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专题06 圆锥曲线离心率培优归类
题型1 离心率基础思维
求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得
得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于
的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或
不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
1．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）已知
，
，以A，B 为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆
的离心率大于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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【答案】C
【分析】不妨设
，
，由
，求得
，进而得解.
【详解】不妨设
，
，
该椭圆的离心率为
，解得
或
，
因为
，所以
，所以
.
所以
的取值范围为
.
故选：C.
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知
为坐标原点，椭圆
：
的右顶点为
，以
为直径的圆与椭圆C 的三个公共点分别为
，M，N，若以
，M，A，N 为顶点的四边形是正方形，
则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正方形、椭圆的对称性求出点
的坐标，代入椭圆方程即可求出离心率.
【详解】由对称性，不妨设点
在第一象限，则
，于是
，即
，
所以椭圆C 的离心率
.
故选：B
3．（2025·江西·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，若以
为直
径的圆与以点
为圆心、
为半径的圆相切于点
，且点
在
上，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2
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【分析】根据题意得点
为
的中点，即可得
的坐标，即可得
，即可得
解出即
可.
【详解】由两圆的圆心分别为
，
.且圆
的半径为
，
，
可得点
在以
为直径的圆内，且两圆内切，
所以点
为
的中点，所以
，
，所以圆
的半径为3，
即
，所以
，解得
，
，所以
的离心率为
，
故选：A.
4．（24-25 高三上·山东青岛·期末）已知椭圆
：
的左焦点为
，焦距为
，圆
：
与椭圆
有四个交点，其中点
，
分别在第一、四象限，若
为等边三角形，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的对称性及定义结合离心率公式即可求解.
【详解】由于
为等边三角形，由椭圆的对称性可得
,所以
,
由椭圆的定义可得
,所以椭圆的离心率
.
故选：C
3
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题型2 定义法:第一定义型
1.椭圆第一定义：
双曲线第一定义：
2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。
（椭圆是减， 双曲线是结合左右两支判断加减）
1．（25-26 高三·江西赣州·阶段练习）已知
分别是椭圆
的左､右焦点，
是
上一点，若
，且
，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆定义可得
，由余弦定理可得
，即可联立求解
，利
用对勾函数的性质即可求解.
【详解】设
，
，由椭圆的定义可得，
，
可设
，可得
，即有
，即
，
由
，结合余弦定理可得
，即可
，
故
，
可得
，
由
，可得
,进而
，则
，解得
.
故选：B
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
是椭圆C：
的两个焦点，P 为C 上一点，若
的最大值为5，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【答案】B
【分析】由基本不等式可得
，从而求出
的值，由离心率公式求解即可.
【详解】由椭圆的定义得
，又
，
故
，当且仅当
时，等号成立，
则
，故
，
，
所以C 的离心率为
故选：B
3．（2025·湖北·模拟预测）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，点
（不在
上）为
轴上一点，线段
与
交于点
，
，
内切圆的直径为
，则椭圆
的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用切线长定理可得出
，再由椭圆定义可求出
、
，结合勾股定理可得出
关于
、
、的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】设
的内切圆
分别切该三角形三边于点
、
、
，如下图所示：
由切线长定理可得
，
，
，
所以，
，
因为
，则
，
由圆的几何性质可得
，
，故四边形
为正方形，且其边长为
，
由对称性可知
，由椭圆定义可得
①，
又因为
，即
②，
联立①②可得
，
，
由勾股定理可得
，即
，
5
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整理可得
，即
，即
，整理可得
，
因此，该椭圆的离心率为
.
故选：A.
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过
的直
线与
在第一象限交于点
，与
轴的负半轴交于点
，且
，
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由椭圆的定义以及余弦定理可得
，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设
，则
，由椭圆的对称性可知，
，
由椭圆的定义可知
，
因为
，所以
，即
，
得
（舍去
），
则
，在
中，
，
所以在
中，由余弦定理得
，得
，
所以
的离心率
.
故选：C
题型3 点差法与中点型
点差法与中点型，实质就是椭圆与双曲线的“第三定义”
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2)
⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
6
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同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2)
⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2 ；
1．（20-21 高三·全国·阶段练习）已知椭圆
，点
,
在椭圆上，直线
过原点
，
过点
且垂直于
的直线交椭圆于点
，过
点且垂直于
轴的直线交椭圆于点
,直线
交
于点
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
,
，由已知可得
的坐标，由
可得
，设
，由
点差法可得
，由
，
，可得
，即可求解.
【详解】
由题意设
,
，则
，
，
因为
，所以
，解得
，所以
，
设
，则
，两式作差可得
，
所以
，又
，即
，所以
，
又
，所以
，
所以
，所以椭圆的离心率
.故选：
.
2．（24-25 高三·河南·模拟）已知双曲线
的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，过点
且斜率为k 的直线l 交E 的两条渐近线于A，B 两点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由双曲线方程得到渐近线方程为
，设
，
的中点为
，将点
7
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代入渐近线方程，利用点差法得到
，设直线的倾斜角为
，根据
推出
，即得
，即得
，解之即得直线的斜率.
【详解】
如图，由
可得双曲线的渐近线方程为
，
不妨设
，
的中点为
，则
，
两式相减，得：
，即
，
即
（*），因
，则
，在
中，
，
设直线的倾斜角为
，则直线
的倾斜角为
，
则由（*）可得
，即
，解得
，
即
，也即
.
故选：B.
3．（24-25 高三·江苏南京·阶段练习）斜率为1 的直线与双曲线
交于两点
，
点
是
上的一点，满足
，
，
的重心分别为
，
的外心为
．记直线
的斜率为
．若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【分析】由题意，取
的中点为
，根据中点弦结论、三角形重心和外心的定义以及离心率公式
进行求解即可.
【详解】取
的中点为
，因为
的重心为
，且
在中线
上，
所以
，由中点弦有
，
所以
，所以
，又因为
，
所以
，所以
，又由
，得
的外心为
为
的中点，
所以由中点弦有
,所以
，即
，
8
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由
有
，所以
，所以
，故选：A.
3．（2025 高三·全国·专题练习）过第一象限内椭圆C：
上一点P 作三条直线，
，
，过原点并交C 于另一点A，
轴于点H，
交C 于另一点B，若直线AB 平分线段PH，
则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出点
的坐标，则可得出点
坐标及
中点
坐标，然后分别由
三点共线、
及椭圆方程点差法得到
坐标关系式；整理可得
关系式，进而求得离心率.
【详解】设线段PH 的中点为D，
，
，则
，
，
所以
，
，所以
，
所以
①．因为A，D，B 三点共线，所以
，所以
②．
由
得
③
将①②代入③可得
，故
，即
，
则C 的离心率为
．故选：B.
9
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题型4 焦点三角形与离心率
焦点三角形
（1）焦点三角形面积：
椭圆：
，双曲线：
2．顶角
椭圆顶角在短轴顶点处最大。
3．与正余弦定理结合
设椭圆
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在
△PF1F2中，记
,
,
，则有
.
设双曲线
（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在
△PF1F2中，记
,
,
，则有
1．（25-26 高三上·山东济南·开学考试）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
的渐近线
上一点
满足
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由题设
，结合
且
，应用二倍角正切公式、双曲线离
心率求法求解.
【详解】
在
中
，而
，则
，
所以
，故
，
所以
.故选：B
2．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线
的左，右焦点分别为
是双曲线
10
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上一点，
为线段
的中点.若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意设
，由几何关系得
，再根据双曲线定义知
，联立即可求出离心率
.
【详解】由题意设
，因为
为线段
的中点，所以
，
又
，所以
，则
，
根据双曲线定义知
，所以
，
解得
，故双曲线的离心率为
.
故选：C
3．（24-25 高三·广东汕头·阶段练习）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，
为右顶点，
、
为上、下顶点，若在线段
上存在
（不含端点），使得
，则椭圆
的离心率的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求得线段
的方程为
，在线段
上取一点
，由已知可得
关于
的方程，在
时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于
、
、的不等式组，由此可解
得的取值范围．
【详解】由已知，点
，
，
，
，
，
则线段
的方程为
，则
，
在线段
上取一点
，
，
11
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，所以
，
由
，得
，因为
，所以
，
从而
，整理得
，即
，
即
，即
，结合
，解得
．故选：B．
4．（24-25 高三·湖南湘西·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，离心率
为，
的右支上存在点
，满足
，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，得到
，再由
，且
，求得
的值，方
法1：在
中，由余弦定理得到
，求得
，进而求得双曲线
的离心率；方法2：
由
，求得
，得到
，求得
，得到双曲线
的离心率.
【详解】设
，由双曲线的定义，可得
，
由
，且
，
可得
，且
，解得
．
方法1：在
中，由余弦定理得
，
即
，整理得
，解得
，所以
，
所以双曲线
的离心率
．
方法2：由
，可得
，即
，
解得
，所以
，可得
，
所以
，双曲线
的离心率
．
12
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故选：B．
题型5 齐次计算型
只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不
等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
1．（24-25 高三·安徽芜湖·阶段练习）已知
，
是双曲线
的左、右焦点，点
A，B 在双曲线上，且满足
，
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性及双曲线定义，结合勾股定理建立方程求出离心率.
【详解】令点
关于原点
的对称点为
，连接
，则四边形
为平行四边形，
，由
，得
，则点
共线，
令
，则
，
，
，
，由
，得
为矩形，则
，
即
，解得
，
，令
，
由
，得
，解得
，
所以双曲线C 的离心率为
.故选：D
2．（24-25 高三·河南·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，P 为
上一点，满足
轴，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】C
【分析】由题意可得
，结合双曲线定义可得
，结合
即可求得答
案.
【详解】如图P 为
上一点，满足
轴，则P 在双曲线左支上，
13
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将
代入
，可得
，
故
，则
，
又
，故
，即
，
即
，
，则
，
故选：C
3．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线
：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，满足
，直线
与
轴交于点
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，由向量关系得
，由双曲线定义得
，然后根据三角
形相似比例相等求出
，在
中，由勾股定理列方程得
，从而
，解方程即可求解.
【详解】设双曲线
的半焦距为
，如图：设
，则由
得
，
由双曲线的定义，得
，又
，
，
所以
∽
，所以
，即
，解得
，
则
，
，
在
中，由勾股定理得
，
即
，化简得
，
则
，而
，解得
.
故选：B
14
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4．（2025·山东·二模）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
为
左支上一
点，满足
，
与
的右支交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依据题意找到等量关系，列齐次方程求解即可.
【详解】
因为
，
，所以
的三个内角都是
，
从而
，结合双曲线定义得
，故
，
又
，故
，结合
，
故由余弦定理得
，化简得
，解得
.
故选：D.
题型6 焦半径型
椭圆双曲线第二定义：动点
到定点
的距离与它到直线
的距离的比为常数
（即离心
率）.
1．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，过
作
的垂线与
在第一象限内交于点
，且
．设
的离心率为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据椭圆定义和已知线段关系求出相关线段长度，再通过三角函数关系求出
，最后利用余
弦定理建立关于椭圆离心率的方程并求解.
【详解】
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如图，连接
，设
与
交于点 M.
由
，可设
，则
，其中
，
由椭圆的定义，得
，从而
，
又因为
，所以
，在
中，设
，
则
为锐角，所以
，即
，
由余弦定理，得
，即
，解得
.
故选：C.
2．（2025·山东·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直
线与
轴相交于
点，与双曲线
在第一象限部分的交点为
，且
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】由三角形
与
相似结合双曲线定义依次求出
，再在焦三角形中由勾股定理
列出方程即可求解.
【详解】因为
，
，
所以
与
相似，所以
，
所以
，则
，
所以由
得
，
所以
，解得
（舍去）或
.
16
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所以双曲线
的离心率为
.
故选：D
3．（24-25 高三上·辽宁鞍山·期末）在双曲线
的右支上有一点
，过点
的直线
交
的两条渐近线于
两点（点
均在
轴的右侧）.若
，且
（
为坐标原
点），则双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
可求出点
，将其坐标代入双曲线
的方程可得
求出
，代入
，即可求出
的范围，进而求出双曲线
的离心率的取值范围.
【详解】由双曲线的对称性，设
.
由
，可得
，
即
.
将其坐标代入双曲线
的方程，得
，
化简得
因为双曲线的渐近线方程为：
，
因为
，所以
，
所以
，
.
故选：B.
4．（24-25 高三上·天津·期末）已知双曲线
为
的左顶点，抛物线
的
17
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准线与
轴交于
．若在
的渐近线上存在点
，使得
，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】抛物线
的准线与
轴交于
，则
，设
的中点为
，
，则
，
在
的渐近线上存在点
，使得
，
是以
为圆心，半径为
的圆与渐近线
有公共点，所以
，
，所以
.故选：D
题型7 离心率范围型
求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出
，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，结合
转化为
的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以
或
转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）.
1．（21-22 高二上·湖南邵阳·期末）设
为双曲线
与椭圆
的公共的左右焦点，它们在
第一象限内交于点
是以线段
为底边的等腰三角形，若椭圆
的离心率范围为
，则双曲
线
的离心率取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设椭圆的标准方程为
，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之
间的关系，再根据椭圆
的离心率范围可得双曲线
的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为
，
，
则有已知
，两式相减得
，即
，
，
18
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因为
，解得
故选：A.
3．（20-21 高三下·全国·阶段练习）已知直线
，若椭圆
上点到直线的距离
的最大值与最小值之和为
，则椭圆
的离心率范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】联立直线与椭圆方程，利用判别式列不等式，解出
的范围，进而得出离心率的范围．
【详解】将
代入椭圆
，消去
，可得
由已知直线与椭圆相离或相切，即
，解得
，即
设椭圆上任一点
，
则
到直线的距离为
，
，符合题意
则椭圆
的离心率
，
，
，
故选：A
4．（2023·江西·二模）已知双曲线E:
,其左右顶点分别为
,
,P 在双曲线右支上运动,若
的角平分线交x 轴于D 点,
关于
的对称点为
,若仅存在2 个P 使直线
与E 仅有一个交点,则E 离
心率的范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设直线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，我们可证直线
且
，
据此可求离心率的范围.
【详解】设直线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，由题设可得
不为右顶点.
设
，则
.
双曲线在
处的切线斜率必存在，设切线方程为
，
由
可得
，
整理得到：
，
19
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故
，
整理得：
即
，
故
，故切线方程为：
即
.
因为存在2 个P 使直线
与E 仅有一个交点，故由双曲线的对称性不妨设
在第一象限，
此时
，
均为锐角且存在唯一的
满足题设条件.故直线
与渐近线平行或与双曲线相切或
.
若直线
与渐近线平行，则
，而
为
的平分线，故其倾斜角
满足
，故
，故
，故
，但
,
故
，而
，由基本不等式可得
，
当且仅当
即
时等号成立，此时
，这不可能，故直线
与渐近线不平行.
若直线
与双曲线相切，且切点为
，双曲线在
的切线方程为：
，
故
且该切线的斜率为
，所以直线
的斜率为
.
此时
，
而
，
即
，故
，矛盾.
故直线
，所以
，而直线
的倾斜角为
，
因为直线
与双曲线有且只有一个交点，且
在
之间，故
，
20
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由
在第一象限内的唯一性可得存在唯一的
，使得
，
而
，故
，
所以
即
，所以
，故选：D.
【点睛】思路点睛：解析几何中圆锥曲线的离心率问题主要是根据题设构建基本量的方程或不等式，但在
构造过程中需要根据实际问题做合理的分类讨论并做合适的取舍.
3．（23-24 高三上·湖南·阶段练习）已知直线
与圆
在第一象限有两个公共点，其中
为正实数，且
，则双曲线
的离心率的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直线
与圆
在第一象限有两个公共点，则
，且
，
结合
，建立关于
的齐次不等式即可得到解决.
【详解】由已知，直线
与圆
在第一象限有两个公共点，
则
，且
，
由
，得
，又
，
所以
，即
，因为
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，
，所以
.
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
题型8 焦点弦与双余弦定理
21
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焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1.
焦点四边形具有中心对称性质。
2.
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3.
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
1．（24-25 高二上·四川泸州·期末）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，点
在
上，若
，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程
，即可求出离心率.
【详解】
由
，可得
在同一条直线上，
设
，则
，
由椭圆的定义，
则
因为
，则
即
，解得
，
所以
22
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在
中，
，
在
中，
，
则
，化简得
，即
,解得：
.
故选：B.
2．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，
离心率为
，点P 在C 上，
，则
的外接圆与内切圆的半径之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
中的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
，
，不妨设
，则
，利用正余弦定理以及三角形的面积公式可得
，结合离心率可求值.
【详解】设
中的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
，
，
不妨设
，则
，
中，由正弦定理，得
，
中，由余弦定理，得
，
∴
，
，
∵
，
∴
，∵
，∴
.
故选：D.
3．（2025·山东威海·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线
23
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与
的右支交于
两点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义和余弦定理可求答案.
【详解】设
，则
，
；
因为
，所以
，
在
中，
，解得
；
在
中，
，解得
，所以离心率为
.
故选：C
4．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：
的焦点分别为
，
，过
的直线与C
交于P，Q 两点，若
，
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，根据椭圆的定义可得
，从而得到点
为椭圆的上顶点或下顶点，在
中由余弦定理可得
的值，最后在
中由余弦定理可得结果.
【详解】设
，则
，
，
由
，可得
，
，所以点
为椭圆的上顶点或下顶点，
在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
，即
，
.
故选：B.
24
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题型9 焦点弦与定比分点型
过圆锥曲线的焦点F 的弦AB 与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
1．（24-25 高三浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆
：
的两个焦点为
，
，过
的直
线与椭圆
相交于
，
两点，若
，
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，结合题目所给条件及椭圆定义可得
，即可表示出
、
、
、
，
再借助余弦定理及
计算即可得解.
【详解】设
，则
，
，则
，
由椭圆定义可得
，故
，
即有
，
，
，则
，
则有
，
整理得
，即
.故选：C.
2．（24-25 高三·江苏盐城阶段练习）已知点
、
是椭圆
的左、右焦点，点M
25
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为椭圆B 上一点，点
关于
的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若
，则椭圆B
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得
，再结合题设得
，进而求
出
，再结合椭圆的定义以及余弦定理
即可求解.
【详解】由题意可知，
，
且
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
即
，
又
，所以
，
所以由余弦定理
得
，
整理得
，所以
即
.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键1 是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出
，关
键2 是利用
和
的关系求出
，再在
中结合余弦定理即可求解.
3．（24-25 高二上·河北石家庄·期中）设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
过点
.若点
关于的对称点
恰好在椭圆
上，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义、余弦定理列式，再结合
求解出离心率的值.
【详解】如图，由点
关于的对称点
恰好在椭圆
上，得
，
，
26
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由椭圆定义，得
，
在
中，由余弦定理得
，
则
，
又
，整理得
，又椭圆的离心率
，
于是
，而
，解得
，所以
的离心率
.
故选：C
4．（24-25 高三·安徽阜阳·阶段练习）已知
是椭圆
的一个焦点，
是
的上顶点，
的延长线交
于点
，若
，则
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的对称性可得
，由
算出
，可得
，然后在
中利用余弦定理求出
，再根据二倍角公式算出
，进而可得椭圆
的
离心率．
【详解】设
、
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆的焦距为
，连接
，
，
则
，由
，可得
．
在
中，由余弦定理得
，
结合
，可得
，解得
，
所以椭圆
的离心率
．
27
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故选：D．
题型10 焦点三角形双角型
设椭圆
（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在
△PF1F2 中，记
,
,
，则有
.[来源:学科网ZXXK]
设双曲线
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在
△PF1F2中，记
,
,
，则有
.
1．（23-24 高三·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，焦距为
若直线
与椭圆的一个交点M 满足
，则该椭圆的离心率等于
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由直线斜率得直线倾斜角，从而
的三个内角都能求出，可确定
是正三角形，于是
有
，把
点坐标代入椭圆方程，变形整理可解得．
【详解】如图，由题意得
，又
，∴
，
，
于是
是正三角形，∴
，
点
在椭圆上，∴
，整理得
，即
，
（
舍去），
．
故选：D.
28
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【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是列出关于
的一个等式，本题关键是由直线
的倾
斜角求出
的三个内角，可确定
是正三角形，这样把
点坐标用表示后，代入椭圆方程即
得．
2．（22-23 高三下·四川成都·开学考试）已知
，
分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，
且
，设
，当
的范围为
时，双曲线C 离心率的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简，
根据已知角范围求解即可.
【详解】在
中，
由
．
因为
，所以
，
所以
，所以
．
故选:A.
3．（24-25 高三下·江苏扬州·期末）设双曲线C：
的左、右焦点为
，
，左、
右顶点为
，
，P 为双曲线一条渐近线上一点，若
，则双曲线C 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两直线垂直，斜率关系得到
，从而得出P 在
正上方，再由
得到
，
最后由离心率的齐次式求解.
【详解】由已知，设
，
，
29
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因为
，
，
所以
，即有
，
所以
，则
，即
，即P 在
正上方，
根据
，且
，则
，
得
，即
，
.
故选：B
4．（25-26 高三上·广东·阶段练习）记椭圆
的左、右焦点分别为
，其上存在
两点
构成的四边形
满足
，则
离心率的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如下图，由椭圆性质可知
，
，
，结合
推出四边形
共圆，因为
关于
轴对称，所以圆心必位于
轴上，设圆心为
，半径为，则圆的方程为
，代入
得
，结合椭圆性质联
立椭圆方程得出
，由
推出
，联立方程推出
，进
而得出
，从而得出答案.
【详解】
由椭圆的性质可知，
，
，
.
因为
，则
，即四边形
对角互补，
30
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所以四边形
共圆.因为
关于
轴对称，所以圆心必位于
轴上，
设圆心为
，半径为，则圆的方程为
,代入
可得，
.
联立
，已知该方程有两个实数解，即
的纵坐标，
所以
,所以
.
又因为
，所以
.令
，
，
则
，
.
又因为
，所以
.
所以
，所以
，当且仅当
时取等号.故选：C.
题型11 渐近线型离心率
双曲线渐近线性质：
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）一直线交双曲线
的渐近线于A.B 两点。A,B 的中点为M，则
.
（4）过双曲线
上任意一点P 做切线，分别角两渐近线于M,N 两点，O 为坐标原点则有如下
结论：
①OM·ON=a2+b2；②
；③
1．（2025·新疆喀什·二模）已知
的顶点
分别为双曲线
的左、右焦
点，点
在
的右支上，且
与
的一条渐近线垂直，记
的离心率为，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】根据双曲线渐近线性质以及垂直关系可得斜率关系，设
，可得
，所以
；在
中利用正弦定理以及三角恒等变换可得
，
，再
结合双曲线定义以及离心率表达式化简即可得出
.
【详解】如下图所示：
可知
，
双曲线
的渐近线方程为
，不妨取渐近线
，
因为
与渐近线
垂直，所以直线
的斜率为
，
设
，可得
，所以
；由
可得
，
在
中利用正弦定理可得
，
可得
，
；再利用双曲线定义可得
整理可得
，因此可得
.故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用渐近线斜率以及垂直关系得出
，再由
中的
正弦定理得出其边长，利用双曲线定义可得
，即可求得
.
2．（20-21 高二上·福建·期中）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
、
，过
的直线与
的两条渐近线分别交于
、
两点，若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题首先可结合题意绘出图像，结合已知条件得出
、
以及直线
的方程
为
，然后联立直线
的方程与渐近线方程，求出
点坐标，再然后根据
得出
，
最后根据
以及离心率计算公式即可得出结果.
【详解】如图，结合题意绘出图像：
32
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因为
，
，
是
中点，
所以
是
中点，
，
，
，
因为直线
是双曲线
的渐近线，
所以
，
，直线
的方程为
，
联立
，解得
，
则
，整理得
，
因为
，所以
，
，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求法，能否根据题意求出
点坐标以及
是解决本题
的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是难题.
3．（20-21 高三广东广州·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
过
作一条渐近线的垂线，垂足为点
，与另一渐近线交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据题意设出直线
的方程，然后分别联立直线方程求解出
坐标，根据向量共线对应的纵
坐标关系求解出
的关系，则离心率可求.
【详解】不妨设过
的直线
与
垂直，所以
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
33
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又因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
故选：B.
【点睛】方法点睛：求解双曲线离心率的值或范围的常用方法：
（1）根据双曲线的方程直接求解出
的值，从而求解出离心率；
（2）构造关于
的齐次方程，求解出
的值，从而离心率可知；
（3）根据离心率的定义以及双曲线的定义求解离心率；
（4）利用双曲线及图形的几何性质构建关于的不等式，从而的范围可求.
4．（2020·辽宁丹东·二模）已知
为双曲线
：
的一个焦点，过
作
的一条渐近
线的垂线，垂足为点
，与
的另一条渐近线交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】画出图形，利用渐近线的夹角，通过求解三角形推出双曲线的离心率即可.
【详解】如图所示，
可知：
，
，
，
，
，
可得
，
，即
可得
，
解得：
或
因为
，所以
，
所以
舍去，
故选：C
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有
两种方法：
①求出
，，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于
，
，的齐次式，结合
转化为
，的齐次式，然后等式(不
等式)两边分别除以
或
转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得( 的取值范围)．
34
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题型12 渐近线中点型离心率
对于渐近线型中点，可以从以下两方面来考虑：
1.一直线交双曲线
的渐近线于A.B 两点。A,B 的中点为M，则
.
2.直接计算。可以通过联立方程等计算对应坐标。
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，过点
的直线与双曲线
的两条渐近线相交于
两点，若线段
的中点是
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出直线的方程，由双曲线方程得到两渐近线方程，分别联立直线与两渐近线方程，得到
点坐标，结合
的中点为
，可得结论．
【详解】
直线的斜率不存在时，
应该在
轴上，不符合题意，
直线的斜率为0 时，
两点重合，不符合题意，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线
，
双曲线的两条渐近线方程分别为
，
联立
解得
，不妨令
，
联立
，解得
，则
，
因为线段
的中点为
，所以
，即
，
35
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②式两边分别平方得
③，将①代入③并化简可得
，
所以离心率
.
故选：D．
2．（20-21 高三四川内江·阶段练习）已知双曲线
：
，
，过点
的直线交
于
，
两点，
为
的中点，且直线
与
的一条渐近线垂直，则
的离心率为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】利用点差法，结合互相垂直直线的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设
，代入双曲线方程中得：
，
两式相减得：
，
因为
为
的中点，所以
，所以
，
由题意可知：
，
所以
，
故选：B.
3．（20-21 高三上·安徽亳州·期末）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，
交另一条渐近线于
，且
为
的中点，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设一渐近线方程为
，则
的方程为
，代入渐近线方程求得
的坐标，由
中点公式求得中点
的坐标，再把点
的坐标代入渐近线方程求得离心率．
【详解】解：由题意可知，一渐近线方程为
，则
的方程为
，代入渐近线方程
可得
的坐标为
，故
的中点
，根据中点
在双曲线的渐近线
上，
，
，故
，故选：
．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出
的中点
的坐标是解题的
关键，属于基础题．
36
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4．（24-25 高三·甘肃兰州·阶段练习）已知双曲线
的右焦点为
，右顶点为
，
过点
且与
轴垂直的直线与
在第一象限交于点
，直线
与
的渐近线在第一象限交于点
，若
是
的中点，则
的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用双曲线方程求得
，
，利用中点坐标公式求得
，结合点
在渐近
线方程
上，可求得离心率.
【详解】由双曲线
，可得右焦点
，右顶点
，
过过点
且与
轴垂直的直线方程为
，代入双曲线方程可得
，
解得
，又因为点
在第一象限，故
，
因为
是
的中点，所以由中点坐标公式可得
，
直线
与
的渐近线交于点
，又渐近线方程
，
所以
，所以
，两边平方得
，
所以
，所以
，所以
，所以双曲线
的离心率为
.故答案为：
.
.
题型13 共焦点椭圆与双曲线离心率
椭圆与双曲线共焦点
、
，它们的交点
对两公共焦点
、
的张角为
，椭圆与双曲
线的离心率分别为
、
，则
1．（24-25 高三下·山东·开学考试）已知
，
是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
，
的垂直平分线经过点
.若椭圆的离心率为
，双曲线的离心率为
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
的垂直平分线经过点
，可得
，再利用椭圆和双曲线定义，可得到
37
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，故
，利用对勾函数性质求出
的范围.
【详解】不妨设设双曲线的实轴为
轴，中心为原点，
根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图.
因为
的垂直平分线经过点
，所以
，
记椭圆长半轴长为
，双曲线实半轴长为
，由椭圆的定义得
，所以
；
由双曲线的定义得
，所以
.所以
，所以
，
所以
.所以
，
又
，所以
，
，由函数
在
单调递减，可得
，
所以
，所以
.故选：B.
2．（24-25 高二下·湖南·期末）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，点
为椭圆
与双曲线
的交点，
且
，则当
取最大值时，
的值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
为第一象限的交点，
，
，由椭圆、双曲线定义可得
，
，
结合余弦定理、离心率公式可得
，由不等式
及其取等条件即可求解.
【详解】设
为第一象限的交点，
，
，
则
，
，解得
，
，
在
中，由余弦定理得
，
，
，
38
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，
，
，
，即
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，此时
，
故选：D．
3．（24-25 高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆
与双曲线
有相同的左、右焦点
，
，
为椭圆
与双
曲线
在第一象限内的一个公共点，设椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，
，且
，若
，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据椭圆、双曲线的定义结合勾股定理整理可得
，结合
解得
，进而可求
渐近线方程.
【详解】设椭圆
的半长轴长为
，双曲线
的半实轴长为
，半虚轴长为
，焦距均为
，
，
，
，则
，
，
由题意可得：
，因为
，则
，
可得
，即
，又因为
，即
，可得
，解得
，
可得
，且双曲线
的焦点在x 轴上，
所以双曲线
的渐近线方程为
.故选：D.
4．（23-24 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点为
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，点
为椭圆
与双曲线
的交点，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】设P 为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义结合勾股定理化简得到
，再利用柯西
不等式即可得解.
【详解】依题意，不妨设P 为第一象限的交点，
，则
，
因为在
中，
，所以
，即
，
则
，即
，
所以
，即
，
由柯西不等式得
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
此时满足
，所以
的最大值为
.
故选：D.
题型14 焦点三角形四心：内心
双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x=a(−b< y<b, y≠0).
证明：设内切圆与
的切点分别为
，则由切线长定理可得
,因为
，
，所以
，所以点
的坐标为
，所以点
的横坐标为定值a.
40
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1．（24-25 高二下·江苏南京·期中）已知O 为坐标原点，离心率为3 的双曲线
左、
右焦点分别为
，过点
且倾斜角为锐角的直线l 与C 的右支交于M，N 两点．设△MF1F2与△NF1F2
的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ 的斜率分别是
，则
＝（）
A．－4
B．
C．4
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义以及内切圆的性质可求出
，假设直线的倾斜角为
，则
，
进而在
中可求出
，进而可求
，同理可求出
，结合离心率进而求解
【详解】如图所示，设
的内切圆和三边分别相切于点
，
则
，
又
，所以
，所以
．
所以
，
设直线的倾斜角为
，则由内切圆的性质可得
，
在
中，
所以
；
因为双曲线的离心率
，所以
同理可得
，所以
；
所以
，
故选：A．
2．（2025 高二·全国·专题练习）如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
是椭圆上的点，
的内切圆的圆心为
，延长
，交
轴于点
，若
，则椭圆的离心率等于
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解法一：通过三角形内切圆的圆心是内角平分线的交点，利用角平分线的性质转化得到
和的
等量关系．
解法二：利用三角形的面积关系转化得到
和的等量关系．
【详解】解法一：因为
是
的内心，
由内角平分线定理得
，
则
，所以
，
故选：B．
解法二：设内切圆的半径为，
则
，
，
所以
，
由已知条件
，得
，
所以
，得
，即
，
故选：B．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知点
在离心率为
的双曲线
上，
为双
曲线的两个焦点，且
，则
的内切圆半径与外接圆半径
之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
，
，易得
，且
，
，根据几何关
系、双曲线的定义得
，即可得.
【详解】由
，知
，设
，
，又
，
42
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则
，
，
①，
②，
设
，则
，即
③，
由①②③，整理得
.
故选：B
4．（2025·河南·三模）设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为A，直线
交C 于另一点B，
的内切圆与
相切于点P，若
，则椭圆C 的离心率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
是内切圆与
的切点，根据已知及椭圆的定义、对称性，圆的切线长性质，得到
，整理即可解出.
【详解】由题意，如图所示，
是内切圆与
的切点，
因为左、右焦点分别为
，
，上顶点为A，（椭圆参数关系
），
由
，结合对称性、圆的切线性质，令
，
且
，所以
，
所以
，可得
，故
，
故选：C
题型15 焦点三角形四心：重心
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离心率(离心率范围)的求法
1.求离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，
c 代换，求
的值．
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
1．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆
上有动点
在任意位置时，总存在椭圆上
的另外两点
，使
的重心为右焦点
，则椭圆
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先利用点
坐标表示
的中点
的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，
表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解.
【详解】设
，
的中点为
，由
，
得
，而
，
故
，即
，整理得
，
因为
的任意性，此不等式恒成立，故
，即
，
解得
.故椭圆
的离心率的取值范围为
.故选：C.
2．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆
的右焦点为
，上顶点为
，
直线：
交椭圆于
，
两点，若
恰好为
的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设线段
的中点为
，利用点差法可得
，由三角形重心的性质知
可求
得
，从而可得
，即可求离心率．
【详解】设
，线段
的中点为
，又
为椭圆上两点，则
，
以上两式相减得
，即
，
所以
，即
，因为
，所以
，
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由三角形重心的性质知
，又
，
则
，解得
，即
，
所以
，化简得
，即
，即
，解得
或
，又
，所以
，即
，从而
，
则椭圆的离心率为
．故选：B．
3．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）已知椭圆
的上焦点为
，右顶
点为B，斜率为
的直线l 交椭圆
于
，
两点，若
恰好为
的重心，则椭圆
的离心率为
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】延长
交
于点M，可得点M 为
的中点，设
.根据点
为
的重心，
列方程可求得点
的坐标.由点差法可得
.将
代入整理得
，
再结合
即可求解.
【详解】延长
交
于点M，所以点M 为
的中点，设
.
因为
，点
为
的重心，
所以
即
，所以
.
因为点
在椭圆
上，
所以
，两式相减得
，即
，
整理得
.
因为
，所以
，即
，
所以
，解得
或
.
45
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又因为
，所以
，
，所以
.
故选：D.
4．（23-24 高二上·湖南·期中）已知双曲线
：
，
和
分别为实轴的右端点和虚
轴的上端点，过右焦点
的直线交
的右支于
，
两点.若存在直线使得点
为
的重心，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据三角形重心公式得到线段
中点
，根据
建立等式计算即可得到.
【详解】依题意，
，
，
，
设
，
，则
的中点
，
因为点
为
的重心，则
，
，
所以
中点
，
因为
，
，
两式作差得：
，化简得
，即
，
因为
，又因为
，
，
，
四点共线，所以
.
故
，解得
，故
.
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故选：A.
题型16 切线型求离心率
圆的切线：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－
b)(y－b)＝r2.
同理，椭圆与双曲线的切线与切点弦统一方程为：
1．（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭圆
上除顶点外的任意一点，椭圆
在点
点处的切线为直线，过
作直线的垂线，垂足
在圆
上，当
时，
，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，作出图形，结合椭圆的光学性质求出
即可.
【详解】延长
至
，使
，连接
，
由直线是椭圆
在点
点处的切线，且
，得
三点共线，
，
而
为
的中点，则
，即
，
令椭圆半焦距为，当
时，设
，则
，解得
，
，即
，
所以椭圆
的离心率
.故选：B
2．（2025 高三·全国·专题练习）简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图所示，内外两圈的
47
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钢骨架是离心率相同的椭圆，由外层椭圆顶点向内层椭圆引切线
．设内层椭圆方程为
，则外层椭圆方程可设为
．若直线
与
的斜率
之积为
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求解椭圆上一点处的切线方程为
，进而可得切线
与
的方程，即可求解两直
线的斜率，以及切点坐标，即可根据斜率之积列方程，从而可求得离心率的值.
【详解】先证明：椭圆
上一点
，
的切线方程为
．
由椭圆
，可得，
，当
时，
，求导可得：
，
当
时，
，
切线方程为
，
整理为：
，两边同时除以
得：
．
同理可证：
时，切线方程也为
．当
时，切线方程为
满足
．
综上，过椭圆上一点
,
的切线方程为
．
设
，则切线
与
的方程分别为
，
则
，将
分别代入
与
的方程中得
，解得
，将
代入椭圆
中，得
，结合图形可得
，故
，
，由于椭圆在运动变化过程中，直线
与
的斜率之积为常数
，
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，故
，即
，故可得
．
故选：A．
3．（2025·湖南长沙·二模）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，过点
向圆
引切线交椭圆于点
（在
轴上方），若
的面积为
，则椭圆的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先证明
即为椭圆的上顶点,再根据面积列出
的等式求离心率即可.
【详解】如图，
设圆
与
轴切于点
，与
切于点
，设椭圆与
轴
正半轴交于点
，下面证明
重合，设
，
,
，而
，
与
重合，即点
是短轴的端点，
，
，
则
，所以
，故选：C.
4．（2014·河北唐山·二模）已知椭圆
与圆
，若在椭圆
上存在点
，使得过点
所作的圆
的两条切线互相垂直，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】若长轴端点
，由椭圆性质：过
的两条切线互相垂直可得
，结合
求
椭圆离心率的范围.
【详解】在椭圆
的长轴端点
处向圆
引两条切线
，
，
若椭圆
上存在点
，使过
的两条切线互相垂直，则只需
，即
，
49
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∴
，得
，∴
，又
，
∴
，即
．故选：C
题型17 小题大做与韦达定理型
韦达定理型解题思维：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
1．（2023·河北衡水·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆E 以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为
A，B，点P 为第一象限内椭圆上的一点，P 关于x 轴的对称点为Q，过P 作椭圆的切线，若
，且
的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E 的离心率为e，则
的值为 .
【答案】
【分析】分焦点在
轴和
轴两种情况进行求解，先考虑焦点在
轴上时，根据题目条件得到
，
，即
，
，再得到椭圆在
处的切线方程斜率为
，
得到
，设
，结合点
在椭圆上，
，求出
，得到
，求出
，再用同样的方法考虑焦点在
轴上时，求出离
心率为复数，舍去，得到答案.
【详解】设椭圆方程为
，则
，
设
，故
，因为
的垂心恰好为坐标原点O，
所以
，
，即
，即
，
，
下面证明椭圆在
处的切线方程斜率为
，理由如下：
因为
时，故切线的斜率存在，设切线方程为
，
代入椭圆方程得：
，
由
，化简得：
，即
，
因为点
在椭圆上，所以
，
，
50
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所以
，即
，即
，解得：
，
所以
，化简得：
，即
，设
，
同除以
得：
，
即
，故
，因为点
在椭圆上，所以
，
即
，即
，因为
，所以
，即
，
将
代入
中，可得：
，即
所以
，设椭圆方程为
，此时
，
同理可得：
，
此时椭圆在
处的切线方程斜率为
，
所以
，化简得：
，设
，
同除以
得：
，
即
，故
，因为点
在椭圆上，所以
，
即
，即
，因为
，所以
，即
，
将
代入
中，可得：
，
所以
（舍去）；故答案为：
【点睛】过圆
上一点
的切线方程为：
，
过椭圆
上一点
的切线方程为
，
过双曲线
上一点
的切线方程为
.
2．（2023·云南昆明·一模）椭圆
：
的左，右焦点分别为
，
，上顶点为
，
离心率为
，直线
将
分成面积相等的两部分，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件求得
，根据直线
与
轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不
等式来求得
的取值范围.
【详解】依题意，
，解得
，所以椭圆
的方程为
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，由于
，
，所以
是等
腰直角三角形，所以
，直线
的方程为
，直线
的方程为
，
设直线
与
的交点为
，与
轴的交点为
，
①当
与
重合时，
，则
，所以
，解得
.
②当
在
之间时，
， 所以
，
由
解得
，
，由
令
，得
，
所以
，所以
，整理得
，由
解得
.
③当
在
左侧，则
，
，设直线
与
的交点为
，
由
解得
，因为
，
所以
，
，所以
，
所以
，所以
.
综上所述，
的取值范围是
.故答案为：
【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据已知条件求得
，
是个未知数，需要个条件，其中
一个条件是
，另外的两个条件由题目给出，如本题中的
点坐标以及离心率，通过解方程组可
求得
，进而求得椭圆的方程.
3．（23-24 高二下·广东揭阳·期末）已知椭圆
的左右焦点分别为
､
为
上且
不与顶点重合的任意一点，
为
的内心，
为坐标原点，记直线
的斜率分别为
，
，若
，则
的离心率为 .
【答案】
/
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【分析】设
，设圆与
轴相切于点
，结合圆的切线长的性质证明
，结合椭圆性质可得
，由内切圆性质可得
，由条件确定
关系，
由此可求离心率.
【详解】设
，设圆与
轴相切于点
，则
，
又
，
，
所以
，所以
，
即
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，
则
，所以
，
所以
，所以
，∴
，
∴
，由三角形面积相等，得
，
，
，
，所以
，
，即得
.
故答案为：
.
.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常
见有两种方法：
①求出
，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，结合
转化为
的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以
或
转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得( 的取值范围)．
4．（23-24 高二上·上海青浦·期末）已知椭圆
（
）的离心率为
，其上焦点
与抛
物线
的焦点重合．若过点
的直线交椭圆
于点
，过点
与直线
垂直的直线
交抛物
线
于点
（如图所示），则四边形
面积的最小值为 ．
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【答案】
【分析】先由条件求得椭圆方程，再分类讨论直线
斜率存在与否，联立直线
与椭圆方程求得
，
联立直线
与抛物线方程求得
，从而得到四边形
面积关于
的表达式，由此得解.
【详解】由题意得
，即
，又
，所以
，
由
，得
，所以椭圆的方程为
.由题意得过点
的直线
的斜率不为零，
当直线
的斜率存在时，设直线
方程为
，
设
，
，
，
，
联立
，消去
得
，易知
，则
，
，
所以
，抛物线
的方程为
，直线
方程为
，联立
，消去
得
，则
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
，
；
当直线
的斜率不存在时，
，
，所以
；
综上，
，所以四边形
面积的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，注意
的判断；
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（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
结束
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