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第 11 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（2 大考点+强化训练）
[考情分析] 高考对此部分的考查，一是空间线面关系的命题的真假判断，以选择题、填空题的形式考查，
属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题
的第(1)问的形式考查，属中档题．
知识导图
考点分类讲解
考点一：空间直线、平面位置关系的判定
判断空间直线、平面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结合有关定理进
行判断．
规律方法 对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线面位置关系的
相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；若得出矛盾，则假设不成立．
【例1】（多选）(2023·广州模拟)已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是( )
A．平面α内存在直线l与直线m平行
B．平面α内存在直线l与直线m垂直
C．存在平面β与直线m和平面α都平行
D．存在过直线m的平面β与平面α垂直
【变式1】（2024·吉林白山·二模）已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，且 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．“ // ”是“ ”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件C．若 异面，则 有公共点
D．若 有公共点，则 有公共点
【变式2】（2024·江西鹰潭·一模）设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正
确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【变式3】（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知平面 ， 交于直线 ，直线 ， 满足 ，
且 ，则（ ）
A． B． C． D．
考点二：空间平行、垂直关系
平行关系及垂直关系的转化
考向1 平行、垂直关系的证明
规律方法 (1)证明线线平行的常用方法
①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理．
(2)证明线线垂直的常用方法
①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直．【例2】(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AC⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
1 1 1 1
(1)证明：平面ACC A⊥平面BBC C；
1 1 1 1
(2)设AB＝AB，AA＝2，求四棱锥A－BBC C的高．
1 1 1 1 1
【变式1】（2023·全国·模拟预测）已知 是两个不同的平面， 是平面 外两条不同的直线，给出
四个条件：① ；② ；③ ；④ ，以下四个推理与证明中，其中正确的是 .（填写
正确推理与证明的序号）
（1）已知②③④，则①成立
（2）已知①③④，则②成立
（3）已知①②④，则③成立
（4）已知①②③，则④成立
【变式2】（23-24高三上·辽宁·期末）如图，在五棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ， ， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知直线 与平面 所成的角为 ，求点 到平面 的距离.考向2 翻折问题
翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、
面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变
的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
易错提醒 注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再
立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
【例3】（多选）(2023·山东名校大联考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE
沿直线DE翻折成△ADE.若M为线段AC的中点，则在△ADE翻折的过程中，下面四个命题中正确的是(
1 1
)
A．BM的长是定值 B．点M的运动轨迹在某个圆周上
C．存在某个位置，使DE⊥AC D．A 不在底面BCD上时，MB∥平面ADE
1 1 1
【变式1】（多选）（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）如图，在边长为 的正方形 中， 为
中点，现分别沿 将 翻折，使点 重合，记为点 ，翻折后得到三棱锥 ，则
（ ）A．三棱锥 的体积为
B．直线 与直线 所成角的余弦值为
C．直线 与平面 所成角为
D．三棱锥 外接球的表面积为
【变式2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿
对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A． 平面ABD
B．异面直线AC与MN所成的角为定值
C．设菱形ABCD边长为a， ，当二面角 为120°时，棱锥 的外接球表面
积为
D．若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则∠ABC的取值范围是
【变式3】（多选）（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，平面四边形ABCD中， 是等边三角
形， 且 ，M是AD的中点．沿BD将 翻折，折成三棱锥 ，翻折过程中
下列结论正确的是（ ）A．当平面 平面BDC时，三棱锥 的外接球的表面积是
B．棱CD上存在一点N，使得 平面ABC
C．存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角
D．三棱锥 的体积最大时，二面角 的正切值为
强化训练
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏南京·期中）设 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，有下
列命题中，真命题为（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
2．（2024·山东烟台·一模）设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 与 所成的角相等，则
C．若 ，则
D．若 ，则
3．（22-23高三下·河北承德·阶段练习）已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，
则下列正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
4．（2023·河南新乡·二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足
直线BM与平面CNQ平行的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·浙江嘉兴·二模）已知正方体 的棱长为 为空间内一点且满足 平面
，过 作与 平行的平面，与 交于点 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
6．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段 上的点，且
，点 在线段 上，则点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D． E．均不是7．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体 的棱长为 为棱 的中点， 为侧面
的中心，过点 的平面 垂直于 ，则平面 截正方体 所得的截面面积为（ ）
A． B．
C． D．
8．（22-23高三·江西·期中）如图，在棱长为2的正方体 中，点 满足 ，
，其中 ，在下列说法中正确的是（ ）
①存在 ，使得
②存在 ，使得 平面
③当 时， 取最小值
④当 时，存在 ，使得
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、多选题
1．（2023·安徽安庆·三模）如图，已知四边形 是以 为斜边的等腰直角三角形， 为
等边三角形， ，将 沿对角线 翻折到 在翻折的过程中，下列结论中正确的是（ ）A．
B． 与 可能垂直
C．四面体 的体积的最大值是
D．直线 与平面 所成角的最大值是
2．（2023·全国·模拟预测）在直角梯形 中， ， ， ， ， ，
在 上， ， 在 上， ．将 沿直线 翻折至 的位置，将四边形
沿 翻折至四边形 的位置，使 ，则（ ）
A． 与 所成的角为
B．平面 平面
C．直线 与平面 所成的角为
D．四棱锥 的体积
3．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，过 中点 的直线
与线段 交于点 ．将 沿直线 翻折至 ，且点 在平面 内的射影 在线段 上，连接 交 于点 ， 是直线 上异于 的任意一点，则（ ）
A．
B．
C．点 的轨迹的长度为
D．直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为
三、填空题
1．（22-23高三·全国·课时练习）若直线l与直线m垂直， 平面 ，则l与 的位置关系是 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）以下四个命题中，真命题的个数为 ．
（1）不共面的四点中，其中任意三点不共线；
（2）若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
（3）若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
（4）依次首尾相接的四条线段必共面．
3．（2023高三·全国·专题练习）设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命
题：
①若 ， ∥ ，则 ；
②若 ， ， ∥ ，则 ；
③若 ∥ ， ，则 ∥ ；
④若 ， ，则 ∥ .
其中正确命题的序号有 ．
四、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥 的底面是菱形， ，对角
线 交于点 平面 ，平面 是过直线 的一个平面，与棱 交于点 ，且．求证： ；
2．（2024高三·全国·专题练习）在正方体 中，E和F分别为BC和 的中点．
(1)判断直线EF和直线 的位置关系，并说明理由；
(2)判断直线 和直线 的位置关系，并说明理由．
3．（23-24高三上·福建龙岩·期中）如图，在正三棱锥 中， 分别为 的中
点．(1)求证：四边形 为矩形．
(2)若四边形 为正方形，求直线 与平面 所成角的正弦值．
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，四面体 中， ， ， ， 为
的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ， ，点 在 上；
①点 为 中点，求 与 所成角的余弦值；
②当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值．
5．（2023高三·全国·专题练习）利用定义法、向量法证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一
个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
