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第 15 讲 圆锥曲线的方程与性质（3 大考点+强化训练）
[考情分析] 高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、
双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
知识导图
考点分类讲解
考点一:圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF|＋|PF|＝2a(2a>|FF|)．
1 2 1 2
(2)双曲线：||PF|－|PF||＝2a(0<2a<|FF|)．
1 2 1 2
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为 a2＝b2＋
c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．
【例1】 （2024·新疆·二模）设 分别是椭圆 的左，右焦点，过 的直线 交椭圆于 两
点，则 的最大值为( )
A． B． C． D．6【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知点 为双曲线 右支上一点， 分别
为双曲线的左右焦点，且 ， 为 的内心，若 ， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知椭圆 的左右顶点分别为
为椭圆上异于 的任意一点，且 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高三上·天津和平·期末）已知双曲线 的右焦点为点 ，过点
作双曲线 的其中一条渐近线 的垂线，垂足为点 （点 在第一象限），直线 与双曲线 交于点 ，
若点 为线段 的中点，且 ，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点二：椭圆、双曲线的几何性质
1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取
值范围．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
【例2】（2024·山东聊城·一模）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是 上的
一点，若 的一条渐近线的倾斜角为 ，且 ，则 的焦距等于（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【变式1】（2024·湖北·二模）已知双曲线 的左右顶点分别为 ，点 是双曲线 上在第一
象限内的点，直线 的倾斜角分别为 ，则 ；当 取最小值时，
的面积为 ．
【变式2】（23-24高三上·重庆·期末）已知 ， 分别是双曲线C： （ ）的左、右焦点，
过 作一直线交C于M，N两点，若 ，且 的周长为1．则C的焦距为 ．
【变式3】2024高三上·全国·竞赛）设 为坐标原点，椭圆 的左、右顶点分别为 ，
，点 为椭圆上一点，直线 的斜率为 ， 的斜率为2，则 的斜率为 ．
考向2 离心率问题
【例3】（2024·全国·模拟预测）设椭圆 的左，右焦点分别为 ，直线 过点 ，若
点 关于 的对称点 恰好在椭圆 上，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【变式 1】（2024·湖北·二模）已知椭圆 ，则“ ”是“椭圆 的离心率为 ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系 中，设直线 与双曲线
的两条渐近线都相交且交点都在 轴左侧，则双曲线 的离心率 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·陕西西安·二模）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，点 在 上，点 在 轴上， ， ， 三点共线，若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为
，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．3
考点三：抛物线的几何性质及应用
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
(1)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2(2)|AB|＝x＋x＋p.
1 2
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角
梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
【例4】（22-23高三下·河南安阳·阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点A，B在抛物线上．若
，则当 取得最大值时， ．
【变式1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）抛物线 过点 ，则焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，
点P在C上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·河北沧州·模拟预测）焦点为 的抛物线 上有一点 ， 为坐标原
点，则满足 的点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
强化训练
一、单选题
1．（2024·广东·一模）双曲线 的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（23-24高三上·北京西城·期末）已知双曲线C的一个焦点是 ，渐近线为 ，则C的方程
是（ ）A． B．
C． D．
3．（23-24 高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 在直线
上运动，则 的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．15
4．（2023·四川南充·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的焦距等于 ，则实数 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
5．（2023·甘肃酒泉·三模）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 与双曲线
的右支交于 ， 两点，且 ，点 关于原点 的对称点为点 ，若 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三下·四川·期末）双曲线 的左，右焦点分别是 ， ，已知 到双曲线
H的一条渐近线的距离为 ，则 为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
7．（2024高三·全国·专题练习）过坐标原点 的直线与椭圆 交于 两点，设椭圆
的右焦点为 ，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
8．（2024·辽宁·一模）已知 为椭圆 的右焦点，过原点的直线与 相交于 两点，
且 轴，若 ，则 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2024·辽宁·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点
在抛物线 的准线上，则以下命题正确的是（ ）
A． 的最小值是2
B．
C．当点 的纵坐标为4时，存在点 ，使得
D．若 是等边三角形，则点 的横坐标是3
2．（2024·安徽阜阳·一模）已知 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 两点都
在 上， ， 三点共线， （不与 重合）为上顶点，则（ ）
A． 的最小值为4 B． 为定值
C．存在点 ，使得 D．
3．（2024·福建漳州·模拟预测）点 在抛物线 上， 为其焦点， 是圆 上一点，
，则下列说法正确的是（ ）A． 的最小值为 .
B． 周长的最小值为 .
C．当 最大时，直线 的方程为 .
D．过 作圆 的切线，切点分别为 ，则当四边形 的面积最小时， 的横坐标是1.
三、填空题
1．（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线 经过点 ，写出 的一个标准方程： .
2．（23-24高三下·上海·阶段练习）若直线 经过双曲线 的一个焦点，且
与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为 .
3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽
，杯深 ，称为抛物线酒杯. 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的
半径的最大值为 .
四、解答题
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线 上一点 的纵坐标为 ，点 到焦点 的距
离为 .过点 做两条互相垂直的弦 、 ，设弦 、 的中点分别为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过焦点 作 ，且垂足为 ，求 的最大值.2．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线 ： 的离心率为 ，点 在双
曲线 上．过 的左焦点F作直线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆上?请说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求证： 为定值．
3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知椭圆E： 过点 ，离心率为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为 的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线 于点P，过点P
作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ，点 是椭圆
上异于顶点的任意一点，过点 做椭圆的切线 ，交 轴于点A，直线 过点 且垂直于 ，交 轴于点 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)试判断以 为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．5．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线 和圆 的公共弦过抛物线的焦
点 ，且弦长为 ．
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)过点 的直线与抛物线相交于 两点，抛物线在点 处的切线与 轴的交点为 ，求 面积的
最小值．
