“8+4+4”小题强化训练(8)利用导数研究函数的极值、最值解析版_“8+4+4”小题强化训练(8)利用导数研究函数的极值、最值（原卷+解析）-2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）

2022 届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(8)
（利用导数研究函数的极值、最值）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已经知道函数
在
上，则下列说法不正确的是(    )
A．最大值为9
B．最小值为
C．函数
在区间
上单调递增
D．
是它的极大值点
【答案】C
【解析】对于选项C，
，令
，解得
或
，
所以当
，
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，C 错误；
对于选项D，所以
是它的极大值点，D 正确；
对于选项A，因为
，所以函数
的最大值为9，A 正确；
对于选项B，因为
，所以函数
的最小值为
，
B 正确.              故选：C
2.函数
在区间
上的最大值是（    ）
A．
  B．
  C．
  D．
【答案】C
【解析】对于函数
，
.
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
所以，
.故选：C.
3.下列关于函数
的结论中，正确结论的个数是（    ）
A.
是极大值，
是极小值；
B.
没有最大值，也没有最小值；
C.
有最大值，没有最小值；
D.
有最小值，没有最大值.
【答案】B
【解析】由
，得
，令
，则
，
解得
或
，当
或
时，
，当
时，
，所以
是极小值，
是极大值，所以A 错误；因为
是极小值，且当
时，
恒成立，而
是极大值，所以
有最大值，没有最小值，所以C 正确，BD 错误，
故选：C
4.若
是函数


3
2
2
1
( )
(
1)
3
3
f x
x
a
x
a
a
x






的极值点，则a 的值为（   ）
A．-2
B．3
C．-2 或3
D．-3 或2
【答案】B
【解析】







3
'
2
2
2
2
( )
2(
1
3
1)
1
3
3
f
x
f x
x
a
x
a
a
x
a
x
a
a
x













，由题意
可知
'(1)
0
f

，


'
2
(1)
1
(
1)
3
0
3
a
a
a
f
a









或
2
a 
当
3
a 
时，


2
'
2
2
3
8
9
(
9)(
( )
2(
1
)
)
1
f
x
x
a
x
a
a
x
x
x
x












，
当
1,
9
x
x


时，
'( )
0
f
x 
，函数单调递增；当9
1
x


时，
'( )
0
f
x 
，函数单调递减，显
然
1
x 
是函数

f x 的极值点；
当
2
a 
时，


'
2
2
2
2
( )
2(
1)
3
2
1
(
1)
0
a
a
x
x
x
f
x
a
x
x











，所以函数是R 上
的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选:B.
5.设函数

f x 在R 上可导，其导函数为

f
x

，若函数

f x 在
1
x 
处取得极大值，则函数

y
xf
x


的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数

f x 在R 上可导，其导函数为

f
x

，若函数

f x 在
1
x 
处取得极大值，
所以当
1
x 
时，

0
f
x


；
1
x 
时，

0
f
x


；
1
x 时，

0
f
x


；
所以当
0
x 
时，

0
y
xf
x



，当0
1
x


时，

0
y
xf
x



，
当
0
x 
或
1
x 
 时，

0
y
xf
x



，当
1
x 
时，

0
y
xf
x



，
可得选项B 符合题意，故选：B．
6.设函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是(     )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
的定义域为
.
，令其分子为
，在区间
上有两个零点，故
，解
得
，故选:B.
7.已知函数
，则下列结论不正确的是（    ）
A. 函数
有极小值也有最小值
B. 函数
存在两个不同的零点
C. 当
时，
恰有三个实根
D. 若
时，
，则的最小值为2
【答案】C
【解析】由
，得
，
令
，则
或
，当
或
时，
；当
时，
 ，
所以
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有极小值
，有极大值
，
当
时，
， 当
时，
，
故函数的图像如图，
 
故选：C
8.已知函数
若存在实数
，
满足
，且
，则
的最大值为（    ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】
的图象如下
存
实数
，
满足
，且
，即
∴
，则
令
，
，则
∴
在
上单调递增，故
   故选：B
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求,全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.已知函数

y
f x

的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ）
A．1
是函数

f x 的极小值点
B．3
是函数

f x 的极小值点
C．函数

f x 在区间

3,1

上单调递增
D．函数

f x 在
0
x 
处切线的斜率小于零
【答案】BC
【解析】由图象得
3
x 时，
( )
0
f
x


，
3
x 时，
( ) 0
f
x



，
故
( )
f x
在(
, 3)

单调递减，在( 3,
)


单调递增，
故
3
x 是函数
( )
f x
的极小值点，故选：BC．
10.已知函数

ln
xe
f
x
x

，则（    ）
A．


0,1
x
时，

f x 的图象位于x 轴下方
B．

f x 有且仅有一个极值点
C．

f x 有且仅有两个极值点
D．

f x 在区间

1,2 上有最大值
【答案】AB
【解析】由题,函数 
( )
ln
xe
f x
x

 满足 
0
ln
0
x
x





 ,故函数的定义域为(0,1)
(1,
),


由
( )
,
ln
xe
f x
x

 当
(0,1)
x
 时,ln
0,
0
x
x
e


 ，
所以
( )
0
f x 
，则
( )
f x
的图象都在轴的下方，所以A 正确；
又
2
1
(ln
)
( )
(ln )
xe
x
x
f
x
x



，在令
1
( )
ln
,
g x
x
x


 则 
2
1
1
( )
g x
x
x



，故
( )
0,
g x


 
函数( )
g x 单调递增，则函数
( )
0
f
x


 只有一个根
0,
x
 使得 


0
0
,
f
x


 
当


0
0,
x
x

时 ,
( )
0
,
f
x


 函数单调递減 ，当


0,
x
x

时，函数单调递增，
所以函数只有极值点且为极小值点，所以B 正确，C 不正确；
又
1
(1)
1
0, (2)
ln 2
0,
2
g
g




 所以函数在(1,2) 先减后增，没有最大值，所以D 不正确.
故选：AB.
11.关于函数
，下列判断正确的是（    ）
A. 当
时，
；
B. 当
时，不等式
的解集为
；
C. 当
时，函数
有两个零点；
D. 当
的最小值为2 时，
．
【答案】ABD
【解析】对函数
求导得
，
当
时，
，
，
当
时，
，函数单调递减，
当
时，
，函数单调递增，
所以
，故A 正确；
当
时，
，在
上单调递减，
因为
即
，
所以
，解得
，故B 正确；
当
时，
，
，
则当
时，
，函数单调递减，
当
时，
，函数单调递增，
所以
，函数只有一个零点，故C 错误；
当
时，
单调递减，无最小值；
当
时，由
可得当
时，
，函数单调递减，
当
时，
，函数单调递增，
所以
，解得
，故D 正确.    故选：ABD.
12.已知函数
的定义域是
，有下列四个命题，其中正确的有（    ）
A. 对于
(
，0)，函数
在
上是单调增函数
B. 对于
(0，
)，函数
存在最小值
C. 存在
(
，0)，使得对于任意
，都有
成立
D. 存在
(0，
)，使得函数
有两个零点
【答案】ABD
【解析】因为
，定义域为
，
，
对于选项A，当
时，
恒成立，所以
在
上
单调增函数，故
正确；
对于选项B，当
时，令
，则
，所以
为增函数，设
的根为
，即
，则当
时，
，此时
，
在
上递减；当
时，
，此时
，
在
上递增，所以函数
在
时
取得最小值，故
正确；
对于选项C，当
时，由
知，函数
在
上是单调增函数，因为
时，
，
，所以
，所以
错误；
对于选项D，当
时，由
知，函数
在
时取得最小值
，要使得
函数
有两个零点，必须且只需函数
的最小值小于0 即可，即
，
那么当
时，有
，
所以存在
，使上式成立，故
正确.故选：ABD.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.已知函数

2
2ln
3
f x
x
ax
x



在
2
x 
处取得极小值，则

f x 的极大值为__________
【答案】
5
2

【解析】由题意得，

2
2
3
f
x
ax
x




，

2
4
2
0
f
a





，解得
1
2
a 
，

2
1
2ln
3
2
f x
x
x
x




，

2
3
f
x
x
x 



 



1
2
x
x
x


，

f x

在(0,1),(2,
)
上单调递增，在(1,2) 上单调递减，

f x

的极大值为

1
5
1
3
2
2
f



.    故答案为：
5
2

14.若函数
在区间
上有最小值，则实数
的取值范围是________
【答案】
【解析】对函数
进行求导，得
，当
，
，当
或
时，
，所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，在
区间
上单调递减，在
处函数
取得极小值
，因为函数在
端点处
的函数值无法取到，所以区间
内必存在极小值点
，且此极小值点为最小值，
因此
，解得
，又因为
，即函数
在
时的函数值
与
处的极小值相同，为了保证在区间
上最小值在
取到，所以
，
综上，
.      故答案为：
15. 已知函数
，若
是函数
的唯一极值点，则实数
的取值集
合是________
．
【答案】
．
【解析】函数定义域
，
，
由题意可得，
是
唯一的根，
故
在
上没有变号零点，
即
在
时没有变号零点，
令
，
，则
，
当
时，
，函数单调递增，
当
时，
，函数单调递减，
故当
时，
取得最小值
，
故
即
．      故答案为：
．
16.若函数
在
上存在两个极值点，则
的取值范围是
_______.
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
设
，
因为函数
在
上存在两个极值点，
所以
在
上存在两个零点，
所以
在
上存在两个零点，设为
且
，
所以根据韦达定理有：
，
故
，
因为
，
所以
，
，
由于
，
所以
.    故答案为：
.