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微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、三角形面积问题
模型一：基本方法
模型二：分割三角形
模型三：三角形面积坐标表示
模型四（面积比）： “等角”“共角”“对顶角”
蝴蝶模型
蝉模型
2、四边形面积问题
模型一
模型二
1
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模型三
3、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
4、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、
函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
【典型例题】
例1．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
，点
在椭圆
上，且
垂直于
轴．
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线斜率存在，交椭圆
于
两点，
三点不共线，且直线
和直线
关于
对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求
面积的最大值．
2
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例2．（2024·高三·江苏·专题练习）经过圆
上一动点
作椭圆
的两条切线，切
点分别记为
，直线
分别与圆
相交于异于点
的
两点.
(1)求证：
.
(2)求
的面积的取值范围.
例3．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点
对应的复数满足
，设点
的运动轨迹
为
．点
对应的数是0．
(1)证明
是一个双曲线并求其离心率
；
(2)设
的右焦点为
，其长半轴长为
，点
到直线
的距离为
（点
在
的右支上），证明：
；
(3)设
的两条渐近线分别为
，过
分别作
的平行线
分别交
于点
，则平行四边
形
的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
例4．（2024·天津·一模）已知椭圆
过点
，焦距是短半轴长的
倍，
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
是椭圆
上的三个不同点，线段
交
轴于点
异于坐标原点
，且总有
的面积
与
的面积相等，直线
分别交
轴于点
两点，求
的值.
例5．（2024·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，点W 为
：
和
的公共点，
，
与直线
相切，记动点M 的轨迹为C．
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(1)求C 的方程；
(2)若
，直线
与C 交于点A，B，直线
与C 交于点
，
，点A，
在
第一象限，记直线
与
的交点为G，直线
与
的交点为H，线段AB 的中点为E．
①证明：G，E，H 三点共线；
②若
，过点H 作的平行线，分别交线段
，
于点
，
，求四边形
面积的最
大值．
例6．（2024·高三·河南·阶段练习）已知
是抛物线
上任意一点，且
到
的焦点
的
最短距离为
.直线与
交于
两点，与抛物线
交于
两点，
其中点
在第一象限，点
在第四象限.
(1)求抛物线
的方程.
(2)证明：
(3)设
的面积分别为
，其中
为坐标原点，若
，求
.
例7．（2024·陕西西安·一模）已知椭圆
的短轴长等于焦距，且过点
(1)求椭圆
的方程；
(2)
为直线
上一动点，记椭圆
的上下顶点为
，直线
分别交椭圆
于点
，当
与
的面积之比为
时，求直线
的斜率.
例8．（2024·云南昆明·模拟预测）已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
在椭圆
上，且
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在第一象限内，满足
.
(1)求
的平分线所在的直线的方程；
(2)在椭圆
上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；
(3)已知双曲线
与椭圆
有共同的焦点，且双曲线
与椭圆
相交于
，若四边形
的面
积最大时，求双曲线
的标准方程.
例9．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆
的方程
，右焦点为
，且离心率为
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
是椭圆
的左、右顶点，过
的直线交
于
两点（其中
点在
轴上方），求
与
的面积之比的取值范围.
【过关测试】
1．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线
经过点
，离心率为
，直线过点
且与双曲线
交于两点
（异于点
）.
(1)求证：直线
与直线
的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点
分别作直线
的垂线，垂足分别为
，记
的面积分别为
，求
的
最大值.
2．（2024·河南·一模）在平面直角坐标系
中，已知直线
与抛物线
相切．
(1)求
的值；
(2)已知点
在抛物线
上，
分别位于第一象限和第四象限，且
，过
分别作直线
的垂线，垂足分别为
，求四边形
面积的最小值．
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3．（2024·辽宁·一模）已知双曲线
：
（
，
）的右顶点
，斜率为1 的直线交
于
、
两点，且
中点
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)证明：
为直角三角形；
(3)若过曲线
上一点
作直线与两条渐近线相交，交点为
，
，且分别在第一象限和第四象限，若
，
，求
面积的取值范围.
4．（2024·云南红河·二模）已知抛物线
的焦点到准线的距离为，
为坐标原点，
是
上异于
的不同的两点，且满足
，点
为
外接圆的圆心.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)当
外接圆的面积最小时，求
两点的坐标.
5．（2024·河南郑州·二模）已知椭圆E：
过点
，且焦距为
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过点
作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD 的中点分别为M，N.
①证明：直线MN 必过定点；
②若弦AB，CD 的斜率均存在，求
面积的最大值.
6．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的
圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方
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根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆
的蒙日圆的面积为
，该椭圆的上顶点和下顶点
分别为
，且
，设过点
的直线与椭圆
交于
两点（不与
两点重合）且直线
.
(1)证明：
，
的交点
在直线
上;
(2)求直线
围成的三角形面积的最小值.
7．（2024·山东济南·一模）已知双曲线C：
的左右顶点分别为
，
，过点
的直线与
双曲线C 的右支交于M，N 两点.
(1)若直线的斜率k 存在，求k 的取值范围；
(2)记直线
，
的斜率分别为
，
，求
的值；
(3)设G 为直线
与直线
的交点，
，
的面积分别为
，
，求
的最小值.
8．（2024·山西·模拟预测）已知
为椭圆
的右焦点，过点
且斜率为
的直线与椭圆
交于
点
，
，
且
．
(1)求
的取值范围；
(2)过点
作直线
与椭圆
交于点
，
，直线
的倾斜角比直线
的倾斜角大
，求四边形
面积的最大值．
9．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：
的离心率为
，
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直线l 与Γ 相切，与圆O：
相交于A，B 两点.当l 垂直于x 轴时，
.
(1)求Γ 的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M 中的每个点在N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，
则记此最大值为
.
（ⅰ）若M，N 分别为线段AB 与圆O 上任意一点，P 为圆O 上一点，当
的面积最大时，求
；
（ⅱ）若
，
均存在，记两者中的较大者为
.已知
，
，
均
存在，证明：
.
10．（2024·河北邯郸·三模）已知椭圆
经过
，
两点．
(1)求
的方程；
(2)若圆
的两条相互垂直的切线
均不与坐标轴垂直，且直线
分别与
相交于点A，C 和
B，D，求四边形
面积的最小值．
11．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，
，点A 关于y 轴的对称点为点B．
(1)求A 点坐标；
(2)在x 轴上任取一点P，直线
与直线
相交于点Q，求
的最大值；
(3)设点M 在椭圆E 上，记
与
的面积分别为
，
，若
，求点M 的坐标．
12．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆W：
的离心率为，已
知椭圆长轴长是短轴长的2 倍，且椭圆W 过点
．
(1)求椭圆W 的方程；
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(2)已知平行四边形ABCD 的四个顶点均在W 上，求平行四边形ABCD 的面积S 的最大值．
13．（2024·上海·二模）在
中，已知
，
，设
分别是
的重心、垂心、外
心，且存在
使
.
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)求
的外心
的纵坐标
的取值范围；
(3)设直线
与
的另一个交点为
，记
与
的面积分别为
，是否存在实数
使
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
14．（2024·高二·浙江·阶段练习）已知离心率为
的双曲线
：
过椭圆
：
的左，右顶点A，B.
(1)求双曲线
的方程；
(2)
是双曲线
上一点，直线AP，BP 与椭圆
分别交于D，E，设直线DE 与x 轴
交于
，且
，记
与
的外接圆的面积分别为
，
，求
的取
值范围.
15．（2024·福建莆田·二模）已知椭圆
的离心率为
，且
上的点到右焦点的距
离的最大值为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知
为坐标原点，对于
内任一点
，直线
交
于
两点，点
在
上，且满足
，
求四边形
面积的最大值．
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16 ．（2024· 河南· 三模）已知
是椭圆C ：
上的动点，过原点O 向圆M ：
引两条切线，分别与椭圆C 交于P，Q 两点（如图所示），记直线OP，OQ 的斜率
依次为
，
，且
．
(1)求圆M 的半径r；
(2)求证：
为定值；
(3)求四边形OPMQ 的面积的最大值．
17．（2024·山东临沂·一模）动圆
与圆
和圆
都内切，记动圆圆心
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为
，则曲线上一点
处的切线方程为：
，试运用该性质解决以
下问题：点
为直线
上一点（
不在
轴上），过点
作
的两条切线
，切点分别为
.
（i）证明：直线
过定点；
（ii）点
关于
轴的对称点为
，连接
交
轴于点
，设
的面积分别为
，求
的最大值.
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18．（2024·高三·浙江·开学考试）如图，已知椭圆
，双曲线
是
的右
顶点，过
作直线分别交
和
于点
，过
作直线
分别交
和
于点
，设
的斜率分别为
.
(1)若直线
过椭圆
的右焦点，求
的值；
(2)若
，求四边形
面积的最小值.
19．（2024·广东梅州·一模）有一种曲线画图工具如图1 所示，
是滑槽
的中点，短杆
可绕
转动，
长杆
通过
处铰链与
连接，
上的栓子
可沿滑槽
滑动，且
.当栓子
在
滑槽
内做往复运动时，带动
绕
转动，跟踪动点
的轨迹得到曲线
，跟踪动点
的轨迹得到曲
线
，以
为原点，
所在的直线为
轴建立如图2 所示的平面直角坐标系.
(1)分别求曲线
和
的方程；
(2)曲线
与
轴的交点为
，
，动直线
与曲线
相切，且与曲线
交于
，
两点，求
的面积与
的面积乘积的取值范围.
20．（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知抛物线
：
上一点
的纵坐标为3，点
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到焦点距离为5.
(1)求抛物线
的方程：
(2)过点
作直线交
于A，B 两点，过点A，B 分别作C 的切线与
，与
相交于点
，过点A 作直
线
垂直于，过点
作直线
垂直于
，
与
相交于点E，、
、
、
分别与
轴交于点P、Q、R、
S.记
、
、
、
的面积分别为
、
、
、
.若
，求实数
的取值范
围.
12
