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第 14 讲 拓展七：极值点偏移问题(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................6
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题.............................6
方法一：对称化构造法..........................................6
方法二：利用韦达定理代换法令 ....................13
方法三：比值代换法...........................................20
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题................27
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题................34
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、极值点偏移的含义
函数 满足对于定义域内任意自变量 都有 ，则函数 关于直线 对称．
可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 为单峰函数，则 必为
的极值点，如图(1)所示，函数 图象的顶点的横坐标就是极值点 ；
①若 的两根为 ， ，则刚好满足 ，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有
偏移（如图1）．
若 ，则极值点偏移．若单峰函数 的极值点为 ，且函数 满足定义域 左侧的
任意自变量 都有 或 ，则函数 极值点 左右侧变化快慢不同．
如图(2)(3)所示．故单峰函数 定义域内任意不同的实数 ， ，满足 ，则 与
极值点 必有确定的大小关系：若 ，则称为极值点左偏如图（2）；若 ，则称为
极值点右偏如图（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或
；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关系，
进而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令 .）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之
差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，化
为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的
比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，化
为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.4．对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
2.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
3、极值点偏移问题的类型
（1）加法型 （2）减法型 （3）平方型 （4）乘积型 （5）商型
第二部分：高考真题回归
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
【详解】(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．
由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．由（1）知 ，先证 ．
要证：
．
令 ，
则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以需证 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
[方法三]：比值代换
证明 同证法2．以下证明 ．
不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，
即证 ．
记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．
再证明 ．令 ．
令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
方法一：对称化构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；(2)若 有两个不同的零点 ，求 的取值范围，并证明： ．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【详解】（1）当 时， ，定义域为
令 ，则
当 时， ；当 时， ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，所以 ，得 ；
（2）因为 有两个不同的零点 ，则 在定义域内不单调；
由
当 时， 在 恒成立，则 在 上单调递减，不符合题意；
当 时，在 上有 ，在 上有 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．不妨设
令
则
当 时， ，则 在 上单调递增
所以
故 ，因为
所以 ，又 ，
则 ，又 在 上单调递减，
所以 ，则 ．
例题2．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数 .
(1)讨论 的零点个数；
(2)若 有两个零点 ， ，求证： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析【详解】（1） .
因为 ，所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 .
当 ，即 时， 的零点个数为0.
当 ，即 时， 的零点个数为1.
当 ，即 时，
注意到 ， .
下面证明 .
设 ，所以 ，
由 解得 ；由 解得 .
则 在 单调递增， 单调递减，
所以 ，即 .
所以 ，所以 .
因此， ， ，使得 ，所以此时 的零点个数为2.
综上，当 时， 的零点个数为0；当 时， 的零点个数为1；当 时， 的
零点个数为2.
（2）证明：（证法一）由（1）可知，当 时，函数 有两个零点，且 .
令 ， ，则 .
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
所以 .
所以 .因为 ，所以 .
又由（1）可知， 在区间 上单调递增，所以 ，故 .（证法二）由 ，得
则 .
由对数平均不等式 ，得 ，
所以 ，
所以 .又 ，所以 .
例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)若 为定义域上的增函数，求 的取值范围；
(2)令 ，设函数 ，且 ，求证： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1） 的定义域为 ，
由 为定义域上的增函数可得 恒成立.
则由 得 ，
令 ，
所以当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
故 ,
则有 解得 .
故a的取值范围为
（2）
由 有有
即
即 .
令
由 可得当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；则 ，
即 ，
解得 或 (负值舍去)，
故 .
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)若函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)设 是函数 的两个极值点，证明： .
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【详解】（1） ，
该方程有两个不等实根，由 ，
所以直线 与函数 的图象有两个不同交点，
由 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，因此 ，
当 时， ，当 ， ，
如下图所示：所以要想有两个不同交点，只需 ，即 的取值范围为 ；
（2）因为 是函数 的两个极值点，
所以 ，由（1）可知： ，不妨设 ，
要证明 ，只需证明 ，显然 ，
由（2）可知：当 时， 单调递增，所以只需证明 ，
而 ，所以证明 即可，
即证明函数 在 时恒成立，
由 ，
显然当 时， ，因此函数 单调递减，
所以当 时，有 ，所以当 时， 恒成立，因此命题得以证明.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，所以1不是 的零点．
当 ，可变形为 ，
令 ，则 的零点个数即直线 与 图象的交点个数．
因为 ， ，得 ，又 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，且当 时， ，所以当 时， 没有零点；
当 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当 时， 有两个零点．
设 ，则 ，
由 得 ，
所以 ，即 ．
令 ，则 ，
易得 在 上单调递减，在 上单调递增．
要证 ，即证 ．
因为 ，且 在 上单调递增，所以只需证 ．
因为 ，所以即证 ．
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，故 ．
3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最大值；
(2)设函数 有两个零点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数 的定义域是 .
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，无最大值；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，．
（2） ，
因为 为 的两个零点，
所以 ，不妨设 ．
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
又证明 等价于证明 ，
又因为 在 上单调递增，
因此证明原不等式等价于证明 ，即要证明 ，
即要证明 ，
即 恒成立．
令 ，
则 ，
所以 在 上为减函数，
所以 ，
即 在 时恒成立，
因此不等式 恒成立，
即 ．
方法二：利用韦达定理代换法令
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性和最值；(2)若关于 的方程 有两个不等的实数根 ，求证： .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1） ，其中
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为减函数，
故 无最值.
若 ，当 时， ；
当 时， ；
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
故 ， 无最小值.
（2）方程 即为 ，
故 ，
因为 为 上的增函数，所以
所以关于 的方程 有两个不等的实数根 即为：
有两个不同的实数根 .
所以 ，所以 ，
不妨设 ， ，故 ，
要证： 即证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
设 ，则 ，
故 ，所以 在 上为增函数，
故 ，所以 在 上为增函数，
所以 ，故 成立.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 ，求 的单调区间；
(3)当 时，若函数 恰有两个不同的极值点 、 ，且 ，求证：
.
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）解：当 时， ， ，则 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）解：当 时， ，该函数的定义域为 .
.
当 时，由 可得 或 .
（i）当 时， ，由 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，
此时函数 的增区间为 、 ，减区间为 ；
（ii）当 时， ，对任意的 ， 且 不恒为零，
此时函数 在 上单调递增；
（iii）当 时， ，由 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，
此时函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
综上所述
当 时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 ；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
（3）证明： ，则 ，令 ，则 .
当 时，由 可得 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，解得 .
下面证明不等式 ，其中 ，即证 ，
令 ，即证 对任意的 恒成立，
构造函数 ，其中 ，
则 对任意的 恒成立，故函数 在 上单调递增，
当 时， ，所以，当 时， ，
由已知可得 ，两式作差可得 ，
则 ，即 ，故原不等式得证.
例题3．（2023·湖南常德·统考一模）已知函数 （ ）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
在 ， 上单调递增
(2)
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
又 ， ，令 ，得 ，
当 时， 时， ，所以 在 单调递增；
当 时，方程 的 ，
①当 时， ，则 ，所以 在 单调递增；
②当 时， ，令 ，得 ， ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，
在 ， 上单调递增；
综上所述：
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
在 ， 上单调递增；
（2）由（1）得，若 有两个极值点 ， ，
则 ，且 ， ，即 ， ；
故
， ，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递减；
即 ，故 ，
综上所述： 的取值范围为： .练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 ，若 存在两个极值点 ，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）根据已知得 ，定义域为 ，
则 ，
若 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，则 恒成立，所以 在 上单调递增；
若 ，由 ，得 或 ；由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上： 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）证明：由已知得 ，定义域为 ，
从而 .
当 ，即 时， 恒成立，函数 不可能有两个极值点；
当 时， 有两个根 ，因为 ，与 都是正数相矛盾，不合题意；
当 时， 有两个根 ，因为 ，且 ，
所以两根 均为正数，故 有两个极值点，因为 ，由 知 ，
因为 ，
所以 等价于 ，
即 ，
令 ，
所以 在 上单调递减，又 ，所以当 时， ，
故 成立.
2．（2023春·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数 （ 为常数）
(1)讨论 的单调性
(2)若函数 存在两个极值点 ，且 ，求 的范围.
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【详解】（1）∵ ，
，当 时， ， ， 在定义域 上单调递增；
当 时，在定义域 上 ，
时， 在定义域 上单调递增；
当 时，令 得 ， ，
， 时， ； 时 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
综上可知：当 时， 在定义域 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.（其中 ，
）（2）由（1）知 有两个极值点，则 ，
的二根为 ，
则 ， ，
，
设 ，又 ，∴ .
则 ， ，
∴ 在 递增， .
即 的范围是
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为常数 ，且 在定义域内有两个极值
点.
（1）求 的取值范围；
（2）设函数 的两个极值点分别为 ，求 的范围.
【答案】(1) ；(2) .
【详解】(1)函数 的定义域为 ， ，
因 在定义域内有两个极值点，则 有二不等的正实根 ，
从而得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ；
(2)由(1)知 ，而 ，则 ，
，令 ，则 ， ，
从而得 在 上单调递增，即有 ， 的值域是 ，
所以 的范围是 .
方法三：比值代换法
典型例题
例题1．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 有两个极值点 ，求证：
【答案】（1）当 时， ；当 时， ；当
时， ；（2）证明见解析．
【详解】（1）因为 ， ，
①当 时，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ；
②当 ，即 时， ， ，
所以函数 在 上单调递增，则 ；，
③当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则
；
④当 ，即 时， ， ，函数 在 上单调递减，则 ．
综上，当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
（2）要证 ，只需证： ，若 有两个极值点 ，即函数 有两个零点，又 ，
所以 是方程 的两个不同实根，
即 ，解得 ，
另一方面，由 ，得 ，
从而可得 ，
于是 ．不妨设 ，
设 ，则 ．因此， ．
要证 ，即证： ，
即当 时，有 ，
设函数 ，则 ，
所以 为 上的增函数．注意到， ，因此， ．
于是，当 时，有 ．
所以 成立， ．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当 ，研究 的单调性；
(2)令 ，若存在 使得 ，求证 .
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析
(1) ， ，在 上单调递增，且 ，所以
时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增；(2) ，（ ），
时 ， 递增， 时， ， 递减，
时， ，
存在 使得 ，则 ，令 ， ，
，令 ，
则 ， 在 上单调递增， ， ，
， ， .
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)设 有两个不同的零点 ， ， 为其极值点，证明：
．
【答案】(1)函数的极小值为1，无极大值；
(2)见解析.
【详解】（1）由题意知，函数 的定义域为 ，
，
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值，无极大值，
且极小值为 ；
（2） ( )，
，
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
所以 ，则 .
又函数 在 上有2个零点 ，
所以 ，解得 .
设 ，则 ，
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，即 ，即 ，
所以 ，
又 ， ，
两式相减，得 ，设 ，
要证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，有 ，
即 在 上恒成立，所以 .
综上， .
练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 有两个零点 、 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ，由 可得 ，
令 ，其中 ，则 ，令 可得 ，列表如下：
增 极大值 减
且当 时， ，作出函数 和 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个公共点，
因此，实数 的取值范围是 .
（2）解：由已知可得 ，可得 ，
由 可得 ，要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，由题意可知 ，令 ，即证 ，
构造函数 ，其中 ，即证 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，故原不等式成立.
2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，对于任意 ，证明： .
【答案】（1）当 时， 的增区间是 ，减区间是 ；当 时， 的增区间是
，减区间是 ；（2）证明见解析.
【详解】解：（1） 的定义域为 ，且 ，
则 ，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
，此时 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在 上单调递增，
，此时 在 上单调递减.
综上可知：当 时， 的增区间是 ，减区间是 ；
当 时， 的增区间是 ，减区间是 .
（2）由 ， ， ，
由于 ，所以 .设 ，
故：，
令 ，则 ，
由于 ，故 ，则 在 上单调递增，
故 ，
即：所证不等式 成立.
3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 ， ，设 ．
（1）若 ，求 的最大值；
（2）若 有两个不同的零点 ， ，求证： .
【答案】（1）最大值为 ；（2）证明见解析.
【详解】解：
（1）解：当 时，
所以 ．
注意 ，且当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递增减．
所以 的最大值为 ．
（2）证明：由题知， ，
即 ， ，
可得 ．
．
不妨 ，则上式进一步等价于 ．
令 ，则只需证 ．设 ， ，
所以 在 上单调递增，
从而 ，即 ，
故原不等式得证．
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·四川凉山·二模）已知函数 ．
(1) 为函数 的导函数， 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个不同的极值点 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
【详解】（1）依题意得 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
所以 ，
又 ，当且仅当 时取“=”，所以 ．
（2）由（1）知当 时 单调递减，无极值点，不满足条件．
当 时，令 ，
得 ，则 ，所以其两根为 ，
由韦达定理得 ，
又∵ ，∴ ，满足条件，
令 ，则 ，
∴ ，∴ ，
要证 只需证 ，即证 ，即证 ，即 ，
令 ，即证 ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 单增， ，
故结论得证．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，当 时，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，所以 ．因为 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）因为 且 ，
所以 ．（*）
因为 ， ，所以 ，
令 得 ；函数 单调递增；
令 得 ，函数 单调递减；所以 ．
令 ， ，则 ，等号不恒成立，所以函数 在 上单调递增，
于是由（*）可得 ，即 ．要证 ，即证 ，即证 ．
不妨设 ，则上式等价于 ，即 ．
令 ，则 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，故原命题得证．
即 成立.
例题3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)当 时，函数 在 上没有零点，求实数 的取值范围;
(2)当 时，存在实数 ，使得 ，求证： ．
【答案】(1) 或 ；
(2)证明见解析.
【详解】（1） ， ， ，求导得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，要 在 上没有零点，而 ，
则必有 ，解得 ，因此 ；
当 时，由 得 ，当 ，即 时， ，函数 在 上单调递减，
于是 ，即函数 在 上没有零点，因此 ；
当 ，即 时，当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
即 ，解得 ，因此 ，综上得 或 ，
所以实数a的取值范围是 或 .
（2） ，由（1）知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
不妨令 ，由 得： ，
因为函数 在 上递减，要证 ，即证 ，
只证 ，就证 ，
令 ， ，求导得 ，
函数 在 上单调递减， ，即 ，因此 ，
所以 .
练透核心考点
1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)曲线 与直线 交于 ， 两点，求证： ；
(3)证明： .
【答案】(1) ， 单调递减； 时， 单调递增
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当 时， ， ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增.（2） ，则 ，
由题意，知 有两解 ， ，不妨设 ，
要证 ，即证 ，
①若 ，则 ；
②若 ，由 知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
也有 ，
综合①②知， ，所以只需证 （*）.
又 ， ，
∴两式相减，整理得 ，代入（*）式，
得 ，即 .
令 ，即证 .
令 ，则 ，
∴ 在其定义域上为增函数，∴ ，∴ 成立.
（3）由（2）知， ，故 ， ，
取 ， ，所以， ，
累加，得 .
2．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若函数 在 上恒成立，求 的取值范围；
(2)若 是函数 的两个零点，证明： .【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1） 的定义域为 ， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
令 ，则
当 时， ； 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 .
若函数 在 上恒成立，则 ，则 的取值范围是 .
（2） ，
是 的两个零点，
故 ，两式相减得 .
要证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，即证 成立，即证 成立.
不妨设 ，则 ，故只需证 ，
令 ，则 ，设 ，
则 在 时恒成立，
则 ，故 ，即 成立，
则不等式 成立.3．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)当 时，若函数 有两个零点 ．
①证明： ；
②证明： ．
【答案】(1) 有极小值 ，无极大值
(2)①证明见详解；②证明见详解
【详解】（1）由题意可得： ，
∵ 在 上单调递增，且 ，
∴当 时， ，当 时， ，
即当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
可得 有极小值 ，无极大值.
（2）若函数 有两个零点 ，则 ，解得 ，
当 时，则 ，
结合 的单调性可知： 在 ， 内均只有一个零点，则 ，
构建 ，则 当 时恒成立，
故 在 上单调递增，
①令 ，则 等价于 ，等价于 ，等价于 ，
∵ 在 上单调递增，则 ，
即 ，故 .
②若函数 有两个零点 ，令 ，即 ，则 ，可得 ，
故 ，
由 ，则 ，
∵ 在 上单调递增，则 ，即 ，
∴ 当 时恒成立，
又∵ 在 上单调递减，且 ，
∴ ，即 ，
故 .
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
(1)若函数 是 上的增函数求 的取值范围；
(2)若函数 恰有两个不等的极值点 、 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1） ， 在 上增函数等价于 对 恒成立.
即 ，设 ， ，
0
－ 0 +
极小值，故
（2）由
，由 为两个极值点不妨设
则 两式相减得
要证明： 等价于证明
即 两边同除
等价于证明： ，设
即 ，
设 ，
由（1）可知：当 时， 恒成立， 成立，
即 ，∴
∴ 在 单调递减，∴
故 成立.
练透核心考点
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，函数 有三个不同的零点 ， ， ，求证： ．
【答案】（1）增区间为 ， ；减区间为 ；（2）证明见解析.
【详解】（1）解： ，
令 ，得 ， ．
当 或 时， ；当 时， ．
增区间为 ， ；减区间为 ；
（2）证明： ， 是函数的一个零点，不妨设 ，则要证 ，只需证 ．
由 ，得 ，
， 是方程 的两个实根，
，①
，②，
① ②得： ，
代入 ，只需证 ，不妨设 ．
， 只需证 ．
， 只需证 ．
设 ，则等价于 ．
设 ，只需证 ，
又 ，设 ，
则 ， 在 上单调递增，则 ．
，从而 在 上是增函数，
．
综上所述， ．
