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2025 二轮复习专项训练27
最值、范围问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题
是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较
大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、最值问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法
一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求
解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然
后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、范围问题
范围问题的求解策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有：
(1)利用判别式来构造不等式；
(2)利用已知参数的取值范围；
(3)利用隐含的不等关系；
(4)利用已知不等关系构造不等式；
(5)利用函数值域的求法．
一、单选题
1．（22-23 高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
点
在双曲线的右半支上，点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．6
D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知直线
与椭圆
交于
两点，
是椭圆上异于
的一点．若椭圆
的离心率的取值范围是
，则直线
，
斜率之积的取值范围是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C 经过点
，且与椭圆
有公共的
焦点
，点M 为椭圆
的上顶点，点P 为C 上一动点，则（ ）
A．双曲线C 的离心率为
B．
C．当P 为C 与
的交点时，
D．
的最小值为1
4．（24-25 高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点
是左、右焦点为
，
的椭圆
：
上的动点，则（ ）
A．若
，则
的面积为
B．使
为直角三角形的点
有6 个
C．
的最大值为
D．若
，则
的最大、最小值分别为
和
三、填空题
5．（23-24 高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过椭圆
上一动点
分别向圆
：
2
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和圆
：
作切线，切点分别为
，
，则
的
取值范围为 .
6．（22-23 高三上·安徽阜阳·期末）已知椭圆 C 的焦点为
为 C 上一点满足
，则C 的离心率取值范围是 ．
四、解答题
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为1
2．左顶点为
，下
顶点为
是线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成
立．若存在，求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（22-23 高二下·浙江杭州·期末）设抛物线
，过焦点
的直线与抛物
线
交于点
，
.当直线
垂直于
轴时，
.
(1)求抛物线
的标准方程.
(2)已知点
，直线
，
分别与抛物线
交于点
，
.
①求证：直线
过定点；
②求
与
面积之和的最小值.
3
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参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
D
D
ACD
BCD
1．D
【分析】首先利用双曲线的定义转化
，再结合图象，求
的最小值，再联立方程求交点坐标.
【详解】由题意并结合双曲线的定义可得
，
当且仅当
，
，
三点共线时等号成立.
而直线
的方程为
，由
可得
，所以
，
所以点
的坐标为(
3
2 , 1
2).
所以当且仅当点
的坐标为(
3
2 , 1
2)时，
的最小值为
.
故选：D.
2．D
【分析】先设点
的坐标，然后将
的坐标代入方程中，相减，构造出直线
，
的斜率，相乘转化只含有
的表达式，再根据
的关系以及椭圆
的离心率的取
4
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值范围是
建立不等式，求出直线
，
斜率之积的取值范围即可.
【详解】设
，
由直线
与椭圆
交于
两点可知
两点关于原点对称，
所以
且
，
由题意知：
，两式相减得：
，
即
，
又
，
由椭圆的离心率的取值范围是
，
即
，
所以
，
即
，
故选：D.
3．ACD
【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的
渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；
由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.
5
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【详解】A：由题意，
，设双曲线的标准方程为
，
将点
代入得
，所以双曲线方程为
，
得其离心率为
，故A 正确；
B：由A 选项的分析知，双曲线的渐近线方程为
，如图，
，所以
，得
，故B 错误；
C：当P 为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，
，解得
，
又
，在
中，由余弦定理得
，故C 正确；
D：设
，则
，
所以
，
当
时，
，故D 正确.
故选：ACD.
6
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4．BCD
【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定
义可求线段和差的最值，判断CD.
【详解】A 选项：由椭圆方程
，所以
，
，所以
，
所以
的面积为
，故A 错误；
B 选项：当
或
时
为直角三角形，这样的点
有4 个，
设椭圆的上下顶点分别为，
，则
,同理
，
知
，所以当
位于椭圆的上、下顶点时
也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点
有6 个，故B 正确；
C 选项：由于
，
所以当
最小即
时，
取得最大值
，故C 正确；
D 选项：因为
，
又
，则
的最大、最小值分别为
和
，
当点
位于直线
与椭圆的交点时取等号，故D 正确.
故选：BCD
5．
7
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【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得
，
，由椭圆的定义可得
，设
，利用二次函数的
基本性质可求得
的取值范围.
【详解】
，
，
，易知
、
为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义
，
设
，则
，即
，
则
，
当
时，
取到最小值
．
当
时，
取到最大值
．
故
的取值范围为：
.
故答案为：
.
6．
8
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【分析】设
，
，利用余弦定理可得
，再结合基本不等式
推出
，即可求得答案.
【详解】设椭圆C 的方程为
，
设
，
，则
，
在
中，
，有
,
得
，即
，
故
，因为
，即
，当且仅当
时取等号，
故
，即
，故
，
解得
，由
，所以C 的离心率取值范围是
，
故答案为：
7．(1)
(2)存在
，使得
恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为：
，
， 联立直线方程和椭圆方
程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用
表示
，再根据
可求的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
，故
，
，其中为半焦距，
9
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所以
，故
，
故
，所以
，
，故椭圆方程为：
.
（2）
若过点
的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：
，
设
，
由
可得
，
故
且
而
，
故
10
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，
因为
恒成立，故
，解得
.
若过点
的动直线的斜率不存在，则
或
，
此时需
，两者结合可得
.
综上，存在
，使得
恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表
示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
8．(1)
(2)①证明见解析；②
.
【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；
（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可
求出定点；
（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.
【详解】（1）由题意，当直线
垂直于
轴时，
，代入抛物线方程得
，则
，所以
，即
，所以抛物线
.
（2）（i）设
，
，直线
，
与抛物线
联立，得
，因此
，
.
设直线
，与抛物线
联立，得
，
11
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因此
，
，则
.同理可得
.
所以
.
因此直线
，由对称性知，定点在
轴上，
令
得，
，
所以直线
过定点
.
（ii）因为
，
，
所以
，
当且仅当
时取到最小值
.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F 为椭圆
的右焦点，P 为C 上一点，Q
为圆
上一点，则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．6
2．（21-22 高二上·陕西西安·期末）已知
是双曲线
的左焦点，
，
是双
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曲线右支上的动点，则
的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
3．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线交
于
两点，
为坐标原点，记
与
的面积分别为
和
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（23-24 高二上·江西·阶段练习）已知椭圆
的左焦点为
，点
是
上任
意一点，则
的值可能是（ ）
A．
B．3
C．6
D．8
5．（23-24 高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线
的准线与x 轴交于点Q，若
过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
6．（21-22 高二·江苏·假期作业）已知双曲线
：
，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．双曲线
的焦点到渐近线的距离为
C．与双曲线
的渐近线平行的直线与双曲线
一定没有交点
D．若直线
与双曲线
没有交点，则
的取值范围为
三、填空题
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7．（23-24 高二上·重庆沙坪坝·期中）若P 是椭圆
上一动点，
，则
的
最大值为 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知点
是抛物线
：
上的动点，过点
作圆
：
的切线，切点为
，则
的最小值为 .
9．（2023·浙江·一模）已知
，
分别是双曲线
的左右焦点，且C 上
存在点P 使得
，则a 的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，
是过点
的两条互相垂直的直线，且与椭
圆
相交于A，B 两点，
与椭圆
相交于C，D 两点．
(1)求直线的斜率k 的取值范围；
(2)若线段
，
的中点分别为M，N，证明直线
经过一个定点，并求出此定点的坐
标．
11．（2022·江苏盐城·三模）已知双曲线
：
过点
，渐近线
方程为
，直线是双曲线
右支的一条切线，且与
的渐近线交于A，B 两点．
(1)求双曲线
的方程；
(2)设点A，B 的中点为M，求点M 到y 轴的距离的最小值．
12．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，直线
与
交于
两点，且当
，
时，
．
(1)求抛物线
的方程；
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(2)若
，求
面积的最小值．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
B
BC
BC
ABD
1．B
【分析】由题意设椭圆的左焦点为
，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当
三点共线时
取到最大值.
【详解】由题意知，
，设椭圆的左焦点为
，
如图，P 为C 上一点，Q 为圆
上一点，
，半径为1，
，
当且仅当
三点共线时，等号成立，
所以
的最大值为
.
故选：B
2．A
【分析】由双曲线方程求出
，再根据点
在双曲线的两支之间，结合
可求得答案
【详解】由
，得
，则
，
所以左焦点为
，右焦点
，
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则由双曲线的定义得
，
因为点
在双曲线的两支之间，
所以
，
所以
，当且仅当
三点共线时取等号，
所以
的最小值为9，
故选：A
3．B
【分析】设出直线
，联立
，得到两根之和，两根之积，得
，
，
，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】由题意得：
，设直线
，联立
得：
，设
，不妨令
，
则
，
故
，
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：B
4．BC
【分析】根据到焦点距离的范围求解即可.
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【详解】由题意可知
，所以
，即
.
故选：BC.
5．BC
【分析】设直线方程，并与抛物线联立方程，再用根的判别式来处理，即可求得斜率范围.
【详解】
抛物线
的准线与x 轴交于点Q，
准线为
，Q 点的坐标
，
又直线l 过点Q，且斜率必存在，
可设l：
，
联立
，可得
，
当
时，得
，即交点为
，
当
时，由
得，即
，
解得，
或
，
综上，k 的取值范围是
．
故选：BC.
6．ABD
【分析】A 选项，利用焦点在
轴上的双曲线方程为
进行求解；B 选项，利用点到
直线距离公式进行求解；C 选项，与渐近线平行的直线与双曲线有一个焦点；D 选项，直线
的斜率与渐近线斜率相比较，得到
的取值范围．
【详解】解：对于
，由双曲线
：
，则
，
，所以其渐近线方程为
，故A 正确；
对于B，由双曲线
：
，则
，
，
，其焦点坐标为
，其渐近
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线方程为
，所以一个焦点到渐近线的距离为
，故B 正确；
对于C，与渐近线平行的直线与双曲线
有且仅有一个交点，故C 不正确；
对于D，若直线
与双曲线
没有交点，则
的斜率应该和双曲线渐近线斜率比较，
则
或
，故D 正确．
故选：ABD．
7．4
【分析】令
，应用两点距离公式有
，结合椭圆的有界性求最
大值.
【详解】令
，则
，又
，
所以
，又
，
当
时，
的最大值为4.
故答案为：4
8．
【分析】设
，求出
到圆的圆心
的距离的最小值，然后根据勾股定理
求解|MA|的最小值．
【详解】设
，则
，
故当
时，
取最小值
.
又由圆的切线性质可得此时
.
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故答案为：
9．
【分析】根据双曲线的定义结合条件可得
，
，进而可得
，
即得.
【详解】因为
，双曲线
，
又
，
所以
，
，
又
，
解得
，
即a 的取值范围是
.
故答案为：
.
10．(1)
；
(2)证明见解析；定点
.
【分析】（1）根据直线，
均与椭圆
相交，联立方程利用
求解；（2）利用韦达定理
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分别求M，N 的坐标，进而求出直线
的方程判断定点．
【详解】（1）根据题意直线，
的斜率均存在且不为0
直线，
分别为
，
，
联立
得
，
由
得
，则
或
，
同理
，则
，
所以k 的取值范围为
．
（2）设
，
，由（1）得
，
所以
，则
，
所以
，则
，
同理
，
则直线
的方程为
，
化简整理得
因此直线
经过一个定点
．
11．(1)
20
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(2)2
【分析】（1）由渐近线可得
，再把点代入方程即可解得
；
（2）点M 到y 轴的距离的即为点M 的横坐标为
，联立方程利用韦达定理可求
，分
析求解即可，但要注意讨论直线的斜率是否存在．
【详解】（1）由题设可知
，解得
则
：
．
（2）设点M 的横坐标为
当直线斜率不存在时，则直线：
易知点
到
轴的距离为
﹔
当直线斜率存在时，设：
，
，
，
联立
，整理得
，
，
整理得
联立
，整理得
，
则
，则
，即
则
，即
∴此时点
到
轴的距离大于2；
综上所述，点
到
轴的最小距离为2．
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12．(1)
(2)
【分析】（1）已知条件直线的解析式为
，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立抛
物线方程，利用韦达定理结合弦长公式可得拋物线
的方程；
（2）利用
得到m，n 的关系，利用面积公式将
的面积表示为关于n 的函
数，结合二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）当
，
时，直线的解析式为
．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立
消去
并整理得
，
，
，
，解得
．
，
，
整理得
，解得
（舍负），
抛物线
的方程为
．
（2）由（1）知，
，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立
22
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消去
并整理得
，
，
，
，
．
，
，
即
，
整理得
．
将
，
，代入上式得
．
又
，
，且
，
解得
或
．
点
到直线的距离
，
，
的面积
．
又
或
，
当
时，
的面积最小，且最小面积为
．
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
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（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不
等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（22-23 高三上·山西·阶段练习）已知点F 为抛物线C：
的焦点，过点F 作两条
互相垂直的直线，
，直线与C 交于A，B 两点，直线
与C 交于D，E 两点，则
的最小值为（ ）
A．64
B．54
C．50
D．48
2．（2023·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知
，
，动点
满
足
，则
（
）的最小值是（ ）
A．
B．2
C．4
D．16
3．（2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆
上存在两点
到点
的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图
，
是双曲线的左、右焦点，
从右焦点
发出的光线m 交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长
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线过左焦点
．若双曲线C 的方程为
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．当n 过
时，光由
所经过的路程为13
C．射线n 所在直线的斜率为k，则
D．若
，直线PT 与C 相切，则
5．（23-24 高二上·广西南宁·期中）已知椭圆
，
、
分别为它的左右焦点，
、
分别为它的左、右顶点，点
是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点
到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B．
的最小值为
C．若
为直角三角形，则
的面积为
D．
的范围为
6．（23-24 高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
点
是双曲线
的右支上一点，过点
的直线与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
则（ ）
A．
的最小值为8
25
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B．
为定值
C．若直线与双曲线
相切，则点
的纵坐标之积为
；
D．若直线经过
，且与双曲线
交于另一点
，则
的最小值为
.
三、填空题
7．（2023·辽宁·一模）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
、
，点
、
在椭圆C 上，满足
，
，若椭圆C 的离心率
，则
实数λ 取值范围为 .
8．（21-22 高二上·江西抚州·阶段练习）椭圆
与双曲线
有公共焦点
，设椭圆
与双曲线
在第一象限内交于点
，椭圆
与双曲线
的离心率分别为
为坐标原点，
，则
的
取值范围是 .
9．（2022 高二上·全国·专题练习）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线交双曲线左支于
，
两点，则
的最小值为 ．
四、解答题
10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为1
2．左顶点为
，
26
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下顶点为
是线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成
立．若存在，求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
11．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线
经过点
，过点
的直线
与抛物线
有两个不同交点
，且直线
交
轴于
，直线
交
轴于
.
(1)求直线斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点
，使得
，
且
.
12．（23-24 高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
经过点
，点
与点
关于原点对称，
为
上一动点，且
异于
两点.
(1)求
的离心率；
(2)若△
的重心为
，点
，求
的最小值；
(3)若△
的垂心为
，求动点
的轨迹方程.
13．（2022·全国·高考真题）设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的
直线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．
当
取得最大值时，求直线AB 的方程．
27
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14．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆
，直线与椭圆
交于A、B 两点，
为坐标原点，且
，
，垂足为点
．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)求
面积的取值范围．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
B
CD
ACD
AB
1．C
【分析】利用韦达定理表示出弦长
和
，利用基本不等式可求最小
值.
【详解】抛物线
：
的焦点
，
因为
，所以直线，
斜率存在，且均不为0.
设直线的方程为
，
，
，
由
得
，
所以
，所以
，
因为
，所以将
中的
替换为
可得
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故
的最小值是50.
故选:C.
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2．C
【分析】由题意求出点P 的轨迹方程，则
可以看成圆
上
动点
与定直线
上动点
的距离，求得其最小值，即可求得答案.
【详解】因为
，
，动点
满足
，
则
，整理得
，
可以看成圆
上动点
与定直线
上动点
的
距离，
其最小值为圆心
到直线
的距离减去圆的半径2，即
，
因此，
的最小值是
，
故选：C.
3．B
【分析】利用点差法可得直线AB 的斜率，从而可得AB 垂直平分线直线方程，由点P 在
AB 垂直平分线上，结合AB 的中点在椭圆内可解.
【详解】记
中点为
，则
，
由题意点
在线段
的中垂线上，
将
坐标代入椭圆方程得
两式相减可得
，
所以
，得
，
所以
的中垂线的方程为
，令
得
，
由题意，
，故
，所以
29
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所以
故选：B.
4．CD
【分析】对于A：判断出
，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：
利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P 在双曲线右支上，
即可得到n 所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT 的方程为
.利用
相切解得
，进而求出
.即可求出
.
【详解】对于A：若
，则
.
因为P 在双曲线右支上，所以
.由勾股定理得：
二者联立解得：
.故A 错误；
对于B：光由
所经过的路程为
.
30
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故B 错误；
对于C：双曲线
的方程为
.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当
与
同向共线时，
的方向为
，此时k=0，最小.
因为P 在双曲线右支上，所以n 所在直线的斜率为
.即
.
故C 正确.
对于D：设直线PT 的方程为
.
，消去y 可得：
.
其中
，即
，解得
代入
，有
，解得：x=9.
由P 在双曲线右支上，即
，解得：
（
舍去），所以
.
31
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所以
.
故D 正确
故选：CD
5．ACD
【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用
位于椭圆上顶点时
最
大求解即可；对于C，利用
点坐标求
的面积即可；对于D，设
利用二次函
数求
的范围即可.
【详解】对A，易知
，则
，故A 正确；
对B，
位于椭圆上顶点时
最大，
此时
最小，且
故此时
为等边三角形，
，故B 错误；
对C，若
为直角三角形，由B 知，
，
所以
或
，不妨设
，
则此时
点横坐标
，代入
，得
，
故
的面积为：
，故C 正确；
对D，
,设
则
，
由
得：
，
故
，
32
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故
，故D 正确.
故选：ACD
6．AB
【分析】设
，由
，可判定A 正确；化简
，可
判定B 正确；设直线的方程为
，联立方程组，结合
，得到
，在
化简
，可判定C 不正确；根据通经长和实轴长，可判定D 错误.
【详解】由题意，双曲线
，可得
，则
，
所以焦点
，且
，
设
，则
，且
，即
，
双曲线
的两条渐近线的方程为
，
对于A 中，由
，
所以A 正确；
对于B 中，
（定值），所以B 正确；
对于C 中，不妨设
，直线的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
若直线与双曲线
相切，则
，
整理得
，
33
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联立方程组
，解得
，即点
的纵坐标为
，
联立方程组
，解得
，即点
的纵坐标为
，
则点
的纵坐标之积为
所以C 不正确；
对于D 中，若点
在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为
，
若点
在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为
，所以D 错误.
故选：AB.
7．
【分析】先写出点
、
的坐标，再利用
求得点
的坐标，将点
的坐标代入
椭圆C 方程即可化简出实数λ 与离心率的关系，从而得到实数λ 取值范围.
【详解】根据题意知
，由
得
，
不妨设点
在第一象限，则点
的坐标为
.
由
知
，且
，
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从而得到点
的坐标为
.
将点
的坐标代入椭圆C 方程得
，
整理得
，即
，
所以
.
又因为
，所以
，即实数λ 取值范围为
.
故答案为：
.
8．
【分析】根据椭圆和双曲线得定义求得
，再根据
，可得
，从而有
，求出
的范围，根据
，结合基本不等式即可
得出答案.
【详解】解：设
，
则有
，
所以
，即
，
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又因为
，所以
，
所以
，即
，则
，
由
，得
，所以
，所以
，
则
，
由
，得
，
因为
，
当且仅当
，即
时，取等号，
因为
，所以
，所以
，
即
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
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9．22
【分析】由双曲线的定义可得
，
，据此
，再由
两点的位置特征可得
是双曲线的通径时，
最小，从而可得答案.
【详解】根据双曲线
，得
，
，
由双曲线的定义可得：
①，
②，
①+②可得：
，
由于过双曲线的左焦点
的直线交双曲线的左支于
，
两点，
可得
，即有
．
则
，当
是双曲线的通径时
最小，
故
.
故答案为：22
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10．(1)
(2)存在
，使得
恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为：
，
， 联立直线方程和椭圆方
程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用
表示
，再根据
可求的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
，故
，
，其中为半焦距，
所以
，故
，
故
，所以
，
，故椭圆方程为：
.
（2）
若过点
的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：
，
设
，
由
可得
，
故
且
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而
，
故
，
因为
恒成立，故
，解得
.
若过点
的动直线的斜率不存在，则
或
，
此时需
，两者结合可得
.
综上，存在
，使得
恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表
示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
11．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线过
可求得抛物线方程，设
，与抛物线方程联
立，由
可得
的范围，并确定韦达定理结论；根据
可求得
且
，
39
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由此可确定
的范围；
（2）易知
在
轴上，设
，利用向量数乘的坐标运算可得
，
，
求得
方程后，令
可推导得到
，同理得到
，代入
中，整理后代入
韦达定理的结论可构造方程求得的值，从而确定定点.
【详解】（1）
抛物线
经过点
，
，解得：
，
抛物线
；
由题意知：直线斜率存在，设
，
，
，
由{
y =k (x +1)
x
2= 4 y
得：
，
，解得：
或
；
，x1 x2=−4 k，
，
，
又直线
与
轴相交于
两点，
，
即
，解得：
且
；
综上所述：直线斜率的取值范围为
.
（2）设点
，
，
由
，
，
知：
共线，即
在
轴上，
则可设
，
，
，
，
，
，同理可得：
，
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，
直线
，
令
得：
，同理可得：
，
，
，
由（1）知：
，x1 x2=−4 k，
，
解得：
，
存在定点
满足题意.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中存在定点满足某条件的问题，求解
此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于
或
的一元二次方程的形式；
②利用
求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式或构造方程；
④化简所得函数式或方程，整理可得定点坐标.
12．(1)
(2)
(3)
（去除点
）.
【分析】（1）将点
代入双曲线的方程求出
值，即可求得
的离心率；
（2）根据三角形的重心公式求得动点
的轨迹方程，根据两点间距离公式求出
的最小
值；
（3）根据
求动点
的轨迹方程.
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【详解】（1）因为双曲线
经过点
，所以
，解得
，
所以
的离心率
，
（2）易知
.设
.
因为△
的重心为
，所以
,解得
,
因为
，所以
，即
.
因为
不共线，所以
且
，
所以
的轨迹不含
两点.
故
，当且仅当
时，等号成立，
即
的最小值为
.
（3）因为
为△
的垂心，所以
，
设
，
当直线
或
的斜率为0 时，点
的坐标为
或
，
此时点
与点
重合，不合题意，舍.
当直线
或
的斜率不为0 时，直线
与
的斜率存在，
则
，
由（2）知
，则
，
42
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则
.
因为
，所以
，
，则
，得
，
则
，因为
构成三角形，故
不能在轨迹上，
综上，动点
的轨迹方程为
（去除点
）.
13．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由抛物线的定义可得
，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线
，由韦达定理及斜率公式可得
，
再由差角的正切公式及基本不等式可得
，设直线
，结合韦达定理
可解.
【详解】（1）抛物线的准线为
，当
与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p，
此时
，所以
，
所以抛物线C 的方程为
；
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（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设
，直线
，
由
可得
，
，
由斜率公式可得
，
，
直线
，代入抛物线方程可得
，
，所以
，同理可得
，
所以
又因为直线MN、AB 的倾斜角分别为
，所以
，
若要使
最大，则
，设
，则
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当
最大时，
，设直线
，
代入抛物线方程可得
，
，所以
，
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所以直线
.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN 的斜率存在.
设
,直线
由
得：
，
,同理，
.
直线MD:
,代入抛物线方程可得：
，同理，
.
代入抛物线方程可得:
,所以
，同理可得
，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使
最大，则
，
设
，则
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当
最大时，
，设直线
，
代入抛物线方程可得
，
，所以
，所以
直线
.
[方法三]：三点共线
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设
，
设
,若 P、M、N 三点共线，由
所以
，化简得
，
反之，若
,可得MN 过定点
因此，由M、N、F 三点共线，得
，
由M、D、A 三点共线，得
，
由N、D、B 三点共线，得
，
则
，AB 过定点（4,0）
（下同方法一）若要使
最大，则
，
设
，则
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当
最大时，
，所以直线
.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线
的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方
程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
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法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线
过定点，省去联立过程，
也不失为一种简化运算的好方法．
14．(1)
(2)
【分析】（1）分直线l 斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合韦达定理以及向量垂直
的坐标表示即可求得P 的轨迹方程；
（2）分直线l 斜率不存在和存在两种情况进行讨论，求出弦长|AB|的取值范围，结合面积
公式
即可求得答案.
【详解】（1）①当直线l 斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线l 在y 轴右侧，
直线OA 的方程为
，
由
，解得
，
，所以，
，
所以，直线AB 的方程为
，此时
．
同理，当直线l 在y 轴左侧时，
．
②当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为
，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由
消去y 整理得，
，
∴
，且
，
，
又∵
，∴
即：
，
所以，
，
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则
，
故
，
所以
满足
，
所以，
．
综上，
，所以，点P 的轨迹方程为
．
（2）①由（1）可知，当直线l 斜率不存在或斜率为0 时，
．
②当直线l 斜率存在且不为0 时，
，
∵
，∴
，当且仅当
，即
等号成立．
∴
，∴
，
∴
，
综上，
．
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【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，注意
的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
49
