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第 4 讲 函数的极值、最值（3 大考点+强化训练）
【知识导图】
【考点分析】
考点一 利用导数研究函数的极值
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．
一、单选题
1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论：
①若公比 ，那么等比数列前n项和存在极限；
② 为数列 最大的项，那么 对任意的n（ ， ， ）都成立；
③函数 的导数为 ，若 ，那么 为函数的极值点；
④函数 的导数为 ，若 恒成立，那么 是严格增函数.
正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】取特殊值、特殊数列、特殊函数，即可说明各个结论，进而得出答案.【详解】设数列前 项和为 ，
对于①，当 时， ，
所以，当 为奇数时， ；
当 为偶数时， .
又 ，所以此时， 没有极限，故①错误；
对于②，对于数列 ，可知 中的每一项都为数列中最大的项，但是显然 不成立，故②错误；
对于③，对于函数 ，有 恒成立，
所以，函数 为R上的增函数，即函数没有极值点.
又 ，显然 不是 的极值点，故③错误；
对于④，对于常函数 ，有 恒成立，
但显然 不是单调递增函数，故④错误.
所以，正确的个数为0个.
故选：A.
二、填空题
2．函数 的极值点是 ．
【答案】
【分析】令导数为0，计算x，即可．
【详解】 解得
【点睛】本道题考查了函数导数计算方法，关键抓住 ，即可，难度较容易．
三、解答题
3．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 的最值；
(2)当 时，讨论函数 的极值点个数.
【答案】(1) 有最小值 ，没有最大值.
(2)答案见解析
【分析】（1）利用求导公式和导数的运算法则可得 ，根据函数 的性质推
出函数 的性质，即可求解；
（2）对函数 求导可得 ，利用导数讨论函数 的性质可得
，再次利用导数分类讨论函数 当 、 时的性质，结合
极值点与零点之间的关系即可求解.
【详解】（1）当 时， ，则 .
令 ，则 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值 ，
即 有最小值 ，没有最大值.
（2）因为 ，其中 ，所以 .
令 ，则 .因为 ，令 ，则 ，
所以当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
设 ，其中 ，则 .令 ，解得 .
当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 .
所以当 时， ；当 时， .
①当 时， ，即 ，也即 ，
所以 在 上单调递增，所以 没有极值点.
②当 时， 在 上单调递减.
设 ，则当 时， ，
所以 ，即当 时， .
又 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，且在 上单调递减，
所以当 时， ，
所以 在 上没有零点，且 .
又 在 上单调递减，所以在 内存在唯一 ，使 ，
所以当 时， ；当 时， ，
也即当 时， ；当 时， ，
所以 为 的一个极大值点.
又 在 上单调递增， ，所以当 时， ；当 时， ，
即当 时， ；当 时， ，
所以1为 的一个极小值点，所以当 时， 有2个极值点.
综合①②，当 时， 有2个极值点；当 时， 没有极值点.
【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的
定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函
数的性质即可解决问题.
4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底
数.
(1)当 时，求函数 的最值；
(2)当 时，讨论函数 的极值点个数.
【答案】(1) 有最小值 ，没有最大值.
(2)答案见解析
【分析】（1）利用求导公式和导数的运算法则可得 ，根据函数 的性质推
出函数 的性质，即可求解；
（2）对函数 求导可得 ，利用导数讨论函数 的性质可得
，再次利用导数分类讨论函数 当 、 时的性质，结合
极值点与零点之间的关系即可求解.
【详解】（1）当 时， ，则 .令 ，则 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值 ，
即 有最小值 ，没有最大值.
（2）因为 ，其中 ，所以 .
令 ，则 .因为 ，令 ，则 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
设 ，其中 ，则 .令 ，解得 .
当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 .
所以当 时， ；当 时， .
①当 时， ，即 ，也即 ，
所以 在 上单调递增，所以 没有极值点.
②当 时， 在 上单调递减.
设 ，则当 时， ，
所以 ，即当 时， .
又 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，且在 上单调递减，所以当 时， ，
所以 在 上没有零点，且 .
又 在 上单调递减，所以在 内存在唯一 ，使 ，
所以当 时， ；当 时， ，
也即当 时， ；当 时， ，
所以 为 的一个极大值点.
又 在 上单调递增， ，
所以当 时， ；当 时， ，
即当 时， ；当 时， ，
所以1为 的一个极小值点，所以当 时， 有2个极值点.
综合①②，当 时， 有2个极值点；当 时， 没有极值点.
【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的
定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函
数的性质即可解决问题.
考点二 利用导数研究函数的最值
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
一、单选题1．设函数 ，若存在 ，使 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，通过讨论 的范围，确定函数的单调性，求出 的最大值，得到关于 的不
等式，解出即可.
【详解】 的定义域是 ，
，
当 时， ，则 在 上单调递增，且 ，
故存在 ，使 ；
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，解得 .
综上， 的取值范围是 .
故选D.
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.
二、填空题
2．当 时，函数 的最大值与最小值的和为 .
【答案】
【分析】利用导数求解最值问题，即可求解．属难题．【详解】 ，当 时， ；
当 时， ，∴ 在 ， 上都是增函数，在 上是减函数，
， ， ， ，∴ 的最大值为 ，最小值为 ，它们的和为
.
【点睛】导数在研究函数中的应用，可求单调性，分析最值，进而求解最大值与最小值的和．
三、解答题
3．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求当 面积最大时 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 可得 ，再结合商数关系及二倍角的余弦公式化简即可
得出结论；
（2）由（1）可得 ，根据正弦定理化角为边可得 ，再由
，结合正弦定理化角为边求出 ，再根据三角形的面积公式，
结合导数即可得出答案.
【详解】（1）由已知得 ，
∴ ，
又 ，且 ，∴ ；
（2）由（1）可得 ，由正弦定理可得 ，
∴ ， .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，则 ，
设 ， ，
则 ，
令 ，得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得最大值，此时 最大，
则 .
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)二次函数 ，在“①曲线 ， 有1个交点；② ”中选择一个作为
条件，另一个作为结论，进行证明；
(2)若关于x的不等式 在 上能成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选择条件①，根据 ，构造函数 ，由函数图象有1个交点，转化为直
线 与曲线 有1个交点，利用导数判断函数的单调性，从而确定 的值；若选择条件②，由方
程 ，构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据函数的极值，确定方程只有1个实
数根；
（2）由不等式构造函数 ，转化为利用导数求函数的最值问题，即可求解
的取值范围.
【详解】（1）若选①为条件：
函数 的定义域为 ，令 ，即 ，则 ．令 ，则直线 与曲线 有1个交点，且 ，
令 ，解得 ，
故当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， ，当 时， ，
故当曲线 有1个交点时， ．
若选②为条件：
函数 的定义域为 ，令 ，则 ，则 ．
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
故当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， ，当 时， ，
故方程 仅有1个实数根，即曲线 有1个交点．
（2）依题意， ，即 在 上能成立，
令 ，则 （提示：不等式能成立问题转化为函数最值问题）．的值域为 ，且单调递增．
①当 ，即 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，与 矛盾， ；
②当 ，即 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ ，解得 ；
③当 时，存在唯一的 ，满足 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
解得 ，
与 矛盾， ．
综上所述，实数m的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解决函数的零点，不等式，最值问题，本题第二问的关键是由
的值域为 ，根据端点值讨论不同的区间，讨论函数的最值.
考点三 极值、最值的简单应用
一、单选题1．已知函数 ，若函数 恰有 个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先确定函数 关于 对称，由函数 恰有4个零点，根据
对称性可得 时，有两个零点，结合图像解决.
【详解】设 ，则
所以函数 关于 对称，
因为函数 恰有4个零点，
所以，由题可得， 时，有两个零点，
由题，去绝对值得，
所以
时，作出 图像,先考虑 与 相切的情况，
此时切点为 ，结合图像可知 时，函数 在 上有两个零点，即在
上有四个零点，故选：A.
【点睛】零点个数问题，一般通过数形结合方法解决，本题根据对称性以及导数解决参数的取值范围.
二、多选题
2．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数 的最大值为
C．若方程 恰有两个不等的实根，则实数 的取值范围为 D．若
，则
【答案】ABD
【分析】利用导数研究 的单调性，即可判断A、B的正误；由 在 、 上的值域，即可知
恰有两个不等的实根时 的取值范围；若 ，构造 及
并利用导数研究单调性，进而确定 在 上的符号判断 的符号，再结合
的单调性即可证 .
【详解】由题意， ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调
递减；
A： ，正确；B： 的极大值，也是最大值为 ，正确；
C：∵ 时 ，即 上 ；
时 ，即 上 ；
∴要使 恰有两个不等的实根，则 ，错误；
D：由 知：若 ，令 ，
， ，
∴设 ， ，则 ，
∴ 在 上单调递增，即 ，故 在 上恒成立，
∴ ，即 ，又 ， ，
由 在 上递减，即 ，故 ，正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，进而比较函数值的大小及最大值，再由 的区间值
域，确定 恰有两个不等的实根时 的范围；利用极值点偏移问题的解法证明 即可.
三、填空题
3．（2023下·甘肃武威民勤县第一中学校考阶段练习）若 图象上存在两点 关于原点对称，则点对
称为函数 的“友情点对”（点对 与 视为同一个“友情点对”），若
恰有两个“友情点对”，则实数 的取值范围是 ．【答案】
【分析】根据题意分析可得 在 上有两解，利用导数判断 的单调性和最值，数形
结合处理问题.
【详解】函数 关于原点对称的函数为 ，
若要 恰有两个“友情点对”，则 有两解，
即 在 上有两解，
令 ，求导可得 ，
当 ， ，则 在 内为减函数，
当 ， ，则 在 内为增函数，
可得 ， ，且当 趋近于 时， 趋近于0，
所以其图象为：
若要 在 上有两解，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题4．已知函数 ，在点 处的切线为 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ， 是函数 的两个极值点，证明 .
【答案】（1） 的单调减区间是 和 ，单调增区间是 ；（2）证明见解析.
【解析】（1）求出导函数，由导数的几何意义 和 求得 ，然后由 确定增区间，
由 确定减区间；
（2）首先题意说明 有两个变号的零点，从而转化为 有两个不等实根，通过（1）
中函数 的单调性可得 （不妨设 ），然后由分析法，要证 ，即证
，只要证 ，即证 ，构造新函数 利用
导数证明单调性后可证得结论．
【详解】（1）因为 ，所以
由题意可知 ， ，即 ， ，
可解得 ， .
所以 ，则 ，
由 ，得 ，由 得 ，由 得 ；
的定义域为 ,,所以 的单调减区间是 和 ，单调增区间是 .
（2）由 ， 是函数 的两个极值点，得 有两
个变号零点，令 即 ，
当 时，上述等式不成立；
当 时，上式转化为 ，
由（1）知 的单调减区间是 和 ，单调增区间是 ，
且 时， ，则函数 的图象大致如图所示；
不妨设 ，则 ，
∴要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
∵ ，∴ ，由（1）知 在 上单调递增，
∴要证 只需证 ，
又 ，故即证
令 ，
∴又 在 上为增函数，
∴ ，
∴ ， 在 上单调递减，
∴ ，即
∴ .
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点，研究函数的单调性，证明不等式，考查
了学生分析问题解决问题的能力，等价转化思想．属于难题．
5．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）设函数
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程.
(2)讨论函数 在区间 上零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求得导函数， 是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可；
（2）先对参数 分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断
零点个数即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ，
所以，切线方程为即
（2）由（1）知， .
①当 时， 在区间 上大于零， 在区间 上单调递增，且 ，所以 在区间
上有一个零点.
②当 时， 在区间 上小于零， 在区间 上单调递减，且 ，所以 在区间
上有一个零点.
③当 时， 在区间 上小于零， 在区间 上大于零，
所以 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
而 .
当 ，即 时， 在区间 上有两个零点.
当 ，即 时， 在区间 上有一个零点.
综上可知，当 或 时， 在 上有一个零点，
当 时， 在区间 上有两个零点.
【强化训练】
一、单选题
1．设函数 的一个极值点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】首先对函数进行求导，根据其一个极值点为 ，可得关系式 ，再利用两角和的正切公式
即可求得结果.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
故 .
故选：B.
2．（2023单元测试）已知函数 与函数 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意函数 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构
造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.
【详解】因为函数 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，
所以 ，
即 有两解，
所以 有两解，
令 ，
则 ，
所以当 时， 0，此时函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，所以 在 处取得极大值， ，
且 时， 的值域为 ，
时， 的值域为 ，
因此 有两解时，实数 的取值范围为 ，
故选：C.
3．若函数 在区间 内有且仅有一个零点，则 在区间 上的最大值
为（ ）
A．4 B．10 C．16 D．20
【答案】D
【分析】对函数求导整理得 ，分类讨论当 时， 在 上单调递
增且 ，则不符合题意；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则
该零点处就是极值处，进而构建方程求得参数，再利用导数求三次函数的最值即可.
【详解】因为 ，则 ，
当 时，显然 ，则原函数 在 上单调递增，
又因为 ，则在 上没有零点，不符合题意；
当 时，由于 ，令
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
又因为函数 在 有且仅有一个零点，则
所以 ，即 ，令 ，解得 或2
故其单调性为：0 2
+ 0 - 0 +
极大值 极小值 20
所以函数 的极大值为 ，右端点值为 ，
故函数 在区间 上的最大值为20
故选：D
【点睛】本题考查由函数零点个数求参数，并求三次函数在指定区间的最值，属于中档题.
4．已知函数 ，有以下命题：①当 时，函数 在 上单调递增；
②当 时，函数 在 上有极大值；③当 时，函数 在 上单调递减；④
当 时，函数 在 上有极大值 ，有极小值 ．其中不正确命题的序号是
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【详解】试题分析： ，①当 时，
， 在 上递增，①正确；②当 时，正确 时， ，
时， ， 是 的极小值，且 只有这一个极值，②错；③当 时， ，
， 递增，③错；④ 时， 或 时， ， 在两个区间上都
是递增的， 时， ， 递减，因此极大值 ，有极小值 ，④正确，故选B．考点：导数与函数的单调性、极值．
【名师点睛】求函数f（x）极值的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数 ；
（3）解方程 ＝0，求出函数定义域内的所有根；
（4）列表检验 在 ＝0的根x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f（x）在x 处取极大值，
0 0
如果左负右正，那么f（x）在x 处取极小值．
0
5．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数a的取值范围为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 在 上能成立，利用参变分离法进行转化，进而构造函数
，求出函数的最大值即可.
【详解】由题意可得 在 上能成立，
所以 在 上能成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递减，且
，即 ，因此 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
，所以 ，
故选：B.
6．函数 的极小值为（ ）A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】求导，利用导数分析原函数的单调性，得到极小值即可.
【详解】由 ，
得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 或 时， ， 单调递减；
所以当 时，函数 取得极小值，
极小值为 .
故选：A.
二、多选题
7．已知函数 ，（ ）．
A．若 在区间 上单调，则
B．将函数 的图象向左平移 个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数， 最小值为
C．函数 在区间 上恰有三个极值点，则
D．关于x的方程 在 上有两个不同的解，则
【答案】BCD
【分析】根据正弦函数的单调区间可判断A，根据三角函数的奇偶性的性质可判断B，根据三角函数的图像性质可判断CD.
【详解】对于A， ， ，
若 在区间 上单调递增，则 ，
解得 ，又 ，所以 ，
若 在区间 上单调递减，则 ，
解得 ，又 ，所以 ，
综上， 或 ，A错误；
对于B， 的图象向左平移 个单位得到 ，
若 为偶函数，则有 ，解得 ， ，
而 ，所以 最小值为 ，B正确；
对于C， ， ，
函数 在区间 上恰有三个极值点，则有 ，
解得： ，C正确；
对于D， ，即 ，
， ，则 ，
解得： ，D正确.故选：BCD
8．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数 ，若函数
有两个零点 ，则 的值可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．0
【答案】ABC
【分析】结合导数和绝对值函数画出函数图象，结合图象分析即可.
【详解】当 时， ，当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
所以当 时， 的最小值为 .又在 上， 的图像如图所示：
因为 有两个不同的零点，所以方程 有两个不同的解，即直线 与 有两个不同交
点且交点的横坐标分别为 ，
故 或 或 .
若 ，则 ；若 ，则 ；
若 ，则 .
故选：ABC.
三、填空题
9．若函数 在 处有极值，且 ，则称 为函数 的“ 点”.已知函数存在两个不相等的“ 点” ， ，且 ，则 的取值范围是
.
【答案】
【分析】由于 ，由题意得关于 的方程 的两个相异实数
根，由此可求得 ，再将 转化为 结合韦达定理即可
求得 的取值范围.
【详解】因为 ，
所以 ，
又因为函数 存在不相等的两个“ 点” 和 ，
所以 ， 是关于 的方程 的两个相异实数根．
所以 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，
从而 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，因为 ，
所以
，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想及函数与方程思想的应用，
考查逻辑思维与综合运算能力，属于难题.
10．若关于x的不等式 恒成立，则 的最小值是 .
【答案】
【分析】由函数的定义域进行参变分离可得 恒成立，设 ，利用导数求函数的最大
值，即可求出 的最小值.
【详解】由于 ，则原不等式可化为 ，设 ，则 ，
当 时， ， 递增； ， ， 递减，可得 在 处取得
极大值，
且为最大值 .所以 ，则a的最小值为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了函数的导数等基础知识，考查抽象概括、运算求解等数学能力，考查化归与转化、数
形结合等思想方法.本题的关键是将不等式恒成立问题转化成求函数的最值问题.
11．某产品的销售收入 （万元）是产量x（千台）的函数 ，生产成本 （万元）是产量x（千台）的函数 ，已知 ，为使利润最大，应生产 （千台）．
【答案】6
【详解】分析：由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量．
详解：由题意，利润y= （x＞0）．
y′=36x﹣6x2，
由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），
当x∈（0，6）时，y′＞0，当x∈（6，+∞）时，y′＜0．
∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．
则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）．
故答案为：6．
点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转
化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、
不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在
各段讨论最值的情况.
12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知函数 ，若 恒成立，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造函数 ， 等价于 ，再构造函数 ，利用函数单调性求出最
小值，即可求出 的值.
【详解】 等价于 ，令 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
所以
故 转化为 ，即
令 ， ，则 ，则 ，故 的取值范围为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，处理问题的关键是通过不等式的形式构造适当的函数，
再结合常变量分离法，利用导数的性质进行求解是解题的关键.
四、解答题
13．函数 ．
（1）试讨论函数 的单调性；
（2）若 ，证明： ( 为自然对数的底数)．
【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析
【解析】（1）求导得 ，根据 、 分类讨论，求出 与 的解集即可得
解；
（2）令 ，求导得 ，令 ，求导得 在 时取得极小值，即为
最小值，可得 ，即可得证.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
①当 时， ， 在 单调递增．
②当 时， 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
综上，当 时 在 单调递增；当 时， 时， 单调递减，当 时，
单调递增．
（2） ， ，即 ，设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 时取得极小值，即为最小值 ，
所以 .
令 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
所以 在 时取得极小值，即为最小值．
所以 即 ，
所以 恒成立．
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性和证明不等式，考查了换元法的应用，属于中档题.
14．已知函数 .
（1） 时，讨论函数 的单调性；
（2）证明：当 时， .
【答案】（1）函数 在 上递减，在 上递增；（2）见解析
【分析】（1） 时，对 求导，根据导函数的符号求出对应 得范围，即可求出答案；
（2）由（1）可知，问题等价于证明对任意 恒有 ，令 ，利用导数
求出 的最小值即可得证．
【详解】解：（1）函数的定义域为 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增；
（2）证明：由（1）知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此对任意 恒有 （1），即 ，
又 ，要证 ，只需证 ，
令 ，则 ， ，
， ，则函数 在 上单调递增，
当 时， 恒成立，则函数 在 上单调递增，
对任意 恒有 ，
即 ，
又因 ，即 ，
所以 ，
所以 .
15．（2023下·云南·高三校联考开学考试）在抗击新冠肺炎疫情期间，作为重要防控物资之一的防护服是
医务人员抗击疫情的保障，我国企业依靠自身强大的科研能力，自行研制新型防护服的生产．(1)防护服的生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响，第四道是检测工序，
包括红外线自动检测与人工抽检，红外线自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线并由工人进
行抽查检验．已知在批次I的成品防护服的生产中，前三道工序的次品率分别为 ，
第四道红外线自动检测显示为合格率为92%，求一件防护服在红外线自动检测显示合格品的条件下，人工
抽检也为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；
(2)①已知某批次成品防护服的次品率为 ，设3件该批次成品防护服中恰有1件不合格品的最
大概率为 ，在多次改善生产线后批次J的防护服的次品率 ，请从次品率的角度比较（1）中
的批次I与批次J防护服的质量；
②某医院获得批次I，J的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常使用这两个批次的防护服
期间，该院医务人员核酸检测情况的等高堆积条形图如图所示，请完善下面的 列联表，并依据小概率
值 的独立性检验，分析能否认为防护服的质量与感染新冠肺炎病毒有关联？
防护服批次
核酸检测结果 合计
I J
呈阳性
呈阴性
合计
附： ．0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)
(2)①批次 的防护服的质量优于批次 ；②列联表见解析，有 的把握认为防护服质量与感染新冠肺
炎病毒的风险有关
【分析】（1）利用条件概率公式求解即可；
（2）①求出3个成品口罩中恰有1个不合格的概率 ，然后利用导数求解 的最大值点，即可求出
，从而得 ，对比的结论即可；②然后列出 列联表，求解 ，然后与临界值表比较即可
得到答案．
【详解】（1）解：设批次I的成品防护服红外线自动检测显示合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
由已知，得 ，
则一件防护服在红外线自动检测显示为合格品的条件下，人工抽检也为合格品的概率为
．
（2）解：①3件该批次成品防护服中恰有1件不合格品的概率为 ，
令 ，
则 ，
所以当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
当 时， 有最大值 ，故 ，
由（1）可求得批次I的防护服的次品率为 ，
故批次J防护服的次品率低于批次 ，故批次 的防护服的质量优于批次 ．②由等高堆积条形图可建立 列联表如下（单位：人）：
防护服批次
核酸检测结果 合计
I J
呈阳性 12 3 15
呈阴性 28 57 85
合计 40 60 100
零假设 ：防护服质量与感染新冠肺炎病毒的风险独立，即防护服质量与感染新冠肺炎病毒的风险无关．
由 列联表数据可得：
．
因此，由 的独立性检验，没有充分证据表明 成立，
故有 的把握认为防护服质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．
