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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 12 导数中的极值点偏移问题（精讲+精
练）
①对称构造（最常用）
②比值代换
③对数均值不等式
一、必备知识整合
一、极值点偏移基本定义
对于函数 在区间 内只有一个极值点 ，函数 与直线 交于点 ，
两点，即 ，且 .
(1)若 ，则称函数 在区间 上极值点 偏移.
(2)若 ，则称函数 在区间 上极值点 向左偏移，简称极值点左偏.
(3)若 ，则称函数 在区间 上极值点 向右偏移，简称极值点右偏.
如上图所示， 为函数的极值点， 处对应的曲线的切线的斜率为
由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。
当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有 ；当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有 。
当函数图像为凹函数，且极值点左偏时， ；
当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有 。
如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移， 和 处对应的函数值相等，我们可以作 关于
的对称点 ，则 ，且 ，故 ，即 ，故我们可
以构造函数 ，只需要判断函数 的单调性，然后根据单调性判断函数的最
小值，只要满足 ，我们就可以得到 。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及
凹函数极值点左移或右移的构造函数。
二、答题模板（对称构造）
若已知函数 满足 ， 为函数 的极值点，求证： .
（1）讨论函数 的单调性并求出 的极值点 ；
假设此处 在 上单调递减，在 上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]
（2）构造 ；
注：此处根据题意需要还可以构造成 的形式.[来源:Zxxk.Com]
（3）通过求导 讨论 的单调性，判断出 在某段区间上的正负，并得出 与
的大小关系；
假设此处 在 上单调递增，那么我们便可得出 ，从而得
到： 时， .
（4）不妨设 ，通过 的单调性， ， 与 的大小关系得出
结论；接上述情况，由于 时， 且 ， ，故
，又因为 ， 且
在 上单调递减，从而得到 ，从而 得证.
（5）若要证明 ，还需进一步讨论 与 的大小，得出 所在的单调区间，从
而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为 ，故 ，
由于 在 上单调递减，故 .
三、其他方法
1.比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的
比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，化为
单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.对数均值不等式
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
3.指数不等式
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下关系：
二、考点分类精讲
【典例1】（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调
性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令 ，命题转换为证明： ，然后构造对称
差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．
由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．
由（1）知 ，先证 ．
要证：
．
令 ，
则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以需证 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
[方法三]：比值代换
证明 同证法2．以下证明 ．不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，
即证 ．
记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，
即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．
再证明 ．令 ．
令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，
这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
【题型训练-刷模拟】
1 . 对称构造（最常用）
一、解答题
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数 变形整理 ，构造函数
，对其进行二次求导，从而可求出 的单调性，进而可求出函数的最大值，即可证明结
论成立.
（2）对函数 进行二次求导，从而可判断函数 单调性，要证 ，只需证
，结合 在 上单调递减知只需证 ，即证 ，进而构
造函数 判断其单调性即可证明.
【详解】（1）由题意， ，设
，则
，当 时， ， 单调递增；当 时， ，
单调递减，从而 ，故 恒成立，，故 ．
（2）由题意， ， ， ，
， ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
在 上单调递减，且 ，
若 ，则 ，不合题意，
若 ，则 ，不合题意，∴ ，
要证 ，只需证 ，结合 在 上单调递减知只需证 ，
又 ， ，故只需证 ，即证 ①，
令 ， ，
则 ，
， 在 上单调递增，
又 ， ，从而 在 上单调递减， ， ，
， ，即不等式①成立，故 ．
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数证明不等式问题，考查了学生的逻辑推理能力
及数据分析能力，考查了转化思想，属于难题.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 恰有两个零点 ．
(1)求 的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得到 ，利用导数得到 的最小值，从而要使 有两个零点，则 最小
值小于 ，得到 的范围；
（2）由（1）的结论，构建函数 ， ，由 得到函数 单调递
增，得到 ，从而得到 ，又函数 在 上单调递增，则得到.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以当 时，函数 取最小值 ．
因为当 时， ，当 时， ，
且函数 恰有两个零点 ，
所以 ,所以 的取值范围为 ．
（2）由（1）知， 为 的极小值点，
所以可设 ，则 ，
构建函数 ， ，
所以当 时，
，
函数 单调递增，所以当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ．
【点睛】关键点点睛：由 的极小值点，得到零点的位置，通过构建函数，由函数单调性可得结果.
3．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)若 ，且 ，求证： ．
【答案】(1)在 上单调递增
(2)证明见解析【分析】(1)由题意得 ，令 ，根据 的正负确定
的单调性，得 ，即得函数 的单调性.
（2）构造函数 ，其中 ，则 ，令
，得 ，从而可得 在 上单调递减，然后根据函数的单调性可得
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ．
令 ，则 ．
令 ，得 或 ．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ， ，故 对一切 恒成立，
∴ ，于是 ，故 在 上单调递增．
（2）不妨设 ．
构造函数 ，其中 ，
则 ．
由 ，得 ．
令 ，
∵ ，
∴ 在 单调递增，则 ．
∴ 在 上单调递减，∴ ，
即 对 恒成立．
∵ ，∴ ，
∴ ．
由（1）知 在 上单调递增，
∴ ，故 ．4．（2024·云南·二模）已知常数 ，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围;
(2)若 、 是 的零点，且 ，证明: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意
，即可求出 的取值范围；
（2）由（1）不妨设 ，设 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到
，结合 及 的单调性，即可证明.
【详解】（1）由已知得 的定义域为 ，
且
，
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增.
所以 在 处取得极小值即最小值，
，
，
，即 的取值范围为 .
（2）由（1）知， 的定义域为 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且 是 的极小值点.
、 是 的零点，且 ，
、 分别在 、 上，不妨设 ，
设 ，
则
当 时， ，即 在 上单调递减.
，，即 ，
，
，
，
，
又 ， 在 上单调递增，
，即 .
【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数
值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；
（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围
以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明
不等式.
5．（2024·广东湛江·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个根 ， ，求实数a的取值范围，并证明： ．
【答案】(1) 在 上单调递增， 上单调递减，
(2)见解析
【分析】（1）求出 ，根据导数的符号判断函数的单调性；
（2）由 ，得 ，设 ，画出 的图象可得 ；由 ，
设 ，对 求导可得 ，又 ，再由 在 上单调递
减，可得 ，即可证明 .
【详解】（1）由题意可得 ，所以 ，
的定义域为 ，
又 ，由 ，得 ，当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
（2）由 ，得 ，设 ，
，由 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
又 ， ，且当 趋近于正无穷， 趋近于 ，
的图象如下图，
所以当 时，方程 有两个根，
证明：不妨设 ，则 ， ，
设 ，
，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又 ， ， 在 上单调递减，所以 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出 的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断
出单调性；（2）解此问的关键在于把 转化为 来证，又 ，构造，对 求导，得到 的单调性和最值可证得 ，即可证明 .
2 . 比值代换
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明 .
【答案】(1) 在 上单调递增
(2) ，证明见解析
【分析】（1）对 求导，根据 的符号得出 的单调性；
（2）由题意可知 有两解，求出 的过原点的切线斜率即可得出 的范围，设
，根据分析法构造关于 的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可，
【详解】（1） 时， ，
故 ，
在 上单调递增.
（2）关于 的方程 有两个不同实根 , ，
即 有两不同实根 ， ，得 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
时， 取得最大值 ，且 ，得图象如图：.，则 ，
即当 时， 有两个不同实根 ， ，
两根满足 ， ，
两式相加得： ，两式相减地 ，
上述两式相除得 ，
不妨设 ，要证： ，
只需证： ,即证 ，
设 ，令 ，
则 ，
函数 在 上单调递增，且 ,
，即 ，
.
2．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数 ．
(1)若函数 是减函数，求 的取值范围；
(2)若 有两个零点 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1） 在 上恒成立，参变分离 在 上恒成立，构造函数求出 的最大值，从而求出 的取值范围；
（2）由零点得到 ，令 ，从而得到 ， ，
，构造 ，求导得到其单调性，从而证明出结论.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
函数 是减函数，故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，
，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，且 ，
故 ，解得 ，
故 的取值范围是 ；
（2）若有两个零点 ，则 ，
得 ．
，令 ，则 ，
故 ，
则 ，
，令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
，
，则 在 上单调递增，
，即 ，
故 .
【点睛】极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变
形，如常常利用 进行变形，可构造关于 的函数，利用导函数再进行求解.
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 （ ）．
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 ， 是函数 的两个零点，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分 与 两种情况，得到函数单调区间；
（2）利用分析法先等价转化所证不等式：要证明 ，只需证明
，即证明 ，即证明 ，令 ，构造函数
，利用导数研究函数 单调性，确定其最值，得到 ，即可证得结论．
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
，
①当 时， ，则 在 上单调递增；②当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时， 单调递增区间为 ，无递减区间；
当 时， 单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
（2）因为 是 的两个零点，
所以 ， ，将两式作差可得
，又 ，
所以 ，
所以要证 ，只须证明 ，
即证明 ，即证明 ，
令 ，即证 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，
∴ 在 上递减，又 ，
∴ 在 上递增，则 ，
即 ，
所以 成立，即 ．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特
征不等式变形，如常常利用 进行变形，可构造关于 的函数，利用导函数再进行求解.
