文档文本内容
专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类
【目录】
...........................................................................................................................................2
.............................................................................................................................................3
...........................................................................................................................................4
...........................................................................................................................................5
...........................................................................................................................................6
考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线.......................................................................................................................6
考点二：蒙日圆.................................................................................................................................................... 7
考点三：阿基米德三角形.....................................................................................................................................8
考点四：仿射变换问题......................................................................................................................................... 9
考点五：圆锥曲线第二定义..................................................................................................................................9
考点六：焦半径问题...........................................................................................................................................10
考点七：圆锥曲线第三定义................................................................................................................................10
考点八：定比点差法与点差法............................................................................................................................ 11
考点九：切线问题...............................................................................................................................................11
考点十：焦点三角形问题....................................................................................................................................12
考点十一：焦点弦问题....................................................................................................................................... 12
考点十二：圆锥曲线与张角问题........................................................................................................................13
考点十三：圆锥曲线与角平分线问题.................................................................................................................13
考点十四：圆锥曲线与通径问题........................................................................................................................14
考点十五：圆锥曲线的光学性质问题.................................................................................................................14
考点十六：圆锥曲线与四心问题........................................................................................................................15
圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆
或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的
形式考查，难度中等．
考点要求
考题统计
考情分析
圆锥曲线的定义
2023 年北京卷第6 题，4 分
2022 年I 卷第11 题，5 分
2021 年I 卷第5 题，5 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以小题
形式出现，也有可能会将其
渗透在解答题的表达之中，
相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式
出现，考查数学抽象、数学
建模、逻辑推理与数学运算
四大核心素养．
（2）热点是圆锥曲线的三定
义与性质.
圆问题
2023 年I 卷第6 题，5 分
2023 年乙卷第12 题，5 分
2023 年乙卷第11 题，5 分
焦点三角形
2023 年甲卷第12 题，5 分
2023 年甲卷第7 题，5 分
2021 年I 卷第5 题，5 分
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹
曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量
或
进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求
；在双曲线的定
义中，要求
；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之
比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、
面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．
不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不
等关系等．
5、椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
焦点为F1，F2，P 为椭圆上的点，∠F1PF 2=θ，则
SΔF1PF 2=b
2¿sinθ
1+cosθ =b
2tan θ
2
6
、双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0 ，b>0)
的焦点为F1、F2，B 为双曲线上的点，∠F1BF 2=α，则
S△F1BF 2=b
2¿sinα
1−cos a=
b
2
tan α
2．
7、椭圆焦半径
椭圆上的点到焦点的距离；设
为椭圆上的一点，
①焦点在
轴：焦半径
(左加右减)；② 焦点在
轴：焦半径
(上加下减)．
8、双曲线焦半径
设
为双曲线上的一点，
①焦点在
轴：
在左支
，
在右支
；
②焦点在
轴：
在下支
，
在上支
．
9、设
、
是椭圆
的两个焦点，O 是椭圆的中心，P 是椭圆上任意一点，
∠F1PF 2=θ，则
．
10、设
、
是双曲线
的两个焦点，O 是双曲线的中心，P 是双曲线上任意一点，
∠F1PF 2=θ，则
．
11、等轴双曲线满足：
；
12、若椭圆（双曲线）与直线交于
两点，其中
，
，
，为
中点，
（椭圆）；
（双曲线）
1．（2023•北京）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，若
到直线
的距离为5，则
A．7
B．6
C．5
D．4
2．（2023•新高考Ⅰ）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
A．1
B．
C．
D．
3 ．（2023• 甲卷）已知椭圆
，
，
为两个焦点，
为原点，
为椭圆上一点，
，则
A．
B．
C．
D．
4．（2023•乙卷）已知
的半径为1，直线
与
相切于点
，直线
与
交于
，
两点，
为
的中点，若
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
5．（2023•乙卷）已知实数
，
满足
，则
的最大值是
A．
B．4
C．
D．7
6．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆
的左焦点和右焦点分别为
和
，直线
与
交于
点
，
两点，若△
面积是△
面积的两倍，则
A．
B．
C．
D．
7 ．（2023• 甲卷）设
，
为椭圆
的两个焦点，点
在
上，若
，则
A．1
B．2
C．4
D．5
8．（2021•新高考Ⅰ）已知
，
是椭圆
的两个焦点，点
在
上，则
的最
大值为
A．13
B．12
C．9
D．6
9．（
）
多选题
（2022•新高考Ⅰ）已知
为坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交
于
，
两点，则
A．
的准线为
B．直线
与
相切
C．
D．
10．（2022•全国）已知
为坐标原点，点
在圆
上，则
的最小值为 ．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，
为
上一点，
与
轴垂直，
为
轴上一点，且
．若
，则
的准线方程为 ．
考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【例1】（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足
（
且
）的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为
的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿
波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P 在棱长为6 的正方体
的一个侧面
上运动，
且满足
，则点P 的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2024·新疆乌鲁木齐·统考）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点
的距离
之比为定值
的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知在平面直角坐标系
中，点
，
，若点
是满足
的阿氏圆上的任意一
点，点
为抛物线
上的动点，
在直线
上的射影为
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2024·陕西·统考模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190 年）证明过这样一个命题：在平
面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点
A，B 间的距离为2，动点P 满足
，则
面积的最大值是（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【变式1-3】（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为
亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点
与两定点
，
的距离之比为
，那么点
的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点
与两定点
，
的距离之比为
时的阿波罗尼斯圆为
．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆
上的动
点
和定点
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二：蒙日圆
【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心
率为
，其蒙日圆方程为
，M 为蒙日圆上的一个动点，过点
作椭圆
的两条切线，与蒙
日圆分别交于P，Q 两点，若
面积的最大值为36，则椭圆
的长轴长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考）19 世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，
创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，
则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆
的蒙日圆方程为
.若圆
与椭圆
的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b 的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2024·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家．如图，他
在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，
这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形
的四边均与椭圆
相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆
的离心率为
B．椭圆
的蒙日圆方程为
C．若
为正方形，则
的边长为
D．长方形
的面积的最大值为18
考点三：阿基米德三角形
【例3】（多选题）（2024·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）
为抛物线
的弦，
，
分别过
作的抛物线的切线交于点
，称
为阿基米德三角形，弦
为阿基米德三角形的底边.若弦
过焦点
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．底边
的直线方程为
；
C．
是直角三角形；
D．
面积的最小值为
.
【变式3-1】（多选题）（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考）过抛物线C：
（
）的焦点F
的直线与抛物线C 相交于A，B 两点，以A，B 为切点作抛物线C 的两条切线，
，设，
的交点为
M，称△AMB 为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（ ）
A．△AMB 是直角三角形
B．顶点M 的轨迹是抛物线C 的准线
C．MF 是△AMB 的高线
D．△AMB 面积的最小值为
【变式3-2】（多选题）（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为
阿基米德三角形.设抛物线
，弦
过焦点
为其阿基米德三角形，则下列结论一定
成立的是（ ）
A．存在点
，使得
B．
C．对于任意的点
，必有向量
与向量
共线
D．
面积的最小值为
考点四：仿射变换问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）过椭圆
的右焦点F 的直线与椭圆交于A，B 两点，则
面积最大值为 .
【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l 与椭圆
交于M，N 两点，当
，
面积最大，并且最大值为 .记
，当
面积最大时，
﹐
.Р 是椭圆上一点，
，当
面积最大时，
.
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）已知A，B，C 分别是椭圆
上的三个动点，则
面
积最大值为 .
考点五：圆锥曲线第二定义
【例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考）已知椭圆
：
的短轴长为2，上顶点为
，左
顶点为
，
，
分别是
的左、右焦点，且
的面积为
，点
为
上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2024·广东广州·统考）已知F 为抛物线C：
的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A，
B 两点，且
，则
A．6
B．8
C．10
D．12
【变式5-2】（2024·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）过椭圆
的左焦点F
作倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六：焦半径问题
【例6】（2024·全国·高三专题练习）已知点
是双曲线
上的动点，
，
为该双曲线的左右焦
点，
为坐标原点，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线
的右支上的点
，
满足
，
分别是双曲线的左右焦点），则
为双曲线
的半焦距）的取值范围是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式6-2】（2024·江苏·高二专题练习）已知
为抛物线
的焦点，过
作两条互相垂直的直线
，
，直线与
交于
，
两点，直线
与
交于
，
两点，则当
取得最小值时，四边
形
的面积为（ ）
A．32
B．16
C．24
D．8
考点七：圆锥曲线第三定义
【例7】（江苏省南京市中华中学2023-2024 学年高二下学期初数学试题）椭圆
：
的左、右顶
点分别为
，
，点
在
上且直线
的斜率的取值范围是
，那么直线
斜率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2024·全国·高三专题练习）椭圆
的左、右顶点分别为
、
，点
在
上，
且直线
的斜率为
，则直线
斜率为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【变式7-2】（2024·安徽六安·高三六安一中阶段练习）已知
为双曲线
上不同三点，且满
足
（
为坐标原点），直线
的斜率记为
，则
的最小值为
A．8
B．4
C．2
D．1
考点八：定比点差法与点差法
【例8】已知点P(0，1)，椭圆
(m>1)上两点A，B 满足
，则当m= 时，点
B 横坐标的绝对值最大．
【变式8-1】（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆
，点
为椭圆外一点，
斜率为
的直线与椭圆交于
，
两点，过点
作直线
，
分别交椭圆于
，
两点．当直线
的
斜率为
时，此椭圆的离心率为 ．
【变式8-2】（2024·浙江·校联考）过点
的直线与椭圆
交于点
和
，且
.点
满足
，若
为坐标原点，则
的最小值为 ．
考点九：切线问题
【例9】（2024·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆
，过C 中
心的直线交C 于M，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3 倍，直线NP 交C 于点Q，若直线
QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为 ．
【变式9-1】（2024·浙江台州·统考）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反
射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线
：
上的点
（不为原点）作
的切线，过坐标原
点
作
，垂足为
，直线
（
为抛物线的焦点）与直线
交于点
，点
，则
的取
值范围是 ．
【变式9-2】（2024·全国·高三专题练习）设抛物线
，M 为直线
上任意一点，过M
引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M 的横坐标分别为
，则下列关系：①
；②
；③
.其中正确的是 (填序号)．
考点十：焦点三角形问题
【例10】（2024·全国·高三专题练习）已知
、
是椭圆
的两个焦点，
是椭圆
上的一点，若
，且
的面积为
，则
A．2
B．3
C．6
D．9
【变式10-1】（2024·云南·高二云南省下关第一中学校考期末）已知
，
是椭圆
的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且
，若
的面积为
，则
（ ）
A．9
B．3
C．4
D．8
【变式10-2】（2024·江西赣州·高二校联考期末）已知椭圆
上一动点P 到两个焦点F1，F2的距
离之积为q，则q 取最大值时，
的面积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
考点十一：焦点弦问题
【例11】（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与双曲线的左、右两支分别交于
，
两点，若
为边长为4 的等边三角形，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】（2024·高二课时练习）已知双曲线
的右焦点为
，
是双曲线
的左支上一点，
，则
的周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】（2024·四川遂宁·统考）过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
，
两点（
，
的横坐标不相等），弦
的垂直平分线交
轴于点
，若
，则
（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
考点十二：圆锥曲线与张角问题
【例12】（2024·湖南·高三校联考期末）设
是椭圆
的两个焦点，若
上存在点
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-1】（2024·河北衡水·河北衡水中学校考）已知
，
为椭圆
：
的两个焦点，
若
上存在点
满足
，则实数
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-2】（2024·湖南常德·统考）定义：点
为曲线
外的一点，
为
上的两个动点，则
取最大值时，
叫点
对曲线
的张角.已知点
为抛物线
上的动点，设
对圆
的张角为
，则
的最小值为 .
考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【例13】（2024·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知双曲线
：
的左、右焦点
分别为
，
，其右支上有一点
满足
，过点
向
的平分线引垂线交于点
，若
，则双曲线
的离心率
.
【变式13-1】（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
是
上异于顶点的一点，
为坐标原点，
为线段
的中点，
的平分线与直线
交于点
，当
四边形
的面积为
时，
．
【变式13-2】（2024·福建龙岩·统考）已知抛物线
，直线过点
且与
相交于
，
两
点，若
的平分线过点
，则直线的斜率为 ．
考点十四：圆锥曲线与通径问题
【例14】（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）过抛物线
的焦点
的直线与
交
于
两点，且
，
的准线与
轴交于
，
的面积为
，则
的通径长为 .
【变式14-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点
分别为
过
的通径
（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则
的内切圆方程为
.
【变式14-2】已知
，
是椭圆C 的焦点，过F2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A，B 两点，
且
，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【例15】（2024·河南郑州·高三河南省新郑市第一中学校考阶段练习）双曲线的光学性质为：从双曲线的
一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：
为双
曲线
的左，右焦点，若从右焦点
发出的光线在
上的点
处反射后射出（
共线），且
，则
的离心率为 .
【变式15-1】（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，
经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：
，
为其
左、右焦点．M 是C 上的动点，点
，若
的最大值为6.动直线l 为此椭圆C 的切线，右
焦点
关于直线l 的对称点
，
，则椭圆C 的离心率为 ；S 的取值范围为
．
【变式15-2】（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点
发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点
. 我国首先研制成功的“双曲线新闻
灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为
，
为其左右焦点，若从右焦点
发出的光线经双曲线上的点A 和点
反射后，满足
，
，则该双曲线的离心率为 .
考点十六：圆锥曲线与四心问题
【例16】（2024·四川成都·模拟预测）已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，且
，点
为双曲线右支上一点，
为
内心，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式16-1】（2024·广西·统考）已知点A，B 在抛物线
上，O 为坐标原点，若
，且
的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB 的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式16-2】（2024·浙江台州·高三台州一中校考开学考试）已知
是双曲线
的左､
右焦点，过点
且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B 两点，则坐标原点O 可能为
的（ ）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
