的最小值为 15．（多选）（2025 广西模拟预测）抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基 米德三角形”.已知抛物线 的焦点为 ，线段 为抛物线 的弦， 为抛物线 的“阿基 米德三角形”.设线段 的中点为 ，下列说法正确的是（ ） A．若点 ，则 的最小值为3. B．点与点 的纵坐标相等. C．若点在直线 上，则直线 过点 . D．若直线 过焦点 ，且其倾斜角 为锐角，则 的最小值为 . 16．（多选）（25-26 全国专题练习）阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F 处的切线交 于点 ，称 为“阿基米德三角形”．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线 于 ， 两点，抛物线 在 ， 处的切线交于点 ，则关于“阿基米德三角形” ，下列选项正确的 是（ ） A． 有可能是等边三角形 B．顶点 在抛物线 的准线上 C．若边 的中点为 ，则 轴 D． 面积的最小值为64 冲刺练 （建议用时：60 分钟） 一、单选题 1．（24-25 高三上·陕西西安·月考）已知 为坐标原点，过抛物线 的焦点 作斜率 为 的弦 ，其中点 在第一象限，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25 高三上·陕西·期中）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与 相交于 ， 两 点，则 的最小值为（ ） A．3 B． C．4 D． 3．（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线 上有一点 ，过点 作 的垂线，垂足 为 ，则 的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·甘肃·一模）过抛物线 的焦点作两条互相垂直的弦 ，则 的最小值为 （ ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．（25-26 高三上·贵州铜仁·期末）已知直线过抛物线 的焦点 ，与 交于 两点，若线段 的中点 的横坐标为2，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西铜川·一模）已知F 为抛物线 的焦点，C 的准线和 轴交于点P，点M 在抛物线C 上，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 7．（25-26 高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E： 的焦点F 作两条互相垂直的弦AB， CD，设P 为抛物线上的一动点， ．若 ，则 的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26 高三全国专题练习）已知O 为坐标原点，过抛物线 的焦点F 作直线l 交抛物线 于A，B 两点，若 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·山西运城·一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线： 与 轴交于点 ， 是抛 物线 上的动点，以 为圆心的圆 经过点 ， 为坐标原点，则（ ） A．圆 与直线相切 B．圆 的面积的最小值是 C． 的最大值是 D．存在点 ，使得 10．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线 的焦点为 ，以 为圆心， 为半径得 到圆 ，圆上有一点 ．过点 的直线与 交于 两点，与圆 另交于点 ，则（ ） A． B．当 时， 的横坐标为 C．当 时， D． 11．（25-26 高三全国专题练习）已知抛物线 ，过焦点 的直线交 于点 ， 则（ ） A． 的坐标为 B． C． 的最小值为2 D． 三、填空题 12．（25-26 高三河北模拟预测）若抛物线 上的动点P 到C 的准线的距离为d，点 ，则 的最大值为________，此时点P 的坐标为________． 13．（25-26 高三下·北京·开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ， 点 是抛物线 上一点， 于 ，若 为线段 的垂直平分线， ，则抛物线 的方程 为___________． 14．（20-21 高三上·山东青岛·期末）已知抛物线 的焦点为F，点 是 抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A，且被直线 截得的弦长为 ，若 ，则 ___________. 结束
