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专题04 利用导数解决双变量问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 对称化构造法（
）
题型二 比值/差值代换法（
）
题型三 对数/指数均值不等式法（
）
题型四 加法/减法型极值点偏移（
）
题型五 乘积/平方型极值点偏移（
）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中题型定位：仍以压轴题第二问为主，分值占比 5-8 分，聚焦双变量不等式证明
（加法型、乘积型等）。
基础知识必备：掌握含对数、指数的单极值点函数模型（如 f ( x)= ln x +a x
2+bx、
f ( x)=e
x−ax）的单调性、极值求解。熟练运用导数工具，包括求导公式、导数符号判断函数
增减性、极值点求解。掌握对称化构造、比值 / 差值代换、对数 / 指数均值不等式等核心方
法的基本逻辑。理解双变量关系转化技巧，能将 x1+ x2、x1 x2 等形式转化为单变量问题。
2026 高考预测： 考向趋势主要是结合含参函数的极值点问题，融合对称化构造与均值不等
式的综合应用；跨模块趋势增强，可能与函数单调性、最值、不等式放缩结合考查。 创新方
向：出现 “新定义型极值点偏移”，强调逻辑推理与构造能力；乘积 / 平方型极值点偏移
成为难点设问方向。
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重难知识汇总：重难知识汇总极值点偏移定义：函数在极值点 x0 两侧存在 x1≠x2 满
足 f ( x1)= f ( x2)，需证明 x1+ x2>2 x0（或 <2 x0）、x1 x2> x0
2（或 < x0
2）等关系。关键函数性质：
单极值点函数的 “对称特征”，即极值点两侧函数值对称分布的偏移规律。核心不等式：对数均值不等
式（√ab<
a−b
ln a−ln b < a+b
2
）、指数均值不等式（e
m+n
2 < e
m−e
n
m−n < e
m+e
n
2
）的应用条件与放缩方向。常
见模型：加法 / 减法型（x1+ x2>k、| x1−x2|<k）、乘积 / 平方型（x1 x2>k、x1
2+ x2
2>k）的转化逻辑。
常用技巧方法：
1.对称化构造法：构造 F( x)= f ( x)−f (2 x0−x)，通过判断 F( x) 单调性推导双变量关系，适
用于加法型偏移。
2.比值 / 差值代换法：令 t = x1
x2
（比值）或 t = x2−x1（差值），将双变量转化为单变量函数，适
用于乘积 / 商型不等式。
3.对数 / 指数均值不等式法：从 f ( x1)= f ( x2) 推导得到 a= ln x1−ln x2
x1−x2
等形式，直接套用均
值不等式放缩。
4.中间量过渡法：减法型偏移通过 “x2<6−x1” 等中间关系，结合函数单调性推导差值范围。
易错避坑提效：
1.函数失误：忽略构造函数的定义域（如 x>0、x<1 等限制），导致单调性判断错误。均值不等
式滥用：未验证对数 / 指数均值不等式的使用条件（如 a≠b、a,b>0），直接放缩导致结论偏差。
2.导数符号判断：求导后未化简（如分式导数通分不彻底），误判导函数符号，影响函数单调性分析。
3.极值点求解：对含参函数求导后，遗漏极值点存在的条件（如文档中 “h( x) 存在两个不同变号
零点” 需满足最小值小于 0）。
4.双变量转化：代换后未明确单变量的取值范围（如 t = x1
x2
需注明 0<<t <1），导致后续证明逻
辑不严谨。
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题型一 对称化构造法
方法点拨：已知函数
存在极值点
，且
，求证
（或
）。
构造对称辅助函数
，通过研究
的单调性，结合
的增减性推导双变量关
系。含对数、指数的单极值点函数(
、
),是全国卷、新高考卷最常考
的基础模型。
【典例01】（2025·云南·模拟预测）定义：
，
是函数
的两个极值点，若
，则称
为“
函数”．
(1)若
为“
函数”，求实数
的取值范围；
(2)已知函数
有两个极值点．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
为“
函数”．
【典例02】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数
．
(1)设
，求
的零点并判断
的单调性；
(2)若
，且
，证明：
（i）
；
3
（ii）
．
【变式01】（24-25 高三上·河北唐山·月考）已知函数
.
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
.
【变式02】（25-26 高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数
．
(1)当
时，
① 求
的最小值；
② 设
，求证:
；
(2)设
，
，
是
的两个极值点，求证：
．
【变式03】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
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(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
题型二 比值/差值代换法
方法点拨：已知函数零点或等值关系，求证乘积型（
）、商型（
）不等式。解
题关键: (
)（比值代换）或 (
)（差值代换），将双变量转化为单变量函数，通过导数证明
不等式。
【典例01】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
有两个不同的零点
，且满足
，求证：
．
【典例02】（2025 高三·全国·专题练习）若x1, x2是函数f (x)=e
x−ax (x>0)的两个零点，且x1< x2，求证：
x1+ x2>2且x1 x2<1．
【变式01】（25-26 高三上·河北石家庄·开学考试）已知函数
．
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(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，若函数
有2 个不同的零点
，
．
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
【变式02】（2025·山东·模拟预测）已知函数h(x)= x−a ln x (a∈R).
(1)若h(x)有两个零点，a的取值范围；
(2)若方程xe
x−a(ln x + x)=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e
x1+ x2>e
2
x1 x2
.
【变式03】（24-25 高三下·天津·阶段练习）已知函数f ( x)= x
2−2ax + 4 ln x．
(1)讨论f ( x)的单调区间；
(2)已知a∈[ 4,6]，设f ( x)的两个极值点为λ1, λ2(λ1< λ2)，且存在b∈R，使得y = f ( x)的图象与y =b有
三个公共点x1, x2, x3(x1< x2< x3)；
①求证：x1+ x2>2 λ1；
②求证：x3−x1<4√7．
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题型三 对数/指数均值不等式法
方法点拨：利用对数均值不等式（
）或指数均值不等式（
）快速证明双变量不等式。解题关键 从
推导得到
等形式，直接套用均值不等式放缩。高考中常以对称结构明显的双变量问题（如
、
）。
【典例01】（25-26 高三上·天津蓟州·期中）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
有两个正零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
．
【典例02】 （24-25 高三上·浙江宁波·开学考试）已知函数f (x)= ln x
x
，对于正实数a，若关于t 的方程
f (t )= f(
a
t )恰有三个不同的正实数根，则a 的取值范围是（ ）
A．(1,8)
B．(e
2,8)
C．(8,+ ∞)
D．(e
2,+∞)
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【变式01】（24-25 高三上·江苏无锡·月考）已知函数
.
(1)若
，当
与
的极小值之和为0 时，求正实数
的值；
(2)若
，求证：
.
【变式02】（25-26 高三上·河北·月考）已知函数
，且
有两个零点
.
(1)求
的取值范围；
(2)证明：
.
【变式03】（25-26 高三上·河北保定·期中）已知函数
，其中
．
(1)若
，求
的极值：
(2)令函数
，若存在
，
使得
，证明：
．
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题型四 加法/减法型极值点偏移
方法点拨：加法型：求证
（如
、
）；
减法型：求证
（如
）。解题关键 加法型侧重对称构造或均值不
等式；减法型需结合函数单调性，通过“中间量过渡”（如
）推导差值范围。高考常以多零点
函数（如三次函数、含参数的对数函数），常出现在压轴题第二问，需结合函数极值、单调性综合分析。
【典例01】（2025·江苏扬州·模拟预测）已知函数f (x)= ln (mx)−x (m>0)．
(1)若f (x)≤0恒成立，求m的取值范围；
(2)若f (x)有两个不同的零点x1, x2，证明x1+ x2>2．
【典例02】（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数
，
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
时，
恒成立，求
的范围；
(3)若
在
内有两个不同零点
、
，求证：
.
【变式01】（24-25 高三上·湖北襄阳·期末）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最小值
B．当
时，
的图象在点
处的切线方程是
C．当
时，函数
有2 个零点
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D．若
，则
【变式02】（24-25 高三上·山东潍坊·期末）已知函数
，
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若
有两个实数解
，
，证明：
.
【变式03】（2025·江苏扬州·模拟预测）已知函数
．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)若
有两个不同的零点
，证明
．
题型五 乘积/平方型极值点偏移
方法点拨：加法型：求证
（或
）；
减法型：求证
（或
）. 解题关键 乘积型可通过取对数转化为加
法型，平方型需结合基本不等式 (
)，再利用已知的 (
) 范围推导。新高考创新
题型、压轴题难点设问，需灵活结合对称构造、比值代换与不等式放缩。
【典例01】（2025·广东湛江·一模）已知函数
．
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(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
【典例02】（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系
中，
的直角顶点
在
轴上，另一个顶点
在函数
图象上
(1)当顶点
在
轴上方时，求
以
轴为旋转轴，边
和边
旋转一周形成的面所围成的几何
体的体积的最大值；
(2)已知函数
，关于
的方程
有两个不等实根
.
（i）求实数
的取值范围;
（ii）证明：
.
【变式01】（24-25 高三上·四川成都·月考）已知函数
，其中为自然对数的底数．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若方程
有两个不同的根
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
【变式02】（23-24 高三上·河南·月考）已知函数
.
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(1)当
时，求
在区间
上的最值；
(2)若
有两个不同的零点
，证明：
.
【变式03】（23-24 高三上·河南·月考）已知函数
.
(1)若
有唯一极值，求
的取值范围；
(2)当
时，若
，
，求证：
.
（限时训练：15 分钟）
1. （2025·湖南长沙·一模）已知a=(e−0.1)
e+0.1，b=e
e，c =(e+0.1)
e−0.1，则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<a<c
D．a<c<b
2.（24-25 高三上·广东深圳·期末）(多选)已知函数
（
，
且
），下列说法正
确的是（ ）
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A．当
时，
可能存在两个零点
B．若
恒成立，则
C．若
恒成立，则
的最小值为
D．若
恒成立，且
，则
3． （24-25 高三上·河北·月考）已知函数
.
(1)若该函数在
单调递增，求
的取值范围.
(2)当
时，若方程
有两个实数根
，且
，证明：
.
4． （24-25 高三上·全国·月考）已知函数
有两个不同的零点为
，
，若
恒成立，则实数
的最大值为 ．
5（2024·云南·二模）已知常数
，函数
.
(1)若
，求
的取值范围;
(2)若
、
是
的零点，且
，证明:
.
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6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
和
，若存在两个实数
，且
，使
得
，
，证明：
．
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