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2025 二轮复习专项训练28
定点、定值问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题
是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较
大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、定点问题
求解定点问题常用的方法
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一
般性证明．
(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到
定点坐标．
(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．
二、定值问题
求圆锥曲线中定值问题常用的方法
(1)引出变量法：其解题流程为
→
↓
→
↓
→
(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
一、单选题
1．（22-23 高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线
过点
，动点
M，N 为C 上的两点，且直线AM 与AN 的斜率之和为0，直线l 的斜率为
，且过C 的焦
点F，l 把
分成面积相等的两部分，则直线MN 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高二上·山东济宁·期末）已知双曲线
，抛物线
1
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的焦点为
，抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，若
为正三角形，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（22-23 高三上·山东东营·期末）已知椭圆
与直线
交于
两点，记直线与
轴的交点为
，点
关于原点对称，若
，则
（ ）
A．
B．椭圆
过
个定点
C．存在实数
，使得
D．
4．（2023·江苏·二模）已知椭圆
，点
为右焦点，直线
与椭圆交
于
两点，直线
与椭圆交于另一点
，则（ ）
A．
周长为定值
B．直线
与
的斜率乘积为定值
C．线段
的长度存在最小值
D．该椭圆离心率为
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角的正切值
为
.若直线
（
且
）与双曲线交于A，B 两点，直线
，
的
2
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斜率的倒数和为
，则直线
恒经过的定点为 .
6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，
为
上的两个动点，且直线
与
斜率之积为
（
为坐标原点），则椭圆
的
短轴长为 ，
.
四、解答题
7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端
点为顶点的四边形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于
不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
8．（23-24 高三上·上海闵行·期中）已知双曲线
：
的离心率为
，
点
在双曲线
上．过
的左焦点F 作直线交
的左支于A、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
D
C
AB
BCD
3
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1．D
【分析】由题意求出抛物线方程为
，设
，直线
，
联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由
，可求出
，再求出直线l 的方
程，由题意可转化为
到直线
的距离为
到直线
距
离的
，代入求解即可得出答案.
【详解】因为抛物线
过点
，
所以
，解得：
，所以
，
设
，
直线
，代入
中整理得
，
所以
,
，
所以
，即
，
则
，解得：
，
所以直线
，
直线l 的斜率为
，且过C 的焦点
，
所以
，则
到直线的距离为
，
所以l 把
分成面积相等的两部分，因为直线与直线
平行，
所以
到直线
的距离为
到直线
距离的
，
4
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，解得：
或
（舍去）.
所以直线MN 的方程为
.
故选：D.
2．C
【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出
两点坐标，利用
为正三角
形，列方程解系数既可.
【详解】双曲线
的两条渐近线方程为
，
抛物线
的焦点为
，准线方程为
，不妨取
，
，
为正三角形，由对称性可知，直线
的倾斜角为
，则
，解得
，
所以双曲线
的两条渐近线方程为
.
故选：C
3．AB
【分析】将椭圆方程与直线方程联立可得韦达定理的结论，利用垂直关系的向量表示，结
合向量数量积坐标运算和韦达定理可整理得到A 正确；由A 中结论变形可得
，
由此可得椭圆所过四个定点坐标，知B 正确；利用弦长公式表示并化简得到
，根据
可求得
的范围，由此可知C 错误；令
5
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，可解得
，知D 错误.
【详解】设
，
，
由
得：
，
则
，
，
，
；
对于A，由题意知：
，
，
，
，
即
，
，
，A 正确；
对于B，由
知：
，则当
时，椭圆方程恒成立，
椭圆
过定点
，
，
，
，共
个，B 正确；
对于C，
，
即
6
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；
又
，
，
，即
，
不存在实数
，使得
，C 错误；
对于D，令
，解得：
，
存在实数
使得
，D 错误.
故选：AB.
4．BCD
【分析】通过
取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断
B，确定线段
取最小值的条件即可判断C，确定
、的值即可求出离心率从而判断
D．
【详解】该椭圆中
，则
，
所以离心率为
，故D 正确；
设
，
，
，
则在
、
斜率都存在的前提下有
，
，
于是
为定值，故B 正确；
7
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由题意可设
的方程为
，
联立
，消
得
，
则
，
所以
，
则当
时，
，
所以线段
的长度存在最小值，故C 正确.
当
时，直线
与椭圆
交于点
和
，
不妨取点
为
，得直线
方程为
，
求得交点
为
，
则
，
，
，此时
的周长为
，
当
时，联立
，解得
，不妨取
，
则
垂直于
轴，此时
，
，
，
此时
的周长为
，
显然
周长不为定值，故A 错误；
8
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故选：BCD．
5．
【分析】先根据渐近线的倾斜角算出
，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定
理找到
的关系，从而得到定点.
【详解】因为双曲线方程为
一条渐近线的倾斜角的正切值为
.所以
，解得
，所以双曲线方程为
.
设
，
，联立
得
，
.
由韦达定理得
，
.
因为
，所以
.
所以
，由题意知
，此时
.
所以直线方程为
，恒经过的定点为
.
9
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故答案为：
6．
【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得
，由此可得短轴长及椭圆方程；设
，
，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到
，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结
果.
【详解】
椭圆
的长轴长为
，
，又离心率
，
，
椭圆
的短轴长为
，
椭圆
；
设
，
，
，
，
.
故答案为：
；.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角
换元的方式，结合斜率关系得到
所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.
7．(1)
(2)
10
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【分析】（1）由题意得
，进一步得
，由此即可得解；
（2）设
，
，联立椭圆方程，由韦达定理有
，而
，令
，即可得解.
【详解】（1）由题意
，从而
，
所以椭圆方程为
，离心率为
；
（2）直线
斜率不为0，否则直线
与椭圆无交点，矛盾，
从而设
，
，
联立
，化简并整理得
，
由题意
，即
应满足
，
所以
，
若直线
斜率为0，由椭圆的对称性可设
，
所以
，在直线
方程中令
，
得
，
所以
，
11
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此时
应满足
，即
应满足
或
，
综上所述，
满足题意，此时
或
.
8．(1)
；
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】(1)根据题意列式求
，进而可得双曲线方程；
(2)设
，联立方程，利用韦达定理判断
是否为零即可；
(3)用
两点坐标表示出直线
，得点
坐标，表示出
，结合韦达定理，证明
为定值．
【详解】（1）由双曲线
的离心率为
，且
在双曲线
上，
可得
，解得
，∴双曲线的方程为
．
（2）双曲线
的左焦点为
，
当直线的斜率为0 时，此时直线为
，与双曲线
左支只有一个交点，舍去；
当直线的斜率不为0 时，设
，
联立方程组
，消
得
，易得
，
12
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设A(x1, y1),B(x2, y2)，则
，可得
，
∵
，
则
，
即
，可得
与
不垂直，
∴不存在直线，使得点
在以
为直径的圆上．
（3）由直线
，得
，
∴
，又
，
∴
，
∵
，∴
，且
，
∴
，即
为定值．
【基础保分训练】
一、单选题
13
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1．（22-23 高二上·北京丰台·期末）设圆
，直线
，
为上的动
点．过点
作圆
的两条切线
，切点为
，给出下列四个结论：
①当四边形
为正方形时，点
的坐标为
②
的取值范围为
③当
为等边三角形时，点
坐标为
④直线
恒过定点
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（21-22 高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l 与抛物线
交于不同的两点A，B，O
为坐标原点，若直线
的斜率之积为
，则直线l 恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上（异
于顶点），
（点
为坐标原点），过点
作直线
的垂线与
轴交于点
，
则
（ ）
A．6
B．
C．4
D．
4．（22-23 高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线
：
，点P 为曲线
在第三象
限一个动点，以下两个命题，则（ ）
①点P 到双曲线两条渐近线的距离为
，
，则
为定值.
②已知A、B 是双曲线上关于原点对称不同于P 的两个点，若PA、PB 的斜率存在且分别为
14
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，
，则
为定值.
A．①真②真
B．①假②真
C．①真②假
D．①假②假
二、多选题
5．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知
是抛物线
的焦点，
是
上的两点，
为原点，则（ ）
A．若
垂直
的准线于点
，且
，则四边形
的周长为
B．若
，则
的面积为
C．若直线
过点
，则
的最小值为
D．若
，则直线
恒过定点
6．（22-23 高二下·浙江·开学考试）设
为双曲线
：
上一动点，
，
为上、
下焦点，
为原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点
，则
最小值为7
B．若过点
的直线交
于
两点（
与
均不重合），则
C．若点
，
在双曲线
的上支，则
最小值为
D．过
的直线交
于
、
不同两点，若
，则有4 条
7．（22-23 高二上·湖南衡阳·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫
做“阿基米德三角形”.如图
是抛物线
的阿基米德三角形，弦AB
经过焦点F，又BC，AD 均垂直于准线l，且C，D 为垂足，则下列说法正确的有（ ）
15
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A．以AB 为直径的圆必与准线l 相切于M 点
B．
为定值4
C．
为定值
D．
有最小值
8．（22-23 高三上·广东云浮·阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
左、右顶点分别是
，点
是椭圆
上异于
的任意一点，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．若
的面积为
，则点
的横坐
标为
C．存在点
满足
D．直线
与直线
的斜率之积为
三、填空题
9．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C：
，圆E：
，直线
OA，OB 分别交抛物线于A，B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积等于
，则直线
AB 被圆E 所截的弦长最小值为 ．
16
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10．（22-23 高二上·山东枣庄·期末）设椭圆
的上顶点为
，且长轴长为
，过
任作两条互相垂直的直线分别交椭圆
于
，
两点，则直线
过定点 ．
11．（2022 高三·全国·专题练习）已知椭圆
左顶点为
，
为椭圆
上两动
点，直线
交
于
，直线
交
于
，直线
的斜率分别为
且
，
（
是非零实数），求
.
12．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知
为双曲线
上一点，以
为切点的切线为
，直线与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，则
（
为坐标原点）的面积为
．
四、解答题
13．（2024·浙江杭州·二模）已知
是椭圆
的左，右顶点，点
与椭圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点
的坐标.
(2)过点
作直线交椭圆
于
两点（与
不重合），连接
，
交于点
.
（ⅰ）证明：点
在定直线上；
（ⅱ）是否存在点
使得
，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
14．（2023·江苏南通·一模）已知双曲线
的左顶点为
，过左焦
17
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点
的直线与
交于
两点.当
轴时，
，
的面积为3.
(1)求
的方程；
(2)证明：以
为直径的圆经过定点.
15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆
的左、右焦点为
，
，离
心率为
．点P 是椭圆C 上不同于顶点的任意一点，射线
、
分别与椭圆C 交于点
A、B，
的周长为8．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若
，
，求证：
为定值．
16．（23-24 高二上·浙江·期中）已知双曲线
的右焦点
，离心
率为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点
直线与双曲线交于
两点，设直线
的斜率分别为
，
求证：
为定值.
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
A
A
BCD
CD
ABC
BD
1．B
【分析】对于①，当四边形
为正方形时，利用
，求出
，
18
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再设
，利用
，解方程
，可知①不正确；
对于②，设
，利用
，
以及二次函数
知识可得
；故②正确
对于③，根据
为等边三角形，可得
，
，设出点
的
坐标，利用
可求出结果；
对于④，设出点
的坐标，求出以
为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共
弦
的方程，将
代入直线
的方程恒成立，可得答案.
【详解】对于①，当四边形
为正方形时，
，
又圆
的圆心
，半径
，
所以
，
设点
，则
，
所以
，
化简得
，该方程的判别式
，该方程无解，
所以不存在点
使得四边形
为正方形，故①不正确；
对于②，由①可知，
，即
的取值范围为
，故②正确；
对于③，设点
，则
，
当
为等边三角形时，可知
，
又
平分
，所以
，
19
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在直角三角形
中，由于
,
所以
，即
，所以
，
又点
，所以
，
化简得
，解得
，所以
，则
，故③不正确；
对于④，设点
，则
，
，
以
为直径的圆的圆心为
，半径为
，
所以以
为直径的圆的方程为
，
化简得
，
联立
，得
，
所以直线
的方程为：
，
将
代入直线
的方程恒成立，
故直线
恒过定点
，故④正确.
所以正确的答案有2 个，
故选：B.
2．A
【分析】设出直线方程
，联立抛物线方程，得到
，进而得
到
的值，将直线
的斜率之积为
，用A,B 点坐标表示出来，结合
的值即可
求得答案.
20
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【详解】设直线方程为
，
联立
，整理得：
，
需满足
，即
，
则
，
由
，得：
，
所以
，即
，
故
，
所以直线l 为：
，当
时，
，
即直线l 恒过定点
，
故选：A.
3．A
【分析】设
，由
，得
为
的中点, 表示
的方程，求出点
的
坐标，结合抛物线的定义求得结果.
【详解】法一：依题意，设
，由
，得
为
的中点且
，
则
，易得直线
的垂线
的方程为
.
令
，得
，故
，由抛物线的定义易知
，
故
，
故选:A.
21
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法二：特殊值法.不妨设
，则
，则
，易得直线
的垂线
的方程
为
.令
，得
，故
，又
，故
.
故选:A.
4．A
【分析】
根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算
判断①，利用斜率
坐标公式计算判断②作答.
【详解】依题意，设
，且有
，双曲线
的渐近线为
，
因此
为定值，①真；
设
，则
，且
，显然
，
否则，
之一垂直于y 轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x 轴，其斜率不存在，
不符合题意，
则
为定值，
②真，
所以①真②真.
故选：A
5．BCD
【分析】对于A，由条件可得
垂直于
轴，然后可得四边形
的周长，对于B，由
条件可得点
的横纵坐标，即可得
的面积，对于C，设直线
，然后联
22
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立抛物线的方程消元，然后得到
，然后结合基本不等式可得
的最小值，对
于D，设直线
，然后联立抛物线方程消元，然后由
可求出的值.
【详解】
对于选项
，由题意知
，且
垂直于
轴，根据抛物线的定义可知
.
设
与
轴的交点为
，易知
，
故
，
所以四边形
的周长为
，选项
错误；
对于选项
，由题意得
，解得
，所以
，
从而
，选项
正确；
对于选项
，若直线
过点
，设直线
，
联立直线
与抛物线方程得
，易得
，
则
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，选项C 正确；
对于选项D，设直线
，联立直线
与抛物线方程得
，
23
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则
，即
，
，所以
，
由
可得
，
即
，解得
，
故直线
的方程为
，即直线
恒过定点
，选项D 正确.
故选：BCD.
6．CD
【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.
【详解】由双曲线
：
，得
，设
，
则
，当且仅当
时取等号，所以
最
小值为
，故A 错误；
设
两点坐标分别为
，
，
当
时，有
，
又因为
，所以
；
当
时，
有一个不存在； 故B 错误；
，故C 正确；
由双曲线
：
，可得通径长为
，且实轴长
，所以这样的直
线有4 条，故D 正确.
24
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故选：CD
7．ABC
【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，
两角和的正切公式代入即可求解.
【详解】
先证明出抛物线
在其上一点
处的切线方程为
证明如下：
由于点
在抛物线
上，
则
，
联立
即
，
，
所以抛物线
在其上一点
处的切线方程为
25
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设
，
，设直线AB 的方程为
，
联立
消去x 得
，
根据根与系数的关系可得
，
又抛物线
在点A 处的切线方程为
，即
同理可知，抛物线
在点B 处的切线方程为
，
由题意知
，
，
直线MA 的斜率为
，直线MB 的斜率为
，
，
所以，
，即点M 在以AB 为直径的圆上，
联立
，
解得
，
所以点M 的横坐标为
，
所以点M 在抛物线的准线上，即以AB 为直径的圆必与准线l 相切于M 点，
故A 正确;
当AB 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性可知，点 M 为抛物线的准线与x 轴的交点，
26
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此时
，则
，
，
又此时
，则
为定值4，
当AB 不与x 轴垂直时，直线AB 的斜率为
，
直线MF 的斜率为
，
，
则
，在
中，
，
又以AB 为直径的圆与准线l 相切于M 点，
设以AB 为直径的圆的圆心为
，即得
，
则点M 坐标为
，
则
，
故B 正确;
，
故C 正确;
由题意知
，
，
则
又根据题意知
，则
无最小值.
27
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故D 错误.
故选：ABC.
8．BD
【分析】结合椭圆的定义、直线斜率、椭圆中三角形的面积等知识对选项进行分析，从而
确定正确选项.
【详解】依题意
，
所以
，A 选项错误.
，
，
，B 选项正确.
，“
” 中的等号成立的条件是
，
所以不存在
满足
，C 选项错误.
设
，
，
，
，D 选项正确.
28
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故选：BD.
9．
【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB 过定点
，再利用直线与
圆的位置关系计算弦长确定最值即可.
【详解】设
，
，设
：
，又
，∴
，
∴
，∴
．
∴
，∴
，
∴直线AB 恒过点
，
由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E 到动直线AB 的距离最大时，即
当直线
时，弦长最短，此时弦
最小为
．
故答案为：
10．
【分析】根据题意求出椭圆C 的方程，设直线AB 的方程为
，与椭圆方程联立，
结合韦达定理与
，求得
的值，进而可得答案．
【详解】根据题意椭圆的焦点在
轴上，设椭圆的方程为
29
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∵上顶点为
，∴
，
又长轴长为
，∴
，
则椭圆C 的方程为
，
易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为
，
由
可得
，
∴
，
又
，
∴
，解得
或
．
当
时，直线AB 经过点D，不满足题意，
30
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则直线AB 的方程为
，故直线AB 过定点
．
故答案为：
．
11．1
【分析】设
，由
以及
解出
，代入椭圆方程求出
；同理可得
；进而求出
的值．
【详解】解法1：可得点
，设
，则
，
由
可得
，即有
，
，
，两边同乘以
，可得
，解得
，将
代
入椭圆方程可得
，由
可得
，可得
；
故答案为：．
解法2：作变换
之后椭圆变为圆，方程为
，
，
设
，则
，
，
31
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∴
，
，
∴
.
故答案为：．
12．
【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程，设出直线的方程，联立求出点
的
纵坐标，再利用直线与双曲线相切借助判别式求出三角形面积作答.
【详解】双曲线
的渐近线为
，直线与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，
显然直线不垂直于y 轴，设直线
，
，
由
得点
的纵坐标
，由
得点
的纵坐标
，
由
消去x 得
，
于是
，化简得
，
直线
与x 轴交点的横坐标为
，
32
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所以
的面积
.
故答案为：
13．(1)
；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，
【分析】（1）设P(x0, y0)，利用两点间距离公式得
，然后
根据
分类讨论求解即可；
（2）（ⅰ）设直线
，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理
得
，写出直线
，
的方程，进而求解即可；
（ⅱ）由题意点
在以
为直径的圆上，代入圆的方程求得
，写出直线
的方程，与椭圆联立，求得点C 的坐标，进而可得答案.
【详解】（1）设P(x0, y0)是椭圆上一点，则
，
因为
，
①若
，解得
（舍去），
②若
，解得
（舍去）或
，
所以
点的坐标位
.
（2）（ⅰ）设直线
，
33
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由
，得
，所以
，
所以
，①
由
，得
或
，
易知直线
的方程为y =
y1
x1+2
(x +2)，②
直线
的方程为
，③
联立②③，消去
，得
，④
联立①④，消去
，则
，
解得
，即点
在直线
上；
（ⅱ）由图可知，
，即
，所以点
在以
为直径的圆上，
设
，则
，所以
，即
.
故直线
的方程为
，
直线
的方程与椭圆方程联立，得
，因为
,
所以
，所以
,故
.
34
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14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，可得
，
，进而求解；
（2）设
方程为
，
，联立直线和双曲线方程组，可得
，以
为直径的圆的方程为
，
由对称性知以
为直径的圆必过
轴上的定点，进而得到
，
进而求解.
【详解】（1）当
轴时，
两点的横坐标均为
，
代入双曲线方程，可得
，
，即
，
由题意，可得
，解得
，
，
，
双曲线
的方程为：
；
35
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（2）方法一：设
方程为
，
，
以
为直径的圆的方程为
，
由对称性知以
为直径的圆必过
轴上的定点，令
，可得
，
而
，
，
对
恒成立，
，
以
为直径的圆经过定点
；
方法二：设
方程为
，
由对称性知以
为直径的圆必过
轴上的定点.
36
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设以
为直径的圆过
，
，
而
，
，
，即
对
恒成立，
，即以
为直径的圆经过定点
.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）设直线PA 的方程为
，设
，
，联立椭圆方程结合
韦达定理可得
的关系，再由易知向量线性关系转化
，计算即
可.
【详解】（1）∵
，
∴
，
由离心率为
得
，从而
，
所以椭圆C 的标准方程为
．
37
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（2）
设
，
，则
，
可设直线PA 的方程为
，其中
，
联立
，化简得
，
则
，同理可得，
．
因为
，
．
所以
，
所以
是定值
.
16．【小题1】
； 【小题2】证明见解析
【分析】
38
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（1）根据焦点坐标，离心率列出方程组，求出
，即可写出双曲线方程.
（2）先根据题意可判断直线AB 的斜率存在且不为0,结合过点
设出直线方程；再与双曲
线方程联立得到两根之和、两根之积；最后表示出
，结合韦达定理化简即可证明结果.
【详解】（1）由题意得
，解得
，所以双曲线的方程为
.
（2）由题意得直线AB 的斜率存在且不为0.设直线
方程为
，
，
.
联立
，消去
得
，
所以
.
，
又
，
.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（21-22 高二下·四川遂宁·阶段练习）点
，
是曲线C：
的左右焦点，过
39
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作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B 和C，D；线段AB，CD 的中点分别为M，
N，直线
与x 轴垂直且点G 在C 上.若以G 为圆心的圆与直线MN 恒有公共点，则圆面积
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高二下·贵州贵阳·期末）抛物线
的焦点为
，其准线与
轴的交点为
，
过点
作直线与此抛物线交于
，
两点，若
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、多选题
3．（2023·安徽·三模）已知抛物线
的焦点为
，准线为，
、
是
上异于点
的两点（
为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）
A．若
、
、
三点共线，则
的最小值为
B．若
，则
的面积为
C．若
，则直线
过定点
D．若
，过
的中点
作
于点
，则
的最小值为
4．（22-23 高三下·广东清远·阶段练习）已知
是抛物线
的焦点，点
在抛物线
上，过点
的两条互相垂直的直线，
分别与抛物线
交于
，
和
，
，过点
分别作，
的垂线，垂足分别为
，
，则（ ）
A．四边形
面积的最大值为2
B．四边形
周长的最大值为
40
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C．
为定值
D．四边形
面积的最小值为32
三、填空题
5．（2023·辽宁大连·三模）已知
为坐标原点，
是双曲线
的左右焦点，双曲线
､
上一点
满足
，且
，则双曲线
的渐近线方程为 .点A 是双曲线
上一定点，过点
的动直线与双曲线
交于
两点，
为定值
，则当
时实数
的值为 .
6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆
与双曲线
有公共焦点
，
，椭圆的离心率为
，双曲
线的离心率为
，点
为两曲线的一个公共点，且
，则
；
为
的内心，
三点共线，且
，
轴上点
满足
，
，则
的最小值为 ．
四、解答题
41
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7．（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆
的焦距为2，且经过点
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)经过椭圆右焦点F 且斜率为
的动直线l 与椭圆交于A、B 两点，试问x 轴上是否
存在异于点F 的定点T，使
恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存
在，说明理由．
8．（2023·重庆·一模）已知双曲线E：
的离心率为2，左、右焦点分
别为
，点
为双曲线E 右支上异于其顶点的动点，过点A 作圆C：
的一条切线AM，切点为M，且
．
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)设直线
与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为
，直线 AD， BD 分别与
圆C 相交，交点分别为异于点D 的点P，Q．判断弦PQ 是否过定点，如果过定点，求出定
点，如果不过定点，说明理由．
9．（24-25 高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆
与椭圆
：
有相同的焦点，且经
42
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过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆
的右焦点为
，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆
交于不同的
，
两点，
且直线
和
的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过
轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求
面积的最大值.
10．（23-24 高二上·江苏盐城·阶段练习）已知
，M 为平面上一动点，
且满足
，记动点M 的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E 的方程；
(2)若
，过点
的动直线交曲线E 于P，Q（不同于A，B）两点，直线
AP 与直线BQ 的斜率分别记为
，
，求证：
为定值，并求出定值.
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
B
B
ABD
ABD
1．B
【分析】讨论
斜率，斜率存在时设
、
联立曲线C，应
用韦达定理求线段AB，CD 的中点坐标，进而确定
的方程，可得
过定点
，
若以G 为圆心的圆半径为，只需保证
可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最
小值.
【详解】当直线
斜率均存在时，令
且
，则
43
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，
联立
与曲线C 并整理得：
，
且
，则
，
所以
，故
，
联立
与曲线C 并整理得：
，
同理，
，
，可得
，
直线
，故
过定点
，
当直线
中一条的斜率不存在时，令
，则
，
所以
，
，故
过
，
而
，要使以G 为圆心的圆与直线MN 恒有公共点，且圆面积最小，
若圆的半径为，只需
恒成立，故圆最小面积为
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：讨论直线
斜率，设直线方程联立曲线方程，结合韦达定理求
线段中点坐标，进而确定
的方程，得到
过定点
，根据恒有公共点有圆半径
为，只需保证
恒成立即可.
44
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2．B
【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方
程，整理得到关于
的一元二次方程，根据垂直，得到点
的横坐标，根据韦达定理，得
到
的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.
【详解】由
，则焦点
，且准线方程为直线
，即
，
设过点
的直线方程为
，联立抛物线可得：
，
消去
可得：
，化简得：
，
因为
，且直线
过点
，所以
，
即点
位于以线段
为直径的圆上，
易知以线段
为直径的圆的方程为
，
将
代入上式，可得
，解得
，
（舍去），
则点
的横坐标
，设点
的横坐标
，
由韦达定理可得：
，则
，
根据抛物线的定义，可得
，
，
则
，
故选：B.
3．ABD
【分析】设出直线
的方程，将直线
的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦
半径公式以及基本不等式可求得
的最小值，可判断A 选项；求出点
的横坐标的绝对
值，利用三角形的面积公式可判断B 选项；设直线
的方程为
，将直线
的方
程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及
求出
的值，求出直线
所过定点
的坐标，可判断C 选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D 选项.
45
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【详解】对于A 选项，易知抛物线
的焦点为
，
当直线
与
轴重合时，直线
与抛物线
只有一个公共点，不合乎题意，
设直线
的方程为
，设点
、
，
联立
可得
，
，
由韦达定理可得
，
，则
，
易知
，
，所以，
，
当且仅当
时，等号成立，故
的最小值为
，A 对；
对于B 选项，设点
，
，可得
，所以，
，
则
，所以，
，B 对；
对于C 选项，易知
的斜率存在，设直线
的方程为
，
设点
、
，由于直线
不过原点，所以，
，
联立
可得
，
，
由韦达定理可得
，所以，
，
因为
，则
，解得
，
所以，直线
的方程为
，故直线
过定点
，C 错；
对于D 选项，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
设
，
，所以
，
46
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因为
，
所以
，则
的最小值为，当且仅当
时，等号成立，D 对．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的
一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线
系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的
解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明.
4．ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线
的方程，确定四边形
形状，利用勾股定理及
均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦
长即
可计算推理判断C，D 作答.
【详解】依题意，
，解得
，即抛物线
：
，焦点
，准线方程为：
47
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x =−1，直线，
与坐标轴不垂直，
因为
，
，则四边形
为矩形，有
，
当且仅当
时取等号，
，即四边形
面积的最大
值为2，A 正确；
因为
，则
，
当且仅当
时取等号，因此四边形
周长
的最大值为
，B 正确；
设直线方程为：
，
，由{
x =ty +1
y
2= 4 x 消去y 得：
，则
，
，同理
，
因此
，C 错误；
48
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四边形
面积
，
当且仅当
时取等号，所以四边形
面积的最小值为32，D 正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横
(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
5．
【分析】第一空，先判定△
为直角三角形.再由勾股定理求得
即可；
第二空，设直线
，根据韦达定理表示
，由于
为定值
，用待定系数法计
算即可.
【详解】（1）根据
，取
的中点
，易知
，
可知
，
，即△
为直角三角形.
设
，依题意有
，解得
，
根据勾股定理得
，解得
，
故双曲线为等轴双曲线，渐近线为
.
49
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（2）当
时，双曲线
，
设直线
，
联立方程组
，化简得
，
，
，
因为
为定值
，所以
法一：
，
，
，解得
，
法二：
，解得
.
故答案为：
，
6． 4
50
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【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出
，
在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；
第二空：由
为
的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出
及
，代入
中利用基本不等式求最值即可.
【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为
，
椭圆的长轴长为
，双曲线的实轴长为
，
不妨设点
在双曲线的右支上，
由双曲线的定义：
，
由椭圆的定义：
，
可得：
，
又
，由余弦定理得：
，
即
，
整理得：
，
所以：
；
②
为
的内心，
所以
为
的角平分线，则有
，同理：
，
所以
，
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所以
，即
，
因为
，
所以
，故
，
为
的内心，
三点共线，
即
为
的角平分线，则有
，又
，
所以
，即
，
因为
，
所以
，故
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
，
故答案为：4，
.
【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，
（1）直接法：由题意知道
利用公式求解即可；
（2）一般间接法：由题意知道
或
利用
的关系式求出
，在利用公式计算即
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可；
（3）齐次式方程法：建立关于离心率的方程求解.
7．(1)
(2)存在；点
【分析】（1）根据题意，得到
，再由椭圆
经过点
，联立方程组，求得
，即可求解.
（2）设直线l 的方程为
，联立方程组，得到
，设
点坐标为
，由
，得到
，得到
，得到
，列出方程，求得
，即可求解．
【详解】（1）解：由椭圆
的焦距为2，故
，则
，
又由椭圆
经过点
，代入
得
，解得
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）解：根据题意，直线l 的斜率显然不为零，令
，
由椭圆右焦点
，故可设直线l 的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
则
，
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设
，
，且
，
设存在点
，设
点坐标为
，由
，可得
，
又因为
，
所以
，所以
，
所以直线
和
关于
轴对称，其倾斜角互补，即有
，
则
，所以
，
所以
，整理得
，
即
，即
，
解得
，符合题意，即存在点
满足题意．
【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，
即确定题目中核心变量（通常为变量
）；②利用条件找到
过定点的曲线
之间
的关系，得到关于
与
的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探
索出定点，再证明该定点与变量无关.
8．(1)
(2)是，定点为
【分析】（1）由切线有
，结合条件等式、离心率即可求；
（2）直线
为
与双曲线联立，结合韦达定理可得B 点坐标，则由
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可判断
，即可得弦PQ 恒过圆心.
【详解】（1）双曲线的离心率为
，因为双曲线上点
切圆C：
于M，且
，
则
，即
，即
，
故双曲线E 的标准方程为
.
（2）弦PQ 过定点，理由如下：
由（1）得
，则
，
.
则直线
为
，联立
得
，
则
，
，
，
，
，由
得
，
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.
∴
，∴
为圆C 的直径，故弦PQ 恒过圆心
【点睛】直线与圆锥曲线定点问题，一般通过联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理将可能
过定点的直线表示出来，进而判断是否过定点.
本题可能过定点的线段为圆上的弦，直径恒过圆心，故先通过分析
判断是否该弦
为直径.
9．(1)
(2)①证明见解析，定点
；②
【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可；
（2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可
；②结合定点
列
出面积再换元得出面积的最大值.
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【详解】（1）椭圆
：
的焦点坐标为
，
所以椭圆
的焦点坐标也为
，即得焦距为
，
∵椭圆
过点
，
∴
，
∴
，
，
∴椭圆的标准方程为
.
（2）设直线：
（
），
由
，得
，
设M (x1, y1)，N (x2, y2)，所以
，
，
所以
，
因为直线
和
的斜率互为相反数，
所以
，所以
，
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所以
，
所以
.
即
，所以
，
因为
，所以
，所以动直线恒过
轴上的定点
②由①知，
，
且
，即
，
又
令
，则
，
∴
（当且仅当
时取“＝”）
∴
.
【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令
换元得出
再结合基本不等式计算即可得出最值.
10．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；
（2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证
为定值，之后求出定值即
可.
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【详解】（1）由题可知
，则
的轨迹是实轴长为
，
焦点为
即
的双曲线的右支，则
，
所以曲线
的方程为：
(或
).
（2）由题可知过点
的动直线斜率存在且不为
，则设斜率为
，
所以直线的方程为：
，设
，
，
联立
，可得
，
则
，可得
，即
或
，
则
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，
所以
为定值，定值为
.
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