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第 14 讲 直线与圆（3 大考点+强化训练）
[考情分析] 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式
出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
知识导图
考点分类讲解
考点一:直线的方程
1．已知直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，则 l∥l⇔AB －AB ＝0，且 AC －
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
AC ≠0(或BC －BC ≠0)，l⊥l⇔AA＋BB＝0.
2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2．点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
0 0
3．两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
1 1 2 2
易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用AB－AB＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
1 2 2 1
(2)要注意直线方程每种形式的局限性．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
【例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）“ ”是“直线 与 平
行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据直线平行的条件，判断“ ”和“直线 与 平行”
之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当 时，直线 与 平行；当直线 与 平行时，
有 且 ，解得 ，
故“ ”是“直线 与 平行”的充要条件，
故选：C
【变式1】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线 与直线 垂直，则
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据直线的垂直关系可得 ，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为直线 与直线 垂直，
所以 ，即 ，所以 ，
当且仅当 或 时等号成立．
即 的最小值为4，
故选：B
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线 与直线
相交于点 ，则 到直线 的距离的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断 与 的位置关系，可知两直线交点轨迹为圆，然后挖去点 ，转化为圆心到直线的距
离求解即可.
【详解】由两直线垂直的判断条件 ，可知 ，所以直线 与 始终垂直，
又由条件可得直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，
所以两直线的交点 是在以线段 为直径的圆上，
所以该圆的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆上点 是过定点 且斜率不存在的直线与过定点 且斜率为0的直线的交点，故挖去点
.
圆心 到直线 的距离 ，
所以， 与 的交点到直线 的距离的最大值和最小值分别为 和 ，
又 到直线 的距离为 ，应舍去，
所以取值集合是 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用直线垂直的性质与过定点的知识，判断得两直线的交点
是在以线段 为直径的圆上，从而得解.
【变式3】（2023高三·全国·专题练习）过点 且与直线 平行的直线方程为
.
【答案】
【分析】根据题意设所求直线为 ，然后将点 的坐标代入可求出 ，从而可求得
直线方程
【详解】设所求直线方程为 ，
因为点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
故所求直线方程为 .故答案为：
考点二:圆的方程
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【例4】（2024·江苏·一模）莱莫恩 定理指出：过 的三个顶点 作它的外接圆的切线，
分别和 所在直线交于点 ，则 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的
线.在平面直角坐标系 中，若三角形的三个顶点坐标分别为 ，则该三
角形的 线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在 处的切线方程，进而求出 的坐标，得到
答案.
【详解】 的外接圆设为 ，
，解得 ，
外接圆方程为 ，即 ，
易知外接圆在 处切线方程为 ，又 ，令 得， ， ，
在 处切线方程为 ，
又 ，令 得 ， ，
则三角形的 线的方程为 ，即
故选：B.
【变式1】（2024·广东·一模）过 ， ， 三点的圆与 轴交于 ， 两点，则
（ ）
A．3 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【分析】设圆的方程为 ，代入坐标得 的值，即可得圆的方程，再令 ，即
可求得与 轴相交弦长.
【详解】设圆的方程为 ，代入点 ， ， ，
则 ，解得 ，
可得 ，整理得 符合题意，
所以圆的方程为 ，
令 ，可得 ，解得 ，所以 ．
故选：D.
考点三:直线、圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，
直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
考向1 直线与圆的位置关系
规律方法 直线与圆相切问题的解题策略
当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的
等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的
距离，再结合半径利用勾股定理计算．
【例3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知 是圆 的切线，点 为切点，若 ，则
点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由圆的定义可知点 的轨迹为圆，再由圆的方程即可得到结果.
【详解】因为 ，所以 点到圆心的距离恒为 ，
所以点 的轨迹方程是以 为圆心， 为半径的圆，即 ，
故选：B
【变式1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）“圆心到直线的距离小于圆的半径”是“直线与圆相交”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】根据直线与圆的位置关系的判断可知，“圆心到直线的距离小于圆的半径”是“直线与圆相交”
的充要条件.
故选：C
【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则（ ）
A．1 B． C． D． E．均不是
【答案】B
【分析】得到圆的圆心与半径后，借助切线性质可得 ，即可得 ，即可得 .
【详解】圆 可化为 ，即圆心为 ，半径为 ，
故圆心到点 的距离为 ，
则 ，由 ，故 ，
故 .
故选：B.
【变式3】（2024·福建漳州·一模）过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为A， ，若
直线 与圆 ： 相切，则 ．
【答案】81
【分析】由题意可知点 在以 为直径的圆上，结合两圆相交可得直线 的方程为 ，
再根据直线与圆相切列式求解.
【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径 ；
圆 ： 的圆心为 ，半径 ；
由题意可知： ，可知点 在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆为 ，整理得 ，结合圆 ： ，
两圆方程作差，可得直线 的方程为 ，即 ，
若直线 与圆 ： 相切，
则 ，整理得 .
故答案为：81.
考向2 圆与圆的位置关系
【例3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知圆 ，圆心为 的圆分别
与圆 相切.圆 的公切线（倾斜角为钝角）交圆 于 两点，则线段 的长度为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】判断圆 与 需外切，求出 的方程，进而求得圆 的公切线方程，再根据弦长的几
何求法，即可求得答案.
【详解】如图，由已知 的圆心为 ，半径为 ，
设 的半径为 ，
由题意知圆 与 需外切，否则圆 无公切线或公切线（倾斜角为钝角）与圆 无交点；由题意知 ，即 ；
，即 ，
故圆 ，圆 ，
设圆 的公切线方程为 ，
则 ，解得 ，即 ，
故 到 的距离为 ，
故 ，
故选：B
【变式1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆 的圆心为 ，且经过圆 ：
与圆 ： 的交点．则圆 的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】联立圆 与圆 的方程，解得两交点坐标，即可求得圆 的半径，从而可得答案.
【详解】解：联立 ，解得： 或 ，
所以圆 的半径为： ，
所以 的面积为 .
故选：B．
【变式2】（2024·广西来宾·一模）若曲线 与 的图象有3个交点，则
.
【答案】
【分析】根据题意可知曲线 过坐标原点 ，从而建立方程，即可求解.
【详解】曲线曲线 表示以 为圆心，半径为 的圆，
曲线 表示直线 或 ，
因为两个曲线的图象由3个交点，
如图所示，曲线 过坐标原点 ，
故 .
故答案为： .
【变式3】（2023·河北衡水·三模）若圆 和 有且仅有一条公切线，则 ；此公切线的方程为
【答案】1
【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求 ，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得
出斜率即可求解.
【详解】如图，
由题意得 与 相内切，又 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ．
联立 ，解得
所以切点的坐标为 ，
故所求公切线的方程为 ，即 ．
故答案为：1；【变式4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆 的圆心到直线 距离是
，则圆M与圆 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内含 D．内切
【答案】C
【分析】首先由圆心 到直线 距离是 列式求出 的值，进而可得圆心 的坐标以及圆
的半径，比较两圆圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系即可求解.
【详解】圆 即圆 的圆心半径分别为 ，
圆 的圆心半径分别为 ，
因为 ，解得 或 （舍去），
从而 ，所以 ，
因为 ，
所以圆M与圆 的位置关系是内含.
故选：C.
【变式5】（2024·辽宁·二模）已知圆 与圆 关于直线 对称，则直线 的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对称可知 是圆 和圆 圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．
【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
，圆心 ，半径 ，
由题意知， 是圆 和圆 圆心连线的垂直平分线，
， ， 的中点 ，
圆心 连线的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
故 的方程： ，即 ,故C正确．
故选：C．
强化训练
一、单选题
1．（23-24高三上·河南焦作·期末）若圆 与 轴相切，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，数形结合得到 且 ，得到答案.
【详解】 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 与 轴相切，所以 且 ，解得
故选：D
2．（2024·四川·模拟预测）已知直线 经过点 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．
【答案】B【分析】依题意可得 ，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为直线 经过点 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 、 时取等号.
故选：B
3．（2024·四川南充·二模）已知圆 ，直线 与圆C（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线过定点 ，结合圆的方程分析可得 在圆上，据此由直
线与圆的位置关系分析可得直线与圆一定相交或相切，即可得答案．
【详解】根据题意，直线 的方程为 ，恒过定点 ，
设 为 ，又由圆 ，即 ，
其圆心为 ，半径 ，
由 ，则 在圆 上，
则直线 与圆 相交或相切.
故选：D．
4．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知点A为曲线 上的动点，B为圆
上的动点，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．【答案】A
【分析】数形结合分析可得，当 时能够取得 的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即
可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
由对勾函数的性质,可知 ，当且仅当 时取等号，
结合图象可知当A点运动到 时能使点A到圆心的距离最小，最小值为4，
从而 的最小值为 .
故选：A
5．（2024·广东·一模）已知直线 与直线 相交于点
M，若恰有3个不同的点M到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线垂直确定 轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求
解.
【详解】由 可得 ，
即 过定点 ，
由 可得 ，即 过定点 ，
又 ，所以 的轨迹是以 为直径的圆（不含点 ），
其中圆心为 ，半径为 ，
所以圆上恰有3个不同的点M到直线 的距离为1，
只需圆心到直线的距离等于1，即 ，解得 ，
此时 到直线 的距离不为1，故 符合.
故选：B
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线 交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置
于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线 上，若点N在第二象限内，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过O作 于C，过N作 于D，根据等面积求出 ，运用在直角三角形等知识求
出结果.
【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作 于C，过N作 于D，
因为N在直线 上且在第二象限内，设 ，则 ，又 ，即 ，
所以 ，在 中，由三角形的面积公式得： ，
所以 ，
在 中， ，所以 ，
即 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，因为N在第二象限内，所以 ，
所 ，所以 ，
故选：A.
7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知 为圆 上动点，直线 和直线
（ ， ）的交点为 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 、 可得 ，且 过定点 ， 过定点 ，则可得点 在以 为直径的圆上，则 的最大值为 .
【详解】由 、 ，
有 ，故 ，
对 有 ，故 过定点 ，
对 有 ，故 过定点 ，
则 中点 为 ，即 ，
，则 ，
故点 在以 为直径的圆上，该圆圆心为 ，半径为 ，
又 在原 ，该圆圆心为 ，半径为 ，
又 ，则 .
故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线 、 的方程得到 ，且 过定点 ， 过定点
，从而确定点 的轨迹为以 为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.
8．（2023·浙江温州·模拟预测）设 ， ，已知函数 ， 有且只有一
个零点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设函数 的零点为 ，可得 ，由此可得点 在直线 上，
由此可得 ，再利用导数求其最小值.
【详解】函数 的零点为 ，
则 ，且 ，即 ，
所以点 在直线 上，
又 表示点 到原点的距离的平方，
故 ，
所以 ，
设 ，
则 ，故 ，
设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以当 时， ，
故当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 .
所以当 ， 时， 取最小值，最小值为 .
所以当 时， 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，
利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.
二、多选题
1．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知直线 ，圆 ，且圆 过点 ，
直线 与圆 交于 两点，下列结论中正确的是（ ）
A．圆 的半径为2
B．直线 过定点
C． 的最小值是
D． 的最大值是0【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出圆 的方程，结合圆的性质及数量积定义依次判断各选项即可.
【详解】由圆 过点 ，得 ，圆 的圆心 ，半径 ，
A正确；
直线 ，由 ，得 ，即直线 过定点 ，B正确；
显然点 在圆 内， ，当 时， ，C错误；
当弦 长最小时，圆心角 最小，此时 ，则 ，
因此 ，当且仅当 时取等号，D正确.
故选：ABD
2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）直线 ： ，圆 ： ，则下列结论
正确的是（ ）
A．直线 经过定点且与圆 恒有两个公共点
B．圆心 到直线 的最大距离是2
C．存在一个 值，使直线 经过圆心
D．不存在 使得圆 与圆 关于直线 对称
【答案】AC
【分析】利用直线过定点的求法，结合点圆位置关系判断A；利用圆心到直线的最大距离判断B；将圆心
直接代入直线判断C；利用点关于直线对称的性质判断D.
【详解】对于A，因为直线 ： ，可化为 ，令 ，解得 ，故直线 过定点 ，
而 ，所以点 在圆 内，
所以直线 经过定点且与圆 恒有两个公共点，故A正确；
对于B，因为圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心 到定点 的距离为 ，
所以圆心 到直线 的最大距离是 ，故B错误；
对于C，将圆心 代入直线 ，得 ，解得 ，
所以存在 ，使直线 经过圆心，故C正确；
对于D，因为圆 的圆心为 ，
所以两圆圆心所成线段的中点坐标为 ，恰为直线 所过定点，
同时两圆圆心所在直线的斜率为 ，
要使两圆关于直线 对称，则只需直线 的斜率为 ，
又直线 ： ，所以 ，
其斜率为 ，解得 ，显然存在 满足题意，故D错误.
故选：AC.
3．（23-24高三上·福建·阶段练习）已知直线l： 与圆C： ，点
P在圆C上，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径是6
C．直线l与圆C一定相交D．点P到直线l的距离的最大值是
【答案】BC
【分析】求解直线经过的定点，圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可．
【详解】直线l： ，即
由 ，解得 ，则直线l过定点 ，故A错误；
圆C： ，即 ，
则圆C的圆心坐标为 ，半径为6，故B正确；
因为点 与 的距离为 ，
则点 在圆C的内部， 所以直线l与圆C一定相交，故C正确；
点P到直线l的距离的最大值是 ，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数 在 ， 处分别取得极大值和
极小值，记点 ， ， 的图象与 轴正半轴的交点为 .若 的外接圆的圆心
在以 为直径的圆上，则 .
【答案】 /
【分析】方法一：由题意求得点的坐标，利用待定系数法求得圆的方程，结合向量的运算，建立方程，可
得答案；
方法二：由题意求得点的坐标，利用几何法求得圆的方程，结合向量的运算，建立方程，可得答案.
【详解】方法一：
， 或 ； ， 或 .
的图象与 轴正半轴交点为 ，则 ， .在 和 单调递增， 单调递减，且 ， ，
外接圆： ， ，
∴ ，圆心 ， 在以 为直径的圆上.
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
方法二：∵ 的图象与 轴正半轴交于 ，∴ ， 大致图象如下图：
∴ ， ，令 ，解得 或 ，
∴ ， ，∴ ， ，
故 中垂线方程： ， 中垂线方程 ，
∴ ，则 ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .2．（2024·河南郑州·模拟预测）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三
角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，
直线BC方程为 ，且 ， ABC的垂心 在 ABC内，点E在线段AG上，则圆
△ △
E的标准方程 .
【答案】
【分析】首先根据塞尔瓦定理以及圆的几何性质，求解 和 ，并求直线 的方程，求解点 的坐标，
即可求解圆的方程.
【详解】由△ABC的垂心 到直线BC距离 ，设圆E半径为r，
由塞尔瓦定理可得 ，由圆的几何性质可得 ，联立解得
， ，
因为直线BC方程为 ， ,且 ，所以直线EG方程为 ，
设 ，则E到直线BC距离 ，解得 （舍去）或 ，
所以圆E的标准方程为 ．
故答案为：
3．（2024·陕西·模拟预测）若直线 与曲线 有公共点，则实
数 的范围是 .
【答案】
【分析】当 时，可求得直线 与曲线 的公共点；当 时，直线 恒过定点 ，斜率为 ，
曲线 为圆心为 ，半径为 的上半圆，画图观察可得 ，进而可求得结果.【详解】①当 ，即 时，直线 为 （即 轴），
，即直线 与曲线 的公共点为 ，故 符合题意；
②当 ，即 时，直线 为 恒过定点 ，斜率为 ，
又因为曲线 ： ，
所以曲线 为圆心为 ，半径为 的上半圆.
如图所示，
当直线 经过半圆的右端点 时恰好有公共点，逆时针旋转至 轴都满足题意，
又因为 ，所以 ，解得 ，
综述，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）设抛物线 ，点 ， ，过点A的直线l与C交于
M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明： ．
【答案】(1) 或 .
(2)证明见解析
【分析】（1）先写出 轴时直线l的方程；再将直线l的方程和抛物线方程联立，求出点 的坐标，最后利用斜率公式和点斜式方程即可求解.
（2）根据直线l斜率是否存在分两类讨论；当直线l斜率不存在时，利用抛物线的对称性即可证明；当直
线l斜率存在时，设出直线l方程，联立直线l的方程和抛物线方程，利用韦达定理和斜率公式可得出
，进而可证明 .
【详解】（1）
当 轴时，直线 .
联立方程组 ，整理得： ，
则点 或 .
因为 ，
所以 或 .
所以直线 的方程为： 或 ，
即直线 的方程为： 或 ．
（2）
【基本解法1】当直线l斜率不存在时，由抛物线的对称性可得：点 关于 轴对称，此时 ．
当直线l斜率存在时，可设直线方程为 .
联立方程组 ，整理得： .
易得 ，设点 ，
则 ，
所以 ，
即 ，所以 .
【基本解法2】
依题意，直线l斜率不为0，设直线方程为 ，
联立方程组 ，整理得： .
易得 ，设点 ，
则 ，
所以 ，
即 ，所以 .
【基本解法3】
当直线l斜率不存在时，
由抛物线的对称性可得：点 关于 轴对称，此时 ．
当 不与 轴垂直时，设 .因为点 都在直线 上，故有 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 .
2．（2024高三·全国·专题练习）已知点A为圆 上任意一点，点 的坐标为
，线段 的垂直平分线与直线 交于点 .求点 的轨迹 的方程.
【答案】
【分析】根据题意得 ，从而判断点 的轨迹 为以 为焦点的双曲线，根据双曲
线定义求解即可.
【详解】由 得 ，其半径为4，
因为线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，
故 ，则 ，
而 ，故点 的轨迹 为以 为焦点的双曲线，
则 ，
故点 的轨迹 的方程为 .【点睛】本题关键在于 ，从而判断轨迹 为双曲线，再根据定义即可求解.
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知圆 ，直线 ，过 的直
线 与圆 相交于 两点，
(1)当直线 与直线 垂直时，求证：直线 过圆心 .
(2)当 时，求直线 的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2) 或
【分析】（1）由直线垂直求出 方程，代入圆心坐标即可得证；
（2）分直线斜率是否存在讨论，结合点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解.
【详解】（1）由已知 ，故 ，所以直线 的方程为 .
将圆心 代入方程易知 过圆心 .
（2）因为 ，圆 的半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
当直线 与 轴垂直时，易知 符合题意；
当直线与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
综上：直线 的方程为 或 .
4．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆 过点 ， 和 ，且圆 与 轴交于点 ，点 是抛物线 的焦点.
(1)求圆 和抛物线 的方程；
(2)过点 作直线 与抛物线交于不同的两点 ， ，过点 ， 分别做抛物线 的切线，两条切线交于点
，试判断直线 与圆 的另一个交点 是否为定点，如果是，求出 点的坐标；如果不是，说明理由．
【答案】(1)圆 ： ，抛物线 ：
(2)是定点，
【分析】（1）依题意可知圆心在直线 上，设圆心为 ，半径为 ，再由圆过点 ，即可得
到 ， ，从而求出圆的方程，再令 求出 点坐标，即可求出抛物线方程；
（2）设直线 的方程为 ， ，过 ， 点的抛物线的切线的斜率分别为
、 ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用导数的几何意义表示出过 、 点的切线方
程，再联立即可求出 点坐标，即可得到直线 的方程，最后与圆的方程联立求出交点坐标.
【详解】（1）因为圆 过点 和 ，
所以圆心在直线 上，设圆心为 ，半径为 ，
又圆过点 ，所以 ， ，
则圆 的方程为 ，
令 ，解得 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）依题意直线 的斜率必存在，不妨设为 ，则直线 的方程为 ，即 ，由 整理得 ，
其中 ，解得 或 ，则 ， ，
设 ， ，过 ， 点的抛物线的切线的斜率分别为 、 ，
又 ，所以 ，则 、 ，
所以过 点的切线方程为 ，即 ，
同理可得过 点的切线方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，
所以点 在直线 上，而点 也在直线 上，
所以直线 与圆 的另一个交点 就是直线 与圆 的交点，
由 ，解得 或 ，
所以直线 与圆 的另一个交点为定点 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
5．（23-24高三上·天津·期末）设 ， 两点的坐标分别为 ， .直线 ， 相交于点 ，且
它们的斜率之积是 ，记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程
(2)设直线 与 交于 ， 两点，若 的外接圆在 处的切线与 交于另一点 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）据题意设点 ，利用.直线 ， 的斜率之积是 ，从而求出点 的轨迹方程；
（2）由题意求出点 的坐标，进而得到 的外接圆以及在 处的切线，联立切线方程和椭圆方程，
结合韦达定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）设点 ，因为 的坐标为 ，所以直线 的斜率 ，同理，
直线 的斜率 ，
由已知，有 ，
化简，得点 的轨迹方程为： .
所以， 的方程为 .（2）
由 解得 或 ，
不妨设 ， ，
设 的外接圆方程为： ，
所以 ，解得 ，
所以 的外接圆 的方程为： ，
所以外接圆圆心 ，
所以 ，
所以 的外接圆在 处的切线 方程为： ，即 ，
由 得 ，
，设 ，
由题意及韦达定理，所以 ，故 ，故 ，
又点 ,所以 ，又点 到直线 的距离为： ，
