文档文本内容
培优点 04 极值点偏移问题（2 大考点+强化训练）
目录
题型归纳............................................................................................................................................................................................1
题型01 对称化构造函数.................................................................................................................................................................3
题型02 比值代换............................................................................................................................................................................11
【考情分析】
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考
数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函
数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．
【核心题型】
考点一:对称化构造函数
规律方法 对称化构造函数法构造辅助函数
(1)对结论x＋x>2x型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x－x)．
1 2 0 0
(2)对结论xx>x型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对
1 2
数，转化成ln x＋ln x>2ln x，再把ln x，ln x看成两变量即可．
1 2 0 1 2
【例题1】（21-22高三上·山东临沂）已知函数 .
(1)证明： .
(2)若函数 ，若存在 使 ，证明： .【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造 ，求导后判断函数最大值，得到 ，即 得证；
（2）根据题意判断 ， ，将原题转化为证明 ，构造函数后求导证明即可.
【详解】（1）令 ， ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
∴ 在 递增，在 递减，则 ，
∴ 恒成立，即 .
（2）∵ ， ，∴ ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
∴ 在 递增，在 递减.
又∵ ， ， ， ，且 ， .
要证 ，即证 .
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴只证 即可.
令 ， ，恒成立，
∴ 在 单调递增.
又∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ .
【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断 ， ，再转化为证明 ，
根据 的单调性可以将其转化为证明 ，构造函数后利用导数证明不等式即可.
【变式1】（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)若 ，求函数 的最小值；
(3)若 有两个零点 ， ，证明： .
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后解不等式 、 即可求得极值.
（2）运用导数研究 的单调性，进而可求得其最小值.
（3）由已知可得 ，构造函数 ，根据其单调性可得 ，构造
函数 并研究其单调性，构造函数 并研究其单调性，当 时，依次结合函数
、 的单调性即可证得结果.【详解】（1）由题意知函数 的定义域为 ， ，
， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值.
（2）由题意知函数 的定义域为 .
，
则 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
（3）不妨设 ，则由（2）知 ， .
设 ，由 ，得 ，
即 ，
因为函数 在R上单调递增，所以 成立.
构造函数 ，则 ，
， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
构造函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以当 时， ，即当 时， ，
所以 ，
又 在 上单调递减，
所以 ，即 .
【点睛】极值点偏移问题的方法指导：
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论 型，构造函数 ；对结论 型，
构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
【变式2】（2023·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据 和 分类讨论，即可得出函数的单调性；
（2）由 可得， 是方程 的两不等实根，从而可将问题转化为 是方
程 的两不等实根，即可得到 和 的范围，原不等式等价于 ，即极值点偏移问题，根据对称化构
造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出．
【详解】（1）由题意得，函数 的定义域为 .
由 得： ，当 时， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 是方程 的两不等实根， ，
即 是方程 的两不等实根，
令 ，则 ，即 是方程 的两不等实根.
令 ，则 ，所以 在 上递增，在 上递减， ，
当 时， ；当 时， 且 .
所以0 ，即0 .
令 ，要证 ，只需证 ，
解法1（对称化构造）：令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上递增， ，
所以h ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，所以 .
解法2（对数均值不等式）：先证 ，令 ，
只需证 ，只需证 ，
令 ，
所以 在 上单调递减，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 .
【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造及对
数均值不等式等方法证出．
【变式3】（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，其中a，b为常数， 为自然对数底数，
．
(1)当 时，若函数 ，求实数b的取值范围；
(2)当 时，若函数 有两个极值点 ， ，现有如下三个命题：
① ；② ；③ ；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分 ， 讨论，当 时，求 的最小值，根据 可得；
（2）将问题转化为 有两个零点，先利用导数研究两个零点的范围，然后由 ， ，作商取对数得 .若选①，令 ，构造函数 ，若选②，构造函
数 ，根据极值点偏移问题的方法可证；若选③，构造函数 ，由单调性可证.
【详解】（1）当 时， ，
当 时，因为 ，所以此时不合题意；
当 时，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
要 ，只需 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，则由 得 ，
所以 ，故实数b的取值范围为 ．
（2）当 时， ， ，
令 ，则 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，所以 有两个零点，
若 ，则 ， 单调递增，不可能有两个零点，所以 ，
令 得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
所以 ，
因为 有两个零点，所以 ，则 ，
设 ，因为 ， ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，取对数得 ，
令 ， ，则 ，即
①令 ，则 ，因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，
则 ， 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
亦即 ，
因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，
则 ，整理得 ，
所以 ，故①成立
②令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，则 ， 在 上单调递增，又 ，所以当 时， ，即 ，
因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，故②成立．
③令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，则 ，
∴ ，则 ，
两边约去 后化简整理得 ，即 ，
故③成立．
【点睛】双变量的不等式证明问题，主要通过换元构造函数，利用单调性证明即可.本题属极值点偏移问题，关键在于
构造适当的对称函数.
考点二:比值代换
规律方法 比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明．
【例题2】（21-22高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数（1）若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 有两个极值点 ，求证：
【答案】（1）当 时， ；当 时， ；当 时，
；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用导数通过分类讨论判断函数的单调性，从而求函数的最大值；
（2）把要证结论等价转化为 ，结合函数的极值点再次把要证结论转化为 ，(
)，通过构造函数 即可证明.
【详解】（1）因为 ， ，
①当 时，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ；
②当 ，即 时， ， ，
所以函数 在 上单调递增，则 ；，
③当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ；
④当 ，即 时， ， ，函数 在 上单调递减，则 ．
综上，当 时， ；
当 时， ；
当 时， .（2）要证 ，只需证： ，
若 有两个极值点 ，即函数 有两个零点，又 ，
所以 是方程 的两个不同实根，
即 ，解得 ，
另一方面，由 ，得 ，
从而可得 ，
于是 ．不妨设 ，
设 ，则 ．因此， ．
要证 ，即证： ，
即当 时，有 ，
设函数 ，则 ，
所以 为 上的增函数．注意到， ，因此， ．
于是，当 时，有 ．
所以 成立， ．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对要证明不等式合理变形，把双变量问题化为单变量问题.【变式1】（2023·江西景德镇·模拟预测）已知函数
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的最大值；
(2)若函数 在定义域上有两个极值点 和 ，若 ， ，求 的最小值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求出 ，由题意可知，对任意的 ， ，可得出 ，利用导数求出函数
的最小值，即可求得实数 的最大值；
（2）设 ，由极值点的定义可得出 ，变形可得出 ， ，由此可得出
，利用导数求出函数 在 上的最小值，即为所求.
【详解】（1）解：因为 ，其中 ，
则 ，
因为函数 在 上单调递增，对任意的 ， ，即 ，
令 ，其中 ，则 ， ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以， ，故 ，所以， 的最大值为 .
（2）解：由题意可知， ，设 ，
由 可得 ，则 ，可得 ， ，所以， ，令 ，其中 ，
所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
因为 ，由 ，可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
又因为 且 ，
所以，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， .
【点睛】方法点睛：求函数 在区间 上的最值的方法：
（1）若函数 在区间 上单调，则 与 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数 在区间 内有极值，则要求先求出函数 在区间 上的极值，再与 、 比大小，
最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数 在区间 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用
中经常用到
【变式2】（2022·天津·二模）设函数 为 的导函数.
(1)求 的单调区间；
(2)讨论 零点的个数；(3)若 有两个极值点 且 ，证明： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出 的导函数，即可得到 的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间；
（2）由（1）得， ，再对 分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数；
（3）由（2）可得 且 ，依题意可得 ，利用导数证明 ，即
可得到 ，从而得证；
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ．
即 ， ，则 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ．
（2）解：由（1）得， ．
当 时， ，则 在 上无零点．
当 时， ，则 在 上有一个零点．
当 时， ，因为 ， ， ，所以 ， ， ，
故 在 上有两个零点．
综上，当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上有一个零点；
当 时， 在 上有两个零点．
（3）证明：由（2）及 有两个极值点 ，且 ，
可得 ， 在 上有两个零点，且 ．
所以 ，
两式相减得 ，即 ．
因为 ，所以 ．
下面证明 ，即证 ．
令 ，则即证 ．
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
故 ．又 ，
所以 ，
故 ．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注
意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理
【变式3】（2023·河南·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 时，若 ，求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求定义域，再求导，分 与 两种情况，由导函数的正负求出函数的单调性；
（2）先结合（1）中函数单调性得到 ，构造 ，求导得到其单调性，从而
证明出 ，得到结论.
【详解】（1） 的定义域为 ，
因为 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增；
当 时，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）当 时 ， ，定义域为 ，
，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，
设 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ， 即 ，
又因为 ， ，所以 ，
又因为 在 上单调递减，
所以 ，即 ．
【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相
同，将特征不等式变形，如常常利用 进行变形，可构造关于 的函数，利用导函数再进行求解.
【强化训练】
一、解答题
1．（2022·河南新乡·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】(1)先求导函数，对参数a分类讨论，即可得单调区间.
(2)将零点代入原方程并作差，可得 ，从而得 ， ,再换元 ，问题转化为证
明 恒成立，即可证明.
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ， .
①当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明：因为 为 的两个零点，所以 ， ，
两式相减，可得 ，即 ， ，
因此， ， .
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，故 得证.
2．（2022·山东·模拟预测）已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可知 ，由参变量分离法可知直线 与函数 的图象有两个交点，利用导数分析函
数 的单调性与极值，数形结合可求得实数 的取值范围；
（2）令 ，其中 ，令 ， ，分析可知关于 的方程 也有两个实根 、 ，且
，设 ，将所求不等式等价变形为 ，令 ，即证 ，令
，其中 ，利用导数分析函数 的单调性，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：函数 的定义域为 .
当 时，函数 无零点，不合乎题意，所以， ，
由 可得 ，
构造函数 ，其中 ，所以，直线 与函数 的图象有两个交点，，由 可得 ，列表如下：
极大值
增 减
所以，函数 的极大值为 ，如下图所示：
且当 时， ，
由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
故实数 的取值范围是 .
（2）证明：因为 ，则 ，
令 ，其中 ，则有 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
因为方程 有两个实根 、 ，令 ， ，
则关于 的方程 也有两个实根 、 ，且 ，要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
由已知 ，所以， ，整理可得 ，
不妨设 ，即证 ，即证 ，
令 ，即证 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或 ），
进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 为其极小值点．
(1)求实数 的值；
(2)若存在 ，使得 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）根据 求出 ，再根据极小值点的定义加以验证即可；
（2）分类讨论 和 ，转化为证明当 ， 时， ，继续转化为证明当 时，
，构造函数 ，利用导数判断单调性可证不等式成立.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，依题意得 ，得 ，
此时 ，
当 时， ， ， ，故 ， 在 内单调递减，
当 时， ， ， ，故 ， 在 内单调递增，
故 在 处取得极小值，符合题意.
综上所述： .
（2）由（1）知， ，
不妨设 ，
当 时，不等式 显然成立；
当 ， 时，不等式 显然成立；
当 ， 时，由（1）知 在 内单调递减，因为存在 ，使得 ，所以 ，
要证 ，只要证 ，
因为 ，所以 ，又 在 内单调递减，
所以只要证 ，又 ，所以只要证 ，
设 ，则
，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ， 在 上为减函数，所以 ，
即 ，
所以 在 上为减函数，
所以 ，即 .
综上所述： .
【点睛】方法点睛：对于含双变量的不等式的证明一般采用以下两种方法：
①比值代换：设 ，将不等式化为关于 的不等式，再构造函数，利用导数证明即可；
②构造函数 ，其中 为极值点，利用导数判断单调性，根据单调性证明即可.
4．（2023·江西南昌·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时， 恒成立，求a的取值范围．
(2)若 的两个相异零点为 ， ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）运用导数研究 的最小值不小于0即可.
（2）消去参数a及比值代换法后得 ，运用导数研究 在 上最小值大于0即可.
【详解】（1）当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
设 ，
所以 ，即 ，
，
设 ，
则 ，
所以，当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，
所以当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，
若 恒成立，则 ．
所以 时， 恒成立，a的取值范围为 .
（2）由题意知， ，
不妨设 ，由 得 ，则 ，
令 ，
则 ，即： ．
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 （ ），
令 （ ），
因为 ，
所以 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 成立，
故 ．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论 型，构造函数 ；对结论 型，构造函数 ，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
5．（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
【答案】(1)
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有 ，解方程即得实数a的值；
（2）依题意 在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可；
（3）求出函数 的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明 ，只需证
，构造函数 即可证得
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以 ，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，所以 在（0，+∞）上恒成立.
即 恒成立. ，即 ，
令 ，所以 ，
时 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 .
（3）
定义域为
当 时， ，所以 在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当 时，
在（0， ）上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
函数 存在两个零点的必要条件是 ，
即 ，又 ，
所以 在（1， ）上存在一个零点（ ）.
当 时， ，所以 在（ ，+∞）上存在一个零点，综上函数 有两个零点，实数a的取值范围是 .
不妨设两个零点
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
由 ，
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
令 ，只需证 ，
令 ，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴ ，即 成立，
所以 成立.
【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧.
6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数 在 上存在 ，使得 ，
，则称 是 上的“双中值函数”，其中 称为 在 上的中值点.
(1)判断函数 是否是 上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数 ，存在 ，使得 ，且 是 上的“双中值函数”，
是 在 上的中值点.
①求 的取值范围；
②证明： .
【答案】(1) 是 上的“双中值函数”，理由见解析
(2)①(0,+∞)；②证明见解析
【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可；
（2）①根据定义知 ，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题
为 ，构造差函数 ，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明.
【详解】（1）函数 是 上的“双中值函数”．
理由如下：
因为 ，所以 .
因为 ， ，所以
令 ，得 ，即 ，解得 .因为 ，所以 是 上的“双中值函数”.
（2）①因为 ，所以 .
因为 是 上的“双中值函数”，所以 .
由题意可得 .
设 ，则 .
当 时， ，则 为减函数，即 为减函数；
当 时， ，则 为增函数，即 为增函数.
故 .
因为 ，所以 ，所以 ，即 的取值范围为 ；
②证明：不妨设 ，
则 ， ，即 ， ．
要证 ，即证 ．
设 ，
则 ．
设 ，则 ，
所以φ(x)在(0,1)上单调递增，所以 ，所以 ，
则 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
由①可知 在 上单调递增，所以 ，即 得证．
【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导
函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明 ，
类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明.
7．（2023·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到 ，构造 ，利用导函数得到其单调性，极值和
最值情况，得到 ；
（2）转化为 有2个不同的实数根，构造 ，得到其单调性，得到 ，且 ，求
出 ，换元后即证 ，构造 ，求导后得到 在 上单调递
增， ，得到证明.
【详解】（1）因为函数 的定义域为 ，所以 成立，等价于 成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 内单调递减，又因为 ，所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取极大值也是最大值.
因此 ，即实数 的取值范围为 .
（2） 有2个不同的零点等价于 有2个不同的实数根.
令 ，则 ，当 时，解得 .
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取极大值为 .
又因为 ，当 时， ，当 时， .
且 时， .
所以 ，且 .
因为 是方程 的2个不同实数根，即 .
将两式相除得 ，
令 ，则 ， ，变形得 ， .
又因为 ， ，因此要证 ，只需证 .
因为 ，所以只需证 ，即证 .因为 ，即证 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，
即当 时， 成立，命题得证.
【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常
常利用 进行变形，可构造关于 的函数，利用导函数再进行求解.
8．（2022·河南·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 有三个零点，求a的取值范围．
(2)若 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）令 换元得函数 ，然后通过导数求极值，根据 与函数图象有三
个交点可得；
（2）构造函数 ，通过导数研究在区间 上的单调性，然后由单调性结合已知可证.
【详解】（1）令 ，则 ，记
令 ，得
当 时， ， 时， ， 时，
所以当 时， 取得极大值 ， 时， 取得极大值 ，因为函数 有三个零点 与 有三个交点，
所以 ，即 a的取值范围为 .
（2）记
记
则
记
则
易知 在区间 上单调递增，所以
所以 在区间 上单调递增，所以
所以 在区间 上单调递增，所以
所以 在区间 上单调递增
因为 ，记
所以
由（1）可知，
所以 ，即
又 ，所以
因为 ，所以由（1）知 在区间 上单调递增，所以 ，即
所以
【点睛】本题第二问属于极值点偏移问题，关键点在于构造一元差函数，通常构造成 或
，本题由于采取了换元法转化问题，因此构造函数为 .
9．（2023·陕西安康·二模）已知函数 ， （e为自然对数的底数）
(1)当 时，恰好存在一条过原点的直线与 ， 都相切，求b的值；
(2)若 ，方程 有两个根 ，（ ），求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可求得过原点的与 相切的直线方程： ，后利用切点即在 图像上，也在切线上，可
求得相应切点横坐标，后由切线斜率为1可求得b；
（2）由题可得 有两个根 ，令 ，
则可得方程 有两个根 ，则 .通过令 ， ，可将证明 ，转化为
证明 ，
后构造函数 ， ，通过其单调性可证明结论.
【详解】（1）当 时， ，设直线与 的切点为 ，则切线斜率为 ，切线方程为
.因 即在 图像上，也在切线 上，则 ，故切线斜率为1，则切线方程为
.
又 ， ，设直线与 的切点为 ，则切线斜率为 ，切线方程为 .因即在 图像上，也在切线 上，则 ，又切线斜率为1，则
；
（2）当 时， ，
则由题可得 有两个根 ，
令 ，则可得方程 有两个根 ，
则 .令 ， ，则 ，
.注意到
，
则构造函数 ， .
因 ，则 在 上单调递增，得
.
故命题得证.
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数切线方程与极值点偏移问题，难度较大.
（1）问解题关键为注意到切点即在函数图像上，也在切线上.
（2）问为极值点偏移问题，解题关键为将双变量消元为单变量，常构造差函数或以两变量之差，之商构造函数以达
到消元目的.
10．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 .(1)若 有唯一零点，设满足条件的 值为 与 证明：① 与 互为相反数；② ；
(2)设 .若 存在两个不同的极值点 、 ，证明 .
参考数据： ，
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据 仅有一个零点结合函数的单调性可得零点 满足 ，
通过构建新函数可判断该方程有两个根且它们互为导数，从而可得 与 互为相反数，结合其中一个根的范
围可证 .
（2）利用零点满足的方程可得 ，结合对数不等式可得 .
【详解】（1）若 ，则 ，此时 无零点，舍.
故 ， ，
令 ，因为 ，故 在 上有且只有一个零点 ，
若 ，则 ，这与 矛盾，故 .
且 时， ，当 ， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
下证：当 时，有 .
证明：当 时， 成立，设 ，则 ，
故 在 上为减函数，故 即 ，
故 ，故当 时 且 .
当 时，若 ，则 恒成立，
而当 时，有 ，
设 ，则 ， ，
故当 时， 即：
当 时，有 即 .
当 时， ，由 时的讨论可得：
若 时，有 ，故 成立.
而 即 时，有 成立.
因为 仅有一个零点，故 ，
所以 且 ，
故 ，整理得到 ，
化简得到： ，
令 ，则 ，其中 .设 ，则 ，
故 在 上均为增函数，
而 ，
，
故 在 上有且只有一个零点，
而 ，
故 在 上有且只有一个零点，
故 在 有且只有两个零点，且它们互为倒数，
故 在 有且只有两个零点 ，
且 即 ，其中 即 .
设函数零点为 时对应的参数值为 ，函数零点为 时对应的参数值为 ，
则 ，且 ，故 ，
故 即 ，但 ，故 ，
故 ，故 互为相反数.
又 ，其中 ，而 在 为减函数，
故 ，同理 ，故 .
（2） ，设 ，故 为 的两个不同的零点，
故 ，
故 ，
故 ，
不妨设 ，则 ，
若 ，则 ，故 为 上的增函数，
故 至多一个零点，与题设矛盾，故 .
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
即任意 ， 恒成立，故 对任意的 恒成立，
而 ，故 ，故 .
【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，同时结合零点存在定理来判断，讨论单
调性时，导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的方程来求解，当函数值的符号不易判断时，可以利
用放缩法来处理符号问题.
