文档文本内容
2022 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(30)
（等比数列及其前n 项和）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知正项等比数列
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在正项等比数列
中，
，由
，所以
，
又
，所以
，所以
，故选:D.
2.设
是等比数列，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【思路导引】根据已知条件求得
的值，再由
可求得结果．
【解析】设等比数列
的公比为
，则
，
，
，故选:D．
3.已知等比数列
的前
项和为
，
设
，那么数列
的前
15 项和为（ ）
A．16
B．80
C．120
D．150
【答案】C
【解析】因为
若
，则
，不成立，
所以
，则
，解得
，
所以
，所以
，
所以数列
的前15 项和为
，故选:C．
4.记
为等比数列
的前项和．若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为
，由
可得：
，
∴
，因此
，故选:B．
5.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年，他写成《律学新说》，
提出了十二平均律的理论，这成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产
生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1 和2 之间插入11 个正数，使包含1 和2 的这13 个
数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为
，根据题意可得
又
，所以
，所以
，
所以插入的第四个数
， 故选：D
6.数列
中，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在等式
中，令
，可得
，
，
所以，数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，则
，
，
，则
，解得
．故选：C．
7.已知正项等比数列
中
，若存在两项
、
，使
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】正项等比数列中，
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，
当且仅当
，即
时取等号，因为
、
，所以
，
，
所以
的最小值为5. 故选:A。
8.已知数列
满足
，
，若
，
，且数列
是单调递增数列，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
得，
则
由
，得
，
∴数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
∴
，
由
，
得
，
因为数列
是单调递增数列，
所以
时，
，
，即
，
所以
，
又∵
，
，
由
，得
，得
，
综上：实数
的取值范围是
. 故选:C。
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求,全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.已知
为等比数列，下面结论中错误的是（ ）
A．
1
3
2
2
a
a
a
B．
2
2
2
1
3
2
2
a
a
a
C．若
1
3
a
a
，则
1
2
a
a
D．若
3
1
a
a
，则
4
2
a
a
【答案】ACD
【解析】设等比数列的公比为q ，则
2
1
3
2
a
a
a
a q
q
，当
2
0
a
，
0
q
时，
1
3
2
2
a
a
a
，故A
不正确；
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2
(
)
(
)
2
a
a
a
a q
a
q
，
2
2
2
1
3
2
2
a
a
a
当且仅当
1
3
a
a
时取等号，故B 正确；
若
1
3
a
a
，则
2
1
1
a
a q
，
2
1
q
，
1
q
，
1
2
a
a
或
1
2
a
a
，故C 不正确；
若
3
1
a
a
，则
2
1
1
a q
a
，
2
4
2
1 (
1)
a
a
a q q
，其正负由q 的符号确定，故D 不正确，故选:
ACD．
10.设等比数列
的公比为q,其前n 项和为
,前n 项积为
,并满足条件
,
,下列结论正确的是（ ）
A．S2019<S2020
B．
C．T2020是数列
中的最大值
D．数列
无最大值
【答案】AB
【解析】当
时，
，不成立；
当
时，
，
不成立；
故
，且
,
，故
，A 正确；
，故B 正确；
因为
,
，所以
是数列
中的最大值，C，D 错误； 故选:AB。
11.已知
是公比q 的正项等比数列
的前n 项和，若
，
，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．数列
是公差为2 的等差数列
【答案】ABC
【解析】公比q 为正数，且
，
，
，
又
，解得
，
.
，
，
，
∴数列
是公比为2 的等比数列.
，故ABC 正确，
，数列
是公差为
的等差数列，故D 错误, 故选：ABC.
12.设等比数列
的公比为
，前n 项和为
，前n 项积为
，并满足条件
，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
是数列
中的最大值
【答案】BCD
【解析】依题意等比数列
满足条件：
，
，
，
若
，则
，
则
，
则
与已知条件矛盾.所以
不符合，故A 选项错误.
由于
，
，
，
所以
，
，
，
则
，所以B 选项正确，
又
.所以C 选项正确.
因此，前
项都大于，从第
项开始起都小于，
因此
的值是
中最大的, 所以D 选项正确. 故选：BCD.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.设
na
是等比数列，且
2
4
5
a a
a
，
4
27
a
，则
na
的通项公式为_______．
【答案】
1
3
n
na
，n
N ．
【解析】设等比数列
na
的公比为q ，因为
2
4
5
a a
a
，
4
27
a
，所以
2
2
3
5
4
2
4
27
a
a
a
a
q
q
q
，解得
3
q
，所以
4
1
3
27
1
27
a
a
q
，因此，
1
3
n
na
，n
N ．故
答案为:
1
3
n
na
，n
N ．
14.记
为数列
的前
项和，若
，则
等于_________.
【答案】32
【解析】因为
为数列
的前n 项和，且
，①
当
得
；故
，②
①﹣②得：
，
所以数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，即：
. 故答案为:32
15.如图，最大的三角形是边长为2 的等边三角形，将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角
形，依此类推，一共得到10 个三角形，则这10 个三角形的面积的和为_____．
【答案】
【解析】设以2 为边长的等边三角形的面积为a1，根据题意，设得到的第n 个等边三角形的面积为
an，则{an}是以
，为首项，以
为公比的等比数列，∵公比q≠1．故这10 个
三角形的面积和为
．故答案为:
16.已知等比数列
的公比为q，且
，
，则q 的取值范围为______；能使不等
式
成立的最大正整数
______.
【答案】
4039
【解析】由已知
，
结合
知
，解得
，
故q 的取值范围为
.
由于
是等比数列，所以
是首项为
，公比为
的等比数列.
要使
成立
则
即
， 故答案为:
4039
将
代入整理得：
故最大正整数
。
