文档文本内容
重难点专训10 导数中的极值点偏移问题
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题型一：加法型极值点偏移问题........................................................................................................................3
题型二：减法型极值点偏移问题......................................................................................................................10
题型三：乘积型极值点偏移问题......................................................................................................................14
题型四：商型极值点偏移问题..........................................................................................................................20
题型五：平方型极值点偏移问题......................................................................................................................25
题型六：综合型极值点偏移问题......................................................................................................................30
重难专题分层过关练..........................................................................................................................36
巩固过关...............................................................................................................................................................36
创新提升...............................................................................................................................................................47
一、极值点偏移的定义
函数
满足对于定义域内任意自变量
都有f ( x)=f (2m−x)，则函数
关于直线x=m 对
称．可以理解为函数
在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若
为单峰函数，则x=m 必为
的极值点，如
的极值点为
，f ( x)=c 的两根为
，且有x1+x2
2
=x0 ，即极值点在
两根的正中间，也就是极值点没有偏移，若
，则极值点偏移．
若单峰函数
的极值点为
，且函数
满足定义域
左侧的任意自变量
都有
或
，则函数
极值点
左右侧变化快慢不同，如下图所示．
故单峰函数
定义域内任意不同的实数
，
，满足
，则
与极值点
必有
确定的大小关系：
若
，则称为极值点左偏如上左图；
若
，则称为极值点右偏如上右图．
二、极值点偏移问题的一般形式
1.若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2 x0 （其中
为f ( x)的极值点）；
2.若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2 满足f ( x1)=f ( x2)，求证：x1+x2>2 x0 （其中
为f ( x)的
极值点）；
3.若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2 ，令x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 ；
4.若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2 满足f ( x1)=f ( x2)，令x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 .
三、处理极值点偏移问题的方法
（1）对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
①定函数(极值点为
)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点
．
②构造函数，即对结论
型，构造函数
或
；
③对结论
型，构造函数
，通过研究
的单调性获得不等式．
④判断单调性，即利用导数讨论
的单调性．
⑤比较大小，即判断函数
在某段区间上的正负，并得出
与
的大小关系．
⑥转化，即利用函数f(x)的单调性，将
与
的大小关系转化为
与
之间的关系，
进而得到所证或所求．
（2）差值代换法（韦达定理代换令
.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即
，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
（3）比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即
，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
（4）对数均值不等式法
应用对数平均不等式
证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到
；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
题型一：加法型极值点偏移问题
典例1-1．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在
上的值域；
(3)若关于
的方程
在
内有两个根
，证明：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）
所以
，
又
，
故所求切线方程为
，即
；
（2）法1：由（1）知
，
，
，
①当
时，
，所以
；
②当
时，
，所以
；
③当
时，
，所以
；
④当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
所以
在
上的值域为
．
法2：由（1）知
，
因为
，
，
所以
，
当
时，
，所以
；
当
时，
，
，所以
；
当
时，
，所以
；
当
时，
，
，所以
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
所以
在
上的值域为
．
（3）证明：由（2）知
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，要证
，只需证
，
因为
，所以
，所以只需证
，
因为
，所以只需证
．
令
，
则
．
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，
又
，所以
，所以
，问题得证．
典例1-2．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，若函数
有2 个不同的零点
，
．
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
【答案】(1)单调递增区间为
，无单调递减区间
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）当
时，
，则
，
令
，得
，
当
时，
；当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
处取得极小值，
，所以
，
所以
恒成立，
即
在
上单调递增；
故单调递增区间为
，无单调递减区间．
（2）（ⅰ）当
时，若函数
有2 个不同的零点
，
，
∴
恰有2 个正实数根
，
，
令
，则
与
有两个不同交点，
∴
，
∴当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，又
，
当x 从0 的右侧无限趋近于0 时，
趋近于
；
当x 无限趋近于
时，
的增速远大于
的增速，则
趋近于
，
则
图象如下图所示，
∴当
时，
与
有两个不同交点，
∴实数a 的取值范围为
．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：
，
，
∴
，
，
∴
，则
，
不妨设
，
要证
，则需证
，
∵
，∴
，∴
，则只需证
，
令
，则只需证
时，
恒成立，
令
，
∴
，
∴
在
上单调递增，∴
，
∴当
时，
恒成立，
∴原不等式
得证．
【点睛】与2025 年新课标Ⅱ卷数学真题第18 题同步考查函数的单调性、零点及不等式证明；真题卷第18
题考查含三次项的函数性质；本题考查指数函数与二次函数结合的函数，分析其单调区间、零点的取值范
围及证明零点之和的不等式，零点问题通常转化为函数图象交点的问题；构造函数是解决极值点偏移问题
的方法之一.
变式1-1．已知函数
(1)求函数
在
处切线方程；
(2)若
有两解
，
，且
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由
，则
，又
，
所以
处切线方程为：
，即
.
（2）因为
，所以当
时，
，即
单调递增，
，
，即
单调递减.
又
，
，
时，
，
先证
，
由
可知：
，要证
，
也就是要证：
，
令
，
，
则
，
所以
在区间
内单调递增，
，则
，即
，即
；
再证
，
由（1?）可知曲线
在点
处的切线方程为
，
令
，
则
，
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
在
处取得极大值为0，
故当
时，
，即
，
，
则
，即
，
又
，
，
∴
.
综上，
成立，得证.
变式1-2．已知函数
（
）．
(1)求
的单调区间；
(2)若函数
，
是函数
的两个零点，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
①当
时，
，则
在
上单调递增；
②当
时，若
，则
，若
，则
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上，当
时，
单调递增区间为
，无递减区间；
当
时，
单调递增区间为
；单调递减区间为
.
（2）由已知可得
，可得
，
由
可得
，要证
，即证
，
即证
，即证
，
由题意可知
，令
，即证
，
构造函数
，其中
，即证
，
，所以，函数
在
上单调递增，
当
时，
，故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特
征不等式变形，如常常利用
进行变形，可构造关于
的函数，利用导函数再进行求解.
题型二：减法型极值点偏移问题
典例2-1．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若方程
有三个不相等的实数根
，且
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知：
的定义域为
，
，
且
，令
，可得
，
当
，即
时，可知
在
内恒成立，
即
在
内恒成立，所以
在
内单调递增；
当
，即
时，由
解得
或
，
由
可知
，
若
，
；若
，
；
所以
在
内单调递增，在
内单调递减；
综上所述：当
时，
在
内单调递增；
当
时，
在
内单调递增，在
内单调
递减.
（2）当
时，可得
，
，
由（1）可知：
在
内单调递增，在
内单调递减，
由题意可得：
，
因为
，
令
，
则
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
在
内恒成立，
因为
，则
，
且
，
在
内单调递减，
则
，即
；
令
，
则
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
在
内恒成立，
因为
，则
，
且
，
在
内单调递增，
则
，即
；
由
和
可得
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数
；
（3）利用导数研究
的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
变式2-1．已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求实数a 的值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若
，求证：
．
【答案】(1)1；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）
的定义域为
，
，所以
，
依题意有
，即
，解得
，此时
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，与
平行．
所以实数a 的值为1．
（2）令
，方程
的判别式
．
若
，即
，
恒成立，
即对任意
，
，所以
在
上单调递增；
若
，即
或
，
当
时，
在
上恒成立，
即对任意
，
，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，得
或
；
令
，得
．
在
上，
；在
上，
．
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
综上，
当
时，
在定义域
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
，
上单
调递增．
（3）由
整理可得
，
因为
，
，所以
，因此
，
因为
，所以
，
令
，则
，所以
，
，
所以
，
要证
，需证
，即证
，即
，
由（2）知
时，
在
上单调递增，所以
时，
，
所以
，所以
．
变式2-2．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间与极值；
(2)若
，求证：
．
【答案】(1)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，极大值为
，极小值为
．
(2)证明见解析
【详解】（1）
定义域为
，
，
令
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
．
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
．
的极大值为
，极小值为
．
（2）证明：由（1）知
．
令
，则
．
令
，则
．
令
，则
．
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
对任意
恒成立．
，
．
又
，
．
在
上单调递增，
，
，即
．
令
，则
．
在
上单调递增，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
对任意
恒成立．
．又
．
在
上单调递增，且
，
．由
，得
，
，
．
题型三：乘积型极值点偏移问题
典例3-1．已知函数
为其导函数．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数
，使得
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）
，当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减．所以
，
解得
，即
的取值范围为
．
（2）证明：不妨设
，则
，要证
，
即证
，则证
，则证
，
所以只需证
，即
．
令
，则
，
．
当
时，
，则
，
所以
在
上单调递减，则
．所以
．
由（1）知
在
上单调递增，所以
，从而
成立．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用分析法，转化为证明
.
典例3-2．已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求
的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求
的取值范围；
②当
时，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)①
；②证明见解析.
【详解】（1）依题意，
，
设过点
的直线与曲线
相切时的切点为
，斜率
，
切线方程为
，而点
在切线上，
则
，即有
，
由过点
可作曲线
两条切线，得方程
有两个不相等的实数根，
令
，则函数
有2 个零点，
求导得
，
①若
，由
，得
或
，由
，得
，
即函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
取得极大值；当
时，
取得极小值，
又
，
当
时，
恒成立，因此函数
最多1 个零点，不合题意；
②若
，
恒成立，函数
在
上单调递增，
因此函数
最多1 个零点，不合题意；
③若
，由
，得
或
，由
，得
，
即函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
取得极大值；当
时，
取得极小值，又
，
显然当
时，
恒成立，因此函数
最多1 个零点，不合题意；
④若
，显然
，当
时，
，当
时，
，
函数在
上单调递增，在
上单调递减，当
时，
取得最大值
，
要函数
有2 个零点，必有
，得
，
当
时，
，
而函数
在
上的值域为
，因此
在
上的值域为
，
当
时，令
，求导得
，函数
在
上单调递减，
则
，
，
而函数
在
上单调递减，值域为
，
因此函数
在
上的值域为
，
于是当
时，函数
有两个零点，
所以过点
可作曲线
两条切线时，
的取值范围是
.
（2）①由（1）知，
，
由函数
有两个极值点
，得
，即
有两个实数根
，
令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，
上单调递减，
，
且
，当
时，函数
恒成立，因此当
时，
有两个实数根
所以函数
有两个极点时，
的取值范围是
.
②由
，即
，得
，
要证明
，只需证明
，
而
，
令
，则
，欲证明
，
即证明
，只需证明
即可，
令
，
求导得
，
则
在
时单调递增，故
，
则
，令
在
时单调递增，则
，
因此
，即
，
所以
.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，
都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
变式3-1．已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，
，则
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意知函数
的定义域为
，
解
得
，解
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
又
，所以
，解得
，
所以
的取值范围为
．
（2）不妨设
，则由（）知
，
，
构造函数
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，即当
时，
，
所以
，
又
在
上单调递减，
所以
，即
．
变式3-2．已知函数
，其中
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)求当
时，函数
在区间
上的最小值
；
(3)若函数
有两个不同的零点
.
①求实数a 的取值范围；
②证明：
.
【答案】(1)增区间为
，减区间为
(2)
(3)①
；②证明见解析
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
若
，则
；若
，则
；
所以
的增区间为
，减区间为
（2）函数
的定义域是
，
．
当
时，令
则
或
(舍)．
当
，即
时，
，
在
上单调递减，
在
上的最小值是
，
当
，即
时，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
在
上的最小值是
，
当
，即
时，
，
，
在
上单调递增，
在
上的最小值是
．
综上，
．
（3）①
有两个不同的零点
即
有两个不同实根
，
得
，令
，
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
时，
取得最大值
，且
，当
时
，
得
的大致图像如图所示：
，所以实数a 的取值范围为
．
②当
时，
有两个不同的零点
．
两根满足
，
，
两式相加得：
，两式相减得：
，
上述两式相除得
，不妨设
，要证：
，
只需证：
，即证
，
设
，令
，则
，
函数
在
上单调递增，且
．
，即
，
．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果
运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
题型四：商型极值点偏移问题
典例4-1．已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的最大值；
(3)若关于
的方程
有两个实根
，
，求证：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）
，
，
又
，则有
，
即曲线
在
处的切线方程为
；
（2）由题意可得
在
上恒成立，
令
，则
，
令
，则
，
则当
时，
，故
在
上单调递增，
则当
时，
，
当
时，
，故
在
上单调递增，
有
，符合要求，
当
时，由
，
，
则存在
，使
，即当
时，
，
当
，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，不符合要求，故舍去，
综上所述，
，故实数
的最大值为
；
（3）
，
由
，即有
有两个实根
，
，
令
，
，
当
时，
恒成立，
不可能有两个实根，故舍去；
当
，则
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
则有
，即
，
又
，
不妨令
，则有
，
有
，令
，
，即有
，
则有
，即
，
即
，则要证
，只需证
，
即证
， 令
，即证
，
令
，
，
则
恒成立，
故
在
上单调递减，故
，
即有
在
时恒成立，故
得证；
由（2）可知，当
时，
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
则当
时，
，即
，
由
，则
、
，
故
，
，
则
，
，
又
，即
，即
，
即
，则有
，
整理得
，即
，即
，
即
；
综上，
得证.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助换元法，令
，
，从而将证明
转换为证明
.
变式4-1．已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．
(1)当a≤e 时，讨论函数f（x）的单调性：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求
的最大值．
【答案】(1)f（x）在（0，+∞）上单调递增；
(2)3
【详解】（1）函数的定义域为（0，+∞），
，
当a≤0 时，
恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a≤e 时，令
，则ex﹣ax＝0，设g（x）＝ex﹣ax，则
，
易知，当0＜x＜lna 时，
，g（x）单调递减，
当x＞lna 时，
，g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，
∴
，
在（0，+∞）上单调递增；
综上，当a≤e 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）依题意，
，则
，
两式相除得，
，设
，则t＞1，x2＝tx1，
，
∴
，
，
∴
，
设
，则
，
设
，则
，
∴
在（1，+∞）单调递增，则
，
∴
，则h（t）在（1，+∞）单调递增，
又x1+x2≤2ln3，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3，
∴t∈（1，3]，即
的最大值为3．
【点睛】思路点睛：对于带参函数讨论单调性的问题，一般在求导后结合对参数分类讨论进行分析；导数
问题中带有不等式求范围或最值问题，一般先根据条件转化为它的等价条件，结合式子特征构造合适的函
数，再求导结合单调性分析最值.
变式4-2．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
【答案】(1)递增区间为
，递减区间为
(2)证明见解析
【详解】（1）解：函数的定义域为
，又
，
当
时，
，当
时，
，
故
的递增区间为
，递减区间为
（2）解：因为
，故
，
即
，故
，
设
，则
，
不妨设
，由（1）可知原命题等价于：已知
，证明：
.
证明如下：
若
，
恒成立；
若
， 即
时，
要证：
，即证
，而
，即证
，
即证：
，其中
设
，
，
则
，
因为
，故
，故
，
所以
，故
在
为增函数，所以
，
故
，即
成立，
所以
成立，
综上，
成立.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值点偏移问题，考查化归与转化思想，逻辑思维能
力、运算求解能力，是难题．本题第二问解题的关键在于设
，结合（1）将命题转化为已知
，证明：
，再根据极值点偏移问题求解即可.
题型五：平方型极值点偏移问题
典例5-1．已知函数
，其中为自然对数的底数．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若方程
有两个不同的根
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
【答案】(1)
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减；
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意得
，
，则
，
由
，解得
．
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减；
综上，
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减；
（2）（i）由
，得
，
设
，
由（1）得
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减，
又
，当
时，
，且当
时，
，
所以当
时，方程
有两个不同的根，即方程
有两个不同的根，
故
的取值范围是
．
（ii）不妨设
，则
，且
．
法一：
当
时，结合（i）知
，即
；
当
时，
．
设
则
所以
在区间
内单调递增，
则
，即
，
所以
又
在区间
内单调递减，
所以
，即
，
又
，所以
，
故
，所以
，得证．
法二：
设
，
，
则
，
所以
在区间
内单调递增，又
，
所以
，即
．
又
，所以
，
又
在区间
内单调递减．
所以
，即
，
又
，所以
，得证．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式
恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、
极(最)值问题处理．
典例5-2．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性：
(2)若
是方程
的两不等实根，求证：
；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，函数
的定义域为
.
由
得：
，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）因为
是方程
的两不等实根，
，
即
是方程
的两不等实根，
令
，则
，即
是方程
的两不等实根.
令
，则
，所以
在
上递增，在
上递减，
，
当
时，
；当
时，
且
.
所以0
，即0
.
令
，要证
，只需证
，
解法1（对称化构造）：令
，
则
，
令
，
则
，
所以
在
上递增，
，
所以h
，所以
，
所以
，所以
，
即
，所以
.
解法2（对数均值不等式）：先证
，令
，
只需证
，只需证
，
令
，
所以
在
上单调递减，所以
.
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
.
【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称
化构造及对数均值不等式等方法证出．
变式5-1．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
（e 是自然对数的底数），且
，
，
，证明：
.
【答案】(1)结论见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得则
，由
得
，
若
，当
时，
，则
单调递减，当
时，
，则
单调递增，
若
，当
时，
，则
单调递增，当
时，
，则
单调递减；
所以当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由
，两边取对数得
，即
，
由（1）知，当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，而
，
时，
恒成立，
因此当
时，存在
且
，满足
，
若
，则
成立；
若
，则
，记
，
，
则
，
即有函数
在
上单调递增，
，即
，
于是
，
而
，
，
，函数
在
上单调递增，因此
，即
，
又
，则有
，则
，
所以
.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，
都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
变式5-2．已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
，对于任意
，证明：
.
【答案】（1）当
时，
的增区间是
，减区间是
；当
时，
的增区间是
，减区间是
；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）
的定义域为
，且
，
则
，
当
时，
，此时
在
上单调递增，
，此时
在
上单调递减；
当
时，
，此时
在
上单调递增，
，此时
在
上单调递减.
综上可知：当
时，
的增区间是
，减区间是
；
当
时，
的增区间是
，减区间是
.
（2）由
，
，
，
由于
，所以
.设
，
故：
，
令
，则
，
由于
，故
，则
在
上单调递增，
故
，
即：所证不等式
成立.
【点睛】多变量问题研究的核心就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题.根据变量间的关系消元
或整体换元将多变量化归单变量是解决此类问题的常用方法.
题型六：综合型极值点偏移问题
典例6-1．已知函数
在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求
的取值范围；
(2)记两个极值点为
，且
. 若
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，函数
的定义域为
，
，
方程
在
有两个不同根，
即方程
在
有两个不同根，
即方程
在
有两个不同根，
令
，
，则
，
则当
时，
，
时，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
又因为
，当
时，
，当
时，
，
所以
的取值范围为
；
（2）要证
，两边取对数，等价于要证
，
由（1）可知
，
分别是方程
的两个根，
即
，
所以原式等价于
，因为
，
，
所以原式等价于要证明
.
又由
，
作差得，
，即
.
所以原式等价于
，令
，
，
则不等式
在
上恒成立.
令
，
，
又
，
当
时，可见
时，
，
所以
在
上单调增，
又
，
，
所以
在
恒成立，所以原不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，
根据要求得所求范围.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然
后构建不等式求解.
变式6-1．已知函数
.
(1)若
有两个零点，
的取值范围；
(2)若方程
有两个实根
、
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：函数
的定义域为
.
当
时，函数
无零点，不合乎题意，所以，
，
由
可得
，
构造函数
，其中
，所以，直线
与函数
的图象有两个交点，
，由
可得
，列表如下：
增
极大值
减
所以，函数
的极大值为
，如下图所示：
且当
时，
，
由图可知，当
时，即当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
故实数
的取值范围是
.
（2）证明：因为
，则
，
令
，其中
，则有
，
，所以，函数
在
上单调递增，
因为方程
有两个实根
、
，令
，
，
则关于的方程
也有两个实根
、
，且
，
要证
，即证
，即证
，即证
，
由已知
，所以，
，整理可得
，
不妨设
，即证
，即证
，
令
，即证
，其中
，
构造函数
，其中
，
，所以，函数
在
上单调递增，
当
时，
，故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
变式6-2．已知函数
（
），其中
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，求x 的取值范围；
（3）当
时，若
，
为函数
（
）的两个零点，试证明：
.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）
；（3）证明见解析.
【详解】（1）
，极值点即为
的变号零点，
即
，记
，
，
令
，解得
；令
，解得
，
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
则
，当
，
，当
，
，
①当
时，
在区间
上恒成立，所以函数
在区间
和
上单调递减；
②当
时，则方程
有两个根，记为
，
，不妨设
，
因为
，故
，当
或
时，
；当
或
时，
，
所以函数
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增.
③当
时，则方程
有一个根，记为
，
当
时，
；当
时，
，所以函数
在
上单调递增，在
上单
调递减.
（2）
，即
，
当
时，左边
右边（舍）；当
时，
，
，
当
时，
，
，即当
时，
，
于是
，即当
时，
，
由（1）知，当
时，
在
上单调递减，所以
（
），
由于
与
在
处相切，且
为下凹函数，故
；
（3）
，即
，
∵
，∴
，
由（1）知：当
时，
先增后减，不妨设
，
，
，
构造函数
，
，
，
∴
，即
，
两式相减得：
，
即
，
，
∴
，
即
，两式相减得：
，
即
，∴
，
即
，
综上所述：
.
巩固过关
1．（多选）已知函数
有两个零点，设其由小到大分别为
，
，则
（ ）
A．实数
的取值范围是
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
定义域为
，
有两个零点，可化为
有两个解，
又由于
，所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得
，
设
，则
，
在
单调递增，
原方程可化为
，
由于
，
，都在
的单调增区间里，
所以
，即
，
设
，
，
，
则
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，且
恒大于0，
极大值
，
可画出
如图所示，则要使
有两个解，即
与
图像有两个交点，
由图像可得a 的范围是
，故A 选项正确；
同样由图象可得
，所以
，故B 选项正确；
，
，
结合
，可得
，
设
，由于
，则
单调递增,
所以
，故C 错误；
由于
，
所以
，
设
，则
,
，
设
，
，
，
在
单调递增，
，
所以
，
又由于
，
，
所以
，故D 正确；
故选：ABD.
2．若函数
在
上存在
，使得
，
，则
称
是
上的“双中值函数”，其中
称为
在
上的中值点.
(1)判断函数
是否是
上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数
，存在
，使得
，且
是
上的“双中值函
数”，
是
在
上的中值点.
①求
的取值范围；
②证明：
.
【答案】(1)
是
上的“双中值函数”，理由见解析
(2)①
；②证明见解析
【详解】（1）函数
是
上的“双中值函数”．
理由如下：
因为
，所以
.
因为
，
，所以
令
，得
，即
，解得
.
因为
，所以
是
上的“双中值函数”.
（2）①因为
，所以
.
因为
是
上的“双中值函数”，所以
.
由题意可得
.
设
，则
.
当
时，
，则
为减函数，即
为减函数；
当
时，
，则
为增函数，即
为增函数.
故
.
因为
，所以
，所以
，即
的取值范围为
；
②证明：不妨设
，
则
，
，即
，
．
要证
，即证
．
设
，
则
．
设
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，所以
，
则
在
上单调递减．
因为
，所以
，即
．
因为
，所以
．
因为
，所以
．
因为
，所以
．
由①可知
在
上单调递增，所以
，即
得证．
【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转
化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元
转化证明
，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明.
3．已知函数
．
(1)若
只有一个零点，求
的值；
(2)若
有两个零点
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）函数
，
令
得
当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
单调递减；
所以函数
在
时取最大值，
当
时，函数
;当
时，函数
;
根据函数的单调性可知当最大值为0 时，函数只有一个零点，
易知
，
所以
；
（2）证明：
不妨设
要证明：
，只需要证
，易知
由（1）可知
在
单调递增，在
单调递减；
所以只要证明
，即证
，
设函数
而
，
并且在区间
上
即
在
单调递增，所以
从而
所以
所以
4．已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若函数
恰有两个极值点
，且
的最大值为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，故
，即
；
（2）
，令
，
由函数
有两个极值点
，
则
有两个变号零点
，
，
当
时，
，不符，故舍去；
当
时，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
又当
时，
，则
，
故此时
此时至多存在一个零点，不符，故舍去；
当
时，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
有
，则
，故
，
则有
，
，
则
，即
，同理
，
则
，故
，
即
，
由
的最大值为
，令
，则有
，
即
，令
，
，
则
，
令
，
，
则
恒成立，
故
在
上单调递增，则
，
则
，故
在
上单调递增，
则
.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于利用
，
，通过作差消去变量
，
得到
，从而可得
，再通过换元法令
，从而将多变量问
题转化为单变量问题.
5．设函数
.
(1)若
，求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
.
【答案】(1)无最小值，最大值为
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得
，则
.
令
，解得
；令
，解得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
无最小值，最大值为
.
（2）
，则
，
又
有两个不同的极值点
，
欲证
，即证
，
原式等价于证明
①.
由
，得
，则
②.
由①②可知原问题等价于求证
，
即证
.
令
，则
，上式等价于求证
.
令
，则
，
恒成立，
在
上单调递增，
当
时，
，即
，
原不等式成立，即
.
【点睛】方法点睛：
对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系
；
通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，
利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立.
6．已知函数
．
（1）求
的图象在
处的切线方程；
（2）若函数
有两个不同的零点
、
，证明：
．
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【详解】（1）
，定义域为
，
，
，
.
因此，函数
的图象在
处的切线方程为
，即
；
（2）令
，得
，由题意可得
，
两式相加得
，两式相减得
，
设
，可得
，
，
要证
，即证
，即
，
令
，即证
.
构造函数
，其中
，
，
所以，函数
在区间
上单调递增.
当
时，
，所以，
.
因此，
.
【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算
能力与推理能力，属于中等题.
7．已知函数
在
上有两个极值点
.
(1)求
的取值范围;
(2)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
，
令
得：
，
令
，
在
有两个极值点
，
与
在
上有两个不同交点；
，
令
，则
在
上恒成立，
在
上单调递增，又
，
当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，当
时，
，
大致图象如下图所示，
结合图象可知：当
时，
与
在
上有两个不同交点，
，即
的取值范围为
.
（2）令
，解得：
或
，
；
①先证：
；
要证
，只需证
，
，
，又
，
在
上单调递增，
只需证
，又
，即证
，
令
，则
，
令
，
则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
在
上单调递减，
在
上单调递减，
，
，
在
上单调递减，
，
，
在
上单调递增，
，
又
，
，即
，则
得证；
②再证：
若
，则由
知：
；
若
，只需证
，
又
，
在
上单调递增，
只需证
，
，
只需证
，
令
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
，
，
，使得
，且当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，使得
，且当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
当
时，
，
，
即
，则
得证；
综上所述：
.
【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围、极值点偏移的问题；处理极值点偏移问题中
的类似于
（
）的问题的基本步骤如下：
①求导确定
的单调性，得到
的范围；
②构造函数
，求导后可得
恒正或恒负；
③得到
与
的大小关系后，将
置换为
；
④根据
与
所处的范围，结合
的单调性，可得到
与
的大小关系，由此证得结论.
创新提升
1．已知函数
（是自然对数的底数）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
有两个零点分别为
.
①求实数
的取值范围；
②求证：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)①
；②证明见解析
【详解】（1）由题意可得，
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，由
解得
，由
解得
，
所以，
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）①等价于
有两个零点，
令
，则
，在
时恒成立，∴
在
时单调递增，
∴
有两个零点，等价于
有两个零点.
∵
，∴当
时，
，
单调递增，不可能有两个零点；
当
时，令
，得
，
单调递增，
令
，得
，
单调递减，∴
，
若
，得
，此时
恒成立，没有零点；
若
，得
，此时
有一个零点；
若
，得
，∵
，
，
记
，则
，
记
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
，
故
在
上单调递增，所以
，
即
，
∴
在
，
上各存在一个零点，符合题意，
综上，
的取值范围为
.
②因为
，不等式两边同时取对数化简可得
，
要证
即证：
，
即证
，由（2）中①知
，
，∴只需证
.
∵
，
，∴
，
，
∴
，只需证
.
设
，令
， 则
，∴只需证
， 即证
，
令
，
，则
，
，
即当
时，
成立.∴
，即
.
【点睛】关键点睛：第2 问的第①小问关键在于将
变形，结合
的单调性，将问题转化为
有两个零点，然后利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理即可求得
的取值范围.第②小
问关键在于取对数转化目标不等式，再通过换元将二元问题转化为一元问题即可得证.
2．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，方程
有三个不相等的实数根，分别记为
.
①求
的取值范围；
②证明
.
【答案】(1)答案见解析
(2)①
；②证明见解析
【详解】（1）函数
的定义域为
.
又
，令
，得
.
当
，即
时，
在
恒成立，
.
当
，即
时，方程
有两根，可求得：
，
因为
所以
，
当
和
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数.
综上：当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单
调递减.
（2）当
时，
.
①方程
有三个不相等的实数根，
即方程
在
上有三个不相等的实数根.
令
，
则
，
令
，求得：
或
，
则当
或
时，
，
当
时，
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
存在极大值为
，存在极小值
，
且当
时，
，当
时，
.
要使方程
有三个不相等的实数根，则
的取值范围为
.
②证明：设方程
三个不相等的实数根分别为：
，且
，
由①可得
，要证
，
只需证
，即证
，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
.
由
，
构造函数
，
，当
时，
在
上单调递增，
，即
在
上恒成立，
又
，则有：
，
又
，且
在
上单调递减，
，即
.
构造函数
，
，当
时
在
上单调递增.
，即
在
上恒成立.
又
，则
.即
，
由
，则
.
在
上单调递增，
.
又
，则可证得：
.
【点睛】关键点点睛：将证明
转化为
，
，结合极值点平移构造函数是本题
关键.
3．已知函数
的最小值为
.
(1)求实数
的值；
(2)若
有两个不同的实数根
，求证：
.
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为
，令
，可得
，
当
时
单调递减；当
时
单调递增.
所以
，所以
.
（2）证明：由（1）知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时
，当
时
，
所以
，
先证明
.
记
，则
，
当
时，
，所以
单调递减，
所以当
时，
，即
，
故
，即
.
又
，由单调性知：
，即
.
再证明
.
记函数
与
和
交点的横坐标分别为
.
①当
时，
，故
，所以，
.
（或：
的图象在
的图象的下方，且两个函数在
上都是减函数）
②当
时，记
，所以
.
当
时
单调递减；当
时
单调递增.
又
，当
时，
，即
.
故
所以
，故
.
（或
的图象在
的图象的下方，且两个函数在
上都递增）
综上，
.
