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2025 二轮复习专项训练27
最值、范围问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题
是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较
大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、最值问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法
一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求
解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然
后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、范围问题
范围问题的求解策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有：
(1)利用判别式来构造不等式；
(2)利用已知参数的取值范围；
(3)利用隐含的不等关系；
(4)利用已知不等关系构造不等式；
(5)利用函数值域的求法．
一、单选题
1．（22-23 高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
点
在双曲线的右半支上，点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．6
D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知直线
与椭圆
交于
两点，
是椭圆上异于
的一点．若椭圆
的离心率的取值范围是
，则直线
，
斜率之积的取值范围是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C 经过点
，且与椭圆
有公共的
焦点
，点M 为椭圆
的上顶点，点P 为C 上一动点，则（ ）
A．双曲线C 的离心率为
B．
C．当P 为C 与
的交点时，
D．
的最小值为1
4．（24-25 高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点
是左、右焦点为
，
的椭圆
：
上的动点，则（ ）
A．若
，则
的面积为
B．使
为直角三角形的点
有6 个
C．
的最大值为
D．若
，则
的最大、最小值分别为
和
三、填空题
5．（23-24 高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过椭圆
上一动点
分别向圆
：
2
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和圆
：
作切线，切点分别为
，
，则
的
取值范围为 .
6．（22-23 高三上·安徽阜阳·期末）已知椭圆 C 的焦点为
为 C 上一点满足
，则C 的离心率取值范围是 ．
四、解答题
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为1
2．左顶点为
，下
顶点为
是线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成
立．若存在，求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（22-23 高二下·浙江杭州·期末）设抛物线
，过焦点
的直线与抛物
线
交于点
，
.当直线
垂直于
轴时，
.
(1)求抛物线
的标准方程.
(2)已知点
，直线
，
分别与抛物线
交于点
，
.
①求证：直线
过定点；
②求
与
面积之和的最小值.
3
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【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F 为椭圆
的右焦点，P 为C 上一点，Q
为圆
上一点，则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．6
2．（21-22 高二上·陕西西安·期末）已知
是双曲线
的左焦点，
，
是双
曲线右支上的动点，则
的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
3．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线交
于
两点，
为坐标原点，记
与
的面积分别为
和
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（23-24 高二上·江西·阶段练习）已知椭圆
的左焦点为
，点
是
上任
意一点，则
的值可能是（ ）
A．
B．3
C．6
D．8
5．（23-24 高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线
的准线与x 轴交于点Q，若
过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
4
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6．（21-22 高二·江苏·假期作业）已知双曲线
：
，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．双曲线
的焦点到渐近线的距离为
C．与双曲线
的渐近线平行的直线与双曲线
一定没有交点
D．若直线
与双曲线
没有交点，则
的取值范围为
三、填空题
7．（23-24 高二上·重庆沙坪坝·期中）若P 是椭圆
上一动点，
，则
的
最大值为 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知点
是抛物线
：
上的动点，过点
作圆
：
的切线，切点为
，则
的最小值为 .
9．（2023·浙江·一模）已知
，
分别是双曲线
的左右焦点，且C 上
存在点P 使得
，则a 的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，
是过点
的两条互相垂直的直线，且与椭
圆
相交于A，B 两点，
与椭圆
相交于C，D 两点．
(1)求直线的斜率k 的取值范围；
(2)若线段
，
的中点分别为M，N，证明直线
经过一个定点，并求出此定点的坐
标．
11．（2022·江苏盐城·三模）已知双曲线
：
过点
，渐近线
5
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方程为
，直线是双曲线
右支的一条切线，且与
的渐近线交于A，B 两点．
(1)求双曲线
的方程；
(2)设点A，B 的中点为M，求点M 到y 轴的距离的最小值．
12．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，直线
与
交于
两点，且当
，
时，
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若
，求
面积的最小值．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（22-23 高三上·山西·阶段练习）已知点F 为抛物线C：
的焦点，过点F 作两条
互相垂直的直线，
，直线与C 交于A，B 两点，直线
与C 交于D，E 两点，则
的最小值为（ ）
A．64
B．54
C．50
D．48
2．（2023·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知
，
，动点
满
足
，则
（
）的最小值是（ ）
A．
B．2
C．4
D．16
3．（2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆
上存在两点
到点
的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图
，
是双曲线的左、右焦点，
从右焦点
发出的光线m 交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长
线过左焦点
．若双曲线C 的方程为
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．当n 过
时，光由
所经过的路程为13
C．射线n 所在直线的斜率为k，则
D．若
，直线PT 与C 相切，则
5．（23-24 高二上·广西南宁·期中）已知椭圆
，
、
分别为它的左右焦点，
、
分别为它的左、右顶点，点
是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点
到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B．
的最小值为
C．若
为直角三角形，则
的面积为
7
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D．
的范围为
6．（23-24 高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
点
是双曲线
的右支上一点，过点
的直线与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
则（ ）
A．
的最小值为8
B．
为定值
C．若直线与双曲线
相切，则点
的纵坐标之积为
；
D．若直线经过
，且与双曲线
交于另一点
，则
的最小值为
.
三、填空题
7．（2023·辽宁·一模）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
、
，点
、
在椭圆C 上，满足
，
，若椭圆C 的离心率
，则
实数λ 取值范围为 .
8．（21-22 高二上·江西抚州·阶段练习）椭圆
与双曲线
有公共焦点
，设椭圆
与双曲线
在第一象限内交于点
，椭圆
与双曲线
的离心率分别为
为坐标原点，
，则
的
取值范围是 .
9．（2022 高二上·全国·专题练习）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
8
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的直线交双曲线左支于
，
两点，则
的最小值为 ．
四、解答题
10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为1
2．左顶点为
，
下顶点为
是线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成
立．若存在，求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
11．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线
经过点
，过点
的直线
与抛物线
有两个不同交点
，且直线
交
轴于
，直线
交
轴于
.
(1)求直线斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点
，使得
，
且
.
12．（23-24 高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
经过点
，点
与点
关于原点对称，
为
上一动点，且
异于
两点.
(1)求
的离心率；
(2)若△
的重心为
，点
，求
的最小值；
(3)若△
的垂心为
，求动点
的轨迹方程.
13．（2022·全国·高考真题）设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的
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直线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．
当
取得最大值时，求直线AB 的方程．
14．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆
，直线与椭圆
交于A、B 两点，
为坐标原点，且
，
，垂足为点
．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)求面积的取值范围．
10
