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第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）(分层精
练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
1．（17-18高二·黑龙江牡丹江·课时练习）若 ，则方程 在 上根的
个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用 的导数讨论单调性,结合零点的唯一性定理可求解.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， ，则 在 上为减函数，
又 ，
所以 在(0，2)上恰有1个根，
即方程 在 上根的个数为1，
故选:B.
2．（2024·四川凉山·二模）若 ， ，则函数 的零点个
数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.
【详解】 ,
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，又 ， ， ， ，
则 的草图如下：
由图象可得函数 的零点个数为 .
故选：C.
3．（2023·陕西西安·模拟预测）方程 有两个不等的实数解，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形为 有两个不等的实数解，构造 ，求导，得到单调
性和极值情况，又当 时， 恒成立，当 时， 恒成立，从而得到
答案.
【详解】由题意得 有两个不等的实数解，
令 ，定义域为R，
，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 时取得极小值，也是最小值，
故 ，
又当 时， 恒成立，当 时， 恒成立，
故要想 有两个不等的实数解，则 .
故选：C
4．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数 ，若关于x的方程
有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，问题可转化为 与 只有1个交点，求
导得到其单调性，画出其函数图象，数形结合求出答案.
【详解】令 ，
则可转化为 与 只有1个交点，
当 时， ，故 恒成立，
故 在 上单调递增，
当 时， ，故 恒成立，
故 在 上单调递增，又 ，
画出 的图象如下：
要想 与 只有1个交点，只需 ，
故实数a的取值范围是 .
故选：A
5．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数 若方程
有三个不同的解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将原题转化为 与 有三个不同的交点，结合图象分析相应的临界位置求解，
并利用导数处理切线问题.
【详解】∵ ，则
∴原题转化为 与 有三个不同的交点
表示为斜率为1，纵截距为a的直线，如图可知：
满足条件的直线以过点 的直线 ，与 相切的直线 为临界位置
若过点 ，则 ，即
若与 相切，则 ，可得
即切点坐标为 ，则
∴a的取值范围是
故选：B.
6．（2024·云南·模拟预测）已知函数 ，若 在 有实数
解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首 先 分 析 题 意 ， 由 于 ， 设 出 进 一 步 分 析
，则 ，分析 单调性解出实数 的取值范围.
【详解】根据题意， ，所以 ，令 ，
则函数 在 上存在零点等价于 与 的图象有交点.
，令 ，则 ，故 在 上单调递增，
因为 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
即 ，即 ， ，
所以当 时 单调递减，当
时， 单调递增，所以
，
又 时， ，故 ，所以 ，
故选：C.
7．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）函数 ，若函数
有3个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数 的图象，然后作出函数 的图象，结合图形可解.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
所以，当 时， 取得极小值 ，
再结合二次函数图象，作出 的图象如下图：
因为函数 有3个零点，所以函数 的图象与直线 有3个交点，
由图可知， ，即 的取值范围为 .
故选：C
8．（2024·广西·模拟预测）若函数 在 上有两个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数零点问题转化成两函数图像交点，再利用导数与函数单调性间的关系，得
出 ，根据图像即可解决问题.
【详解】因为 ，令 ，即 ，则 ，
所以函数 在 上有两个不同的零点等价于曲线 和 在
上有两个不同的交点，
设 ， ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，当 时， ，且 时， ，
其图像如图所示，
故 的取值范围为 .
故选：C.
二、多选题
9．（22-23高二下·甘肃定西·阶段练习）若函数 有三个零点，则实
数a的可能取值是（ ）
A．－10 B．－9 C．2 D．3【答案】BCD
【分析】根据已知，把函数零点转化为方程根的问题，再分离参数，利用导数研究函数图
象，结合图行进行求解.
【详解】函数 有三个零点，等价于 有3个根，
即函数 与函数 有3个交点，令 ，
则 ，由 有： 或 ，由 有：
，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
又 ， ，所以 的大致图象为：
所以 ，解得 ，故A错误.
故选：BCD.
10．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数 ，则下列选项正确的是
（ ）
A． 在 上单调递增
B． 恰有一个极大值
C．当 时， 无实数解
D．当 时， 有三个实数解
【答案】BCD
【分析】分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断AB，利用极值判断方程
的实根个数判断C，利用数形结合思想判断D．【详解】对于A，当 时， ，当 时，
，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递
减．当 时， ， 在 上单调递增，
A错误；
对于B，由以上讨论知 是 的极大值点，B正确；
对于C，当 时， ，当 时，
，所以当 时， 无实数解，C正确；
对于D，当 时， ，由以上讨论知当 时， ．而
，作出 的大致图象如图所示．如图可知， 有三个实
数解，所以 有三个实数解，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
11．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知 且 ，方程 有且仅有两个不
等根，则 的取值范围为
【答案】
【分析】由对数的运算性质可得 ，令 ，则
，利用导数求出 ，结合方程根的个数与函数图象交点的个数之间的关系即可求解.
【详解】由 ，得 .
令 ，则 ，
设函数 ，得 .令 ，得 .
在 上 单调递增；在 上 单调递减，所以 ， ，又当 时， 恒成立，
所以方程 有且仅有两个不等根，
即曲线 图象与直线 有两个交点的充分必要条件是 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
12．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的零点个数为
【答案】2
【分析】
令 ，并将其转化为 ，再根据 与 的图象的交点情况解决问题.
【详解】令 ，可得 ，因为 ，则 ，也即 ，
，整理可得 ；
令 ，则 ，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
又当 时， ， 时， ，
，且当 趋近于正无穷时， 趋近于 ；
在同一坐标系中，作出 与 的函数图象如下所示：
数形结合可知， 与 的函数图象在 有 个交点，
故 在 有两个零点.
故答案为： .四、解答题
13．（23-24高三上·河南·期末）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，研究函数 在 上的单调性和零点个数．
【答案】(1)
(2) 在 上单调递增；1
【分析】（1）当 时，求出 ， ，从而可求出切线方程.
（2）当 时，利用导数求出 在 上单调递增．又 ，从而可求解.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）当 时， ，则 ，
当 时， ， ， ，则 ，
故 在 上单调递增．
又因为 ，所以 在 上的零点个数为 ．
14．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)方程 恰有两个不同的实根，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）利用导数求得 的单调区间和极值，由此求得 的取值范围.【详解】（1）依题意， ，
，
所以 ，又 ，所以切线方程为 .
（2）
因为 ，
所以：
当 时， ，所以 单调递增；
当 时， ，所以 单调递减.
所以 在 处取得极大值也即是最大值，
对于函数 ，
， ，当 时， ；当 时， .
所以 的取值范围是 .
B能力提升
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 有三个零点 ，其中 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解析式得 ，由 ，得 ，设 ，则
，从而可得 ，求解导函数 ，分类讨论 与
两种情况下函数的单调性，从而可得答案.
【详解】定义域为 ，显然 ，
若 是零点，则 ，
，
所以 也是零点，函数 有三个零点 ，不妨设 ，则 ，
所以 ， ，
当 时，结合定义域和判别式易知 恒成立，
即函数 在 上单调递增，不符合题意；
当 时，设 的两根分别为 ，
易知 ，所以函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ， ，
，当 ， ，
所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.
综上， 的取值范围是 .
【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式 得若 是零点， 也是零
点，从而得 ，所以求 的取值范围即求 的取值范围，然后求解导函
数，利用导数分类讨论函数的单调性即可.
2．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数 关于 的方程 有
且仅有4个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数图像，转化为交点问题求解即可.
【详解】当 时， ，
当 时 ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增.
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增， .
画出函数 的图象，如下图所示，可得函数最小值为 有四个不同的实数根，
数形结合可知 的取值范围是 ，
故选：A.
3．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知函数 .若 ，且
，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数画出 的大致图象，在根据图象以及解析式得到 的关系及 的范
围即可求解.
【详解】当 时， ， ，
所以 在 上单调递减，且 ，
当 时， ， ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 的图象大致如图所示：
由 ， 得 ，即 ，令 得 ，结合
图象可知 ，所以 .
故答案为：4．（23-24高三下·上海·开学考试）已知定义在 上的函数 ，且
，则函数 的零点个数为 ．
【答案】643
【分析】
首先分区间写出函数 的解析式，判断函数的周期，再利用数形结合，求函数的零点个
数.
【详解】当 时， 无解，故 没有零点，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
以此类推， ，而 ，
当 有1个交点，以后每个周期 内有2个交点，在区间 无交点，所
以共有 个交点，
所以函数 的零点个数为 个.
故答案为：643
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 ，
，若关于 的方程 有6个解，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】令 ，根据 图象可知， 等于常数的解最多只有3个，根据 图象性质
可知， 等于常数的解最多只有2个，若 有6个解，需要 有3个
解， 有2个解，根据 图象先求出 ，再得出 和 中最小解之
间的等式关系，而后结合 的值域即可建立关于 的不等式，最后构造关于 的函数，
求导求单调性即可解不等式，进而得出结果。
【详解】解：由题可得，令 ，则方程 的解有3个，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，当 时， ，所以 ，
画 的图象如下：
由图象可得 ，
且方程 的三个解分别为 ，不妨设 ，
则有 ，即 ，
又
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
又因为 ，所以 ，
所以有 ，即 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，又 ，所以 的解集为 ，
综上， 的取值范围为 。
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查复合函数零点个数问题，此类题目一般做法为：
（1）先根据解析式画出两个函数图象；
（2）令复合函数内函数为 ；
（3）结合函数图象及零点个数，分析外函数根的个数以及自变量对应的取值范围；
（4）再确定内函数根个数及对应参数取值范围；
（5）解出参数范围即可。
C综合素养
1．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数 的定义域为开区间 ，若存在
，使得 在 处的切线 与 的图像只有唯一的公共点，则称
为“ 函数”，切线 为一条“ 切线”．
(1)判断 是否是函数 的一条“ 切线”，并说明理由；
(2)设 ，求证： 存在无穷多条“ 切线”；
(3)设 ，求证：对任意实数 和正数 都是“ 函数”
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）记 ，设切点为 ，利用导数的几何意义求出 ，再证明直
线 与 的图象只有唯一的公共点，将 与函数 联立，得
，记 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解．
（2）将点 处的切线 的方程与 联立得 ，记
，利用导数说明函数 存在唯一零点 ，即可得
证；
（3）类似第（2）问的思路得到 在 上有且仅有一解 ，则
或 ，再分 、 两种情况说明即可.【详解】（1）记 ，则 ，设切点为 ，
由切线方程为 知 ，则 ，解得 ．
所以切点为 ，下面证明直线 与 的图象只有唯一的公共点，
将 与函数 联立，得 ．
记 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
故函数 只有一个零点 ，故 是一条“ 切线”；
（2）因为 ，所以 ，
则点 处的切线 方程为 ，
将点 处的切线 的方程与 联立得 ，
记 ，
则直线 为“ 切线” 函数 有且仅有一个零点 （此时，一个 对应一条“ 切
线”），显然 是 的零点，
故只要 没其它零点，此时 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故此时 为 唯一的极小值点（也是最小值点），而 ，
故 无其他零点，故直线 为“ 切线”，因为 的任意性，
故函数 存在无穷多条“ 切线”，
（3）因为 ，则 ，
设点 在函数 的图象上，
则点 的切线为 ，与 联立得：，
由题意得直线 为“ 切线”，故方程 在 上有且仅有一解 ，
则 或 ，
若 ，则 是方程 的唯一解（此时有无数条“ 切线”，切点横坐标为
上的任意值）．
若 ，则 （此时只有一条“ 切线”，切点的横坐标为 ）
或 （此时有无数条“ 切线”，切点横坐标为 上的任意值），
综上， ，即证．
【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.
