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重难点专训10 导数中的极值点偏移问题
题
解
方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题
极值点偏移问题
型一：加法型
........................................................................................................................3
题
极值点偏移问题
型二：减法型
......................................................................................................................10
题
极值点偏移问题
型三：乘积型
......................................................................................................................14
题
极值点偏移问题
型四：商型
..........................................................................................................................20
题
极值点偏移问题
型五：平方型
......................................................................................................................25
题
极值点偏移问题
型六：综合型
......................................................................................................................30
重难专题分层过关练..........................................................................................................................36
巩固过关...............................................................................................................................................................36
创新提升...............................................................................................................................................................47
一、极值点偏移的定义
函数
满足对于定义域内任意自变量
都有f ( x)=f (2m−x)，则函数
关于直线x=m 对
称．可以理解为函数
在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若
为单峰函数，则x=m 必为
的极值点，如
的极值点为
，f ( x)=c 的两根为
，且有x1+x2
2
=x0 ，即极值点在
两根的正中间，也就是极值点没有偏移，若
，则极值点偏移．
若单峰函数
的极值点为
，且函数
满足定义域
左侧的任意自变量
都有
或
，则函数
极值点
左右侧变化快慢不同，如下图所示．
故单峰函数
定义域内任意不同的实数
，
，满足
，则
与极值点
必有
确定的大小关系：
若
，则称为极值点左偏如上左图；
若
，则称为极值点右偏如上右图．
二、极值点偏移问题的一般形式
1.若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2 x0 （其中
为f ( x)的极值点）；
2.若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2 满足f ( x1)=f ( x2)，求证：x1+x2>2 x0 （其中
为f ( x)的
极值点）；
3.若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2 ，令x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 ；
4.若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2 满足f ( x1)=f ( x2)，令x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 .
三、处理极值点偏移问题的方法
（1）对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
①定函数(极值点为
)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点
．
②构造函数，即对结论
型，构造函数
或
；
③对结论
型，构造函数
，通过研究
的单调性获得不等式．
④判断单调性，即利用导数讨论
的单调性．
⑤比较大小，即判断函数
在某段区间上的正负，并得出
与
的大小关系．
⑥转化，即利用函数f(x)的单调性，将
与
的大小关系转化为
与
之间的关系，
进而得到所证或所求．
（2）差值代换法（韦达定理代换令
.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即
，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
（3）比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即
，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
（4）对数均值不等式法
应用对数平均不等式
证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到
；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
题型一：
极值点偏移问题
加法型
典例1-1．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在
上的值域；
(3)若关于
的方程
在
内有两个根
，证明：
．
典例1-2．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，若函数
有2 个不同的零点
，
．
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
变式1-1．已知函数
(1)求函数
在
处切线方程；
(2)若
有两解
，
，且
，求证：
．
变式1-2．已知函数
（
）．
(1)求
的单调区间；
(2)若函数
，
是函数
的两个零点，证明：
．
题型二：
极值点偏移问题
减法型
典例2-1．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若方程
有三个不相等的实数根
，且
，证明：
．
变式2-1．已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求实数a 的值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若
，求证：
．
变式2-2．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间与极值；
(2)若
，求证：
．
题型三：
极值点偏移问题
乘积型
典例3-1．已知函数
为其导函数．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数
，使得
，证明：
．
典例3-2．已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求
的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求
的取值范围；
②当
时，证明：
.
变式3-1．已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，
，则
．
变式3-2．已知函数
，其中
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)求当
时，函数
在区间
上的最小值
；
(3)若函数
有两个不同的零点
.
①求实数a 的取值范围；
②证明：
.
题型四：
极值点偏移问题
商型
典例4-1．已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的最大值；
(3)若关于
的方程
有两个实根
，
，求证：
．
变式4-1．已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．
(1)当a≤e 时，讨论函数f（x）的单调性：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求
的最大值．
变式4-2．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
题型五：
极值点偏移问题
平方型
典例5-1．已知函数
，其中为自然对数的底数．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若方程
有两个不同的根
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
典例5-2．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性：
(2)若
是方程
的两不等实根，求证：
；
变式5-1．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
（e 是自然对数的底数），且
，
，
，证明：
.
变式5-2．已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
，对于任意
，证明：
.
题型六：
极值点偏移问题
综合型
典例6-1．已知函数
在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求
的取值范围；
(2)记两个极值点为
，且
. 若
，证明：
.
变式6-1．已知函数
.
(1)若
有两个零点，
的取值范围；
(2)若方程
有两个实根
、
，且
，证明：
.
变式6-2．已知函数
（
），其中
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，求x 的取值范围；
（3）当
时，若
，
为函数
（
）的两个零点，试证明：
.
巩固过关
1．（多选）已知函数
有两个零点，设其由小到大分别为
，
，则（ ）
A．实数
的取值范围是
B．
C．
D．
2．若函数
在
上存在
，使得
，
，则
称
是
上的双中值函数，其中
“
”
称为
在
上的中值点.
(1)判断函数
是否是
上的双中值函数，并说明理由；
“
”
(2)已知函数
，存在
，使得
，且
是
上的双中值函
“
数，
”
是
在
上的中值点.
①求
的取值范围；
②证明：
.
3．已知函数
．
(1)若
只有一个零点，求
的值；
(2)若
有两个零点
，证明：
．
4．已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若函数
恰有两个极值点
，且
的最大值为
，求证：
．
5．设函数
.
(1)若
，求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
.
6．已知函数
．
（1）求
的图象在
处的切线方程；
（2）若函数
有两个不同的零点
、
，证明：
．
7．已知函数
在
上有两个极值点
.
(1)求
的取值范围;
(2)求证：
.
创新提升
1．已知函数
（是自然对数的底数）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
有两个零点分别为
.
①求实数
的取值范围；
②求证：
.
2．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，方程
有三个不相等的实数根，分别记为
.
①求
的取值范围；
②证明
.
3．已知函数
的最小值为
.
(1)求实数
的值；
(2)若
有两个不同的实数根
，求证：
.
