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第 06 讲三角函数的图象与性质（3 大考点+强化训练）
[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函
数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考
查，难度为中等或偏下．
知识导图
考点分类讲解
考点一：三角函数的运算
1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
二级结论 (1)若α∈，则sin α<α<tan α.
(2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者知一可求二．
例题
一、单选题
1．（2023·河南郑州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京房山·二模）已知 是第一象限角，且角 的终边关于y轴对称，则 ( )A． B． C． D．
3．（2023·广西南宁·一模）已知 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·湖南长沙·一模）已知 ， ，则角 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
9．（2024·山东泰安·一模）若 ，则 （ ）A． B． C．2 D．
考点二：三角函数的图象
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤
规律方法 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解
得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降
趋势．
例题
一、单选题
1．函数 的部分图象如图中实线所示，图中圆 与 的图象交于 两点，且 在
轴上，则下列说法中正确的是
A．函数 的最小正周期是
B．函数 的图象关于点 成中心对称C．函数 在 单调递增
D．函数 的图象向右平移 后关于原点成中心对称
2．下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，且
的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知函数 的图像关于点 中心对称，则
（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
5．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范围是 ．
6．（2023·全国·高考真题）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线 的两个
交点，若 ，则 ．
考点三：三角函数的性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋
2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴．
(3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝
Asin(ωx＋φ)为偶函数．
规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝
sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各
选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项．
例题
一、单选题
1．（22-23高三上·广东清远·期末）已知函数 的图象关于点 对称，且
在 上单调，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州黔东南·一模）已知函数 图象两个相邻的对称中心的间距为 ，则下列函数为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山东·二模）已知函数 的图象关于直线 对称，则下列说法
正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小正周期为2π
C． 在区间 上单调递增 D．方程 在区间 上有2个实根
4．已知函数 ， 是函数 的一个零点， 是函数 的一条
对称轴，若 在区间 上单调，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 满足 ， 且 在 上单调，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·江苏·二模）已知函数 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数 的图象关于点 对称B．函数 图象的一条对称轴是
C．若 ，则函数 的最小值为
D．若 ， ，则 的最小值为
三、填空题
7．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数 ，且在 上单调递增，则满足
条件的 的最大值为 .
强化训练
一、单选题
1．设函数 ，其中 均为非零常数，若 ，则
的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．不确定
2．（2023·天津·高考真题）已知函数 的图象关于直线 对称，且 的一个周期为4，则
的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．为了得到函数 的图象，需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．设 ， 且 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数 在区间（ ）上单调递增.
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江西上饶·二模）已知函数 的图像向左平移 个单位长度后，得到偶函数
的图像，则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020·山东·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）A． B． C． D．
10．已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C． 既是周期函数又是奇函数
D． 的最大值为
11．下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若 ，则 .
13．函数 （ ）的最大值是 ．
14. （2020·全国·高考真题）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
四、解答题
15．（1）已知 且 ，求 和 的值；
16．已知函数 .
(1)求 的值；
(2)已知 ，若对任意 ，都有 ，求实数 的范围.17．已知函数 ，且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若函数 满足 ，求 的值.
18．（1）化简： ；
（2）已知关于 的方程 的两个根为 和 ，求 的值.
19．（1）已知 ，求 的值.
（2）已知 为锐角，且 ，求 的值.
（3）化简
