文档文本内容
第 03 讲 导数与函数的极值、最值
内容导航
01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势
02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维
03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 极值点与极值 知识点2 函数的最大(小)值
知识点3 函数极值与最值的关系
题型破译 (含超链接）
题型 1 （导） 函数图象与极值
【方法技巧】导函数图象与原函数图象的关系
题型 2 求函数的极值（点）
【方法技巧】求函数的极值（点）的方法
题型 3 已知函数的极值（点）求参数
【方法技巧】已知极值（点）求参数的方法
题型 4 已知极值（点）个数求参数
【方法技巧】已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤
题型 5 求不含参函数的最值
题型 6 导数在解决实际问题中的应用
题型 7 根据函数的最值求参数
题型 8 利用极值、最值解决函数的零点问题
【方法技巧】利用导数画图解决零点问题
题型 9 恒成立问题
【方法技巧】恒成立问题的处理方式
04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向
05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
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学科网（北京）股份有限公司——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
全国I卷T10（6分）
全国二卷T10（6分） 全国II卷T11（6分）
全国二卷T13（5分） 全国II卷T16（2）（9
函数的极值 ——
全国二卷T18（1）（4 分）
分） 全国甲卷（理）T21（1）
（5分）
全国甲卷（理）T21（2）
全国一卷T19（1）（4 （7分）
函数的最值 —— 分） 全国甲卷（文）T16（5
北京卷T19（1）（4分） 分）
天津卷T20（2）（6分）
近三年考情显示，导数与函数的极值、最值考查稳定，是高考数学核心必考内容。无
论试题如何变化，均以导数为工具，通过单调性分析极值、最值，借助图像直观呈现
考情分析 本质。常以解答题压轴设问出现，难度中档偏上，侧重含参讨论、单调性衔接、极值
点判定与最值求解。最终落脚点仍是单调性与最值，突出转化、分类讨论与数形结合
思想。
1．结合函数图像，理解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。
2．能利用导数熟练求函数的极大值、极小值及极值点。
复习目标
3．会求闭区间上函数的最大值与最小值。
4．能结合单调性、参数讨论，判定极值存在性并求解参数范围。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
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学科网（北京）股份有限公司知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 极值点与极值
1．极值点与极值
（1）极小值点与极小值
若函数 在点 的函数值 比它在点 ________其他点的函数值都小，且
________,而且在点 附近的左侧 ________,右侧 ________,就把 叫做函数 的
________, 叫做函数 的________．
（2）极大值点与极大值
若函数 在点 的函数值 比它在点 ________其他点的函数值都大，且
________,而且在点 附近的左侧 ________,右侧 ________，就把 叫做函数 的
________, 叫做函数 的________．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值．
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学科网（北京）股份有限公司注意：函数 可以有多个极大值和极小值，例如：函数 在 上有无数
多个极大值和极小值．
2．函数极值的求法
解方程 ,当 时:
（1）如果在 附近的左侧 ;右侧 ,那么 是________;
（2）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是________
极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的________,而不是点:极值是函数
在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的________．
②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点．
3．导数与极值的关系
一般来说," "是“函数 在点 处取得极值”的________条件．若可导函数
在点 处可导,且在点 处取得极值,那么 ;后之若 ,则 不一定是函数
的极值点．函数 在点 处取得极值的充要条件是 且 在 左、右两侧
的符号________．
自主检测
1．函数 的极小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
知识点2 函数的最大(小)值
1．最值的存在性：一般地,如果在区间 上函数 的图象是一条________的曲线,那么它必
有最大值与最小值．
最值与极值的区别：①函数的极值是函数在________区间上函数值的比较；函数的最值是函数在
________区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者．
②函数的极值可以有________个，但最大(小)值只能有________个，极值只能在区间内取得，最值可
以在区间端点处取得．
最值与极值的联系：如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值
点,那么该极值点就是________,这里区间 可以是无穷区间
2．求函数 在区间 上的最值的步骤：
① 在区间 上的极值;②将函数 的各极值与________处的函数值 比
较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
自主检测
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学科网（北京）股份有限公司2．函数 的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．1
知识点3 函数极值与最值的关系
1．研究范围不同：极值是________概念，只看某一点附近的函数值大小；最值是________概念，针
对整个定义区间来比较。
2．数量不同：在一个区间内，极大值、极小值可能有________，也可能不存在；而最大值、最小值
最多只有________，也可能不存在。
3．位置不同：极值点不能出现在区间________；最值点可以是区间________。
4．取值位置：可导函数的最大值、最小值，一定出现在________或________处。
自主检测
3．已知函数 定义域为 ，且在该区间上连续，在 上函数 有唯一的极大值
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 有最大值
B．函数 有最大值，但不一定是
C．函数 的最小值也可能是
D．函数 不一定有最大值
题●型●破●译
题型1 （导）函数图象与极值
例1-1（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数 的导函数为 ，且 的图象如图所示，则
的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
例1-2（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为 的函数 的导函数为 ，且函数
的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 有极小值 ，极大值
B． 有极小值 ，极大值
C． 有极小值 ，极大值 和
D． 有极小值 ，极大值
方法技巧 导函数图象与原函数图象的关系
导函数图像由正变负，原函数在该点取得极大值；导函数图像由负变正，原函数在该点取得极小值。只
有导函数图像穿过x轴的交点才是极值点，仅相切不穿过的点不是极值点。
【变式1-1】（2023·24高三上·重庆·阶段检测）（多选）设函数 在 上可导，其导函数为 ，且
函数 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数 在 上为增函数 B．函数 在 上为增函数
C．函数 有极大值 和极小值 D．函数 有极大值 和极小值
【变式1-2】（2024·25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数 ， 的图象是一条连续不
断的曲线，设其导数为 ，函数 的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取最大值 B． 是 的极大值点
C． 没有极小值点 D． 可能不是导函数 的极大值点
【变式1-3·变考法】（2024·25高三上·山东滨州·期末）（多选）已知函数 与其导函数 的部分图
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学科网（北京）股份有限公司象如图所示，若函数 ，则下列关于函数 的结论不正确的是（ ）
A．在区间 上单调递减
B．在区间 上单调递增
C．当 时，函数 有极小值
D．当 时，函数 有极小值
题型2 求函数的极值（点）
例2-1（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性，并求其极值；
例2-2（2026·福建泉州·模拟预测）“函数 在区间 内存在最小值”的充分不必要条
件可以是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 求函数的极值（点）的方法
先确定函数定义域，求导并令 ，找出所有驻点与不可导点。逐一判断每个点左右两
侧导数符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，严格区分极值点与极值。
【变式2-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数 的所有极值点之和为__________．
【变式2-2·变角度】（2026·河北保定·二模）已知等比数列 的各项均为正数； 是函数
的两个极值点，则 （ ）
A．2026 B．2025 C．1014 D．1013
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学科网（北京）股份有限公司【变式2-3·变考法】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 有3个极值点 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
题型3 已知函数的极值（点）求参数
例3-1（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数 在 处取得极
值 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
例3-2（2026·四川宜宾·一模）已知函数 .
(1)是否存在实数 ，使得 为函数 的极小值点.若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
方法技巧 已知极值（点）求参数的方法
（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为
0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
【变式3-1】（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，
且 时， 有极值，则 _____．
【变式3-2】（2026·河南·三模）已知函数 .
(1)若 是 的极小值点，求 的值；
【变式3-3】（2026·河北邢台·一模）已知函数 在 处取得极小值 .
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的值;
题型4 已知极值（点）个数求参数
例4-1（2026·湖北·模拟预测）已知定义在 上的奇函数 存在2个极值点，则
（ ）
A． B． C． D．
例4-2（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)设 有且仅有一个极值点，求a的取值范围；
方法技巧 已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤
（1）求定义域：优先写出函数定义域，注意分母、对数、根号等限制。
（2）求导并整理：通分、因式分解，转化为整式型导数（方便判断零点）。
（3）转化问题：极值点n个 在定义域内有n个不同变号零点。
（4）构造函数+数形结合：分离参数或直接研究导函数图像，利用单调性、零点存在定理求参数范围。
【变式4-1·变题型】（2024·河南·一模）若函数 在区间 只有 个极值点，
则曲线 在点 处切线的方程为__________．
【变式4-2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数 恰有1个极值点，则实数 的
取值范围为___________．
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学科网（北京）股份有限公司【变式4-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 有3个极值点，求a的取值范围；
题型5 求不含参函数的最值
例5-1（2026·江苏扬州·三模）函数 在区间 上的最大值为_________．
例5-2（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的最大值；
【变式5-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆柱的体积为 ，则圆柱的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2·变载体】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 上的最大值；
【变式5-3·变考法】（2026·甘肃·模拟预测）已知函数 ，其导函数为 .
(1)当 时，求函数 的值域；
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学科网（北京）股份有限公司题型6 导数在解决实际问题中的应用
例6-1（2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大
时，它的体积为（ ）
A． B． C． D．
例6-2（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若
公园主办方计划在弧 上选取一点 ，在扇形 内保留游乐景观，并修建三条观光道 、 和
（其中 ， ）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形 的游乐景观每平方千米需投
入维护成本1万元，则当扇形 区域为公园产生的净收益取得最大值时， _____________度．
（结果精确到0.1度）
【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同
的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简
易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度
为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式6-2·变情境】（2025·重庆·模拟预测）在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程
科学常用抗弯截面系数 来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为 ，则抗弯截面
系数 ；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为 ，则抗弯截面系数 ；若梁的
截面形状是长方形，且长方形截面的长为 ，宽为 ，则抗弯截面系数 .若上述三种截
面形状的梁的截面周长相同，则（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【变式6-3】（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为 千米，AD长4千米，地块
的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的
一部分．现要经过曲线AC上某一点 （异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边
AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），
的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的 的面积S的最大值为______平方千米．
题型7 根据函数的最值求参数
例7-1（2025·江苏扬州·三模）若函数 的最小值为2，则实数a的值是__________.
例7-2（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上的最小值为 ，求 .
【变式7-1】（2024·25高三下·广东·开学考试）已知函数 的最小值是 ，则
___________.
【变式7-2·变载体】（2026·湖北随州·三模）已知 ，函数 的最大值为0，则 的最
小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式7-3】（2026·山东淄博·三模）已知函数 .
(1)当 ， 时，求 的极值；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ， 有最大值且 的最大值小于 ，求a的取值范围.
题型8 利用极值、最值解决函数的零点问题
例8-1（2026·山东·模拟预测）若函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例8-2（2026·广东广州·二模）若函数 有且仅有两个零点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
方法技巧 利用导数画图解决零点问题
（1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从
直观上判断函数图象与 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了
方便．
（2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．
【变式8-1·变载体】（2026·河南许昌·三模）已知函数 ，若函数
有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2·变考法】（2026·湖南·三模）当函数 的零点个数最多时， 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【变式8-3】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）已知函数 ，
则（ ）
A．当 时， 有2个零点
B．当 时， 有3个零点
C．当 时， 只有1个零点
D．当 时， 有2个零点
【变式8-4】（2026·河南·二模）已知函数 ．
(1)当 时，判断 在区间 有无零点，并说明理由；
题型9 恒成立问题
例9-1（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式 恒成立，则 的最小值为
__________．
例9-2（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 在 处取得极值，求a的值；
(2)若当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
方法技巧 恒成立问题的处理方式
将f(x)≥0或f(x)≤0恒成立转化为函数在区间上的最值问题。求导确定最值，建立最值不等式求解参数
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学科网（北京）股份有限公司范围，注意分类讨论与端点取值。
【变式9-1·变载体】（2026·陕西榆林·模拟预测）若 恒成立，则实数a的
取值范围为______．
【变式9-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数 ， ， 为 的导函数.
(1)当 时，求 的极值；
(2)若关于x的不等式f(x+1)≥2f′ (x)在 上恒成立，求实数b的取值范围.
【变式9-3】（2026·安徽芜湖·二模）已知 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若 有极值点，求 的取值范围；
(3)若 恒成立，求 的取值范围.
【变式9-4】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求函数 的最小值；
(3)当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
3．（2025·全国二卷·高考真题）若 是函数 的极值点，则 ___________
4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的
取值范围为______．
5．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终
点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为 ，要使游客从斜坡底走到斜坡
顶端所消耗的总体能最少，则 ______．
6．（2024·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 对任意 成立，求实数 的值；
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数 在区间 的最大值；
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．求下列函数的极值：
（1） （2） ；
（3） （4）
2．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1） ，
（2） ，
（3） ，
（4） ，
3．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度
分别是多少？
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学科网（北京）股份有限公司4．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b 元/件时，可卖出c件.市场调查表明，
当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
5．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
（1） ， ；
（2） ， ．
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学科网（北京）股份有限公司
