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第 5 讲 导数的综合应用
[考情分析]
1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交
汇命题是高考的热点和难点.
2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．
【知识导图】
【考点分析】
考点一：导数与不等式的证明
规律方法 利用导数证明不等式问题的方法
(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造
辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．
【母题．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为 的恒成立问题，构造函数
，利用导数证得 即可.
方法二：构造函数 ，证得 ，从而得到 ，进而将问题转化为
的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得， ，
要证 ，即证 ，即证 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
方法二：
令 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，所以当 时， 恒成立，证毕.
[子题1]（2024·安徽淮北·统考一模）已知函数 ， ，（ ）.
(1)求函数 的最小值；
(2)若 有两个不同极值点，分别记为 ， ，且 .
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）若不等式 恒成立（ 为自然对数的底数），求正数 的取值范围.
【答案】(1)-1
(2)（ⅰ） ；（ⅱ） .
【分析】（1）对 求导，判断 与 的大小，即可求出 的单调性和极值；
（2）（ⅰ）将题意转化为方程 有两个不同的根 ， ，令 ，对 求导，判断 与
的大小，即可求出 的单调性和极值，画出 的图象即可得出答案；（ⅱ）由题意可将题意转化为
恒成立，令 ，即 恒成立，记函数 ，
，即对 求导，可证明 ，即可得出答案.
【详解】（1）由题意得： ， ，
当 时， ，此时， 在 上单调递减；当 时， ，此时， 在 上单调递增；
所以 .
（2）（ⅰ）由题意得 的定义域为 ，得
因 两个不同极值点，故方程 有两个不同的根 ， （ ），
即方程 有两个不同的根 ，
记函数 ，则
当 时， ，此时， 在 上单调递增；
当 时， ，此时 在 上单调递减；
所以
又当 时， ，当 时， ，
且当 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
所以，方程 有两个不同的实数根，当且仅当 .
（ⅱ）由（ⅰ）知 得 ， （※），
所以 ，即 （※※），
由不等式 恒成立，即 恒成立，
由（※）、（※※）得即 恒成立，亦即 恒成立，
设 ， 时，得 恒成立，
进而得 恒成立（※※※），
记函数 ， ，
则 ，（ ），
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 恒成立，故 满足题意
当 时，若 时有 ，则 在 上单调递减，
所以，当 时有 ，与题意（※※※）不符，
综上得正数 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
[子题2]（2024·陕西榆林·统考一模）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程
为 .(1)求 ；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；
（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可
得答案.
【详解】（1）函数 的定义域为 .
将 代入 ，解得 ，即 ，
由切线方程 ，则切线斜率 .
故 ，解得 .
（2）证明：由（1）知 ，
从而 等价于 .
设函数 ，则 .
所以当 时， ，当 时， .
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 在 上的最小值为 .
设函数 ，从而 在 上的最大值为 .
故 ，即 .
【强化训练】
1．（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）已知函数 .
(1)若 在 上单调递减，求 的取值范围；
(2)若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若方程 两个不同的实数根分别为 ， ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）借助导数与单调性的关系，结合参变分离计算即可得；
（2）多次求导，得到函数的单调性与奇偶性即可得；
（3）结合小问（2），将 可转化为证明 ，结合题中 、 的范围，可构造
函数 从而证明 ，即可得证.
【详解】（1）由 ，则 ，
在 上单调递减，即 在 上恒成立，
即有 在 上恒成立，即 ，
令 ， ，则 ，设 ， ，则 ，
故 在 上单调递减，
故 ，
即 恒成立，故 在 上单调递增，
有 ，即 ，
故 的取值范围为 ；
（2）若 ，则 ， ，
设 ，则 ，
故 在 上单调递增，又 ，
，故 在 上存在唯一零点，
设该零点为 ，即有 ，
有 时， ， 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
故当 时， ，即 ，
故 在 上单调递减，
当 时，有 ，故 ，
即 在 上单调递增，故 时， ，
又 ，且定义域为 ，
故 为偶函数，即当 时， ，
故 恒成立；
（3） ， 有 ，
由（2）可知，若方程 两个不同的实数根，则 ，
下面证明： ，
不妨设 ，则 ，
要证 ，只需证明 ，而 ，
由（2）可知， 在 上单调递减，故只需证明 ，
而 ，故只需证明 ，
设
，
则 ，即 在 上单调递增，
故 ，故 ，即 ，
又 ，故 ，
由（2）得 ， ，当 时， ，故 在 上单调递增，
又 ， ，
故 .
【点睛】关键点睛：本题关键在最后一问中结合题意与第二小问，将证明 转化为证明
，从而将问题变为极值点偏移问题，结合题中 、 的范围，可构造函数
，从而帮助证明.
2．（2024·陕西榆林·统考一模）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
.
(1)求 ；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；
（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可
得答案.
【详解】（1）函数 的定义域为 .
将 代入 ，解得 ，即 ，
由切线方程 ，则切线斜率 .故 ，解得 .
（2）证明：由（1）知 ，
从而 等价于 .
设函数 ，则 .
所以当 时， ，当 时， .
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 在 上的最小值为 .
设函数 ，
从而 在 上的最大值为 .
故 ，即 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有两个零点 ， （ ），求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】把两个零点代入函数解析式，消去 可得 ，构建函数
，利用单调性得 ，结合基本不等式得 ，构建函数 ，利用单调性证得结论.
【详解】证明：因为函数 有两个零 ， （ ），
所以 ，即 ，
①＋②得 ，所以 ，
②－①得 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
构建函数 ， ，有 ，
则当 时， ，函数 单调递增，
所以当 时， ，
由 ，有 ，则 ，
得 ，即 ，
则有
，所以 ．
构建函数 ， ，则
得函数 单调递增，有 ，
则有 ，得 ，所以 ．
【点睛】方法点睛：
证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种
思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
考点二：恒成立问题与能成立问题
规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x) 或a<f(x) 的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，
max min
即得参数的范围．
(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．
[母题] (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈.
(1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)<sin 2x，求a的取值范围．
解 f′(x)＝a－
＝a－
＝a－，
令cos2x＝t，则t∈(0,1)，
则f′(x)＝g(t)＝a－＝，t∈(0,1)．
(1)当a＝8时，f′(x)＝g(t)＝＝，
当t∈，即x∈时，f′(x)<0.
当t∈，即x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)设h(x)＝f(x)－sin 2x，h′(x)＝f′(x)－2cos 2x＝g(t)－2(2cos2x－1)＝－2(2t－1)＝a＋2－4t＋－，
设φ(t)＝a＋2－4t＋－，
则φ′(t)＝－4－＋＝＝－，
当t∈(0,1)时，φ′(t)>0，φ(t)单调递增，
所以φ(t)<φ(1)＝a－3.
若a∈(－∞，3]，则h′(x)＝φ(t)<a－3≤0，
即h(x)在上单调递减，
所以h(x)<h(0)＝0，
所以当a∈(－∞，3]时，f(x)<sin 2x，符合题意．
若a∈(3，＋∞)，
当t→0＋时，－＝－32＋→－∞，
所以φ(t)→－∞.
φ(1)＝a－3>0.
所以∃t∈(0,1)，使得φ(t)＝0，
0 0
即∃x∈，使得h′(x)＝0，t＝cos2x.
0 0 0 0
当t∈(t 1)时，φ(t)>0，
0,
即当x∈(0，x)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
0
所以当x∈(0，x)时，h(x)>h(0)＝0，不符合题意．
0
综上，a的取值范围为(－∞，3]．
子题1]（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程
(2)若 对任意的 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值.
【答案】(1) . (2) .
【分析】（1）求出 在 处的导数值，求出 ，即可得出切线方程；
（2）先由题意，将问题转化为：得到 ，对任意的 恒成立；，求出其导数，得出存在 ，函数 在区间 上单调递增，在
区间 上单调递减，由隐零点的整体代换的处理方法可得出答案.
【详解】（1） ，
，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2） 对任意的 恒成立，
，
令 ，则函数 在 上单调递增，
.
在唯一 ，使得使得 ，即 ，
且当 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
∴ ，
则 在 上单调递增，
所以 ，满足条件的实数 的最小整数值为 .
[子题2]（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为 (2)
【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；
（2）通过代入不等式整理成 在 上存在实数解问题，故可转化成求函数
在 得最小值问题，计算即得.
【详解】（1）当 时， ，
∴ ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（2）原条件等价于： 在 上存在实数解．
化为 在 上存在实数解，
令 ，
则 ，
∴在 上， ，得 ，故 在 上单调递增，
∴ 的最小值为 ，∴ 时，不等式 在 上存在实数解．
【强化训练】
1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）把 代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出 ，由已知分离参数，构造函数并利用导数求出最小值即得.
【详解】（1）当 时， ，求导得 ，
则 ，而 ，于是 ，即 ，
所以 的图象在点 处的切线方程是 .
（2）函数 定义域为 ，求导得 ，
由 ，得 ，令 ，
求导得 ，令函数 ，
显然函数 在 上单调递增，而 ，则当 时， ， ，
当 时， ， ，函数 在 上递减，在 上递增， ，
因此 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式 仅有1个整数解，则
实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】将不等式 仅有1个整数解转化为不等式 仅有1个整数解，利用导数研
究函数 的性质，结合图象，建立关于a的不等式组，解之即可求解.
【详解】函数 的定义域为 .
要使不等式 仅有1个整数解，使需 仅有1个整数解
即不等式 仅有1个整数解，
设 ，则 ，
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
又 ，当 时， ，当 时， ，
设 ，则直线 恒过点 ，
在同一直角坐标系中，作出函数 与直线 的图象，如图所示，
由图象可知， ，要使不等式 有1个整数解，则 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根、不等式有整数解)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解
3．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 恒成立，求a的取值集合；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求函数 的最小值，转化恒成立条件列不等式可求 的取值集合；
（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明 ，再结合正弦函数
性质和不等式性质即可证明结论.
【详解】（1）由题可知函数 的定义域为 ，
，令 ，得 ，
由x， ， 列表如下
x a
0递减 极小值 递增
，
因为 恒成立，
所以 ， ．
令 ，则 ，
由x， ， 列表如下
x 1
0
递增 极大值 递减
．
又 ， ，
， ，
，故a的取值集合为 ．
（2）由（1）可知，当 时， ，
即 ， ，
（当 时，“ ”成立），
令 ，
，则 ， ，
由累加法可知累加可得 ，
即 ，
令 ， ，
恒成立，
在区间 上单调递减，
，
，
，
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，
常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为
函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式
恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函
数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明
快的思路，有着非凡的功效.
4．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数求出斜率，最后得到方程即可.
（2）化简不等式，同构结合分离参数法求解即可.
【详解】（1）当 时， ，当 时， ，
故切点为 ，设切线斜率为 ， ，
则 ，故切线方程为 .
（2）若不等式 恒成立，
则 恒成立，
化简得 ，定义域为 ，
故 ，化简得 ，令 ，
而 ，令 ， ，令 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 最小值为 ，显然 ，故令 ，
则 ，化简得 ，设 ，而 ，
令 ， ，令 ， ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
则 ，故 .
【点睛】关键点点睛：本题考查求利用导数求解恒成立问题，解题关键是合理对化简后的式子进行同构，
然后使用分离参数法，最后得到所要求的参数范围即可．
5．（2024·陕西·校联考一模）已知函数 .(1)求函数 的单调区间；
(2)求证：当 时，对 ，不等式 恒成立．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后分 和 两种情况，由导数的正负可求出
函数的单调区间；
（2）由题意可得要证原不等式成立，即证 对 恒成立，然后构造函数
，求导后可得 在 上递增，则 ，从而可证得结论.
【详解】（1）定义域为 ，
由 ，得 ，
① 时， ，则 在 上为增函数；
② 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上为增函数，在 上为减函数．
综上，当 时， 在 上为增函数；当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数．
（2）证明：当 时， ，
则
，
∴要证原不等式成立，即证 对 恒成立，
令 ，则 ，
在 上为增函数，当 时， ，
对 恒成立．
对 恒成立．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将
问题转化为 对 恒成立，然后构造函数 ，利用导数判断其单调性
即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
考点三：零点问题
规律方法 (1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤
①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．
②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质．
③结合图象求解．
(2)已知零点求参数的取值范围
①结合图象与单调性，分析函数的极值点．
②依据零点确定极值的范围．
③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论．
[母题]（2023·全国·统考高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)存在 满足题意，理由见解析.(3) .
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求
解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可
得关于实数 的方程，解方程可得实数 的值，最后检验所得的 是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数 ，然后对函数求导，
利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论 ， 和 三中情况即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
函数在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）令 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，
定义域关于直线 对称，由题意可得 ，
由对称性可知 ，
取 可得 ，
即 ，则 ，解得 ，经检验 满足题意，故 .
即存在 满足题意.
（3）由函数的解析式可得 ，
由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点;
令 ，
则 ，
令 ，
在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
此时 ， 在区间 上无零点，不合题意;
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，
所以 在区间 上无零点，不符合题意；
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的最小值为 ，令 ，则 ，
函数 在定义域内单调递增， ，
据此可得 恒成立，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故 ，即 (取等条件为 )，
所以 ，
，且注意到 ，
根据零点存在性定理可知: 在区间 上存在唯一零点 .
当 时， ， 单调减，
当 时， ， 单调递增，
所以 .
令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，所以
，
所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数 得取值范围是 .
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等
函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2) 根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利
用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
[子题1] 单选题（2022·全国·模拟预测）已知函数 恰有2个不同的零点，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意转化为方程 恰有2个不同的实数根，即直线 与函数
的图象恰有2个不同的交点，用导数法画出其图象，利用数形结合法求解.【详解】由题意知方程 恰有2个不同的实数根．
设 ，则直线 与函数 的图象恰有2个不同的交点，
因为 ，当 时， ，当 时， ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
∴可以作出 的大致图象，如图所示，
易知直线 过定点 ，当直线 与函数 的图象相切时，设切点为 ，
则 ，解得 或 ，
当直线 与函数 的图象相切时， 或 ，
数形结合可知，实数a的取值范围为 .
故选：D．
【点睛】思路点睛：函数 恰有两个不同的零点，转化为方程 恰有2个不同的实数根，即直线 与函数 的图象恰有2个不同的交点，利用导数判断函数 的单调性，
极值，数形结合求解.
[子题2]（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知函数 ，其导函数为 ．
(1)求 单调性；
(2)求 零点个数．
【答案】(1) 在 上单调递减；
(2)2个零点，理由见解析
【分析】（1）求定义域，二次求导，得到导函数的单调性和极值情况，从而求出 的单调性；
（2）得到 的定义域，求导，分 ， 和 ，结合函数
的单调性，隐零点，零点存在性定理等得到函数的零点个数.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极大值，也是最大值，
又 ，故 恒成立，
则 在 上单调递减；（2） ，定义域为 ，
，
当 时， 单调递减，且 ，
， ，
故存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
故当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
又 ，
， ，
由（1）知， 在 上恒成立，当且仅当 时，等号成立，
故 ，
又当 趋向于0时， 趋向于 ，
由零点存在性定理得在 和 上，各存在一个零点，
当 时，由（1）知， 恒成立，
此时 恒成立，故 在 恒成立，
故此时函数无零点，
当 时， ，
令 ，则 ，则 在 上单调递减，其中 ，
由于 ，故 ，所以 ，
故 时， ，
综上， 的零点个数为2.
【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零
点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是
通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问
题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要
思考的地方
【强化训练】
1．（2024下·全国·高二专题练习）已知函数 ， .
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 有且只有一个交点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知， 对任意的 恒成立，分析函数 在 上的单调
性，根据 可求得实数 的取值范围，即可得解；
（2）令 ，分析可知，函数 的图象与直线 只有一个公共点，利用导数分析函数
的单调性与极值，数形结合可得出实数 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得 ，则 ，
因函数 在 上单调递增，
所以 对任意的 恒成立，
又因为函数 在 上为增函数，
则 ，解得 ，故实数 的最小值为 .
（2）解： ，令 ，可得 ，
因为函数 的图象与 有且只有一个交点，
令 ，则函数 的图象与直线 只有一个公共点，
则 ，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
则 的极大值为 ，极小值为 ，
的图象如下所示：
由图可知，当 或 时，函数 的图象与直线 只有一个公共点，
因此，实数 的取值范围是 .
2．（2024下·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于函数 ，若存在 ，使得，则称 为函数 的一阶不动点； 若存在 ，使得 ，则称 为函数 的
二阶不动点； 依此类推，可以定义函数 的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也
称为稳定点.
(1)已知 ，求 的不动点；
(2)已知函数 在定义域内单调递增，求证： “ 为函数 的不动点”是“ 为函数 的稳定
点”的充分必要条件；
(3)已知 ，讨论函数 的稳定点个数.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）设 ，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案；
（2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论；
（3）由题意可知只需研究 的不动点即可，令 ，求出其导数，判断其
单调性，然后分类讨论a的取值范围，判断 的零点情况，即可判断 的稳定
点个数.
【详解】（1）设 ，则 恒成立，
故函数 在R上单调递增，
又 ，故函数 在R上有唯一零点，
即 有唯一不动点1；
（2）证明：充分性：设 为函数 的不动点，则 ，则 ，即 为函数 的稳定点，充分性成立；
必要性：设 为函数 的稳定点，即 ，
假设 ，而 在定义域内单调递增，
若 ，则 ，与 矛盾；
若 ，则 ，与 矛盾；
故必有 ，即 ，
即 ，故 为函数 的不动点，
综上， “ 为函数 的不动点”是“ 为函数 的稳定点”的充分必要条件；
（3）当 时，函数 在 上单调递增，
由（2）知 的稳定点与 的不动点等价，故只需研究 的不动点即可；
令 ，
则 ，则 在 上单调递减，
①当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，
当x无限接近于0时， 趋向于负无穷小，且 ，
故存在唯一的 ，使得 ，即 有唯一解，
所以此时 有唯一不动点；
②当 时，即 时， ，
当x趋向无穷大时， 趋近于0，此时 ，存在唯一 ，使得 ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
当x趋近于0时， 趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时， 趋向于负无穷大，
设 ，则 在 上单调递增，且 ，
又 在 时单调递增，
故（i）当 时，即 ，
此时 ，方程 有一个解，即 有唯一不动点；
（ii）当 shi ，即 ，
此时 ，方程 无解，即 无不动点；
（iii）当 时，即 ，
此时 ，方程 有两个解，即 有两个不动点；
综上，当 时或 时， 有唯一稳定点；
当 时， 无稳定点；
当 ， 有两个稳定点；
【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义问题，涉及到知识点较多，解答时要注意理解函数新定义的含
义，解答的难点是（3）中判断函数稳定点的个数，解答时要结合新定义，采用分类讨论的方法去解决问
题，解答过程较为复杂，要有较强的逻辑思维能力.3．（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，分析 的单调性；
(2)若 ，证明： 在 ， 内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.
【答案】(1) 在 上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）判断 的符号得 的单调性；
（2）分析 的单调性得 在 ， 内各恰有一个零点，设 为函数 在 内的零点，
证明 也是 的零点即可.
【详解】（1）若 ，则 .
设 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增.
（2） .
设 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
若 ，即 ，则 ，又 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 内各恰有一个零点，设为 .
当 或 时， 单调递增，当 时， 单调递减.
由于 ，所以 ，
又当 时 ，当 时 ，
的大致图象如下:
设 为函数 在 内的零点，下面证明 也是 的零点，即 .
因为 ，
所以 .
综上， 在 ， 内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.
【点睛】利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
4．（2024上·河北石家庄·高三石家庄市第二十四中学校联考期末）已知函数 .
(1) 时，求函数 的值域;
(2)若 在 上有两个实数根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求得 ，得到函数 的单调性和极值，进而求得函数 的值域；
（2）由题意，转化为 在 有两个零点，求得 ，令
，分类讨论求得函数 的单调性，结合 时， ，进而得到答案.
【详解】（1）解：当 时，函数 ，其定义域为 ，且 ，
令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
所以当 时， 取得极小值，同时也是最小值，最小值 ，
又因为 时， ，所以 的值域为 .
（2）解：由 在 有两个实数根，则 在 有两个零点，
又由 ，令 ，
当 时， 恒成立， ， 在 上单调递减，舍去；
当 时，解得 或 ， 有两个根 ，且 ，
当 时， 在 上恒小于 ， ， 单调递减，舍去；
当 时， ，不妨设 ，则 ，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
且 ，则 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减，且 ，
所以，当 时， ，
则 ，且 ，
故 使 ，故 在 上存在两个零点，
综上，实数 的取值范围为 .
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
5．（2024下·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 恰有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．【分析】（1）求定义域，求导后因式分解，分 ， ， 和 ，求出单调区间；
（2） ，二次求导，分 ， ，结合特殊点的函数值和隐零点，得到实数 的
取值范围.
【详解】（1） 定义域为 ，
．
①当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时，令 ，得 ，令 ，得 或 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 和 上单调递减；
③当 时， 在 上单调递减；
④当 时，令 ，得 ，令 ，得 或 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 和 上单调递减；
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ；
当 时， 的单调递减区间为 ，无递增区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .
（2）由题意知 ，则 ．
令 ，则 ．若 ，则 恒成立， 在 上单调递增．
因为 ，所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
则 ，即 有且仅有一个零点，不符合题意．
若 ，则由 ，解得 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
则 ．
令 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
则 ．
若 ，则 恒成立， 在 上单调递增，不可能有两个零点，
不符合题意．
若 ，则 ，
显然当 时， ，故 ，使得 ．
又 ，所以当 和 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
因为 ，当 时， ，所以 ，使得 ，则 恰有两个零点，符合题意．
若 ，则 ，显然当 时， ，
故 ，使得 ．
又 ，所以当 和 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
因为 ，当 时， ，所以 ，使得 ，
则 恰有两个零点，符合题意．
综上所述， 的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区
间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替
换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
