文档文本内容
第 4 讲 函数的极值、最值（3 大考点+强化训练）
【知识导图】
【考点分析】
考点一 利用导数研究函数的极值
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．
一、单选题
1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论：
①若公比 ，那么等比数列前n项和存在极限；
② 为数列 最大的项，那么 对任意的n（ ， ， ）都成立；
③函数 的导数为 ，若 ，那么 为函数的极值点；
④函数 的导数为 ，若 恒成立，那么 是严格增函数.
正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题2．函数 的极值点是 ．
三、解答题
3．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底
数.
(1)当 时，求函数 的最值；
(2)当 时，讨论函数 的极值点个数.
4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底
数.
(1)当 时，求函数 的最值；
(2)当 时，讨论函数 的极值点个数.
考点二 利用导数研究函数的最值
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
一、单选题
1．设函数 ，若存在 ，使 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．当 时，函数 的最大值与最小值的和为 .
三、解答题
3．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求当 面积最大时 的值.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)二次函数 ，在“①曲线 ， 有1个交点；② ”中选择一个作为
条件，另一个作为结论，进行证明；
(2)若关于x的不等式 在 上能成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．考点三 极值、最值的简单应用
一、单选题
1．已知函数 ，若函数 恰有 个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数 的最大值为
C．若方程 恰有两个不等的实根，则实数 的取值范围为
D．若 ，则
三、填空题
3．（2023下·甘肃武威民勤县第一中学校考阶段练习）若 图象上存在两点 关于原点对称，则点对
称为函数 的“友情点对”（点对 与 视为同一个“友情点对”），若
恰有两个“友情点对”，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题4．已知函数 ，在点 处的切线为 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ， 是函数 的两个极值点，证明 .
5．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）设函数
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程.
(2)讨论函数 在区间 上零点的个数.
【强化训练】
一、单选题
1．设函数 的一个极值点为 ，则 （ ）A． B． C． D．
2．（2023单元测试）已知函数 与函数 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数 在区间 内有且仅有一个零点，则 在区间 上的最大值
为（ ）
A．4 B．10 C．16 D．20
4．已知函数 ，有以下命题：①当 时，函数 在 上单调递增；
②当 时，函数 在 上有极大值；③当 时，函数 在 上单调递减；④
当 时，函数 在 上有极大值 ，有极小值 ．其中不正确命题的序号是
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数a的取值范围为：（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的极小值为（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
7．已知函数 ，（ ）．
A．若 在区间 上单调，则B．将函数 的图象向左平移 个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数， 最小值为
C．函数 在区间 上恰有三个极值点，则
D．关于x的方程 在 上有两个不同的解，则
8．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数 ，若函数
有两个零点 ，则 的值可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．0
三、填空题
9．若函数 在 处有极值，且 ，则称 为函数 的“ 点”.已知函数
存在两个不相等的“ 点” ， ，且 ，则 的取值范围是
.
10．若关于x的不等式 恒成立，则 的最小值是 .
11．某产品的销售收入 （万元）是产量x（千台）的函数 ，生产成本 （万元）是产量x（千
台）的函数 ，已知 ，为使利润最大，应生产 （千台）．
12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知函数 ，若 恒成立，则
的取值范围为 ．
四、解答题
13．函数 ．（1）试讨论函数 的单调性；
（2）若 ，证明： ( 为自然对数的底数)．
14．已知函数 .
（1） 时，讨论函数 的单调性；
（2）证明：当 时， .
15．（2023下·云南·高三校联考开学考试）在抗击新冠肺炎疫情期间，作为重要防控物资之一的防护服是
医务人员抗击疫情的保障，我国企业依靠自身强大的科研能力，自行研制新型防护服的生产．(1)防护服的生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响，第四道是检测工序，
包括红外线自动检测与人工抽检，红外线自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线并由工人进
行抽查检验．已知在批次I的成品防护服的生产中，前三道工序的次品率分别为 ，
第四道红外线自动检测显示为合格率为92%，求一件防护服在红外线自动检测显示合格品的条件下，人工
抽检也为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；
(2)①已知某批次成品防护服的次品率为 ，设3件该批次成品防护服中恰有1件不合格品的最
大概率为 ，在多次改善生产线后批次J的防护服的次品率 ，请从次品率的角度比较（1）中
的批次I与批次J防护服的质量；
②某医院获得批次I，J的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常使用这两个批次的防护服
期间，该院医务人员核酸检测情况的等高堆积条形图如图所示，请完善下面的 列联表，并依据小概率
值 的独立性检验，分析能否认为防护服的质量与感染新冠肺炎病毒有关联？
防护服批次
核酸检测结果 合计
I J
呈阳性
呈阴性
合计
附： ．0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
